Proof of Theorem fpwwe2lem9
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fpwwe2lem9.x |
. . . . . . . . 9
     |
2 | | fpwwe2.1 |
. . . . . . . . . . 11
   
 
              ![]. ].](_drbrack.gif)             |
3 | 2 | relopabi 4964 |
. . . . . . . . . 10
 |
4 | 3 | brrelexi 4880 |
. . . . . . . . 9
     |
5 | 1, 4 | syl 17 |
. . . . . . . 8
   |
6 | | fpwwe2.2 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
7 | 2, 6 | fpwwe2lem2 9075 |
. . . . . . . . . . 11
                    ![]. ].](_drbrack.gif)              |
8 | 1, 7 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . 10
                 ![]. ].](_drbrack.gif)             |
9 | 8 | simprd 470 |
. . . . . . . . 9
            ![]. ].](_drbrack.gif)            |
10 | 9 | simpld 466 |
. . . . . . . 8
   |
11 | | fpwwe2lem9.m |
. . . . . . . . 9
OrdIso    |
12 | 11 | oiiso 8070 |
. . . . . . . 8
 

     |
13 | 5, 10, 12 | syl2anc 673 |
. . . . . . 7

     |
14 | | isof1o 6234 |
. . . . . . 7

  
      |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . 6
       |
16 | | f1ofo 5835 |
. . . . . 6
           |
17 | | forn 5809 |
. . . . . 6
       |
18 | 15, 16, 17 | 3syl 18 |
. . . . 5
   |
19 | | fpwwe2.3 |
. . . . . . 7
 
 

        |
20 | | fpwwe2lem9.y |
. . . . . . 7
     |
21 | | fpwwe2lem9.n |
. . . . . . 7
OrdIso    |
22 | | fpwwe2lem9.s |
. . . . . . 7
   |
23 | 2, 6, 19, 1, 20, 11, 21, 22 | fpwwe2lem8 9080 |
. . . . . 6
     |
24 | 23 | rneqd 5068 |
. . . . 5
 
   |
25 | 18, 24 | eqtr3d 2507 |
. . . 4
     |
26 | | df-ima 4852 |
. . . 4
  
    |
27 | 25, 26 | syl6eqr 2523 |
. . 3
   
   |
28 | | imassrn 5185 |
. . . 4
  
  |
29 | 3 | brrelexi 4880 |
. . . . . . . 8
     |
30 | 20, 29 | syl 17 |
. . . . . . 7
   |
31 | 2, 6 | fpwwe2lem2 9075 |
. . . . . . . . . 10
                    ![]. ].](_drbrack.gif)              |
32 | 20, 31 | mpbid 215 |
. . . . . . . . 9
                 ![]. ].](_drbrack.gif)             |
33 | 32 | simprd 470 |
. . . . . . . 8
            ![]. ].](_drbrack.gif)            |
34 | 33 | simpld 466 |
. . . . . . 7
   |
35 | 21 | oiiso 8070 |
. . . . . . 7
 

     |
36 | 30, 34, 35 | syl2anc 673 |
. . . . . 6

     |
37 | | isof1o 6234 |
. . . . . 6

  
      |
38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . 5
       |
39 | | f1ofo 5835 |
. . . . 5
           |
40 | | forn 5809 |
. . . . 5
       |
41 | 38, 39, 40 | 3syl 18 |
. . . 4
   |
42 | 28, 41 | syl5sseq 3466 |
. . 3
    
  |
43 | 27, 42 | eqsstrd 3452 |
. 2

  |
44 | 8 | simpld 466 |
. . . . . 6
 
     |
45 | 44 | simprd 470 |
. . . . 5

    |
46 | | relxp 4947 |
. . . . 5
   |
47 | | relss 4927 |
. . . . 5
     
   |
48 | 45, 46, 47 | mpisyl 21 |
. . . 4
   |
49 | | inss2 3644 |
. . . . 5
    
  |
50 | | relxp 4947 |
. . . . 5
   |
51 | | relss 4927 |
. . . . 5
         
       |
52 | 49, 50, 51 | mp2 9 |
. . . 4
     |
53 | 48, 52 | jctir 547 |
. . 3
         |
54 | 45 | ssbrd 4437 |
. . . . . . 7
           |
55 | | brxp 4870 |
. . . . . . 7
    

   |
56 | 54, 55 | syl6ib 234 |
. . . . . 6
         |
57 | | brinxp2 4901 |
. . . . . . . 8
             |
58 | | df-3an 1009 |
. . . . . . . 8
 
  
 
      |
59 | 57, 58 | bitri 257 |
. . . . . . 7
               |
60 | | simprll 780 |
. . . . . . . . . . 11
 
 
    
  |
61 | | simprr 774 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
 
    
    |
62 | | isocnv 6239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17

  
   
   |
63 | 36, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
      |
64 | 63 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
 
    
   
   |
65 | 43 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
 
    
  |
66 | | simprlr 781 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
 
    
  |
67 | 65, 66 | sseldd 3419 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
 
    
  |
68 | | isorel 6235 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
  
                       |
69 | 64, 60, 67, 68 | syl12anc 1290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
 
    
  
             |
70 | 61, 69 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
 
    
            |
71 | | fvex 5889 |
. . . . . . . . . . . . . 14
      |
72 | 71 | epelc 4752 |
. . . . . . . . . . . . 13
          
            |
73 | 70, 72 | sylib 201 |
. . . . . . . . . . . 12
 
 
    
            |
74 | 23 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
 
    

   |
75 | 74 | cnveqd 5015 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
 
    
      |
76 | | isof1o 6234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
   
       |
77 | | f1ofn 5829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
      
  |
78 | 64, 76, 77 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
 
    
   |
79 | | fnfun 5683 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     |
80 | | funcnvres 5662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
 
          |
81 | 78, 79, 80 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
 
    
            |
82 | 75, 81 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
 
    
          |
83 | 82 | fveq1d 5881 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
 
    
       
          |
84 | 27 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
 
    
      |
85 | 66, 84 | eleqtrd 2551 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
 
    
      |
86 | | fvres 5893 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                       |
87 | 85, 86 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
 
    
  
  
            |
88 | 83, 87 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
 
    
            |
89 | | isocnv 6239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17

  
   
   |
90 | 13, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
      |
91 | | isof1o 6234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
   
       |
92 | | f1of 5828 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
             |
93 | 90, 91, 92 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
        |
94 | 93 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
 
    
    
  |
95 | 94, 66 | ffvelrnd 6038 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
 
    
       |
96 | 88, 95 | eqeltrrd 2550 |
. . . . . . . . . . . 12
 
 
    
       |
97 | 11 | oicl 8062 |
. . . . . . . . . . . . 13
 |
98 | | ordtr1 5473 |
. . . . . . . . . . . . 13

                 
        |
99 | 97, 98 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
                 
       |
100 | 73, 96, 99 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . 11
 
 
    
       |
101 | | elpreima 6017 |
. . . . . . . . . . . 12
                   |
102 | 78, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
 
 
    
      

         |
103 | 60, 100, 102 | mpbir2and 936 |
. . . . . . . . . 10
 
 
    
        |
104 | | imacnvcnv 5307 |
. . . . . . . . . . 11
        
  |
105 | 84, 104 | syl6eqr 2523 |
. . . . . . . . . 10
 
 
    
        |
106 | 103, 105 | eleqtrrd 2552 |
. . . . . . . . 9
 
 
    
  |
107 | 106, 66 | jca 541 |
. . . . . . . 8
 
 
    

   |
108 | 107 | ex 441 |
. . . . . . 7
        
    |
109 | 59, 108 | syl5bi 225 |
. . . . . 6
             |
110 | 23 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
 

 
    |
111 | 110 | cnveqd 5015 |
. . . . . . . . . . 11
 

  
 
   |
112 | 111 | fveq1d 5881 |
. . . . . . . . . 10
 

                |
113 | 111 | fveq1d 5881 |
. . . . . . . . . 10
 

                |
114 | 112, 113 | breq12d 4408 |
. . . . . . . . 9
 

                              |
115 | | isorel 6235 |
. . . . . . . . . 10
  
                       |
116 | 90, 115 | sylan 479 |
. . . . . . . . 9
 

                  |
117 | | eqidd 2472 |
. . . . . . . . . . . . 13
       
   |
118 | | isores3 6244 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
  
  
       
         |
119 | 36, 22, 117, 118 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . . . 12
  
         |
120 | | isocnv 6239 |
. . . . . . . . . . . 12
 

        

          |
121 | 119, 120 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
    
         |
122 | 121 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 

     
         |
123 | | simprl 772 |
. . . . . . . . . . 11
 

 
  |
124 | 27 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . 11
 

 
      |
125 | 123, 124 | eleqtrd 2551 |
. . . . . . . . . 10
 

 
      |
126 | | simprr 774 |
. . . . . . . . . . 11
 

    |
127 | 126, 124 | eleqtrd 2551 |
. . . . . . . . . 10
 

    
   |
128 | | isorel 6235 |
. . . . . . . . . 10
     
                                      |
129 | 122, 125,
127, 128 | syl12anc 1290 |
. . . . . . . . 9
 

                      |
130 | 114, 116,
129 | 3bitr4d 293 |
. . . . . . . 8
 

          |
131 | 43 | sselda 3418 |
. . . . . . . . . . . 12
 
   |
132 | 131 | adantrr 731 |
. . . . . . . . . . 11
 

 
  |
133 | 132, 126 | jca 541 |
. . . . . . . . . 10
 

  
   |
134 | 133 | biantrurd 516 |
. . . . . . . . 9
 

              |
135 | 134, 59 | syl6bbr 271 |
. . . . . . . 8
 

       
      |
136 | 130, 135 | bitrd 261 |
. . . . . . 7
 

       
      |
137 | 136 | ex 441 |
. . . . . 6
      
          |
138 | 56, 109, 137 | pm5.21ndd 361 |
. . . . 5
      
      |
139 | | df-br 4396 |
. . . . 5
  
  
  |
140 | | df-br 4396 |
. . . . 5
           
    |
141 | 138, 139,
140 | 3bitr3g 295 |
. . . 4
    
  
       |
142 | 141 | eqrelrdv2 4939 |
. . 3
               |
143 | 53, 142 | mpancom 682 |
. 2
       |
144 | 43, 143 | jca 541 |
1
 
       |