Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege124d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frege124d 36347
 Description: If is a function, is the successor of , and follows in the transitive closure of , then and are the same or follows in the transitive closure of . Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 36577. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege124d.f
frege124d.x
frege124d.a
frege124d.xb
frege124d.fun
Assertion
Ref Expression
frege124d

Proof of Theorem frege124d
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege124d.a . . 3
2 frege124d.fun . . . . 5
3 frege124d.xb . . . . . . 7
41eqcomd 2456 . . . . . . . . . . 11
5 frege124d.x . . . . . . . . . . . 12
6 funbrfvb 5905 . . . . . . . . . . . 12
72, 5, 6syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
84, 7mpbid 214 . . . . . . . . . 10
9 funeu 5605 . . . . . . . . . 10
102, 8, 9syl2anc 666 . . . . . . . . 9
11 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . 13
121, 11syl6eqel 2536 . . . . . . . . . . . 12
13 sbcan 3309 . . . . . . . . . . . . 13
14 sbcbr2g 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 csbvarg 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615breq2d 4413 . . . . . . . . . . . . . . 15
1714, 16bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . 14
18 sbcng 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 sbcbr1g 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2015breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2119, 20bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . 15
2318, 22bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . 14
2417, 23anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . 13
2513, 24syl5bb 261 . . . . . . . . . . . 12
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11
27 spesbc 3348 . . . . . . . . . . 11
2826, 27syl6bir 233 . . . . . . . . . 10
298, 28mpand 680 . . . . . . . . 9
30 eupicka 2365 . . . . . . . . 9
3110, 29, 30syl6an 548 . . . . . . . 8
32 frege124d.f . . . . . . . . . . . . 13
33 funrel 5598 . . . . . . . . . . . . . 14
342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
35 reltrclfv 13074 . . . . . . . . . . . . 13
3632, 34, 35syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
37 brrelex2 4873 . . . . . . . . . . . 12
3836, 3, 37syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11
39 brcog 5000 . . . . . . . . . . 11
405, 38, 39syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
4140notbid 296 . . . . . . . . 9
42 alinexa 1712 . . . . . . . . 9
4341, 42syl6rbbr 268 . . . . . . . 8
4431, 43sylibd 218 . . . . . . 7
45 brdif 4452 . . . . . . . 8
4645simplbi2 630 . . . . . . 7
473, 44, 46sylsyld 58 . . . . . 6
48 trclfvdecomr 36314 . . . . . . . . . . 11
4932, 48syl 17 . . . . . . . . . 10
50 uncom 3577 . . . . . . . . . 10
5149, 50syl6eq 2500 . . . . . . . . 9
52 eqimss 3483 . . . . . . . . 9
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8
54 ssundif 3850 . . . . . . . 8
5553, 54sylib 200 . . . . . . 7
5655ssbrd 4443 . . . . . 6
5747, 56syld 45 . . . . 5
58 funbrfv 5901 . . . . 5
592, 57, 58sylsyld 58 . . . 4
60 eqcom 2457 . . . 4
6159, 60syl6ib 230 . . 3
62 eqtr3 2471 . . 3
631, 61, 62syl6an 548 . 2
6463orrd 380 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371  wal 1441   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886  weu 2298  cvv 3044  wsbc 3266  csb 3362   cdif 3400   cun 3401   wss 3403   class class class wbr 4401   cdm 4833   ccom 4837   wrel 4838   wfun 5575  cfv 5581  ctcl 13042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-seq 12211  df-trcl 13044  df-relexp 13077 This theorem is referenced by:  frege126d  36348
 Copyright terms: Public domain W3C validator