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Theorem fpwrelmapffs 27380
Description: Define a canonical mapping between finite relations (finite subsets of a cartesian product) and functions with finite support into finite subsets (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1  |-  A  e. 
_V
fpwrelmap.2  |-  B  e. 
_V
fpwrelmap.3  |-  M  =  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
fpwrelmapffs.1  |-  S  =  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
fpwrelmapffs  |-  ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y, f)    M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmapffs
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . . 4  |-  M  =  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
3 fpwrelmap.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
42, 3, 1fpwrelmap 27379 . . . . 5  |-  M :
( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B )
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  M : ( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B
) )
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  f  e.  ( ~P B  ^m  A
) )
73pwex 4636 . . . . . . . 8  |-  ~P B  e.  _V
8 elmapg 7445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  <->  f : A --> ~P B ) )
97, 2, 8mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  <->  f : A
--> ~P B )
106, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  f : A --> ~P B )
11 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
122, 3, 10, 11fpwrelmapffslem 27378 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( r  e. 
Fin 
<->  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) ) )
13123adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( r  e. 
Fin 
<->  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) ) )
141, 5, 13f1oresrab 6064 . . 3  |-  ( T. 
->  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } )
1514trud 1388 . 2  |-  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }
16 fpwrelmapffs.1 . . . . 5  |-  S  =  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e. 
Fin }
172, 7maprnin 27377 . . . . . 6  |-  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ran  f  C_ 
Fin }
18 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ f
( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A
)
19 nfrab1 3047 . . . . . . 7  |-  F/_ f { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ran  f  C_ 
Fin }
2018, 19rabeqf 3111 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ran  f  C_  Fin }  ->  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e. 
Fin }  =  {
f  e.  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ran  f  C_  Fin }  | 
( f supp  (/) )  e. 
Fin } )
2117, 20ax-mp 5 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  ^m  A )  |  ( f supp  (/) )  e.  Fin }  =  { f  e. 
{ f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ran  f  C_ 
Fin }  |  (
f supp  (/) )  e.  Fin }
22 rabrab 27222 . . . . 5  |-  { f  e.  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ran  f  C_  Fin }  | 
( f supp  (/) )  e. 
Fin }  =  {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
2316, 21, 223eqtri 2500 . . . 4  |-  S  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) }
24 dfin5 3489 . . . 4  |-  ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )  =  { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }
25 f1oeq23 5816 . . . 4  |-  ( ( S  =  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) }  /\  ( ~P ( A  X.  B )  i^i  Fin )  =  { r  e.  ~P ( A  X.  B )  |  r  e.  Fin } )  ->  ( ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )  <->  ( M  |`  S ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } ) )
2623, 24, 25mp2an 672 . . 3  |-  ( ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B )  i^i 
Fin )  <->  ( M  |`  S ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } )
2723reseq2i 5276 . . . 4  |-  ( M  |`  S )  =  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } )
28 f1oeq1 5813 . . . 4  |-  ( ( M  |`  S )  =  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } )  ->  (
( M  |`  S ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }  <->  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } ) )
2927, 28ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( M  |`  S ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }  <->  ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  (
f supp  (/) )  e.  Fin ) } ) : {
f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_ 
Fin  /\  ( f supp  (/) )  e.  Fin ) }
-1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin } )
3026, 29bitr2i 250 . 2  |-  ( ( M  |`  { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } ) : { f  e.  ( ~P B  ^m  A )  |  ( ran  f  C_  Fin  /\  ( f supp  (/) )  e. 
Fin ) } -1-1-onto-> { r  e.  ~P ( A  X.  B
)  |  r  e. 
Fin }  <->  ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )
)
3115, 30mpbi 208 1  |-  ( M  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A  X.  B
)  i^i  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {copab 4510    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   ran crn 5006    |` cres 5007   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913    ^m cmap 7432   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-ac2 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-fin 7532  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509
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