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Theorem fpwrelmapffslem 27531
Description: Lemma for fpwrelmapffs 27533. For this theorem, the sets  A and  B could be infinite, but the relation  R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmapffslem.1  |-  A  e. 
_V
fpwrelmapffslem.2  |-  B  e. 
_V
fpwrelmapffslem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> ~P B
)
fpwrelmapffslem.4  |-  ( ph  ->  R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) } )
Assertion
Ref Expression
fpwrelmapffslem  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( ran  F  C_  Fin  /\  ( F supp 
(/) )  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmapffslem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) } )
2 relopab 5119 . . . 4  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }
3 releq 5075 . . . 4  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  ( Rel  R  <->  Rel 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } ) )
42, 3mpbiri 233 . . 3  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  Rel  R )
5 relfi 27435 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin ) ) )
61, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin )
) )
7 rexcom4 3115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  E. z E. x  e.  A  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x )
) )
8 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  w  e.  z )  <->  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x ) ) )
98exbii 1654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x ) ) )
10 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
11 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  ( F `  x ) ) )
1210, 11ceqsexv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  <->  w  e.  ( F `  x ) )
139, 12bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  w  e.  ( F `  x ) )
1413rexbii 2945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  E. x  e.  A  w  e.  ( F `  x ) )
15 r19.42v 2998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  A  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x ) )  <->  ( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
1615exbii 1654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
177, 14, 163bitr3ri 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) )  <->  E. x  e.  A  w  e.  ( F `  x ) )
18 df-rex 2799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  w  e.  ( F `  x )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x )
) )
1917, 18bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x
) )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x ) )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) ) )
21 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
22 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( F `
 x )  <->  w  e.  ( F `  x ) ) )
2322anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x
) ) ) )
2423exbidv 1701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x )
) ) )
2521, 24elab 3232 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  <->  E. x
( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x )
) )
26 eluniab 4245 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  <->  E. z ( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
2720, 25, 263bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
y  |  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) }  <->  w  e.  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } ) )
2827eqrdv 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
2928eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin 
<-> 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin 
<-> 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
31 fpwrelmapffslem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> ~P B
)
32 ffn 5721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> ~P B  ->  F  Fn  A )
33 fnrnfv 5904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
3431, 32, 333syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  F  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
3534adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ran  F  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
36 0ex 4567 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  (/)  e.  _V )
38 fpwrelmapffslem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
_V
39 fex 6130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> ~P B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4031, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  F  e.  _V )
42 ffun 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> ~P B  ->  Fun  F )
4331, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  Fun  F )
45 opabdm 27440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  dom  R  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } )
461, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  R  =  {
x  |  E. y
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) } )
4738, 39mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> ~P B  ->  F  e.  _V )
48 suppimacnv 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  _V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( F supp 
(/) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { (/) } ) ) )
4936, 48mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F supp 
(/) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { (/) } ) ) )
5031, 47, 493syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) ) )
5131feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
5251cnveqd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) )
5352imaeq1d 5326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) )
5450, 53eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) )
55 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
5655mptpreima 5490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " ( _V  \  { (/) } ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  ( _V  \  { (/)
} ) }
5754, 56syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  ( _V  \  { (/) } ) } )
58 suppvalfn 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) } )
5938, 36, 58mp3an23 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F supp 
(/) )  =  {
x  e.  A  | 
( F `  x
)  =/=  (/) } )
6031, 32, 593syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) } )
61 n0 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( F `  x
) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F `
 x ) ) )
6362rabbiia 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) }  =  {
x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) }
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) }  =  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x
) } )
6560, 57, 643eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  ( _V  \  { (/) } ) }  =  {
x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) } )
66 df-rab 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  e.  ( F `
 x ) ) }
67 19.42v 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  e.  ( F `
 x ) ) )
6867abbii 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  E. y  y  e.  ( F `  x ) ) }
6966, 68eqtr4i 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) }  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x
) }  =  {
x  |  E. y
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) } )
7157, 65, 703eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } )
7246, 71eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  R  =  ( F supp  (/) ) )
7372eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dom  R  e. 
Fin 
<->  ( F supp  (/) )  e. 
Fin ) )
7473biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( F supp 
(/) )  e.  Fin )
7537, 41, 44, 74ffsrn 27528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ran  F  e.  Fin )
7635, 75eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin )
77 unifi 7811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  /\  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin )
7877ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
7976, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
80 unifi3 27504 . . . . . . 7  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin )
8179, 80impbid1 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin 
<-> 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
8230, 81bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin 
<->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin ) )
83 opabrn 27441 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  ran  R  =  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } )
841, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  R  =  {
y  |  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) } )
8584eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  R  e. 
Fin 
<->  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin ) )
8685adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( ran  R  e.  Fin  <->  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin ) )
8735sseq1d 3516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( ran  F  C_  Fin  <->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin ) )
8882, 86, 873bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( ran  R  e.  Fin  <->  ran  F  C_  Fin ) )
8988pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin )  <->  ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  F 
C_  Fin ) ) )
9073anbi1d 704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  F  C_ 
Fin )  <->  ( ( F supp 
(/) )  e.  Fin  /\ 
ran  F  C_  Fin )
) )
9189, 90bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin )  <->  ( ( F supp 
(/) )  e.  Fin  /\ 
ran  F  C_  Fin )
) )
92 ancom 450 . . 3  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
Fin  /\  ran  F  C_  Fin )  <->  ( ran  F  C_ 
Fin  /\  ( F supp  (/) )  e.  Fin )
)
9392a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F supp  (/) )  e.  Fin  /\ 
ran  F  C_  Fin )  <->  ( ran  F  C_  Fin  /\  ( F supp  (/) )  e. 
Fin ) ) )
946, 91, 933bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( ran  F  C_  Fin  /\  ( F supp 
(/) )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   {copab 4494    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   "cima 4992   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903   Fincfn 7518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-ac2 8846
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500
This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  27533
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