Theorem fpwrelmapffslem 28015

Description: Lemma for fpwrelmapffs 28017. For this theorem, the sets A and B could be infinite, but the relation R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmapffslem.1	|- A e. _V
fpwrelmapffslem.2	|- B e. _V
fpwrelmapffslem.3	|- ( ph -> F : A --> ~P B )
fpwrelmapffslem.4	|- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmapffslem	|- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmapffslem.4	. . 3 |- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
2		relopab 4951	. . . 4 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
3		releq 4908	. . . 4 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ( Rel R <-> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } ) )
4	2, 3	mpbiri 235	. . 3 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> Rel R )
5		relfi 27908	. . 3 |- ( Rel R -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
7		rexcom4 3081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
8		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
9	8	exbii 1690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
10		fvex 5861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` x ) e. _V
11		eleq2 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` x ) -> ( w e. z <-> w e. ( F ` x ) ) )
12	10, 11	ceqsexv 3098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> w e. ( F ` x ) )
13	9, 12	bitr3i 253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> w e. ( F ` x ) )
14	13	rexbii 2908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
15		r19.42v 2964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
16	15	exbii 1690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
17	7, 14, 16	3bitr3ri 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
18		df-rex 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. A w e. ( F ` x ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
19	17, 18	bitr2i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) ) )
21		vex 3064	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
22		eleq1 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y e. ( F ` x ) <-> w e. ( F ` x ) ) )
23	22	anbi2d 704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
24	23	exbidv 1737	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
25	21, 24	elab 3198	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
26		eluniab 4204	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
27	20, 25, 26	3bitr4g 290	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } ) )
28	27	eqrdv 2401	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
29	28	eleq1d 2473	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
30	29	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
31		fpwrelmapffslem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ~P B )
32		ffn 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> ~P B -> F Fn A )
33		fnrnfv 5897	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
36		0ex 4528	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> (/) e. _V )
38		fpwrelmapffslem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
39		fex 6128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> ~P B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
40	31, 38, 39	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> F e. _V )
42		ffun 5718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> ~P B -> Fun F )
43	31, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> Fun F )
45		opabdm 27914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
47	38, 39	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> ~P B -> F e. _V )
48		suppimacnv 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
49	36, 48	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. _V -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
50	31, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
51	31	feqmptd 5904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
52	51	cnveqd 5001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> `' F = `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
53	52	imaeq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
54	50, 53	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
55		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( F ` x ) ) = ( x e. A |-> ( F ` x ) )
56	55	mptpreima 5318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) }
57	54, 56	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } )
58		suppvalfn 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ A e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
59	38, 36, 58	mp3an23 1320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn A -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
60	31, 32, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
61		n0 3750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) ) )
63	62	rabbiia 3050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
65	60, 57, 64	3eqtr3d 2453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
66		df-rab 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
67		19.42v 1801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) )
68	67	abbii 2538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
69	66, 68	eqtr4i 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
71	57, 65, 70	3eqtrd 2449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
72	46, 71	eqtr4d 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom R = ( F supp (/) ) )
73	72	eleq1d 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dom R e. Fin <-> ( F supp (/) ) e. Fin ) )
74	73	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( F supp (/) ) e. Fin )
75	37, 41, 44, 74	ffsrn 28012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F e. Fin )
76	35, 75	eqeltrrd 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
77		unifi 7845	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin /\ { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
78	77	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
79	76, 78	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
80		unifi3 27987	. . . . . . 7 |- ( U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin )
81	79, 80	impbid1 205	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
82	30, 81	bitr4d 258	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
83		opabrn 27915	. . . . . . . 8 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
84	1, 83	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
85	84	eleq1d 2473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
86	85	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
87	35	sseq1d 3471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran F C_ Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
88	82, 86, 87	3bitr4d 287	. . . 4 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> ran F C_ Fin ) )
89	88	pm5.32da 641	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
90	73	anbi1d 705	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
91	89, 90	bitrd 255	. 2 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
92		ancom 450	. . 3 |- ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) )
93	92	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )
94	6, 91, 93	3bitrd 281	1 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   = wceq 1407   E.wex 1635   e. wcel 1844   {cab 2389   =/= wne 2600   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   U.cuni 4193   {copab 4454   |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   ran crn 4826   "cima 4828   Rel wrel 4830   Fun wfun 5565   Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   supp csupp 6904   Fincfn 7556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-ac2 8877

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-fin 7560  df-card 8354  df-acn 8357  df-ac 8531

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  28017