MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Unicode version

Theorem fr0g 7101
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 6703 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 fvres 5880 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A
) `  (/) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( ( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  ( rec ( F ,  A ) `  (/) )
4 rdg0g 7093 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A )
53, 4syl5eq 2520 1  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  om ) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785    |` cres 5001   ` cfv 5588   omcom 6684   reccrdg 7075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076
This theorem is referenced by:  unblem2  7773  dffi3  7891  inf0  8038  inf3lemb  8042  trcl  8159  alephfplem1  8485  infpssrlem1  8683  fin23lem34  8726  ituni0  8798  hsmexlem7  8803  axdclem2  8900  wunex2  9116  wuncval2  9125  peano5nni  10539  1nn  10547  om2uz0i  12026  om2uzrdg  12035  uzrdg0i  12038  trpredlem1  28915  trpredpred  28916  trpredmintr  28919  trpred0  28924  trpredrec  28926  neibastop2lem  29809
  Copyright terms: Public domain W3C validator