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Theorem fpwrelmapffs 26212
Description: Define a canonical mapping between finite relations (finite subsets of a cartesian product) and functions with finite support into finite subsets (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1  |-  A  e. 
_V
fpwrelmap.2  |-  B  e. 
_V
fpwrelmap.3  |-  M  =  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
fpwrelmapffs.1  |-  S  =  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
fpwrelmapffs  |-  ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y, f)    M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmapffs
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . . 4  |-  M  =  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
3 fpwrelmap.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
42, 3, 1fpwrelmap 26211 . . . . 5  |-  M :
( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B )
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  M : ( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B
) )
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  f  e.  ( ~P B  ^m  A
) )
73pwex 4586 . . . . . . . 8  |-  ~P B  e.  _V
8 elmapg 7340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  <->  f : A --> ~P B ) )
97, 2, 8mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  <->  f : A
--> ~P B )
106, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  f : A --> ~P B )
11 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
122, 3, 10, 11fpwrelmapffslem 26210 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( r  e. 
Fin 
<->  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) ) )
13123adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( r  e. 
Fin 
<->  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) ) )
141, 5, 13f1oresrab 5987 . . 3  |-  ( T. 
->  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } )
1514trud 1379 . 2  |-  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }
16 fpwrelmapffs.1 . . . . 5  |-  S  =  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e. 
Fin }
172, 7maprnin 26209 . . . . . 6  |-  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ran  f  C_ 
Fin }
18 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ f
( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A
)
19 nfrab1 3007 . . . . . . 7  |-  F/_ f { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ran  f  C_ 
Fin }
2018, 19rabeqf 3071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ran  f  C_  Fin }  ->  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e. 
Fin }  =  {
f  e.  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ran  f  C_  Fin }  | 
( f supp  (/) )  e. 
Fin } )
2117, 20ax-mp 5 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e.  Fin }  =  { f  e. 
{ f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ran  f  C_ 
Fin }  |  (
f supp  (/) )  e.  Fin }
22 rabrab 26063 . . . . 5  |-  { f  e.  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ran  f  C_  Fin }  | 
( f supp  (/) )  e. 
Fin }  =  {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
2316, 21, 223eqtri 2487 . . . 4  |-  S  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) }
24 dfin5 3447 . . . 4  |-  ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )  =  { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }
25 f1oeq23 5746 . . . 4  |-  ( ( S  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) }  /\  ( ~P ( A  X.  B )  i^i  Fin )  =  { r  e.  ~P ( A  X.  B )  |  r  e.  Fin } )  ->  ( ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )  <->  ( M  |`  S ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } ) )
2623, 24, 25mp2an 672 . . 3  |-  ( ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B )  i^i 
Fin )  <->  ( M  |`  S ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } )
2723reseq2i 5218 . . . 4  |-  ( M  |`  S )  =  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } )
28 f1oeq1 5743 . . . 4  |-  ( ( M  |`  S )  =  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } )  ->  (
( M  |`  S ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }  <->  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } ) )
2927, 28ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( M  |`  S ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }  <->  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } )
3026, 29bitr2i 250 . 2  |-  ( ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }  <->  ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )
)
3115, 30mpbi 208 1  |-  ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {copab 4460    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   ran crn 4952    |` cres 4953   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803    ^m cmap 7327   Fincfn 7423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-ac2 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-fin 7427  df-card 8224  df-acn 8227  df-ac 8401
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