MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Unicode version

Theorem fr0g 6889
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 6493 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5702 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A
) `  (/) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A ) `  (/) )
4 rdg0g 6881 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A )
53, 4syl5eq 2485 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3635    |` cres 4840   ` cfv 5416   omcom 6474   reccrdg 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864
This theorem is referenced by:  unblem2  7563  dffi3  7679  inf0  7825  inf3lemb  7829  trcl  7946  alephfplem1  8272  infpssrlem1  8470  fin23lem34  8513  ituni0  8585  hsmexlem7  8590  axdclem2  8687  wunex2  8903  wuncval2  8912  peano5nni  10323  1nn  10331  om2uz0i  11768  om2uzrdg  11777  uzrdg0i  11780  trpredlem1  27689  trpredpred  27690  trpredmintr  27693  trpred0  27698  trpredrec  27700  neibastop2lem  28578
  Copyright terms: Public domain W3C validator