Theorem fpwrelmapffslem 28392

Description: Lemma for fpwrelmapffs 28394. For this theorem, the sets A and B could be infinite, but the relation R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmapffslem.1	|- A e. _V
fpwrelmapffslem.2	|- B e. _V
fpwrelmapffslem.3	|- ( ph -> F : A --> ~P B )
fpwrelmapffslem.4	|- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmapffslem	|- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmapffslem.4	. . 3 |- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
2		relopab 4965	. . . 4 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
3		releq 4922	. . . 4 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ( Rel R <-> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } ) )
4	2, 3	mpbiri 241	. . 3 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> Rel R )
5		relfi 28289	. . 3 |- ( Rel R -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
7		rexcom4 3053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
8		ancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
9	8	exbii 1726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
10		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` x ) e. _V
11		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` x ) -> ( w e. z <-> w e. ( F ` x ) ) )
12	10, 11	ceqsexv 3070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> w e. ( F ` x ) )
13	9, 12	bitr3i 259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> w e. ( F ` x ) )
14	13	rexbii 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
15		r19.42v 2931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
16	15	exbii 1726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
17	7, 14, 16	3bitr3ri 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
18		df-rex 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. A w e. ( F ` x ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
19	17, 18	bitr2i 258	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) ) )
21		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
22		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y e. ( F ` x ) <-> w e. ( F ` x ) ) )
23	22	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
24	23	exbidv 1776	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
25	21, 24	elab 3173	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
26		eluniab 4201	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
27	20, 25, 26	3bitr4g 296	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } ) )
28	27	eqrdv 2469	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
29	28	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
30	29	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
31		fpwrelmapffslem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ~P B )
32		ffn 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> ~P B -> F Fn A )
33		fnrnfv 5925	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
35	34	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
36		0ex 4528	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> (/) e. _V )
38		fpwrelmapffslem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
39		fex 6155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> ~P B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
40	31, 38, 39	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
41	40	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> F e. _V )
42		ffun 5742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> ~P B -> Fun F )
43	31, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
44	43	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> Fun F )
45		opabdm 28295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
47	38, 39	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> ~P B -> F e. _V )
48		suppimacnv 6944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
49	36, 48	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. _V -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
50	31, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
51	31	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
52	51	cnveqd 5015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> `' F = `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
53	52	imaeq1d 5173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
54	50, 53	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
55		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( F ` x ) ) = ( x e. A |-> ( F ` x ) )
56	55	mptpreima 5335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) }
57	54, 56	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } )
58		suppvalfn 6940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ A e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
59	38, 36, 58	mp3an23 1382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn A -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
60	31, 32, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
61		n0 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) ) )
63	62	rabbiia 3019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
65	60, 57, 64	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
66		df-rab 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
67		19.42v 1842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) )
68	67	abbii 2587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
69	66, 68	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
71	57, 65, 70	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
72	46, 71	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom R = ( F supp (/) ) )
73	72	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dom R e. Fin <-> ( F supp (/) ) e. Fin ) )
74	73	biimpa 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( F supp (/) ) e. Fin )
75	37, 41, 44, 74	ffsrn 28389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F e. Fin )
76	35, 75	eqeltrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
77		unifi 7881	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin /\ { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
78	77	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
79	76, 78	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
80		unifi3 28368	. . . . . . 7 |- ( U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin )
81	79, 80	impbid1 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
82	30, 81	bitr4d 264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
83		opabrn 28296	. . . . . . . 8 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
84	1, 83	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
85	84	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
86	85	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
87	35	sseq1d 3445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran F C_ Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
88	82, 86, 87	3bitr4d 293	. . . 4 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> ran F C_ Fin ) )
89	88	pm5.32da 653	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
90	73	anbi1d 719	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
91	89, 90	bitrd 261	. 2 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
92		ancom 457	. . 3 |- ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) )
93	92	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )
94	6, 91, 93	3bitrd 287	1 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   {copab 4453   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supp csupp 6933   Fincfn 7587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-ac2 8911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  28394