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Theorem fpwwe2lem8 8468
Description: Lemma for fpwwe2 8474. Show by induction that the two isometries  M and  N agree on their common domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
fpwwe2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
fpwwe2.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
fpwwe2lem9.x  |-  ( ph  ->  X W R )
fpwwe2lem9.y  |-  ( ph  ->  Y W S )
fpwwe2lem9.m  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
fpwwe2lem9.n  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
fpwwe2lem9.s  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem8  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Distinct variable groups:    y, u, r, x, F    X, r, u, x, y    M, r, u, x, y    N, r, u, x, y    ph, r, u, x, y    A, r, x    R, r, u, x, y    Y, r, u, x, y    S, r, u, x, y    W, r, u, x, y
Allowed substitution hints:    A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem8
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwwe2lem9.m . . . 4  |-  M  = OrdIso
( R ,  X
)
21oif 7455 . . 3  |-  M : dom  M --> X
3 ffn 5550 . . 3  |-  ( M : dom  M --> X  ->  M  Fn  dom  M )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  M  Fn  dom  M
)
5 fpwwe2lem9.n . . . . 5  |-  N  = OrdIso
( S ,  Y
)
65oif 7455 . . . 4  |-  N : dom  N --> Y
7 ffn 5550 . . . 4  |-  ( N : dom  N --> Y  ->  N  Fn  dom  N )
86, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  N  Fn  dom  N
)
9 fpwwe2lem9.s . . 3  |-  ( ph  ->  dom  M  C_  dom  N )
10 fnssres 5517 . . 3  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  dom  M  C_  dom  N )  ->  ( N  |` 
dom  M )  Fn 
dom  M )
118, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  |`  dom  M
)  Fn  dom  M
)
121oicl 7454 . . . . . 6  |-  Ord  dom  M
13 ordelon 4565 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  On )
1412, 13mpan 652 . . . . 5  |-  ( w  e.  dom  M  ->  w  e.  On )
15 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  dom  M  <->  y  e.  dom  M ) )
16 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( M `  w )  =  ( M `  y ) )
17 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( N `  w )  =  ( N `  y ) )
1816, 17eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( M `  w
)  =  ( N `
 w )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
1915, 18imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )  <->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) ) )
2019imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) )  <->  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y
)  =  ( N `
 y ) ) ) ) )
21 r19.21v 2753 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  <->  ( ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) ) )
2212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Ord  dom  M )
23 ordelss 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  dom  M  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_  dom  M )
2422, 23sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  M )
2524sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  dom  M
)
26 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  M  -> 
( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  y  e.  w )  ->  ( ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
2827ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
294adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  M  Fn  dom  M )
30 fnssres 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  Fn  dom  M  /\  w  C_  dom  M
)  ->  ( M  |`  w )  Fn  w
)
3129, 24, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M  |`  w )  Fn  w )
328adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  N  Fn  dom  N )
339adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  dom  M 
C_  dom  N )
3424, 33sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  C_ 
dom  N )
35 fnssres 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  Fn  dom  N  /\  w  C_  dom  N
)  ->  ( N  |`  w )  Fn  w
)
3632, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N  |`  w )  Fn  w )
37 eqfnfv 5786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  |`  w
)  Fn  w  /\  ( N  |`  w )  Fn  w )  -> 
( ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
) ) )
3831, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( ( M  |`  w ) `  y )  =  ( ( N  |`  w
) `  y )
) )
39 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( M `  y ) )
40 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  w  ->  (
( N  |`  w
) `  y )  =  ( N `  y ) )
4139, 40eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  w  ->  (
( ( M  |`  w ) `  y
)  =  ( ( N  |`  w ) `  y )  <->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
4241ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  w  (
( M  |`  w
) `  y )  =  ( ( N  |`  w ) `  y
)  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )
4338, 42syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  <->  A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )
44 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  W  =  { <. x ,  r
>.  |  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x ) )  /\  ( r  We  x  /\  A. y  e.  x  [. ( `' r " { y } )  /  u ]. (
u F ( r  i^i  ( u  X.  u ) ) )  =  y ) ) }
45 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  A  e.  _V )
47 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  ph )
48 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
4947, 48sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x
)  /\  r  We  x ) )  -> 
( x F r )  e.  A )
50 fpwwe2lem9.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  X W R )
5150ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  X W R )
52 fpwwe2lem9.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Y W S )
5352ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  Y W S )
54 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  M )
559sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  w  e.  dom  N )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  ->  w  e.  dom  N )
57 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w ) )
5844, 46, 49, 51, 53, 1, 5, 54, 56, 57fpwwe2lem7 8467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
y S ( N `
 w )  /\  ( z R ( M `  w )  ->  ( y R z  <->  y S z ) ) ) )
5958simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  y S ( N `  w ) )
6057eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N  |`  w
)  =  ( M  |`  w ) )
6144, 46, 49, 53, 51, 5, 1, 56, 54, 60fpwwe2lem7 8467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  (
y R ( M `
 w )  /\  ( z S ( N `  w )  ->  ( y S z  <->  y R z ) ) ) )
6261simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y S
( N `  w
) )  ->  y R ( M `  w ) )
6359, 62impbida 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y R ( M `  w )  <-> 
y S ( N `
 w ) ) )
64 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M `
 w )  e. 
_V
65 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
6665eliniseg 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y R
( M `  w
) ) )
6764, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <-> 
y R ( M `
 w ) )
68 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N `
 w )  e. 
_V
6965eliniseg 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N `  w )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <->  y S
( N `  w
) ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } )  <-> 
y S ( N `
 w ) )
7163, 67, 703bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  y  e.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
7271eqrdv 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( `' R " { ( M `  w ) } )  =  ( `' S " { ( N `  w ) } ) )
73 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
74 relxp 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Rel  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
75 relss 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7673, 74, 75mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
77 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )
78 relss 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) 
C_  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  -> 
( Rel  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  ->  Rel  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
7977, 74, 78mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Rel  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )
80 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  z  e. 
_V
8180eliniseg 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  <->  z R
( M `  w
) ) )
8266, 81anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M `  w )  e.  _V  ->  (
( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) ) )
8364, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  <->  ( y R ( M `  w
)  /\  z R
( M `  w
) ) )
8458simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  y R
( M `  w
) )  ->  (
z R ( M `
 w )  -> 
( y R z  <-> 
y S z ) ) )
8584impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y R ( M `  w )  /\  z R ( M `  w ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8683, 85sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w )
)  /\  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  ->  ( y R z  <->  y S z ) )
8786pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) ) )
88 brinxp2 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z ) )
89 df-br 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
90 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y R z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
9188, 89, 903bitr3i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y R z ) )
92 brinxp2 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z ) )
93 df-br 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) z  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
94 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  y S z )  <->  ( ( y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9592, 93, 943bitr3i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } )  /\  z  e.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  /\  y S z ) )
9687, 91, 953bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( <. y ,  z
>.  e.  ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  <->  <. y ,  z >.  e.  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) ) )
9776, 79, 96eqrelrdv 4931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )
9872, 72xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) )
9998ineq2d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( S  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10097, 99eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( R  i^i  (
( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) )  =  ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )
10172, 100oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) ) )
1022ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  e.  X )
103102adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  e.  X )
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  e.  X )
10544, 45, 50fpwwe2lem3 8464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( M `  w )  e.  X
)  ->  ( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `
 w ) )
10647, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' R " { ( M `  w ) } ) F ( R  i^i  ( ( `' R " { ( M `  w ) } )  X.  ( `' R " { ( M `  w ) } ) ) ) )  =  ( M `  w
) )
1076ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  dom  N  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
10855, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( N `  w )  e.  Y )
109108adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( N `  w
)  e.  Y )
11044, 45, 52fpwwe2lem3 8464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( N `  w )  e.  Y
)  ->  ( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `
 w ) )
11147, 109, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( ( `' S " { ( N `  w ) } ) F ( S  i^i  ( ( `' S " { ( N `  w ) } )  X.  ( `' S " { ( N `  w ) } ) ) ) )  =  ( N `  w
) )
112101, 106, 1113eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  dom  M )  /\  ( M  |`  w )  =  ( N  |`  w ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) )
113112ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( M  |`  w
)  =  ( N  |`  w )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11443, 113sylbird 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( M `  y )  =  ( N `  y )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
11528, 114syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
116115ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) )  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
117116com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  w  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) )  ->  (
w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
118117a2i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  A. y  e.  w  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
11921, 118sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e. 
dom  M  ->  ( M `
 y )  =  ( N `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( w  e.  dom  M  -> 
( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) )
120119a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  On  ->  ( A. y  e.  w  ( ph  ->  ( y  e.  dom  M  ->  ( M `  y )  =  ( N `  y ) ) )  ->  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w
)  =  ( N `
 w ) ) ) ) )
12120, 120tfis2 4795 . . . . . 6  |-  ( w  e.  On  ->  ( ph  ->  ( w  e. 
dom  M  ->  ( M `
 w )  =  ( N `  w
) ) ) )
122121com3l 77 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( w  e.  On  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) ) )
12314, 122mpdi 40 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  dom  M  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) ) )
124123imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( N `  w ) )
125 fvres 5704 . . . 4  |-  ( w  e.  dom  M  -> 
( ( N  |`  dom  M ) `  w
)  =  ( N `
 w ) )
126125adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  (
( N  |`  dom  M
) `  w )  =  ( N `  w ) )
127124, 126eqtr4d 2439 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  dom  M )  ->  ( M `  w )  =  ( ( N  |`  dom  M ) `  w ) )
1284, 11, 127eqfnfvd 5789 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( N  |`  dom  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225    We wwe 4500   Ord word 4540   Oncon0 4541    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   Rel wrel 4842    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040  OrdIsocoi 7434
This theorem is referenced by:  fpwwe2lem9  8469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-riota 6508  df-recs 6592  df-oi 7435
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