Theorem fpwrelmapffslem 28323

Description: Lemma for fpwrelmapffs 28325. For this theorem, the sets A and B could be infinite, but the relation R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmapffslem.1	|- A e. _V
fpwrelmapffslem.2	|- B e. _V
fpwrelmapffslem.3	|- ( ph -> F : A --> ~P B )
fpwrelmapffslem.4	|- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmapffslem	|- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmapffslem.4	. . 3 |- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
2		relopab 4979	. . . 4 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
3		releq 4936	. . . 4 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ( Rel R <-> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } ) )
4	2, 3	mpbiri 236	. . 3 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> Rel R )
5		relfi 28215	. . 3 |- ( Rel R -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
7		rexcom4 3101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
8		ancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
9	8	exbii 1712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
10		fvex 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` x ) e. _V
11		eleq2 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` x ) -> ( w e. z <-> w e. ( F ` x ) ) )
12	10, 11	ceqsexv 3118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> w e. ( F ` x ) )
13	9, 12	bitr3i 254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> w e. ( F ` x ) )
14	13	rexbii 2924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
15		r19.42v 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
16	15	exbii 1712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
17	7, 14, 16	3bitr3ri 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
18		df-rex 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. A w e. ( F ` x ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
19	17, 18	bitr2i 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) ) )
21		vex 3083	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
22		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y e. ( F ` x ) <-> w e. ( F ` x ) ) )
23	22	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
24	23	exbidv 1762	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
25	21, 24	elab 3217	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
26		eluniab 4230	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
27	20, 25, 26	3bitr4g 291	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } ) )
28	27	eqrdv 2419	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
29	28	eleq1d 2491	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
30	29	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
31		fpwrelmapffslem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ~P B )
32		ffn 5746	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> ~P B -> F Fn A )
33		fnrnfv 5927	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
35	34	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
36		0ex 4556	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> (/) e. _V )
38		fpwrelmapffslem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
39		fex 6153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> ~P B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
40	31, 38, 39	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
41	40	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> F e. _V )
42		ffun 5748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> ~P B -> Fun F )
43	31, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
44	43	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> Fun F )
45		opabdm 28221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
47	38, 39	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> ~P B -> F e. _V )
48		suppimacnv 6936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
49	36, 48	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. _V -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
50	31, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
51	31	feqmptd 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
52	51	cnveqd 5029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> `' F = `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
53	52	imaeq1d 5186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
54	50, 53	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
55		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( F ` x ) ) = ( x e. A |-> ( F ` x ) )
56	55	mptpreima 5347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) }
57	54, 56	syl6eq 2479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } )
58		suppvalfn 6932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ A e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
59	38, 36, 58	mp3an23 1352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn A -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
60	31, 32, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
61		n0 3771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) ) )
63	62	rabbiia 3068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
65	60, 57, 64	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
66		df-rab 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
67		19.42v 1827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) )
68	67	abbii 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
69	66, 68	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
71	57, 65, 70	3eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
72	46, 71	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom R = ( F supp (/) ) )
73	72	eleq1d 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dom R e. Fin <-> ( F supp (/) ) e. Fin ) )
74	73	biimpa 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( F supp (/) ) e. Fin )
75	37, 41, 44, 74	ffsrn 28320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F e. Fin )
76	35, 75	eqeltrrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
77		unifi 7872	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin /\ { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
78	77	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
79	76, 78	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
80		unifi3 28295	. . . . . . 7 |- ( U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin )
81	79, 80	impbid1 206	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
82	30, 81	bitr4d 259	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
83		opabrn 28222	. . . . . . . 8 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
84	1, 83	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
85	84	eleq1d 2491	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
86	85	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
87	35	sseq1d 3491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran F C_ Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
88	82, 86, 87	3bitr4d 288	. . . 4 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> ran F C_ Fin ) )
89	88	pm5.32da 645	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
90	73	anbi1d 709	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
91	89, 90	bitrd 256	. 2 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
92		ancom 451	. . 3 |- ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) )
93	92	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )
94	6, 91, 93	3bitrd 282	1 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   {cab 2407   =/= wne 2614   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080   \ cdif 3433   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219   {copab 4481   |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854   "cima 4856   Rel wrel 4858   Fun wfun 5595   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-ac2 8900

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-fin 7584  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  28325