Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpwrelmap Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fpwrelmap 28393
 Description: Define a canonical mapping between functions from into subsets of and the relations with domain and range within . Note that the same relation is used in axdc2lem 8896 and marypha2lem1 7967. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1
fpwrelmap.2
fpwrelmap.3
Assertion
Ref Expression
fpwrelmap
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem fpwrelmap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . 3
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 simpr 468 . . . . . . . . 9
5 elmapi 7511 . . . . . . . . . . 11
65ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
76adantr 472 . . . . . . . . 9
8 elelpwi 3953 . . . . . . . . 9
94, 7, 8syl2anc 673 . . . . . . . 8
109ex 441 . . . . . . 7
1110alrimiv 1781 . . . . . 6
12 abss 3484 . . . . . . 7
13 fpwrelmap.2 . . . . . . . 8
1413ssex 4540 . . . . . . 7
1512, 14sylbir 218 . . . . . 6
1611, 15syl 17 . . . . 5
173, 16opabex3d 6790 . . . 4
192mptex 6152 . . . 4
2019a1i 11 . . 3
2110imdistanda 707 . . . . . . . . . 10
2221ssopab2dv 4730 . . . . . . . . 9
2322adantr 472 . . . . . . . 8
24 simpr 468 . . . . . . . 8
25 df-xp 4845 . . . . . . . . 9
2625a1i 11 . . . . . . . 8
2723, 24, 263sstr4d 3461 . . . . . . 7
28 selpw 3949 . . . . . . 7
2927, 28sylibr 217 . . . . . 6
305feqmptd 5932 . . . . . . . 8
3130adantr 472 . . . . . . 7
32 nfv 1769 . . . . . . . . 9
33 nfopab1 4462 . . . . . . . . . 10
3433nfeq2 2627 . . . . . . . . 9
3532, 34nfan 2031 . . . . . . . 8
36 df-rab 2765 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
38 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
39 nfopab2 4463 . . . . . . . . . . . . 13
4039nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . 12
4138, 40nfan 2031 . . . . . . . . . . 11
42 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
4341, 42nfan 2031 . . . . . . . . . 10
449adantllr 733 . . . . . . . . . . . . 13
45 df-br 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 opabid 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4846, 47syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4945, 48syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 elfvdm 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
545, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5652, 55eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857pm4.71rd 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
6050, 59bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . 14
6160biimpar 493 . . . . . . . . . . . . 13
6244, 61jca 541 . . . . . . . . . . . 12
6362ex 441 . . . . . . . . . . 11
6460biimpd 212 . . . . . . . . . . . 12
6564adantld 474 . . . . . . . . . . 11
6663, 65impbid 195 . . . . . . . . . 10
6743, 66abbid 2588 . . . . . . . . 9
68 abid2 2593 . . . . . . . . . 10
6968a1i 11 . . . . . . . . 9
7037, 67, 693eqtr2rd 2512 . . . . . . . 8
7135, 70mpteq2da 4481 . . . . . . 7
7231, 71eqtrd 2505 . . . . . 6
7329, 72jca 541 . . . . 5
74 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . 12
7513elpw2 4565 . . . . . . . . . . . 12
7674, 75mpbir 214 . . . . . . . . . . 11
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10
78 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
7977, 78fmptd 6061 . . . . . . . . 9
8079adantr 472 . . . . . . . 8
81 simpr 468 . . . . . . . . 9
8281feq1d 5724 . . . . . . . 8
8380, 82mpbird 240 . . . . . . 7
8413pwex 4584 . . . . . . . 8
8584, 2elmap 7518 . . . . . . 7
8683, 85sylibr 217 . . . . . 6
87 elpwi 3951 . . . . . . . . . 10
8887adantr 472 . . . . . . . . 9
89 xpss 4946 . . . . . . . . 9
9088, 89syl6ss 3430 . . . . . . . 8
91 df-rel 4846 . . . . . . . 8
9290, 91sylibr 217 . . . . . . 7
93 relopab 4965 . . . . . . . 8
9493a1i 11 . . . . . . 7
95 id 22 . . . . . . 7
96 nfv 1769 . . . . . . . . 9
97 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10
9897nfeq2 2627 . . . . . . . . 9
9996, 98nfan 2031 . . . . . . . 8
100 nfv 1769 . . . . . . . . 9
10142nfci 2602 . . . . . . . . . . 11
102 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . 11
103101, 102nfmpt 4484 . . . . . . . . . 10
104103nfeq2 2627 . . . . . . . . 9
105100, 104nfan 2031 . . . . . . . 8
106 nfcv 2612 . . . . . . . 8
107 nfcv 2612 . . . . . . . 8
108 brelg 28293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10987, 108sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
111110simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13
112110simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14
113 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
11481fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11513rabex 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11678fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117115, 116mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118114, 117sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119118eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121119, 120syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . 15
122111, 121syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14
123112, 113, 122mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . 13
124111, 123jca 541 . . . . . . . . . . . 12
125124ex 441 . . . . . . . . . . 11
126121simplbda 636 . . . . . . . . . . . 12
127126expl 630 . . . . . . . . . . 11
128125, 127impbid 195 . . . . . . . . . 10
12945, 128syl5bbr 267 . . . . . . . . 9
130129, 47syl6bbr 271 . . . . . . . 8
13199, 105, 106, 107, 33, 39, 130eqrelrd2 28298 . . . . . . 7
13292, 94, 95, 131syl21anc 1291 . . . . . 6
13386, 132jca 541 . . . . 5
13473, 133impbii 192 . . . 4
135134a1i 11 . . 3
1361, 18, 20, 135f1od 6538 . 2
137136trud 1461 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376  wal 1450   wceq 1452   wtru 1453   wcel 1904  cab 2457  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  cpw 3942  cop 3965   class class class wbr 4395  copab 4453   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   wrel 4844  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492 This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  28394
 Copyright terms: Public domain W3C validator