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Theorem fpwwe2lem9 9045
Description: Lemma for fpwwe2 9050. Given two well-orders  <. X ,  R >. and  <. Y ,  S >. of parts of  A, one is an initial segment of the other. (The  O  C_  P hypothesis is in order to break the symmetry of  X and  Y.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2lem9.x  |-  ( ph  ->  X W R )
fpwwe2lem9.y  |-  ( ph  ->  Y W S )
fpwwe2lem9.m  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
fpwwe2lem9.n  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
fpwwe2lem9.s  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem9  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  /\  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    M, r, u, x, y    N, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    S, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem9
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X W R )
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
32relopabi 4947 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  W
43brrelexi 4863 . . . . . . . . 9  |-  ( X W R  ->  X  e.  _V )
51, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
6 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
72, 6fpwwe2lem2 9039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X W R  <-> 
( ( X  C_  A  /\  R  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( R  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
81, 7mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  C_  A  /\  R  C_  ( X  X.  X ) )  /\  ( R  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. ( u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
98simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  We  X  /\  A. y  e.  X  [. ( `' R " { y } )  /  u ]. (
u F ( R  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
109simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  We  X )
11 fpwwe2lem9.m . . . . . . . . 9  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
1211oiiso 7995 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  R  We  X )  ->  M  Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
) )
135, 10, 12syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
) )
14 isof1o 6203 . . . . . . 7  |-  ( M 
Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
)  ->  M : dom  M -1-1-onto-> X )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M : dom  M -1-1-onto-> X
)
16 f1ofo 5805 . . . . . 6  |-  ( M : dom  M -1-1-onto-> X  ->  M : dom  M -onto-> X
)
17 forn 5780 . . . . . 6  |-  ( M : dom  M -onto-> X  ->  ran  M  =  X )
1815, 16, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  M  =  X )
19 fpwwe2.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
20 fpwwe2lem9.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y W S )
21 fpwwe2lem9.n . . . . . . 7  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
22 fpwwe2lem9.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
232, 6, 19, 1, 20, 11, 21, 22fpwwe2lem8 9044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
2423rneqd 5050 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ran  ( N  |`  dom  M
) )
2518, 24eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ran  ( N  |`  dom  M ) )
26 df-ima 4835 . . . 4  |-  ( N
" dom  M )  =  ran  ( N  |`  dom  M )
2725, 26syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ( N
" dom  M )
)
28 imassrn 5167 . . . 4  |-  ( N
" dom  M )  C_ 
ran  N
293brrelexi 4863 . . . . . . . 8  |-  ( Y W S  ->  Y  e.  _V )
3020, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
312, 6fpwwe2lem2 9039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y W S  <-> 
( ( Y  C_  A  /\  S  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( S  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' S " { y } )  /  u ]. ( u F ( S  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) ) )
3220, 31mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  C_  A  /\  S  C_  ( Y  X.  Y ) )  /\  ( S  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' S " { y } )  /  u ]. ( u F ( S  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) )
3332simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  We  Y  /\  A. y  e.  Y  [. ( `' S " { y } )  /  u ]. (
u F ( S  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) )
3433simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  We  Y )
3521oiiso 7995 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  S  We  Y )  ->  N  Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
) )
3630, 34, 35syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
) )
37 isof1o 6203 . . . . . 6  |-  ( N 
Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
)  ->  N : dom  N -1-1-onto-> Y )
3836, 37syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : dom  N -1-1-onto-> Y
)
39 f1ofo 5805 . . . . 5  |-  ( N : dom  N -1-1-onto-> Y  ->  N : dom  N -onto-> Y
)
40 forn 5780 . . . . 5  |-  ( N : dom  N -onto-> Y  ->  ran  N  =  Y )
4138, 39, 403syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  N  =  Y )
4228, 41syl5sseq 3489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N " dom  M )  C_  Y )
4327, 42eqsstrd 3475 . 2  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
448simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  C_  A  /\  R  C_  ( X  X.  X ) ) )
4544simprd 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  C_  ( X  X.  X ) )
46 relxp 4930 . . . . 5  |-  Rel  ( X  X.  X )
47 relss 4910 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( X  X.  X )  ->  ( Rel  ( X  X.  X
)  ->  Rel  R ) )
4845, 46, 47mpisyl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  Rel  R )
49 inss2 3659 . . . . 5  |-  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) )  C_  ( Y  X.  X
)
50 relxp 4930 . . . . 5  |-  Rel  ( Y  X.  X )
51 relss 4910 . . . . 5  |-  ( ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) 
C_  ( Y  X.  X )  ->  ( Rel  ( Y  X.  X
)  ->  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
5249, 50, 51mp2 9 . . . 4  |-  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) )
5348, 52jctir 536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Rel  R  /\  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
5445ssbrd 4435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x R y  ->  x ( X  X.  X ) y ) )
55 brxp 4853 . . . . . . 7  |-  ( x ( X  X.  X
) y  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
5654, 55syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x R y  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )
57 brinxp2 4884 . . . . . . . 8  |-  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  <->  ( x  e.  Y  /\  y  e.  X  /\  x S y ) )
58 df-3an 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X  /\  x S y )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  <->  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )
60 simprll 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x  e.  Y )
61 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x S
y )
62 isocnv 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N 
Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
)  ->  `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N ) )
6336, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N ) )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N ) )
6543adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  X  C_  Y
)
66 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  y  e.  X )
6765, 66sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  y  e.  Y )
68 isorel 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x S y  <-> 
( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y ) ) )
6964, 60, 67, 68syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( x S y  <->  ( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y ) ) )
7061, 69mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y ) )
71 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' N `  y )  e.  _V
7271epelc 4735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' N `  x )  _E  ( `' N `  y )  <->  ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y ) )
7370, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y ) )
7423adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  M  =  ( N  |`  dom  M
) )
7574cnveqd 4998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' M  =  `' ( N  |`  dom  M ) )
76 isof1o 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' N  Isom  S ,  _E  ( Y ,  dom  N )  ->  `' N : Y -1-1-onto-> dom  N )
77 f1ofn 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' N : Y -1-1-onto-> dom  N  ->  `' N  Fn  Y
)
7864, 76, 773syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' N  Fn  Y )
79 fnfun 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' N  Fn  Y  ->  Fun  `' N )
80 funcnvres 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  `' N  ->  `' ( N  |`  dom  M )  =  ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) )
8178, 79, 803syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' ( N  |`  dom  M )  =  ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) )
8275, 81eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' M  =  ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) )
8382fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' M `  y )  =  ( ( `' N  |`  ( N " dom  M ) ) `
 y ) )
8427adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  X  =  ( N " dom  M
) )
8566, 84eleqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  y  e.  ( N " dom  M
) )
86 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( N " dom  M )  ->  (
( `' N  |`  ( N " dom  M
) ) `  y
)  =  ( `' N `  y ) )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( ( `' N  |`  ( N
" dom  M )
) `  y )  =  ( `' N `  y ) )
8883, 87eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' M `  y )  =  ( `' N `  y ) )
89 isocnv 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M 
Isom  _E  ,  R  ( dom  M ,  X
)  ->  `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M ) )
9013, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M ) )
91 isof1o 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M )  ->  `' M : X -1-1-onto-> dom  M )
92 f1of 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' M : X -1-1-onto-> dom  M  ->  `' M : X --> dom  M
)
9390, 91, 923syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' M : X --> dom  M
)
9493adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  `' M : X --> dom  M )
9594, 66ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' M `  y )  e.  dom  M )
9688, 95eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  y )  e.  dom  M )
9711oicl 7987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  dom  M
98 ordtr1 5452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
dom  M  ->  ( ( ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y )  /\  ( `' N `  y )  e.  dom  M )  ->  ( `' N `  x )  e.  dom  M ) )
9997, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' N `  x )  e.  ( `' N `  y )  /\  ( `' N `  y )  e.  dom  M )  ->  ( `' N `  x )  e.  dom  M )
10073, 96, 99syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( `' N `  x )  e.  dom  M )
101 elpreima 5984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' N  Fn  Y  -> 
( x  e.  ( `' `' N " dom  M
)  <->  ( x  e.  Y  /\  ( `' N `  x )  e.  dom  M ) ) )
10278, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( x  e.  ( `' `' N " dom  M )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( `' N `  x )  e.  dom  M ) ) )
10360, 100, 102mpbir2and 923 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x  e.  ( `' `' N " dom  M
) )
104 imacnvcnv 5287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' `' N " dom  M
)  =  ( N
" dom  M )
10584, 104syl6eqr 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  X  =  ( `' `' N " dom  M
) )
106103, 105eleqtrrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  x  e.  X )
107106, 66jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
108107ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  X
) ) )
10959, 108syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) ) )
11023adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  M  =  ( N  |` 
dom  M ) )
111110cnveqd 4998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  `' M  =  `' ( N  |`  dom  M
) )
112111fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( `' M `  x )  =  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  x
) )
113111fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( `' M `  y )  =  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) )
114112, 113breq12d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( `' M `  x )  _E  ( `' M `  y )  <-> 
( `' ( N  |`  dom  M ) `  x )  _E  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) ) )
115 isorel 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' M  Isom  R ,  _E  ( X ,  dom  M )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
( `' M `  x )  _E  ( `' M `  y ) ) )
11690, 115sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
( `' M `  x )  _E  ( `' M `  y ) ) )
117 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N " dom  M )  =  ( N
" dom  M )
)
118 isores3 6213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  Isom  _E  ,  S  ( dom  N ,  Y
)  /\  dom  M  C_  dom  N  /\  ( N
" dom  M )  =  ( N " dom  M ) )  -> 
( N  |`  dom  M
)  Isom  _E  ,  S  ( dom  M ,  ( N " dom  M
) ) )
11936, 22, 117, 118syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  |`  dom  M
)  Isom  _E  ,  S  ( dom  M ,  ( N " dom  M
) ) )
120 isocnv 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  |`  dom  M ) 
Isom  _E  ,  S  ( dom  M ,  ( N " dom  M
) )  ->  `' ( N  |`  dom  M
)  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M ) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( N  |`  dom  M )  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M ) )
122121adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  `' ( N  |`  dom  M )  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M ) )
123 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
12427adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  ( N " dom  M ) )
125123, 124eleqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  ( N " dom  M ) )
126 simprr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
127126, 124eleqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
y  e.  ( N
" dom  M )
)
128 isorel 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( N  |`  dom  M )  Isom  S ,  _E  ( ( N " dom  M ) ,  dom  M )  /\  ( x  e.  ( N " dom  M )  /\  y  e.  ( N " dom  M ) ) )  -> 
( x S y  <-> 
( `' ( N  |`  dom  M ) `  x )  _E  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) ) )
129122, 125, 127, 128syl12anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x S y  <-> 
( `' ( N  |`  dom  M ) `  x )  _E  ( `' ( N  |`  dom  M ) `  y
) ) )
130114, 116, 1293bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
x S y ) )
13143sselda 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  Y )
132131adantrr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  x  e.  Y )
133132, 126jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x  e.  Y  /\  y  e.  X
) )
134133biantrurd 506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x S y  <-> 
( ( x  e.  Y  /\  y  e.  X )  /\  x S y ) ) )
135134, 59syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x S y  <-> 
x ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) y ) )
136130, 135bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x R y  <-> 
x ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) y ) )
137136ex 432 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x R y  <->  x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y ) ) )
13856, 109, 137pm5.21ndd 352 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x R y  <-> 
x ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) y ) )
139 df-br 4395 . . . . 5  |-  ( x R y  <->  <. x ,  y >.  e.  R
)
140 df-br 4395 . . . . 5  |-  ( x ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) y  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( S  i^i  ( Y  X.  X
) ) )
141138, 139, 1403bitr3g 287 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  R  <->  <. x ,  y >.  e.  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
142141eqrelrdv2 4922 . . 3  |-  ( ( ( Rel  R  /\  Rel  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) )  /\  ph )  ->  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) )
14353, 142mpancom 667 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) )
14443, 143jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  /\  R  =  ( S  i^i  ( Y  X.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058   [.wsbc 3276    i^i cin 3412    C_ wss 3413   {csn 3971   <.cop 3977   class class class wbr 4394   {copab 4451    _E cep 4731    We wwe 4780    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   ran crn 4823    |` cres 4824   "cima 4825   Rel wrel 4827   Ord word 5408   Fun wfun 5562    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568    Isom wiso 5569  (class class class)co 6277  OrdIsocoi 7967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-oi 7968
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