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Theorem fpwwe2lem8 9070
Description: Lemma for fpwwe2 9076. Show by induction that the two isometries  M and  N agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2lem9.x  |-  ( ph  ->  X W R )
fpwwe2lem9.y  |-  ( ph  ->  Y W S )
fpwwe2lem9.m  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
fpwwe2lem9.n  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
fpwwe2lem9.s  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem8  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    M, r, u, x, y    N, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    S, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem8
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.m . . . 4  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
21oif 8055 . . 3  |-  M : dom  M --> X
3 ffn 5746 . . 3  |-  ( M : dom  M --> X  ->  M  Fn  dom  M )
42, 3mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  M  Fn  dom  M
)
5 fpwwe2lem9.n . . . . 5  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
65oif 8055 . . . 4  |-  N : dom  N --> Y
7 ffn 5746 . . . 4  |-  ( N : dom  N --> Y  ->  N  Fn  dom  N )
86, 7mp1i 13 . . 3  |-  ( ph  ->  N  Fn  dom  N
)
9 fpwwe2lem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
10 fnssres 5707 . . 3  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  dom  M  C_  dom  N )  ->  ( N  |` 
dom  M )  Fn 
dom  M )
118, 9, 10syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  |`  dom  M
)  Fn  dom  M
)
121oicl 8054 . . . . . 6  |-  Ord  dom  M
13 ordelon 5466 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  On )
1412, 13mpan 674 . . . . 5  |-  ( w  e.  dom  M  ->  w  e.  On )
15 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  M  <->  y  e.  dom  M ) )
16 fveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( M `  w )  =  ( M `  y ) )
17 fveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( N `  w )  =  ( N `  y ) )
1816, 17eqeq12d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( M `  w
)  =  ( N `
 w )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
1915, 18imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )  <->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) ) )
2019imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y
)  =  ( N `
 y ) ) ) ) )
21 r19.21v 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) ) )
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Ord  dom  M )
23 ordelss 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_  dom  M )
2422, 23sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  M )
2524sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  dom  M
)
26 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  M  -> 
( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  ( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2827ralimdva 2830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
294adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  M  Fn  dom  M )
30 fnssres 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  Fn  dom  M  /\  w  C_  dom  M
)  ->  ( M  |`  w )  Fn  w
)
3129, 24, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M  |`  w )  Fn  w )
328adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  N  Fn  dom  N )
339adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  dom  M 
C_  dom  N )
3424, 33sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  N )
35 fnssres 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  w  C_  dom  N
)  ->  ( N  |`  w )  Fn  w
)
3632, 34, 35syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N  |`  w )  Fn  w )
37 eqfnfv 5992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  |`  w
)  Fn  w  /\  ( N  |`  w )  Fn  w )  -> 
( ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
) ) )
3831, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w ) `  y )  =  ( ( N  |`  w
) `  y )
) )
39 fvres 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( M `  y ) )
40 fvres 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( N  |`  w
) `  y )  =  ( N `  y ) )
4139, 40eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( M  |`  w ) `  y
)  =  ( ( N  |`  w ) `  y )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
4241ralbiia 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  w  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
)  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )
4338, 42syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
44 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
45 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  A  e.  _V )
47 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  ph )
48 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4947, 48sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
50 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  X W R )
5150ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  X W R )
52 fpwwe2lem9.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Y W S )
5352ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  Y W S )
54 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  M )
559sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  dom  N )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  N )
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w ) )
5844, 46, 49, 51, 53, 1, 5, 54, 56, 57fpwwe2lem7 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
y S ( N `
 w )  /\  ( z R ( M `  w )  ->  ( y R z  <->  y S z ) ) ) )
5958simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  y S ( N `  w ) )
6057eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N  |`  w
)  =  ( M  |`  w ) )
6144, 46, 49, 53, 51, 5, 1, 56, 54, 60fpwwe2lem7 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  (
y R ( M `
 w )  /\  ( z S ( N `  w )  ->  ( y S z  <->  y R z ) ) ) )
6261simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  y R ( M `  w ) )
6359, 62impbida 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y R ( M `  w )  <-> 
y S ( N `
 w ) ) )
64 fvex 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M `
 w )  e. 
_V
65 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
6665eliniseg 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y R
( M `  w
) ) )
6764, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <-> 
y R ( M `
 w ) )
68 fvex 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N `
 w )  e. 
_V
6965eliniseg 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <->  y S
( N `  w
) ) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <-> 
y S ( N `
 w ) )
7163, 67, 703bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
7271eqrdv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( `' R " { ( M `  w ) } )  =  ( `' S " { ( N `  w ) } ) )
73 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
74 relxp 4961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
75 relss 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7673, 74, 75mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
77 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
78 relss 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7977, 74, 78mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
80 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  z  e. 
_V
8180eliniseg 5216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  z R
( M `  w
) ) )
8266, 81anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) ) )
8364, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) )
8458simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
z R ( M `
 w )  -> 
( y R z  <-> 
y S z ) ) )
8584impr 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y R ( M `  w )  /\  z R ( M `  w ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8683, 85sylan2b 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8786pm5.32da 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) ) )
88 brinxp2 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z ) )
89 df-br 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
90 df-3an 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
9188, 89, 903bitr3i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
92 brinxp2 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z ) )
93 df-br 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
94 df-3an 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9592, 93, 943bitr3i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9687, 91, 953bitr4g 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( <. y ,  z
>.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
9776, 79, 96eqrelrdv 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
9872sqxpeqd 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
9998ineq2d 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10097, 99eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10172, 100oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) ) )
1022ffvelrni 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  e.  X )
103102adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  e.  X )
104103adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  e.  X )
10544, 45, 50fpwwe2lem3 9066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( M `  w )  e.  X
)  ->  ( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `
 w ) )
10647, 104, 105syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `  w
) )
1076ffvelrni 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  N  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
10855, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N `  w )  e.  Y )
109108adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
11044, 45, 52fpwwe2lem3 9066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( N `  w )  e.  Y
)  ->  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `
 w ) )
11147, 109, 110syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `  w
) )
112101, 106, 1113eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) )
113112ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11443, 113sylbird 238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11528, 114syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
116115ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
117116com23 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  (
w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
118117a2i 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
11921, 118sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
120119a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  On  ->  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) ) )
12120, 120tfis2 6698 . . . . . 6  |-  ( w  e.  On  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
122121com3l 84 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( w  e.  On  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) ) )
12314, 122mpdi 43 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
124123imp 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )
125 fvres 5896 . . . 4  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( ( N  |`  dom  M ) `  w
)  =  ( N `
 w ) )
126125adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( N  |`  dom  M
) `  w )  =  ( N `  w ) )
127124, 126eqtr4d 2466 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( ( N  |`  dom  M ) `  w ) )
1284, 11, 127eqfnfvd 5995 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080   [.wsbc 3299    i^i cin 3435    C_ wss 3436   {csn 3998   <.cop 4004   class class class wbr 4423   {copab 4481    We wwe 4811    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   dom cdm 4853    |` cres 4855   "cima 4856   Rel wrel 4858   Ord word 5441   Oncon0 5442    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306  OrdIsocoi 8034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-oi 8035
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem9  9071
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