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Theorem fpwrelmap 26033
Description: Define a canonical mapping between functions from  A into subsets of  B and the relations with domain  A and range within  B. Note that the same relation is used in axdc2lem 8617 and marypha2lem1 7685. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1  |-  A  e. 
_V
fpwrelmap.2  |-  B  e. 
_V
fpwrelmap.3  |-  M  =  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
Assertion
Ref Expression
fpwrelmap  |-  M :
( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmap
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . 3  |-  M  =  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  |->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  A  e.  _V )
4 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  y  e.  ( f `  x
) )
5 elmapi 7234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  f : A --> ~P B )
65ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f `  x )  e.  ~P B )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  (
f `  x )  e.  ~P B )
8 elelpwi 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( f `
 x )  /\  ( f `  x
)  e.  ~P B
)  ->  y  e.  B )
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  y  e.  B )
109ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( f `  x
)  ->  y  e.  B ) )
1110alrimiv 1685 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  x  e.  A
)  ->  A. y
( y  e.  ( f `  x )  ->  y  e.  B
) )
12 abss 3421 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  y  e.  ( f `  x
) }  C_  B  <->  A. y ( y  e.  ( f `  x
)  ->  y  e.  B ) )
13 fpwrelmap.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
1413ssex 4436 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  y  e.  ( f `  x
) }  C_  B  ->  { y  |  y  e.  ( f `  x ) }  e.  _V )
1512, 14sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e.  ( f `  x
)  ->  y  e.  B )  ->  { y  |  y  e.  ( f `  x ) }  e.  _V )
1611, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  x  e.  A
)  ->  { y  |  y  e.  (
f `  x ) }  e.  _V )
173, 16opabex3d 6555 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) }  e.  _V )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ~P B  ^m  A ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) }  e.  _V )
192mptex 5948 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )  e.  _V
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( T.  /\  r  e. 
~P ( A  X.  B ) )  -> 
( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )  e.  _V )
2110imdistanda 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  (
f `  x )
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
2221ssopab2dv 4617 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } 
C_  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) } )
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } 
C_  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) } )
24 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
25 df-xp 4846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) }
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( A  X.  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) } )
2724, 26sseq12d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( r  C_  ( A  X.  B
)  <->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) } ) )
2823, 27mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  r  C_  ( A  X.  B ) )
29 selpw 3867 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  <->  r  C_  ( A  X.  B
) )
3028, 29sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  r  e.  ~P ( A  X.  B
) )
315feqmptd 5744 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  f  =  ( x  e.  A  |->  ( f `  x ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  f  =  ( x  e.  A  |->  ( f `  x ) ) )
33 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  e.  ( ~P B  ^m  A )
34 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
r
35 nfopab1 4358 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) }
3634, 35nfeq 2586 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) }
3733, 36nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
38 df-rab 2724 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  B  |  x r y }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  x r y ) }
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  { y  e.  B  |  x
r y }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  x r y ) } )
40 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  f  e.  ( ~P B  ^m  A )
41 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
r
42 nfopab2 4359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) }
4341, 42nfeq 2586 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) }
4440, 43nfan 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
45 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  x  e.  A
4644, 45nfan 1861 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)
4710adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( f `  x
)  ->  y  e.  B ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  y  e.  B )
49 df-br 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x r y  <->  <. x ,  y >.  e.  r
)
50 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  r  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } ) )
51 opabid 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) }  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) )
5250, 51syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  r  <-> 
( x  e.  A  /\  y  e.  (
f `  x )
) ) )
5349, 52syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) }  ->  ( x r y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) ) )
5453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x
r y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) ) )
55 elfvdm 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  dom  f )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  y  e.  ( f `  x ) )  ->  x  e.  dom  f )
57 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : A --> ~P B  ->  dom  f  =  A )
585, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  dom  f  =  A )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  y  e.  ( f `  x ) )  ->  dom  f  =  A )
6056, 59eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  y  e.  ( f `  x ) )  ->  x  e.  A )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  (
y  e.  ( f `
 x )  ->  x  e.  A )
)
6261pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  ->  (
y  e.  ( f `
 x )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) ) )
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( f `  x
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) ) )
6454, 63bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x
r y  <->  y  e.  ( f `  x
) ) )
6564bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( f `  x
)  <->  x r y ) )
6665biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  x
r y )
6748, 66jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  (
y  e.  B  /\  x r y ) )
6867ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( f `  x
)  ->  ( y  e.  B  /\  x
r y ) ) )
6964biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x
r y  ->  y  e.  ( f `  x
) ) )
7069adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  B  /\  x r y )  ->  y  e.  ( f `  x ) ) )
7168, 70impbid 191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( f `  x
)  <->  ( y  e.  B  /\  x r y ) ) )
7246, 71abbid 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  { y  |  y  e.  (
f `  x ) }  =  { y  |  ( y  e.  B  /\  x r y ) } )
73 abid2 2560 . . . . . . . . . 10  |-  { y  |  y  e.  ( f `  x ) }  =  ( f `
 x )
7473a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  { y  |  y  e.  (
f `  x ) }  =  ( f `  x ) )
7539, 72, 743eqtr2rd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f `  x )  =  {
y  e.  B  |  x r y } )
7637, 75mpteq2da 4377 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( x  e.  A  |->  ( f `  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )
7732, 76eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )
7830, 77jca 532 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  ->  ( r  e. 
~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) ) )
79 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  B  |  x r y }  C_  B
8013, 79ssexi 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  B  |  x r y }  e.  _V
81 elpwg 3868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { y  e.  B  |  x r y }  e.  _V  ->  ( { y  e.  B  |  x r y }  e.  ~P B  <->  { y  e.  B  |  x
r y }  C_  B ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { y  e.  B  |  x r y }  e.  ~P B  <->  { y  e.  B  |  x
r y }  C_  B )
8379, 82mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  B  |  x r y }  e.  ~P B
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  x  e.  A )  ->  { y  e.  B  |  x r y }  e.  ~P B )
85 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )
8684, 85fmptd 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  -> 
( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) : A --> ~P B
)
8786adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) : A --> ~P B
)
88 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )
8988feq1d 5546 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( f : A --> ~P B  <->  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) : A --> ~P B
) )
9087, 89mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  f : A
--> ~P B )
9113pwex 4475 . . . . . . . 8  |-  ~P B  e.  _V
92 elmapg 7227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A
)  <->  f : A --> ~P B ) )
9391, 2, 92mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  <->  f : A
--> ~P B )
9490, 93sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  f  e.  ( ~P B  ^m  A
) )
9529biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  -> 
r  C_  ( A  X.  B ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  r  C_  ( A  X.  B
) )
97 xpss 4946 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
9896, 97syl6ss 3368 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  r  C_  ( _V  X.  _V )
)
99 df-rel 4847 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  r  <->  r  C_  ( _V  X.  _V ) )
10098, 99sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  Rel  r )
101 relopab 4966 . . . . . . . 8  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) }
102101a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) } )
103 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) ) )
104 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  r  e.  ~P ( A  X.  B )
105 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
f
106 nfmpt1 4381 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )
107105, 106nfeq 2586 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )
108104, 107nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )
109 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  r  e.  ~P ( A  X.  B )
110 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
f
11145nfci 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y A
112 nfrab1 2901 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y { y  e.  B  |  x r y }
113111, 112nfmpt 4380 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )
114110, 113nfeq 2586 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } )
115109, 114nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )
116 brelg 25941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  C_  ( A  X.  B )  /\  x
r y )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )
11795, 116sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  x r y )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
118117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )
119118simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  ->  x  e.  A )
120118simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
y  e.  B )
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  ->  x r y )
122 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
r  e.  ~P ( A  X.  B ) )
12388adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )
12488fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) `  x ) )
12585fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  A  /\  { y  e.  B  |  x r y }  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) `  x )  =  {
y  e.  B  |  x r y } )
12680, 125mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) `  x )  =  { y  e.  B  |  x r y } )
127124, 126sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  =  { y  e.  B  |  x r y } )
128127eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  ( f `
 x )  <->  y  e.  { y  e.  B  |  x r y } ) )
129 rabid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { y  e.  B  |  x r y }  <->  ( y  e.  B  /\  x
r y ) )
130128, 129syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  ( f `
 x )  <->  ( y  e.  B  /\  x
r y ) ) )
131122, 123, 119, 130syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
( y  e.  ( f `  x )  <-> 
( y  e.  B  /\  x r y ) ) )
132120, 121, 131mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
y  e.  ( f `
 x ) )
133119, 132jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x
r y )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  (
f `  x )
) )
134133ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( x
r y  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) ) ) )
135130simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  e. 
~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  ( f `  x
) )  ->  x
r y )
136135ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  ( f `
 x )  ->  x r y ) )
137136expimpd 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x ) )  ->  x r y ) )
138134, 137impbid 191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( x
r y  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) ) )
13949, 138syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  r  <-> 
( x  e.  A  /\  y  e.  (
f `  x )
) ) )
140139, 51syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  r  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } ) )
141108, 115, 34, 41, 35, 42, 140eqrelrd2 25946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Rel  r  /\  Rel  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  /\  ( r  e. 
~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) ) )  ->  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
142100, 102, 103, 141syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )
14394, 142jca 532 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ~P ( A  X.  B )  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) )  ->  ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } ) )
14478, 143impbii 188 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  <-> 
( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) ) )
145144a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( f  e.  ( ~P B  ^m  A )  /\  r  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  y  e.  ( f `  x
) ) } )  <-> 
( r  e.  ~P ( A  X.  B
)  /\  f  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  x r y } ) ) ) )
1461, 18, 20, 145f1od 6310 . 2  |-  ( T. 
->  M : ( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B
) )
147146trud 1378 1  |-  M :
( ~P B  ^m  A ) -1-1-onto-> ~P ( A  X.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   {cab 2429   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   <.cop 3883   class class class wbr 4292   {copab 4349    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   dom cdm 4840   Rel wrel 4845   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-map 7216
This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  26034
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