MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Unicode version

Theorem fr0g 7100
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 6701 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5867 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A
) `  (/) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A ) `  (/) )
4 rdg0g 7092 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A )
53, 4syl5eq 2494 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   (/)c0 3768    |` cres 4988   ` cfv 5575   omcom 6682   reccrdg 7074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-om 6683  df-recs 7041  df-rdg 7075
This theorem is referenced by:  unblem2  7772  dffi3  7890  inf0  8038  inf3lemb  8042  trcl  8159  alephfplem1  8485  infpssrlem1  8683  fin23lem34  8726  ituni0  8798  hsmexlem7  8803  axdclem2  8900  wunex2  9116  wuncval2  9125  peano5nni  10542  1nn  10550  om2uz0i  12034  om2uzrdg  12043  uzrdg0i  12046  trpredlem1  29282  trpredpred  29283  trpredmintr  29286  trpred0  29291  trpredrec  29293  neibastop2lem  30150
  Copyright terms: Public domain W3C validator