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Theorem fpwwe2lem9 8793
Description: Lemma for fpwwe2 8798. Given two well-orders  <. X ,  R >. and  <. Y ,  S >. of parts of  A, one is an initial segment of the other. (The  O  C_  P hypothesis is in order to break the symmetry of  X and  Y.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2lem9.x  |-  ( ph  ->  X W R )
fpwwe2lem9.y  |-  ( ph  ->  Y W S )
fpwwe2lem9.m  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
fpwwe2lem9.n  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
fpwwe2lem9.s  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem9  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  /\  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    M, r, u, x, y    N, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    S, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem9
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X W R )
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
32relopabi 4952 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  W
43brrelexi 4866 . . . . . . . . 9  |-  ( X W R  ->  X  e.  _V )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
72, 6fpwwe2lem2 8787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X W R  <-> 
( ( X  C_  A  /\  R  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( R  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
81, 7mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  C_  A  /\  R  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( R  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
98simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. (
u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
109simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  We  X )
11 fpwwe2lem9.m . . . . . . . . 9  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
1211oiiso 7739 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  R  We  X )  ->  M  Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
) )
135, 10, 12syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
) )
14 isof1o 6003 . . . . . . 7  |-  ( M 
Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
)  ->  M : dom  M -1-1-onto-> X )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : dom  M -1-1-onto-> X
)
16 f1ofo 5636 . . . . . 6  |-  ( M : dom  M -1-1-onto-> X  ->  M : dom  M -onto-> X
)
17 forn 5611 . . . . . 6  |-  ( M : dom  M -onto-> X  ->  ran  M  =  X )
1815, 16, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  M  =  X )
19 fpwwe2.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
20 fpwwe2lem9.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y W S )
21 fpwwe2lem9.n . . . . . . 7  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
22 fpwwe2lem9.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
232, 6, 19, 1, 20, 11, 21, 22fpwwe2lem8 8792 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
2423rneqd 5054 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ran  ( N  |`  dom  M
) )
2518, 24eqtr3d 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ran  ( N  |`  dom  M ) )
26 df-ima 4840 . . . 4  |-  ( N
" dom  M )  =  ran  ( N  |`  dom  M )
2725, 26syl6eqr 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( N
" dom  M )
)
28 imassrn 5168 . . . 4  |-  ( N
" dom  M )  C_ 
ran  N
293brrelexi 4866 . . . . . . . 8  |-  ( Y W S  ->  Y  e.  _V )
3020, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
312, 6fpwwe2lem2 8787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y W S  <-> 
( ( Y  C_  A  /\  S  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( S  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' S " { y } )  /  u ]. ( u F ( S  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  C_  A  /\  S  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( S  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' S " { y } )  /  u ]. ( u F ( S  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
3332simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' S " { y } )  /  u ]. (
u F ( S  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
3433simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  We  Y )
3521oiiso 7739 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  S  We  Y )  ->  N  Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
) )
3630, 34, 35syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
) )
37 isof1o 6003 . . . . . 6  |-  ( N 
Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
)  ->  N : dom  N -1-1-onto-> Y )
3836, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : dom  N -1-1-onto-> Y
)
39 f1ofo 5636 . . . . 5  |-  ( N : dom  N -1-1-onto-> Y  ->  N : dom  N -onto-> Y
)
40 forn 5611 . . . . 5  |-  ( N : dom  N -onto-> Y  ->  ran  N  =  Y )
4138, 39, 403syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  N  =  Y )
4228, 41syl5sseq 3392 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N " dom  M )  C_  Y )
4327, 42eqsstrd 3378 . 2  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
448simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  C_  A  /\  R  C_  ( X  X.  X ) ) )
4544simprd 460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  C_  ( X  X.  X ) )
46 relxp 4934 . . . . 5  |-  Rel  ( X  X.  X )
47 relss 4914 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( X  X.  X )  ->  ( Rel  ( X  X.  X
)  ->  Rel  R ) )
4845, 46, 47mpisyl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  Rel  R )
49 inss2 3559 . . . . 5  |-  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) )  C_  ( Y  X.  X
)
50 relxp 4934 . . . . 5  |-  Rel  ( Y  X.  X )
51 relss 4914 . . . . 5  |-  ( ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) 
C_  ( Y  X.  X )  ->  ( Rel  ( Y  X.  X
)  ->  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
5249, 50, 51mp2 9 . . . 4  |-  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) )
5348, 52jctir 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Rel  R  /\  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
5445ssbrd 4321 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x R y  ->  x ( X  X.  X ) y ) )
55 brxp 4857 . . . . . . 7  |-  ( x ( X  X.  X
) y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
5654, 55syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x R y  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )
57 brinxp2 4887 . . . . . . . 8  |-  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  <->  ( x  e.  Y  /\  y  e.  X  /\  x S y ) )
58 df-3an 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X  /\  x S y )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  <->  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )
60 simprll 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x  e.  Y )
61 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x S
y )
62 isocnv 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N 
Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
)  ->  `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N ) )
6336, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N ) )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N ) )
6543adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  X  C_  Y
)
66 simprlr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  y  e.  X )
6765, 66sseldd 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  y  e.  Y )
68 isorel 6004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x S y  <-> 
( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y ) ) )
6964, 60, 67, 68syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( x S y  <->  ( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y ) ) )
7061, 69mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y ) )
71 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' N `  y )  e.  _V
7271epelc 4621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y )  <->  ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y ) )
7370, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y ) )
7423adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  M  =  ( N  |`  dom  M
) )
7574cnveqd 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' M  =  `' ( N  |`  dom  M ) )
76 isof1o 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N )  ->  `' N : Y -1-1-onto-> dom  N )
77 f1ofn 5630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' N : Y -1-1-onto-> dom  N  ->  `' N  Fn  Y
)
7864, 76, 773syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' N  Fn  Y )
79 fnfun 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' N  Fn  Y  ->  Fun  `' N )
80 funcnvres 5475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' N  ->  `' ( N  |`  dom  M )  =  ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) )
8178, 79, 803syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' ( N  |`  dom  M )  =  ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) )
8275, 81eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' M  =  ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) )
8382fveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' M `  y )  =  ( ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) `
 y ) )
8427adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  X  =  ( N " dom  M
) )
8566, 84eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  y  e.  ( N " dom  M
) )
86 fvres 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( N " dom  M )  ->  (
( `' N  |`  ( N " dom  M
) ) `  y
)  =  ( `' N `  y ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( ( `' N  |`  ( N
" dom  M )
) `  y )  =  ( `' N `  y ) )
8883, 87eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' M `  y )  =  ( `' N `  y ) )
89 isocnv 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M 
Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
)  ->  `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M ) )
9013, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M ) )
91 isof1o 6003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M )  ->  `' M : X -1-1-onto-> dom  M )
92 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' M : X -1-1-onto-> dom  M  ->  `' M : X --> dom  M
)
9390, 91, 923syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' M : X --> dom  M
)
9493adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' M : X --> dom  M )
9594, 66ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' M `  y )  e.  dom  M )
9688, 95eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  y )  e.  dom  M )
9711oicl 7731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  dom  M
98 ordtr1 4749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  M  ->  ( ( ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y )  /\  ( `' N `  y )  e.  dom  M )  ->  ( `' N `  x )  e.  dom  M ) )
9997, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y )  /\  ( `' N `  y )  e.  dom  M )  ->  ( `' N `  x )  e.  dom  M )
10073, 96, 99syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  x )  e.  dom  M )
101 elpreima 5811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' N  Fn  Y  -> 
( x  e.  ( `' `' N " dom  M
)  <->  ( x  e.  Y  /\  ( `' N `  x )  e.  dom  M ) ) )
10278, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( x  e.  ( `' `' N " dom  M )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( `' N `  x )  e.  dom  M ) ) )
10360, 100, 102mpbir2and 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x  e.  ( `' `' N " dom  M
) )
104 imacnvcnv 5291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' `' N " dom  M
)  =  ( N
" dom  M )
10584, 104syl6eqr 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  X  =  ( `' `' N " dom  M
) )
106103, 105eleqtrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x  e.  X )
107106, 66jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
108107ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )
10959, 108syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )
11023adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  M  =  ( N  |` 
dom  M ) )
111110cnveqd 5002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  `' M  =  `' ( N  |`  dom  M
) )
112111fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( `' M `  x )  =  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  x
) )
113111fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( `' M `  y )  =  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) )
114112, 113breq12d 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( `' M `  x )  _E  ( `' M `  y )  <-> 
( `' ( N  |`  dom  M ) `  x )  _E  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) ) )
115 isorel 6004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
( `' M `  x )  _E  ( `' M `  y ) ) )
11690, 115sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
( `' M `  x )  _E  ( `' M `  y ) ) )
117 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N " dom  M )  =  ( N
" dom  M )
)
118 isores3 6013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
)  /\  dom  M  C_  dom  N  /\  ( N
" dom  M )  =  ( N " dom  M ) )  -> 
( N  |`  dom  M
)  Isom  _E  ,  S  ( dom  M ,  ( N " dom  M
) ) )
11936, 22, 117, 118syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  |`  dom  M
)  Isom  _E  ,  S  ( dom  M ,  ( N " dom  M
) ) )
120 isocnv 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  |`  dom  M ) 
Isom  _E  ,  S  ( dom  M ,  ( N " dom  M
) )  ->  `' ( N  |`  dom  M
)  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( N  |`  dom  M )  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M ) )
122121adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  `' ( N  |`  dom  M )  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M ) )
123 simprl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
12427adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  ( N " dom  M ) )
125123, 124eleqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  ( N " dom  M ) )
126 simprr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
127126, 124eleqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  ( N
" dom  M )
)
128 isorel 6004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( N  |`  dom  M )  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M )  /\  ( x  e.  ( N " dom  M )  /\  y  e.  ( N " dom  M ) ) )  -> 
( x S y  <-> 
( `' ( N  |`  dom  M ) `  x )  _E  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) ) )
129122, 125, 127, 128syl12anc 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x S y  <-> 
( `' ( N  |`  dom  M ) `  x )  _E  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) ) )
130114, 116, 1293bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
x S y ) )
13143sselda 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  Y )
132131adantrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  Y )
133132, 126jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x  e.  Y  /\  y  e.  X
) )
134133biantrurd 505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x S y  <-> 
( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) ) )
135134, 59syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x S y  <-> 
x ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) y ) )
136130, 135bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
x ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) y ) )
137136ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x R y  <->  x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y ) ) )
13856, 109, 137pm5.21ndd 354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x R y  <-> 
x ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) y ) )
139 df-br 4281 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
140 df-br 4281 . . . . 5  |-  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) )
141138, 139, 1403bitr3g 287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  R  <->  <. x ,  y >.  e.  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
142141eqrelrdv2 4926 . . 3  |-  ( ( ( Rel  R  /\  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  /\  ph )  ->  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) )
14353, 142mpancom 662 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) )
14443, 143jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  /\  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962   [.wsbc 3175    i^i cin 3315    C_ wss 3316   {csn 3865   <.cop 3871   class class class wbr 4280   {copab 4337    _E cep 4617    We wwe 4665   Ord word 4705    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830   Rel wrel 4832   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406    Isom wiso 5407  (class class class)co 6080  OrdIsocoi 7711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-recs 6818  df-oi 7712
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