Theorem fpwwe2lem12 8804

Description: Lemma for fpwwe2 8806. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwwe2.1	|- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
fpwwe2.2	|- ( ph -> A e. _V )
fpwwe2.3	|- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
fpwwe2.4	|- X = U. dom W

Assertion

Ref	Expression
fpwwe2lem12	|- ( ph -> X e. dom W )

Distinct variable groups:   y, u, r, x, F   X, r, u, x, y   ph, r, u, x, y   A, r, x   W, r, u, x, y

Allowed substitution hints:   A( y, u)

Proof of Theorem fpwwe2lem12

Dummy variables a b s t v w z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwwe2.4	. . . . 5 |- X = U. dom W
2		vex 2973	. . . . . . . . 9 |- a e. _V
3	2	eldm 5033	. . . . . . . 8 |- ( a e. dom W <-> E. s a W s )
4		fpwwe2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x [. ( `' r " { y } ) / u ]. ( u F ( r i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) }
5		fpwwe2.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. _V )
6	4, 5	fpwwe2lem2 8795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( a W s <-> ( ( a C_ A /\ s C_ ( a X. a ) ) /\ ( s We a /\ A. y e. a [. ( `' s " { y } ) / u ]. ( u F ( s i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
7	6	simprbda 620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a W s ) -> ( a C_ A /\ s C_ ( a X. a ) ) )
8	7	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a W s ) -> a C_ A )
9		selpw 3864	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ~P A <-> a C_ A )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a W s ) -> a e. ~P A )
11	10	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a W s -> a e. ~P A ) )
12	11	exlimdv 1695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. s a W s -> a e. ~P A ) )
13	3, 12	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( a e. dom W -> a e. ~P A ) )
14	13	ssrdv 3359	. . . . . 6 |- ( ph -> dom W C_ ~P A )
15		sspwuni 4253	. . . . . 6 |- ( dom W C_ ~P A <-> U. dom W C_ A )
16	14, 15	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom W C_ A )
17	1, 16	syl5eqss 3397	. . . 4 |- ( ph -> X C_ A )
18		vex 2973	. . . . . . . 8 |- s e. _V
19	18	elrn 5076	. . . . . . 7 |- ( s e. ran W <-> E. a a W s )
20	7	simprd 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a W s ) -> s C_ ( a X. a ) )
21	4	relopabi 4961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Rel W
22	21	releldmi 5072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a W s -> a e. dom W )
23	22	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a W s ) -> a e. dom W )
24		elssuni 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. dom W -> a C_ U. dom W )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a W s ) -> a C_ U. dom W )
26	25, 1	syl6sseqr 3400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a W s ) -> a C_ X )
27		xpss12 4941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a C_ X /\ a C_ X ) -> ( a X. a ) C_ ( X X. X ) )
28	26, 26, 27	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a W s ) -> ( a X. a ) C_ ( X X. X ) )
29	20, 28	sstrd 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a W s ) -> s C_ ( X X. X ) )
30		selpw 3864	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P ( X X. X ) <-> s C_ ( X X. X ) )
31	29, 30	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a W s ) -> s e. ~P ( X X. X ) )
32	31	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a W s -> s e. ~P ( X X. X ) ) )
33	32	exlimdv 1695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a a W s -> s e. ~P ( X X. X ) ) )
34	19, 33	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ran W -> s e. ~P ( X X. X ) ) )
35	34	ssrdv 3359	. . . . 5 |- ( ph -> ran W C_ ~P ( X X. X ) )
36		sspwuni 4253	. . . . 5 |- ( ran W C_ ~P ( X X. X ) <-> U. ran W C_ ( X X. X ) )
37	35, 36	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> U. ran W C_ ( X X. X ) )
38	17, 37	jca 529	. . 3 |- ( ph -> ( X C_ A /\ U. ran W C_ ( X X. X ) ) )
39		n0 3643	. . . . . . . . 9 |- ( n =/= (/) <-> E. y y e. n )
40		ssel2 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n C_ X /\ y e. n ) -> y e. X )
41	40	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> y e. X )
42	1	eleq2i 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. X <-> y e. U. dom W )
43		eluni2 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. U. dom W <-> E. a e. dom W y e. a )
44	42, 43	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. X <-> E. a e. dom W y e. a )
45	41, 44	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> E. a e. dom W y e. a )
46	2	inex2 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n i^i a ) e. _V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( n i^i a ) e. _V )
48	6	simplbda 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ a W s ) -> ( s We a /\ A. y e. a [. ( `' s " { y } ) / u ]. ( u F ( s i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
49	48	simpld 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ a W s ) -> s We a )
50	49	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> s We a )
51		wefr 4706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s We a -> s Fr a )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> s Fr a )
53		inss2 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n i^i a ) C_ a
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( n i^i a ) C_ a )
55		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> y e. n )
56		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> y e. a )
57		inelcm 3730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. n /\ y e. a ) -> ( n i^i a ) =/= (/) )
58	55, 56, 57	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( n i^i a ) =/= (/) )
59		fri 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( n i^i a ) e. _V /\ s Fr a ) /\ ( ( n i^i a ) C_ a /\ ( n i^i a ) =/= (/) ) ) -> E. v e. ( n i^i a ) A. z e. ( n i^i a ) -. z s v )
60	47, 52, 54, 58, 59	syl22anc 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> E. v e. ( n i^i a ) A. z e. ( n i^i a ) -. z s v )
61		inss1 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n i^i a ) C_ n
62		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) -> v e. ( n i^i a ) )
63	61, 62	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) -> v e. n )
64		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> A. z e. ( n i^i a ) -. z s v )
65		ralnex 2723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. ( n i^i a ) -. z s v <-> -. E. z e. ( n i^i a ) z s v )
66	64, 65	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> -. E. z e. ( n i^i a ) z s v )
67		df-br 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w U. ran W v <-> <. w , v >. e. U. ran W )
68		eluni2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. w , v >. e. U. ran W <-> E. t e. ran W <. w , v >. e. t )
69	67, 68	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w U. ran W v <-> E. t e. ran W <. w , v >. e. t )
70		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- t e. _V
71	70	elrn 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( t e. ran W <-> E. b b W t )
72		df-br 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w t v <-> <. w , v >. e. t )
73		simprll 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> w e. n )
74	73	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w e. n )
75		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> w t v )
76		simp-4l 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> ph )
77		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> a W s )
78	77	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> a W s )
79		simprlr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> b W t )
80		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> b W t )
81	4, 5	fpwwe2lem2 8795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ph -> ( b W t <-> ( ( b C_ A /\ t C_ ( b X. b ) ) /\ ( t We b /\ A. y e. b [. ( `' t " { y } ) / u ]. ( u F ( t i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
82	81	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( b W t <-> ( ( b C_ A /\ t C_ ( b X. b ) ) /\ ( t We b /\ A. y e. b [. ( `' t " { y } ) / u ]. ( u F ( t i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
83	80, 82	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( ( b C_ A /\ t C_ ( b X. b ) ) /\ ( t We b /\ A. y e. b [. ( `' t " { y } ) / u ]. ( u F ( t i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
84	83	simpld 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( b C_ A /\ t C_ ( b X. b ) ) )
85	84	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> t C_ ( b X. b ) )
86	76, 78, 79, 85	syl12anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> t C_ ( b X. b ) )
87	86	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> ( w t v -> w ( b X. b ) v ) )
88	75, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> w ( b X. b ) v )
89		brxp 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( w ( b X. b ) v <-> ( w e. b /\ v e. b ) )
90	89	simplbi 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( w ( b X. b ) v -> w e. b )
91	88, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> w e. b )
92	91	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w e. b )
93	53, 62	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) -> v e. a )
94	93	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> v e. a )
95		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w t v )
96		brinxp2 4896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( w ( t i^i ( b X. a ) ) v <-> ( w e. b /\ v e. a /\ w t v ) )
97	92, 94, 95, 96	syl3anbrc 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w ( t i^i ( b X. a ) ) v )
98		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> s = ( t i^i ( b X. a ) ) )
99	98	breqd 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( w s v <-> w ( t i^i ( b X. a ) ) v ) )
100	97, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w s v )
101	76, 78, 20	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> s C_ ( a X. a ) )
102	101	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> s C_ ( a X. a ) )
103	102	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( w s v -> w ( a X. a ) v ) )
104	100, 103	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w ( a X. a ) v )
105		brxp 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( w ( a X. a ) v <-> ( w e. a /\ v e. a ) )
106	105	simplbi 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( w ( a X. a ) v -> w e. a )
107	104, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w e. a )
108	74, 107	elind 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w e. ( n i^i a ) )
109		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z = w -> ( z s v <-> w s v ) )
110	109	rspcev 3070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( w e. ( n i^i a ) /\ w s v ) -> E. z e. ( n i^i a ) z s v )
111	108, 100, 110	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> E. z e. ( n i^i a ) z s v )
112	73	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w e. n )
113		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> b C_ a )
114	91	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w e. b )
115	113, 114	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w e. a )
116	112, 115	elind 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w e. ( n i^i a ) )
117		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w t v )
118		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> t = ( s i^i ( a X. b ) ) )
119		inss1 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( s i^i ( a X. b ) ) C_ s
120	118, 119	syl6eqss 3403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> t C_ s )
121	120	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( w t v -> w s v ) )
122	117, 121	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w s v )
123	116, 122, 110	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> E. z e. ( n i^i a ) z s v )
124	5	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> A e. _V )
125		fpwwe2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ph /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
126	125	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) /\ r We x ) ) -> ( x F r ) e. A )
127		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> a W s )
128	4, 124, 126, 127, 80	fpwwe2lem10 8802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) \/ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) )
129	76, 78, 79, 128	syl12anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> ( ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) \/ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) )
130	111, 123, 129	mpjaodan 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( ( w e. n /\ b W t ) /\ w t v ) ) -> E. z e. ( n i^i a ) z s v )
131	130	expr 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( w e. n /\ b W t ) ) -> ( w t v -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) )
132	72, 131	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ ( w e. n /\ b W t ) ) -> ( <. w , v >. e. t -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) )
133	132	expr 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> ( b W t -> ( <. w , v >. e. t -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) ) )
134	133	exlimdv 1695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> ( E. b b W t -> ( <. w , v >. e. t -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) ) )
135	71, 134	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> ( t e. ran W -> ( <. w , v >. e. t -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) ) )
136	135	rexlimdv 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> ( E. t e. ran W <. w , v >. e. t -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) )
137	69, 136	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> ( w U. ran W v -> E. z e. ( n i^i a ) z s v ) )
138	66, 137	mtod 177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) /\ w e. n ) -> -. w U. ran W v )
139	138	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) -> A. w e. n -. w U. ran W v )
140	63, 139	jca 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) ) -> ( v e. n /\ A. w e. n -. w U. ran W v ) )
141	140	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( ( v e. ( n i^i a ) /\ A. z e. ( n i^i a ) -. z s v ) -> ( v e. n /\ A. w e. n -. w U. ran W v ) ) )
142	141	reximdv2 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( E. v e. ( n i^i a ) A. z e. ( n i^i a ) -. z s v -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
143	60, 142	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v )
144	143	exp32 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> ( a W s -> ( y e. a -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) ) )
145	144	exlimdv 1695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> ( E. s a W s -> ( y e. a -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) ) )
146	3, 145	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> ( a e. dom W -> ( y e. a -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) ) )
147	146	rexlimdv 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> ( E. a e. dom W y e. a -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
148	45, 147	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n C_ X /\ y e. n ) ) -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v )
149	148	expr 612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n C_ X ) -> ( y e. n -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
150	149	exlimdv 1695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n C_ X ) -> ( E. y y e. n -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
151	39, 150	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n C_ X ) -> ( n =/= (/) -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
152	151	expimpd 600	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( n C_ X /\ n =/= (/) ) -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
153	152	alrimiv 1690	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n ( ( n C_ X /\ n =/= (/) ) -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
154		df-fr 4675	. . . . . 6 |- ( U. ran W Fr X <-> A. n ( ( n C_ X /\ n =/= (/) ) -> E. v e. n A. w e. n -. w U. ran W v ) )
155	153, 154	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran W Fr X )
156	1	eleq2i 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. X <-> w e. U. dom W )
157		eluni2 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. U. dom W <-> E. b e. dom W w e. b )
158	156, 157	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( w e. X <-> E. b e. dom W w e. b )
159	44, 158	anbi12i 692	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. X /\ w e. X ) <-> ( E. a e. dom W y e. a /\ E. b e. dom W w e. b ) )
160		reeanv 2886	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. dom W E. b e. dom W ( y e. a /\ w e. b ) <-> ( E. a e. dom W y e. a /\ E. b e. dom W w e. b ) )
161	159, 160	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( ( y e. X /\ w e. X ) <-> E. a e. dom W E. b e. dom W ( y e. a /\ w e. b ) )
162		vex 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- b e. _V
163	162	eldm 5033	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. dom W <-> E. t b W t )
164	3, 163	anbi12i 692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. dom W /\ b e. dom W ) <-> ( E. s a W s /\ E. t b W t ) )
165		eeanv 1936	. . . . . . . . . 10 |- ( E. s E. t ( a W s /\ b W t ) <-> ( E. s a W s /\ E. t b W t ) )
166	164, 165	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. dom W /\ b e. dom W ) <-> E. s E. t ( a W s /\ b W t ) )
167	83	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( t We b /\ A. y e. b [. ( `' t " { y } ) / u ]. ( u F ( t i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
168	167	simpld 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> t We b )
169	168	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> t We b )
170		weso 4707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t We b -> t Or b )
171	169, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> t Or b )
172		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> a C_ b )
173		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> y e. a )
174	172, 173	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> y e. b )
175		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w e. b )
176		solin 4660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t Or b /\ ( y e. b /\ w e. b ) ) -> ( y t w \/ y = w \/ w t y ) )
177	171, 174, 175, 176	syl12anc 1211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( y t w \/ y = w \/ w t y ) )
178	21	relelrni 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b W t -> t e. ran W )
179	178	ad2antll 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> t e. ran W )
180	179	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> t e. ran W )
181		elssuni 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. ran W -> t C_ U. ran W )
182	180, 181	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> t C_ U. ran W )
183	182	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( y t w -> y U. ran W w ) )
184		idd 24	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( y = w -> y = w ) )
185	182	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( w t y -> w U. ran W y ) )
186	183, 184, 185	3orim123d 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( ( y t w \/ y = w \/ w t y ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) )
187	177, 186	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) )
188	49	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> s We a )
189	188	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> s We a )
190		weso 4707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s We a -> s Or a )
191	189, 190	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> s Or a )
192		simplrl 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> y e. a )
193		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> b C_ a )
194		simplrr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w e. b )
195	193, 194	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> w e. a )
196		solin 4660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s Or a /\ ( y e. a /\ w e. a ) ) -> ( y s w \/ y = w \/ w s y ) )
197	191, 192, 195, 196	syl12anc 1211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( y s w \/ y = w \/ w s y ) )
198	21	relelrni 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a W s -> s e. ran W )
199	198	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> s e. ran W )
200	199	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> s e. ran W )
201		elssuni 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ran W -> s C_ U. ran W )
202	200, 201	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> s C_ U. ran W )
203	202	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( y s w -> y U. ran W w ) )
204		idd 24	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( y = w -> y = w ) )
205	202	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( w s y -> w U. ran W y ) )
206	203, 204, 205	3orim123d 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( ( y s w \/ y = w \/ w s y ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) )
207	197, 206	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) )
208	128	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) -> ( ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) \/ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) )
209	187, 207, 208	mpjaodan 779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( y e. a /\ w e. b ) ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) )
210	209	exp31 601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( a W s /\ b W t ) -> ( ( y e. a /\ w e. b ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) ) )
211	210	exlimdvv 1696	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. s E. t ( a W s /\ b W t ) -> ( ( y e. a /\ w e. b ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) ) )
212	166, 211	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( a e. dom W /\ b e. dom W ) -> ( ( y e. a /\ w e. b ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) ) )
213	212	rexlimdvv 2845	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a e. dom W E. b e. dom W ( y e. a /\ w e. b ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) )
214	161, 213	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. X /\ w e. X ) -> ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) )
215	214	ralrimivv 2805	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. X A. w e. X ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) )
216		dfwe2 6392	. . . . 5 |- ( U. ran W We X <-> ( U. ran W Fr X /\ A. y e. X A. w e. X ( y U. ran W w \/ y = w \/ w U. ran W y ) ) )
217	155, 215, 216	sylanbrc 659	. . . 4 |- ( ph -> U. ran W We X )
218	4	fpwwe2cbv 8793	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { <. z , t >. | ( ( z C_ A /\ t C_ ( z X. z ) ) /\ ( t We z /\ A. w e. z [. ( `' t " { w } ) / b ]. ( b F ( t i^i ( b X. b ) ) ) = w ) ) }
219	5	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a W s ) -> A e. _V )
220		simpr 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a W s ) -> a W s )
221	218, 219, 220	fpwwe2lem3 8796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a W s ) /\ y e. a ) -> ( ( `' s " { y } ) F ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) = y )
222	221	anasss 642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( ( `' s " { y } ) F ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) = y )
223		cnvimass 5186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' U. ran W " { y } ) C_ dom U. ran W
224	5, 17	ssexd 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. _V )
225		xpexg 6506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. _V /\ X e. _V ) -> ( X X. X ) e. _V )
226	224, 224, 225	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
227	226, 37	ssexd 4436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U. ran W e. _V )
228	227	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> U. ran W e. _V )
229		dmexg 6508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. ran W e. _V -> dom U. ran W e. _V )
230	228, 229	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> dom U. ran W e. _V )
231		ssexg 4435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' U. ran W " { y } ) C_ dom U. ran W /\ dom U. ran W e. _V ) -> ( `' U. ran W " { y } ) e. _V )
232	223, 230, 231	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( `' U. ran W " { y } ) e. _V )
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( `' U. ran W " { y } ) -> u = ( `' U. ran W " { y } ) )
234		olc 384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = y -> ( w s y \/ w = y ) )
235		df-br 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z U. ran W w <-> <. z , w >. e. U. ran W )
236		eluni2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. z , w >. e. U. ran W <-> E. t e. ran W <. z , w >. e. t )
237	235, 236	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z U. ran W w <-> E. t e. ran W <. z , w >. e. t )
238		df-br 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z t w <-> <. z , w >. e. t )
239	85	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> t C_ ( b X. b ) )
240	239	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z t w -> z ( b X. b ) w ) )
241		brxp 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( z ( b X. b ) w <-> ( z e. b /\ w e. b ) )
242	241	simplbi 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( z ( b X. b ) w -> z e. b )
243	240, 242	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z t w -> z e. b ) )
244	20	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> s C_ ( a X. a ) )
245	244	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( w s y -> w ( a X. a ) y ) )
246	245	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ w s y ) -> w ( a X. a ) y )
247		brxp 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( w ( a X. a ) y <-> ( w e. a /\ y e. a ) )
248	247	simplbi 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( w ( a X. a ) y -> w e. a )
249	246, 248	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ w s y ) -> w e. a )
250	249	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ w s y ) -> ( y e. a -> w e. a ) )
251		elequ1 1764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( w = y -> ( w e. a <-> y e. a ) )
252	251	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( w = y -> ( y e. a -> w e. a ) )
253	252	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ w = y ) -> ( y e. a -> w e. a ) )
254	250, 253	jaodan 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( w s y \/ w = y ) ) -> ( y e. a -> w e. a ) )
255	254	impr 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) -> w e. a )
256	255	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> w e. a )
257	243, 256	jctird 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z t w -> ( z e. b /\ w e. a ) ) )
258		brxp 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z ( b X. a ) w <-> ( z e. b /\ w e. a ) )
259	257, 258	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z t w -> z ( b X. a ) w ) )
260	259	ancld 550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z t w -> ( z t w /\ z ( b X. a ) w ) ) )
261		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> s = ( t i^i ( b X. a ) ) )
262	261	breqd 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z s w <-> z ( t i^i ( b X. a ) ) w ) )
263		brin 4338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z ( t i^i ( b X. a ) ) w <-> ( z t w /\ z ( b X. a ) w ) )
264	262, 263	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z s w <-> ( z t w /\ z ( b X. a ) w ) ) )
265	260, 264	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) ) -> ( z t w -> z s w ) )
266		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> t = ( s i^i ( a X. b ) ) )
267	266, 119	syl6eqss 3403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> t C_ s )
268	267	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) /\ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) -> ( z t w -> z s w ) )
269	128	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) -> ( ( a C_ b /\ s = ( t i^i ( b X. a ) ) ) \/ ( b C_ a /\ t = ( s i^i ( a X. b ) ) ) ) )
270	265, 268, 269	mpjaodan 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) -> ( z t w -> z s w ) )
271	238, 270	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) /\ ( ( w s y \/ w = y ) /\ y e. a ) ) -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) )
272	271	exp32 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ b W t ) ) -> ( ( w s y \/ w = y ) -> ( y e. a -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) ) )
273	272	expr 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ a W s ) -> ( b W t -> ( ( w s y \/ w = y ) -> ( y e. a -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) ) ) )
274	273	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ a W s ) -> ( y e. a -> ( ( w s y \/ w = y ) -> ( b W t -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) ) ) )
275	274	impr 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( ( w s y \/ w = y ) -> ( b W t -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) ) )
276	275	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( w s y \/ w = y ) ) -> ( b W t -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) )
277	276	exlimdv 1695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( w s y \/ w = y ) ) -> ( E. b b W t -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) )
278	71, 277	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( w s y \/ w = y ) ) -> ( t e. ran W -> ( <. z , w >. e. t -> z s w ) ) )
279	278	rexlimdv 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( w s y \/ w = y ) ) -> ( E. t e. ran W <. z , w >. e. t -> z s w ) )
280	237, 279	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( w s y \/ w = y ) ) -> ( z U. ran W w -> z s w ) )
281	234, 280	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ w = y ) -> ( z U. ran W w -> z s w ) )
282	281	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( w = y -> ( z U. ran W w -> z s w ) ) )
283	282	alrimiv 1690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> A. w ( w = y -> ( z U. ran W w -> z s w ) ) )
284		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. _V
285		breq2 4293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = y -> ( z U. ran W w <-> z U. ran W y ) )
286		breq2 4293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = y -> ( z s w <-> z s y ) )
287	285, 286	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = y -> ( ( z U. ran W w -> z s w ) <-> ( z U. ran W y -> z s y ) ) )
288	284, 287	ceqsalv 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w ( w = y -> ( z U. ran W w -> z s w ) ) <-> ( z U. ran W y -> z s y ) )
289	283, 288	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( z U. ran W y -> z s y ) )
290	198	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> s e. ran W )
291	290, 201	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> s C_ U. ran W )
292	291	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( z s y -> z U. ran W y ) )
293	289, 292	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( z U. ran W y <-> z s y ) )
294		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. _V
295	294	eliniseg 5195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. _V -> ( z e. ( `' U. ran W " { y } ) <-> z U. ran W y ) )
296	284, 295	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( `' U. ran W " { y } ) <-> z U. ran W y )
297	294	eliniseg 5195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. _V -> ( z e. ( `' s " { y } ) <-> z s y ) )
298	284, 297	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( `' s " { y } ) <-> z s y )
299	293, 296, 298	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( z e. ( `' U. ran W " { y } ) <-> z e. ( `' s " { y } ) ) )
300	299	eqrdv 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( `' U. ran W " { y } ) = ( `' s " { y } ) )
301	233, 300	sylan9eqr 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> u = ( `' s " { y } ) )
302	301, 301	xpeq12d 4861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> ( u X. u ) = ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) )
303	302	ineq2d 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) = ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) )
304		inss2 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) C_ ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) )
305		relxp 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Rel ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) )
306		relss 4923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) C_ ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) -> ( Rel ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) -> Rel ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) )
307	304, 305, 306	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Rel ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) )
308		inss2 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) C_ ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) )
309		relss 4923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) C_ ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) -> ( Rel ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) -> Rel ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) )
310	308, 305, 309	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Rel ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) )
311		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- w e. _V
312	311	eliniseg 5195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. _V -> ( w e. ( `' s " { y } ) <-> w s y ) )
313	297, 312	anbi12d 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. _V -> ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) <-> ( z s y /\ w s y ) ) )
314	284, 313	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) <-> ( z s y /\ w s y ) )
315		orc 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w s y -> ( w s y \/ w = y ) )
316	315, 280	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ w s y ) -> ( z U. ran W w -> z s w ) )
317	316	adantrl 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( z s y /\ w s y ) ) -> ( z U. ran W w -> z s w ) )
318	291	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( z s y /\ w s y ) ) -> s C_ U. ran W )
319	318	ssbrd 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( z s y /\ w s y ) ) -> ( z s w -> z U. ran W w ) )
320	317, 319	impbid 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( z s y /\ w s y ) ) -> ( z U. ran W w <-> z s w ) )
321	314, 320	sylan2b 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) ) -> ( z U. ran W w <-> z s w ) )
322	321	pm5.32da 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) /\ z U. ran W w ) <-> ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) /\ z s w ) ) )
323		brinxp2 4896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) w <-> ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) /\ z U. ran W w ) )
324		df-br 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) w <-> <. z , w >. e. ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) )
325		df-3an 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) /\ z U. ran W w ) <-> ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) /\ z U. ran W w ) )
326	323, 324, 325	3bitr3i 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. z , w >. e. ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) <-> ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) /\ z U. ran W w ) )
327		brinxp2 4896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) w <-> ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) /\ z s w ) )
328		df-br 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) w <-> <. z , w >. e. ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) )
329		df-3an 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) /\ z s w ) <-> ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) /\ z s w ) )
330	327, 328, 329	3bitr3i 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. z , w >. e. ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) <-> ( ( z e. ( `' s " { y } ) /\ w e. ( `' s " { y } ) ) /\ z s w ) )
331	322, 326, 330	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( <. z , w >. e. ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) <-> <. z , w >. e. ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) )
332	307, 310, 331	eqrelrdv 4932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) = ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) )
333	332	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> ( U. ran W i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) = ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) )
334	303, 333	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) = ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) )
335	301, 334	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = ( ( `' s " { y } ) F ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) )
336	335	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) /\ u = ( `' U. ran W " { y } ) ) -> ( ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y <-> ( ( `' s " { y } ) F ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) = y ) )
337	232, 336	sbcied 3220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> ( [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y <-> ( ( `' s " { y } ) F ( s i^i ( ( `' s " { y } ) X. ( `' s " { y } ) ) ) ) = y ) )
338	222, 337	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a W s /\ y e. a ) ) -> [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y )
339	338	exp32 602	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a W s -> ( y e. a -> [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
340	339	exlimdv 1695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. s a W s -> ( y e. a -> [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
341	3, 340	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( a e. dom W -> ( y e. a -> [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) )
342	341	rexlimdv 2838	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. dom W y e. a -> [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
343	44, 342	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. X -> [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
344	343	ralrimiv 2796	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. X [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y )
345	217, 344	jca 529	. . 3 |- ( ph -> ( U. ran W We X /\ A. y e. X [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) )
346	4, 5	fpwwe2lem2 8795	. . 3 |- ( ph -> ( X W U. ran W <-> ( ( X C_ A /\ U. ran W C_ ( X X. X ) ) /\ ( U. ran W We X /\ A. y e. X [. ( `' U. ran W " { y } ) / u ]. ( u F ( U. ran W i^i ( u X. u ) ) ) = y ) ) ) )
347	38, 345, 346	mpbir2and 908	. 2 |- ( ph -> X W U. ran W )
348	21	releldmi 5072	. 2 |- ( X W U. ran W -> X e. dom W )
349	347, 348	syl 16	1 |- ( ph -> X e. dom W )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 959   /\ w3a 960   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   [.wsbc 3183   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   <.cop 3880   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   {copab 4346   Or wor 4636   Fr wfr 4672   We wwe 4674   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Rel wrel 4841  (class class class)co 6090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-recs 6828  df-oi 7720

This theorem is referenced by:  fpwwe2lem13  8805  fpwwe2  8806