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Theorem fpwwe2lem8 9015
Description: Lemma for fpwwe2 9021. Show by induction that the two isometries  M and  N agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2lem9.x  |-  ( ph  ->  X W R )
fpwwe2lem9.y  |-  ( ph  ->  Y W S )
fpwwe2lem9.m  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
fpwwe2lem9.n  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
fpwwe2lem9.s  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem8  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    M, r, u, x, y    N, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    S, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem8
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.m . . . 4  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
21oif 7955 . . 3  |-  M : dom  M --> X
3 ffn 5731 . . 3  |-  ( M : dom  M --> X  ->  M  Fn  dom  M )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  M  Fn  dom  M
)
5 fpwwe2lem9.n . . . . 5  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
65oif 7955 . . . 4  |-  N : dom  N --> Y
7 ffn 5731 . . . 4  |-  ( N : dom  N --> Y  ->  N  Fn  dom  N )
86, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  N  Fn  dom  N
)
9 fpwwe2lem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
10 fnssres 5694 . . 3  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  dom  M  C_  dom  N )  ->  ( N  |` 
dom  M )  Fn 
dom  M )
118, 9, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  |`  dom  M
)  Fn  dom  M
)
121oicl 7954 . . . . . 6  |-  Ord  dom  M
13 ordelon 4902 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  On )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( w  e.  dom  M  ->  w  e.  On )
15 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  M  <->  y  e.  dom  M ) )
16 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( M `  w )  =  ( M `  y ) )
17 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( N `  w )  =  ( N `  y ) )
1816, 17eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( M `  w
)  =  ( N `
 w )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
1915, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )  <->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y
)  =  ( N `
 y ) ) ) ) )
21 r19.21v 2869 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) ) )
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Ord  dom  M )
23 ordelss 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_  dom  M )
2422, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  M )
2524sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  dom  M
)
26 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  M  -> 
( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  ( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2827ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
294adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  M  Fn  dom  M )
30 fnssres 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  Fn  dom  M  /\  w  C_  dom  M
)  ->  ( M  |`  w )  Fn  w
)
3129, 24, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M  |`  w )  Fn  w )
328adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  N  Fn  dom  N )
339adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  dom  M 
C_  dom  N )
3424, 33sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  N )
35 fnssres 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  w  C_  dom  N
)  ->  ( N  |`  w )  Fn  w
)
3632, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N  |`  w )  Fn  w )
37 eqfnfv 5975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  |`  w
)  Fn  w  /\  ( N  |`  w )  Fn  w )  -> 
( ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
) ) )
3831, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w ) `  y )  =  ( ( N  |`  w
) `  y )
) )
39 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( M `  y ) )
40 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( N  |`  w
) `  y )  =  ( N `  y ) )
4139, 40eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( M  |`  w ) `  y
)  =  ( ( N  |`  w ) `  y )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
4241ralbiia 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  w  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
)  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )
4338, 42syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
44 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
45 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  A  e.  _V )
47 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  ph )
48 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4947, 48sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
50 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  X W R )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  X W R )
52 fpwwe2lem9.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Y W S )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  Y W S )
54 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  M )
559sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  dom  N )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  N )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w ) )
5844, 46, 49, 51, 53, 1, 5, 54, 56, 57fpwwe2lem7 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
y S ( N `
 w )  /\  ( z R ( M `  w )  ->  ( y R z  <->  y S z ) ) ) )
5958simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  y S ( N `  w ) )
6057eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N  |`  w
)  =  ( M  |`  w ) )
6144, 46, 49, 53, 51, 5, 1, 56, 54, 60fpwwe2lem7 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  (
y R ( M `
 w )  /\  ( z S ( N `  w )  ->  ( y S z  <->  y R z ) ) ) )
6261simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  y R ( M `  w ) )
6359, 62impbida 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y R ( M `  w )  <-> 
y S ( N `
 w ) ) )
64 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M `
 w )  e. 
_V
65 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
6665eliniseg 5366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y R
( M `  w
) ) )
6764, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <-> 
y R ( M `
 w ) )
68 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N `
 w )  e. 
_V
6965eliniseg 5366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <->  y S
( N `  w
) ) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <-> 
y S ( N `
 w ) )
7163, 67, 703bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
7271eqrdv 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( `' R " { ( M `  w ) } )  =  ( `' S " { ( N `  w ) } ) )
73 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
74 relxp 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
75 relss 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7673, 74, 75mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
77 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
78 relss 5090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7977, 74, 78mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
80 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  z  e. 
_V
8180eliniseg 5366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  z R
( M `  w
) ) )
8266, 81anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) ) )
8364, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) )
8458simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
z R ( M `
 w )  -> 
( y R z  <-> 
y S z ) ) )
8584impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y R ( M `  w )  /\  z R ( M `  w ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8683, 85sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8786pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) ) )
88 brinxp2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z ) )
89 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
90 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
9188, 89, 903bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
92 brinxp2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z ) )
93 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
94 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9592, 93, 943bitr3i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9687, 91, 953bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( <. y ,  z
>.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
9776, 79, 96eqrelrdv 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
9872, 72xpeq12d 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
9998ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10097, 99eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10172, 100oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) ) )
1022ffvelrni 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  e.  X )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  e.  X )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  e.  X )
10544, 45, 50fpwwe2lem3 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( M `  w )  e.  X
)  ->  ( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `
 w ) )
10647, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `  w
) )
1076ffvelrni 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  N  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
10855, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N `  w )  e.  Y )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
11044, 45, 52fpwwe2lem3 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( N `  w )  e.  Y
)  ->  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `
 w ) )
11147, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `  w
) )
112101, 106, 1113eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) )
113112ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11443, 113sylbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11528, 114syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
116115ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
117116com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  (
w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
118117a2i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
11921, 118sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
120119a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  On  ->  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) ) )
12120, 120tfis2 6675 . . . . . 6  |-  ( w  e.  On  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
122121com3l 81 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( w  e.  On  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) ) )
12314, 122mpdi 42 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
124123imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )
125 fvres 5880 . . . 4  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( ( N  |`  dom  M ) `  w
)  =  ( N `
 w ) )
126125adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( N  |`  dom  M
) `  w )  =  ( N `  w ) )
127124, 126eqtr4d 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( ( N  |`  dom  M ) `  w ) )
1284, 11, 127eqfnfvd 5978 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504    We wwe 4837   Ord word 4877   Oncon0 4878    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002   Rel wrel 5004    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284  OrdIsocoi 7934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-recs 7042  df-oi 7935
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem9  9016
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