Theorem fpwrelmapffslem 27531

Description: Lemma for fpwrelmapffs 27533. For this theorem, the sets A and B could be infinite, but the relation R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmapffslem.1	|- A e. _V
fpwrelmapffslem.2	|- B e. _V
fpwrelmapffslem.3	|- ( ph -> F : A --> ~P B )
fpwrelmapffslem.4	|- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmapffslem	|- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmapffslem.4	. . 3 |- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
2		relopab 5119	. . . 4 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
3		releq 5075	. . . 4 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ( Rel R <-> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } ) )
4	2, 3	mpbiri 233	. . 3 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> Rel R )
5		relfi 27435	. . 3 |- ( Rel R -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 20	. 2 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
7		rexcom4 3115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
8		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
9	8	exbii 1654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
10		fvex 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` x ) e. _V
11		eleq2 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` x ) -> ( w e. z <-> w e. ( F ` x ) ) )
12	10, 11	ceqsexv 3132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> w e. ( F ` x ) )
13	9, 12	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> w e. ( F ` x ) )
14	13	rexbii 2945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
15		r19.42v 2998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
16	15	exbii 1654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
17	7, 14, 16	3bitr3ri 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
18		df-rex 2799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. A w e. ( F ` x ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
19	17, 18	bitr2i 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) ) )
21		vex 3098	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
22		eleq1 2515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y e. ( F ` x ) <-> w e. ( F ` x ) ) )
23	22	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
24	23	exbidv 1701	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
25	21, 24	elab 3232	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
26		eluniab 4245	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
27	20, 25, 26	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } ) )
28	27	eqrdv 2440	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
29	28	eleq1d 2512	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
30	29	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
31		fpwrelmapffslem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ~P B )
32		ffn 5721	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> ~P B -> F Fn A )
33		fnrnfv 5904	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
34	31, 32, 33	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
36		0ex 4567	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> (/) e. _V )
38		fpwrelmapffslem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
39		fex 6130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> ~P B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
40	31, 38, 39	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> F e. _V )
42		ffun 5723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> ~P B -> Fun F )
43	31, 42	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> Fun F )
45		opabdm 27440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
46	1, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
47	38, 39	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> ~P B -> F e. _V )
48		suppimacnv 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
49	36, 48	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. _V -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
50	31, 47, 49	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
51	31	feqmptd 5911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
52	51	cnveqd 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> `' F = `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
53	52	imaeq1d 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
54	50, 53	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
55		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( F ` x ) ) = ( x e. A |-> ( F ` x ) )
56	55	mptpreima 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) }
57	54, 56	syl6eq 2500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } )
58		suppvalfn 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ A e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
59	38, 36, 58	mp3an23 1317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn A -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
60	31, 32, 59	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
61		n0 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) ) )
63	62	rabbiia 3084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
65	60, 57, 64	3eqtr3d 2492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
66		df-rab 2802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
67		19.42v 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) )
68	67	abbii 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
69	66, 68	eqtr4i 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
71	57, 65, 70	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
72	46, 71	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom R = ( F supp (/) ) )
73	72	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dom R e. Fin <-> ( F supp (/) ) e. Fin ) )
74	73	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( F supp (/) ) e. Fin )
75	37, 41, 44, 74	ffsrn 27528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F e. Fin )
76	35, 75	eqeltrrd 2532	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
77		unifi 7811	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin /\ { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
78	77	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
79	76, 78	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
80		unifi3 27504	. . . . . . 7 |- ( U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin )
81	79, 80	impbid1 203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
82	30, 81	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
83		opabrn 27441	. . . . . . . 8 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
84	1, 83	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
85	84	eleq1d 2512	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
86	85	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
87	35	sseq1d 3516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran F C_ Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
88	82, 86, 87	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> ran F C_ Fin ) )
89	88	pm5.32da 641	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
90	73	anbi1d 704	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
91	89, 90	bitrd 253	. 2 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
92		ancom 450	. . 3 |- ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) )
93	92	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )
94	6, 91, 93	3bitrd 279	1 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   E.wex 1599   e. wcel 1804   {cab 2428   =/= wne 2638   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   {copab 4494   |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   "cima 4992   Rel wrel 4994   Fun wfun 5572   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903   Fincfn 7518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-ac2 8846

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  27533