Theorem fpwwe2lem9 8469

Description: Lemma for fpwwe2 8474. Given two well-orders <. X , R >. and <. Y , S >. of parts of A, one is an initial segment of the other. (The O C_ P hypothesis is in order to break the symmetry of X and Y.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwwe2.1	|- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
fpwwe2.2	|- ( ph -> A e. _V )
fpwwe2.3	|- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
fpwwe2lem9.x	|- ( ph -> X W R )
fpwwe2lem9.y	|- ( ph -> Y W S )
fpwwe2lem9.m	|- M = OrdIso ( R , X )
fpwwe2lem9.n	|- N = OrdIso ( S , Y )
fpwwe2lem9.s	|- ( ph -> dom M C_ dom N )

Assertion

Ref	Expression
fpwwe2lem9	|- ( ph -> ( X C_ Y /\ R = ( S i^i ( Y X. X ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, u, r, x, F   X, r, u, x, y   M, r, u, x, y   N, r, u, x, y   ph, r, u, x, y   A, r, x   R, r, u, x, y   Y, r, u, x, y   S, r, u, x, y   W, r, u, x, y

Allowed substitution hints:   A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwwe2lem9.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X W R )
2		fpwwe2.1	. . . . . . . . . . 11 |- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
3	2	relopabi 4959	. . . . . . . . . 10 |- Rel W
4	3	brrelexi 4877	. . . . . . . . 9 |- ( X W R -> X e. _V )
5	1, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. _V )
6		fpwwe2.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. _V )
7	2, 6	fpwwe2lem2 8463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X W R <-> ( ( X C_ A /\ R C_ ( X X. X ) ) /\ ( R We X /\ A. y e. X [. ( `' R " { y } ) / u ]. ( u F ( R i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
8	1, 7	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X C_ A /\ R C_ ( X X. X ) ) /\ ( R We X /\ A. y e. X [. ( `' R " { y } ) / u ]. ( u F ( R i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
9	8	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R We X /\ A. y e. X [. ( `' R " { y } ) / u ]. ( u F ( R i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
10	9	simpld 446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R We X )
11		fpwwe2lem9.m	. . . . . . . . 9 |- M = OrdIso ( R , X )
12	11	oiiso 7462	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. _V /\ R We X ) -> M Isom _E , R ( dom M , X ) )
13	5, 10, 12	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ph -> M Isom _E , R ( dom M , X ) )
14		isof1o 6004	. . . . . . 7 |- ( M Isom _E , R ( dom M , X ) -> M : dom M -1-1-onto-> X )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> M : dom M -1-1-onto-> X )
16		f1ofo 5640	. . . . . 6 |- ( M : dom M -1-1-onto-> X -> M : dom M -onto-> X )
17		forn 5615	. . . . . 6 |- ( M : dom M -onto-> X -> ran M = X )
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . 5 |- ( ph -> ran M = X )
19		fpwwe2.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
20		fpwwe2lem9.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y W S )
21		fpwwe2lem9.n	. . . . . . 7 |- N = OrdIso ( S , Y )
22		fpwwe2lem9.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom M C_ dom N )
23	2, 6, 19, 1, 20, 11, 21, 22	fpwwe2lem8 8468	. . . . . 6 |- ( ph -> M = ( N |` dom M ) )
24	23	rneqd 5056	. . . . 5 |- ( ph -> ran M = ran ( N |` dom M ) )
25	18, 24	eqtr3d 2438	. . . 4 |- ( ph -> X = ran ( N |` dom M ) )
26		df-ima 4850	. . . 4 |- ( N " dom M ) = ran ( N |` dom M )
27	25, 26	syl6eqr 2454	. . 3 |- ( ph -> X = ( N " dom M ) )
28		imassrn 5175	. . . 4 |- ( N " dom M ) C_ ran N
29	3	brrelexi 4877	. . . . . . . 8 |- ( Y W S -> Y e. _V )
30	20, 29	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
31	2, 6	fpwwe2lem2 8463	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y W S <-> ( ( Y C_ A /\ S C_ ( Y X. Y ) ) /\ ( S We Y /\ A. y e. Y [. ( `' S " { y } ) / u ]. ( u F ( S i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
32	20, 31	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y C_ A /\ S C_ ( Y X. Y ) ) /\ ( S We Y /\ A. y e. Y [. ( `' S " { y } ) / u ]. ( u F ( S i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
33	32	simprd 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S We Y /\ A. y e. Y [. ( `' S " { y } ) / u ]. ( u F ( S i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
34	33	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ph -> S We Y )
35	21	oiiso 7462	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. _V /\ S We Y ) -> N Isom _E , S ( dom N , Y ) )
36	30, 34, 35	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ph -> N Isom _E , S ( dom N , Y ) )
37		isof1o 6004	. . . . . 6 |- ( N Isom _E , S ( dom N , Y ) -> N : dom N -1-1-onto-> Y )
38	36, 37	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N : dom N -1-1-onto-> Y )
39		f1ofo 5640	. . . . 5 |- ( N : dom N -1-1-onto-> Y -> N : dom N -onto-> Y )
40		forn 5615	. . . . 5 |- ( N : dom N -onto-> Y -> ran N = Y )
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . 4 |- ( ph -> ran N = Y )
42	28, 41	syl5sseq 3356	. . 3 |- ( ph -> ( N " dom M ) C_ Y )
43	27, 42	eqsstrd 3342	. 2 |- ( ph -> X C_ Y )
44	8	simpld 446	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X C_ A /\ R C_ ( X X. X ) ) )
45	44	simprd 450	. . . . 5 |- ( ph -> R C_ ( X X. X ) )
46		relxp 4942	. . . . 5 |- Rel ( X X. X )
47		relss 4922	. . . . 5 |- ( R C_ ( X X. X ) -> ( Rel ( X X. X ) -> Rel R ) )
48	45, 46, 47	ee10 1382	. . . 4 |- ( ph -> Rel R )
49		inss2 3522	. . . . 5 |- ( S i^i ( Y X. X ) ) C_ ( Y X. X )
50		relxp 4942	. . . . 5 |- Rel ( Y X. X )
51		relss 4922	. . . . 5 |- ( ( S i^i ( Y X. X ) ) C_ ( Y X. X ) -> ( Rel ( Y X. X ) -> Rel ( S i^i ( Y X. X ) ) ) )
52	49, 50, 51	mp2 9	. . . 4 |- Rel ( S i^i ( Y X. X ) )
53	48, 52	jctir 525	. . 3 |- ( ph -> ( Rel R /\ Rel ( S i^i ( Y X. X ) ) ) )
54	45	ssbrd 4213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x R y -> x ( X X. X ) y ) )
55		brxp 4868	. . . . . . 7 |- ( x ( X X. X ) y <-> ( x e. X /\ y e. X ) )
56	54, 55	syl6ib 218	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x R y -> ( x e. X /\ y e. X ) ) )
57		brinxp2 4898	. . . . . . . 8 |- ( x ( S i^i ( Y X. X ) ) y <-> ( x e. Y /\ y e. X /\ x S y ) )
58		df-3an 938	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Y /\ y e. X /\ x S y ) <-> ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) )
59	57, 58	bitri 241	. . . . . . 7 |- ( x ( S i^i ( Y X. X ) ) y <-> ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) )
60		simprll 739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> x e. Y )
61		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> x S y )
62		isocnv 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N Isom _E , S ( dom N , Y ) -> `' N Isom S , _E ( Y , dom N ) )
63	36, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> `' N Isom S , _E ( Y , dom N ) )
64	63	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> `' N Isom S , _E ( Y , dom N ) )
65	43	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> X C_ Y )
66		simprlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> y e. X )
67	65, 66	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> y e. Y )
68		isorel 6005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' N Isom S , _E ( Y , dom N ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x S y <-> ( `' N ` x ) _E ( `' N ` y ) ) )
69	64, 60, 67, 68	syl12anc 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( x S y <-> ( `' N ` x ) _E ( `' N ` y ) ) )
70	61, 69	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' N ` x ) _E ( `' N ` y ) )
71		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' N ` y ) e. _V
72	71	epelc 4456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' N ` x ) _E ( `' N ` y ) <-> ( `' N ` x ) e. ( `' N ` y ) )
73	70, 72	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' N ` x ) e. ( `' N ` y ) )
74	23	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> M = ( N |` dom M ) )
75	74	cnveqd 5007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> `' M = `' ( N |` dom M ) )
76		isof1o 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' N Isom S , _E ( Y , dom N ) -> `' N : Y -1-1-onto-> dom N )
77		f1ofn 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' N : Y -1-1-onto-> dom N -> `' N Fn Y )
78	64, 76, 77	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> `' N Fn Y )
79		fnfun 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' N Fn Y -> Fun `' N )
80		funcnvres 5481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun `' N -> `' ( N |` dom M ) = ( `' N |` ( N " dom M ) ) )
81	78, 79, 80	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> `' ( N |` dom M ) = ( `' N |` ( N " dom M ) ) )
82	75, 81	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> `' M = ( `' N |` ( N " dom M ) ) )
83	82	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' M ` y ) = ( ( `' N |` ( N " dom M ) ) ` y ) )
84	27	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> X = ( N " dom M ) )
85	66, 84	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> y e. ( N " dom M ) )
86		fvres 5704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( N " dom M ) -> ( ( `' N |` ( N " dom M ) ) ` y ) = ( `' N ` y ) )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( ( `' N |` ( N " dom M ) ) ` y ) = ( `' N ` y ) )
88	83, 87	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' M ` y ) = ( `' N ` y ) )
89		isocnv 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M Isom _E , R ( dom M , X ) -> `' M Isom R , _E ( X , dom M ) )
90	13, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> `' M Isom R , _E ( X , dom M ) )
91		isof1o 6004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' M Isom R , _E ( X , dom M ) -> `' M : X -1-1-onto-> dom M )
92		f1of 5633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' M : X -1-1-onto-> dom M -> `' M : X --> dom M )
93	90, 91, 92	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> `' M : X --> dom M )
94	93	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> `' M : X --> dom M )
95	94, 66	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' M ` y ) e. dom M )
96	88, 95	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' N ` y ) e. dom M )
97	11	oicl 7454	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord dom M
98		ordtr1 4584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord dom M -> ( ( ( `' N ` x ) e. ( `' N ` y ) /\ ( `' N ` y ) e. dom M ) -> ( `' N ` x ) e. dom M ) )
99	97, 98	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' N ` x ) e. ( `' N ` y ) /\ ( `' N ` y ) e. dom M ) -> ( `' N ` x ) e. dom M )
100	73, 96, 99	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( `' N ` x ) e. dom M )
101		elpreima 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' N Fn Y -> ( x e. ( `' `' N " dom M ) <-> ( x e. Y /\ ( `' N ` x ) e. dom M ) ) )
102	78, 101	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( x e. ( `' `' N " dom M ) <-> ( x e. Y /\ ( `' N ` x ) e. dom M ) ) )
103	60, 100, 102	mpbir2and 889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> x e. ( `' `' N " dom M ) )
104		imacnvcnv 5293	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' `' N " dom M ) = ( N " dom M )
105	84, 104	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> X = ( `' `' N " dom M ) )
106	103, 105	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> x e. X )
107	106, 66	jca 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) -> ( x e. X /\ y e. X ) )
108	107	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) -> ( x e. X /\ y e. X ) ) )
109	59, 108	syl5bi 209	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x ( S i^i ( Y X. X ) ) y -> ( x e. X /\ y e. X ) ) )
110	23	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> M = ( N |` dom M ) )
111	110	cnveqd 5007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> `' M = `' ( N |` dom M ) )
112	111	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( `' M ` x ) = ( `' ( N |` dom M ) ` x ) )
113	111	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( `' M ` y ) = ( `' ( N |` dom M ) ` y ) )
114	112, 113	breq12d 4185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( `' M ` x ) _E ( `' M ` y ) <-> ( `' ( N |` dom M ) ` x ) _E ( `' ( N |` dom M ) ` y ) ) )
115		isorel 6005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' M Isom R , _E ( X , dom M ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x R y <-> ( `' M ` x ) _E ( `' M ` y ) ) )
116	90, 115	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x R y <-> ( `' M ` x ) _E ( `' M ` y ) ) )
117		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N " dom M ) = ( N " dom M ) )
118		isores3 6014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N Isom _E , S ( dom N , Y ) /\ dom M C_ dom N /\ ( N " dom M ) = ( N " dom M ) ) -> ( N |` dom M ) Isom _E , S ( dom M , ( N " dom M ) ) )
119	36, 22, 117, 118	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N |` dom M ) Isom _E , S ( dom M , ( N " dom M ) ) )
120		isocnv 6009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N |` dom M ) Isom _E , S ( dom M , ( N " dom M ) ) -> `' ( N |` dom M ) Isom S , _E ( ( N " dom M ) , dom M ) )
121	119, 120	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' ( N |` dom M ) Isom S , _E ( ( N " dom M ) , dom M ) )
122	121	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> `' ( N |` dom M ) Isom S , _E ( ( N " dom M ) , dom M ) )
123		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
124	27	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> X = ( N " dom M ) )
125	123, 124	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. ( N " dom M ) )
126		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
127	126, 124	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. ( N " dom M ) )
128		isorel 6005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' ( N |` dom M ) Isom S , _E ( ( N " dom M ) , dom M ) /\ ( x e. ( N " dom M ) /\ y e. ( N " dom M ) ) ) -> ( x S y <-> ( `' ( N |` dom M ) ` x ) _E ( `' ( N |` dom M ) ` y ) ) )
129	122, 125, 127, 128	syl12anc 1182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x S y <-> ( `' ( N |` dom M ) ` x ) _E ( `' ( N |` dom M ) ` y ) ) )
130	114, 116, 129	3bitr4d 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x R y <-> x S y ) )
131	43	sselda 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. Y )
132	131	adantrr 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. Y )
133	132, 126	jca 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x e. Y /\ y e. X ) )
134	133	biantrurd 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x S y <-> ( ( x e. Y /\ y e. X ) /\ x S y ) ) )
135	134, 59	syl6bbr 255	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x S y <-> x ( S i^i ( Y X. X ) ) y ) )
136	130, 135	bitrd 245	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x R y <-> x ( S i^i ( Y X. X ) ) y ) )
137	136	ex 424	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x R y <-> x ( S i^i ( Y X. X ) ) y ) ) )
138	56, 109, 137	pm5.21ndd 344	. . . . 5 |- ( ph -> ( x R y <-> x ( S i^i ( Y X. X ) ) y ) )
139		df-br 4173	. . . . 5 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
140		df-br 4173	. . . . 5 |- ( x ( S i^i ( Y X. X ) ) y <-> <. x , y >. e. ( S i^i ( Y X. X ) ) )
141	138, 139, 140	3bitr3g 279	. . . 4 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. R <-> <. x , y >. e. ( S i^i ( Y X. X ) ) ) )
142	141	eqrelrdv2 4934	. . 3 |- ( ( ( Rel R /\ Rel ( S i^i ( Y X. X ) ) ) /\ ph ) -> R = ( S i^i ( Y X. X ) ) )
143	53, 142	mpancom 651	. 2 |- ( ph -> R = ( S i^i ( Y X. X ) ) )
144	43, 143	jca 519	1 |- ( ph -> ( X C_ Y /\ R = ( S i^i ( Y X. X ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121   i^i cin 3279   C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225   _E cep 4452   We wwe 4500   Ord word 4540   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   Isom wiso 5414  (class class class)co 6040  OrdIsocoi 7434

This theorem is referenced by:  fpwwe2lem10  8470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-riota 6508  df-recs 6592  df-oi 7435