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Theorem fpwrelmapffslem 26054
Description: Lemma for fpwrelmapffs 26056. For this theorem, the sets  A and  B could be infinite, but the relation  R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmapffslem.1  |-  A  e. 
_V
fpwrelmapffslem.2  |-  B  e. 
_V
fpwrelmapffslem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> ~P B
)
fpwrelmapffslem.4  |-  ( ph  ->  R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) } )
Assertion
Ref Expression
fpwrelmapffslem  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( ran  F  C_  Fin  /\  ( F supp 
(/) )  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmapffslem.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) } )
2 relopab 4987 . . . . 5  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }
3 releq 4943 . . . . 5  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  ( Rel  R  <->  Rel 
{ <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } ) )
42, 3mpbiri 233 . . . 4  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  Rel  R )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  R )
6 relfi 25962 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin )
) )
8 rexcom4 3013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  E. z E. x  e.  A  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x )
) )
9 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  w  e.  z )  <->  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x ) ) )
109exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x ) ) )
11 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z  w  e.  ( F `
 x )
12 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
13 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  ( F `  x ) ) )
1411, 12, 13ceqsex 3029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  <->  w  e.  ( F `  x ) )
1510, 14bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  w  e.  ( F `  x ) )
1615rexbii 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  E. x  e.  A  w  e.  ( F `  x ) )
17 r19.42v 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  A  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x ) )  <->  ( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
1817exbii 1634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( w  e.  z  /\  z  =  ( F `  x
) )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
198, 16, 183bitr3ri 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) )  <->  E. x  e.  A  w  e.  ( F `  x ) )
20 df-rex 2742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  w  e.  ( F `  x )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x )
) )
2119, 20bitr2i 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x
) )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x ) )  <->  E. z
( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) ) )
23 vex 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
24 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  y  =  w
25 biidd 237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  A ) )
26 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( F `
 x )  <->  w  e.  ( F `  x ) ) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
)  <->  ( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x
) ) ) )
2824, 27exbid 1820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x )
) ) )
2923, 28elab 3127 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  <->  E. x
( x  e.  A  /\  w  e.  ( F `  x )
) )
30 eluniab 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  <->  E. z ( w  e.  z  /\  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) ) )
3122, 29, 303bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
y  |  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) }  <->  w  e.  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } ) )
3231eqrdv 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
3332eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin 
<-> 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
3433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin 
<-> 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
35 fpwrelmapffslem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> ~P B
)
36 ffn 5580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> ~P B  ->  F  Fn  A )
37 fnrnfv 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  F  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
3938adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ran  F  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) } )
40 0ex 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  (/)  e.  _V )
42 fpwrelmapffslem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
_V
43 fex 5971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> ~P B  /\  A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4435, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  F  e.  _V )
46 ffun 5582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> ~P B  ->  Fun  F )
4735, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  Fun  F )
49 opabdm 25965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  dom  R  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } )
501, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  R  =  {
x  |  E. y
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) } )
5142, 43mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> ~P B  ->  F  e.  _V )
52 suppimacnv 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  _V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  ( F supp 
(/) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { (/) } ) ) )
5340, 52mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F supp 
(/) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { (/) } ) ) )
5435, 51, 533syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) ) )
5535feqmptd 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
5655cnveqd 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  `' F  =  `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) )
5756imaeq1d 5189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { (/)
} ) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) )
5854, 57eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )
" ( _V  \  { (/) } ) ) )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )
6059mptpreima 5352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) ) " ( _V  \  { (/) } ) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  ( _V  \  { (/)
} ) }
6158, 60syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  ( _V  \  { (/) } ) } )
62 suppvalfn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) } )
6342, 40, 62mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F supp 
(/) )  =  {
x  e.  A  | 
( F `  x
)  =/=  (/) } )
6435, 36, 633syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) } )
65 n0 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( F `  x
) )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F `
 x ) ) )
6766rabbiia 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) }  =  {
x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) }
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  =/=  (/) }  =  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x
) } )
6964, 61, 683eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( F `  x )  e.  ( _V  \  { (/) } ) }  =  {
x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) } )
70 df-rab 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  e.  ( F `
 x ) ) }
71 19.42v 1924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y 
y  e.  ( F `
 x ) ) )
7271abbii 2561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  =  { x  |  (
x  e.  A  /\  E. y  y  e.  ( F `  x ) ) }
7370, 72eqtr4i 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x ) }  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  E. y  y  e.  ( F `  x
) }  =  {
x  |  E. y
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) } )
7561, 69, 743eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  =  { x  |  E. y ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } )
7650, 75eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  R  =  ( F supp  (/) ) )
7776eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dom  R  e. 
Fin 
<->  ( F supp  (/) )  e. 
Fin ) )
7877biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( F supp 
(/) )  e.  Fin )
7941, 45, 48, 78ffsrn 26051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ran  F  e.  Fin )
8039, 79eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin )
81 unifi 7621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  /\  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin )
8281ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
8380, 82syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
84 unifi3 26027 . . . . . . . 8  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin )
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin ) )
8683, 85impbid 191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin 
<-> 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  e.  Fin ) )
8734, 86bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin 
<->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin ) )
88 opabrn 25966 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x ) ) }  ->  ran  R  =  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) } )
891, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  R  =  {
y  |  E. x
( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x )
) } )
9089eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  R  e. 
Fin 
<->  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin ) )
9190adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( ran  R  e.  Fin  <->  { y  |  E. x ( x  e.  A  /\  y  e.  ( F `  x
) ) }  e.  Fin ) )
9239sseq1d 3404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( ran  F  C_  Fin  <->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( F `  x ) }  C_  Fin ) )
9387, 91, 923bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  dom  R  e. 
Fin )  ->  ( ran  R  e.  Fin  <->  ran  F  C_  Fin ) )
9493pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin )  <->  ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  F 
C_  Fin ) ) )
9577anbi1d 704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  F  C_ 
Fin )  <->  ( ( F supp 
(/) )  e.  Fin  /\ 
ran  F  C_  Fin )
) )
9694, 95bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( dom  R  e.  Fin  /\  ran  R  e.  Fin )  <->  ( ( F supp 
(/) )  e.  Fin  /\ 
ran  F  C_  Fin )
) )
97 ancom 450 . . 3  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
Fin  /\  ran  F  C_  Fin )  <->  ( ran  F  C_ 
Fin  /\  ( F supp  (/) )  e.  Fin )
)
9897a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F supp  (/) )  e.  Fin  /\ 
ran  F  C_  Fin )  <->  ( ran  F  C_  Fin  /\  ( F supp  (/) )  e. 
Fin ) ) )
997, 96, 983bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Fin  <->  ( ran  F  C_  Fin  /\  ( F supp 
(/) )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112   {copab 4370    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   "cima 4864   Rel wrel 4866   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supp csupp 6711   Fincfn 7331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-ac2 8653
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-fin 7335  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307
This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  26056
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