Theorem fpwrelmap 28393

Description: Define a canonical mapping between functions from A into subsets of B and the relations with domain A and range within B. Note that the same relation is used in axdc2lem 8896 and marypha2lem1 7967. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmap.1	|- A e. _V
fpwrelmap.2	|- B e. _V
fpwrelmap.3	|- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmap	|- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Allowed substitution hints:   M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmap

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmap.3	. . 3 |- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
2		fpwrelmap.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> A e. _V )
4		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. ( f ` x ) )
5		elmapi 7511	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B )
6	5	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
7	6	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
8		elelpwi 3953	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( f ` x ) /\ ( f ` x ) e. ~P B ) -> y e. B )
9	4, 7, 8	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
10	9	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
11	10	alrimiv 1781	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
12		abss 3484	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B <-> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
13		fpwrelmap.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
14	13	ssex 4540	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
15	12, 14	sylbir 218	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
17	3, 16	opabex3d 6790	. . . 4 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
18	17	adantl 473	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
19	2	mptex 6152	. . . 4 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ( T. /\ r e. ~P ( A X. B ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V )
21	10	imdistanda 707	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
22	21	ssopab2dv 4730	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
23	22	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
24		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
25		df-xp 4845	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
27	23, 24, 26	3sstr4d 3461	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r C_ ( A X. B ) )
28		selpw 3949	. . . . . . 7 |- ( r e. ~P ( A X. B ) <-> r C_ ( A X. B ) )
29	27, 28	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r e. ~P ( A X. B ) )
30	5	feqmptd 5932	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
31	30	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
32		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ x f e. ( ~P B ^m A )
33		nfopab1 4462	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
34	33	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ x r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
35	32, 34	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
36		df-rab 2765	. . . . . . . . . 10 |- { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) }
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
38		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y f e. ( ~P B ^m A )
39		nfopab2 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
40	39	nfeq2 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
41	38, 40	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
42		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. A
43	41, 42	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A )
44	9	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
45		df-br 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x r y <-> <. x , y >. e. r )
46		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
47		opabid 4708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
48	46, 47	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
49	45, 48	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
50	49	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
51		elfvdm 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( f ` x ) -> x e. dom f )
52	51	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. dom f )
53		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : A --> ~P B -> dom f = A )
54	5, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> dom f = A )
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> dom f = A )
56	52, 55	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. A )
57	56	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> x e. A ) )
58	57	pm4.71rd 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
59	58	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
60	50, 59	bitr4d 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> y e. ( f ` x ) ) )
61	60	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
62	44, 61	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( y e. B /\ x r y ) )
63	62	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> ( y e. B /\ x r y ) ) )
64	60	biimpd 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y -> y e. ( f ` x ) ) )
65	64	adantld 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. B /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) ) )
66	63, 65	impbid 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
67	43, 66	abbid 2588	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
68		abid2 2593	. . . . . . . . . 10 |- { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x ) )
70	37, 67, 69	3eqtr2rd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
71	35, 70	mpteq2da 4481	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( x e. A |-> ( f ` x ) ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
72	31, 71	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
73	29, 72	jca 541	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
74		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | x r y } C_ B
75	13	elpw2 4565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { y e. B | x r y } e. ~P B <-> { y e. B | x r y } C_ B )
76	74, 75	mpbir 214	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | x r y } e. ~P B
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } e. ~P B )
78		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
79	77, 78	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
80	79	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
81		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
82	81	feq1d 5724	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f : A --> ~P B <-> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B ) )
83	80, 82	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f : A --> ~P B )
84	13	pwex 4584	. . . . . . . 8 |- ~P B e. _V
85	84, 2	elmap 7518	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B )
86	83, 85	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f e. ( ~P B ^m A ) )
87		elpwi 3951	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> r C_ ( A X. B ) )
88	87	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( A X. B ) )
89		xpss 4946	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
90	88, 89	syl6ss 3430	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( _V X. _V ) )
91		df-rel 4846	. . . . . . . 8 |- ( Rel r <-> r C_ ( _V X. _V ) )
92	90, 91	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel r )
93		relopab 4965	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
95		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
96		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ x r e. ~P ( A X. B )
97		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
98	97	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
99	96, 98	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ x ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
100		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ y r e. ~P ( A X. B )
101	42	nfci 2602	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
102		nfrab1 2957	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y { y e. B | x r y }
103	101, 102	nfmpt 4484	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
104	103	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ y f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
105	100, 104	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ y ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
106		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x r
107		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ y r
108		brelg 28293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r C_ ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
109	87, 108	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
110	109	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
111	110	simpld 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x e. A )
112	110	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. B )
113		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x r y )
114	81	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) )
115	13	rabex 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. B | x r y } e. _V
116	78	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ { y e. B | x r y } e. _V ) -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
117	115, 116	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
118	114, 117	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
119	118	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. { y e. B | x r y } ) )
120		rabid 2953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | x r y } <-> ( y e. B /\ x r y ) )
121	119, 120	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
122	111, 121	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
123	112, 113, 122	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) )
124	111, 123	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
125	124	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
126	121	simplbda 636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
127	126	expl 630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y ) )
128	125, 127	impbid 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
129	45, 128	syl5bbr 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
130	129, 47	syl6bbr 271	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
131	99, 105, 106, 107, 33, 39, 130	eqrelrd2 28298	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rel r /\ Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
132	92, 94, 95, 131	syl21anc 1291	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
133	86, 132	jca 541	. . . . 5 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
134	73, 133	impbii 192	. . . 4 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
135	134	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) )
136	1, 18, 20, 135	f1od 6538	. 2 |- ( T. -> M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B ) )
137	136	trud 1461	1 |- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   T. wtru 1453   e. wcel 1904   {cab 2457   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  28394