Theorem fpwrelmap 27706

Description: Define a canonical mapping between functions from A into subsets of B and the relations with domain A and range within B. Note that the same relation is used in axdc2lem 8741 and marypha2lem1 7810. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmap.1	|- A e. _V
fpwrelmap.2	|- B e. _V
fpwrelmap.3	|- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmap	|- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Allowed substitution hints:   M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmap

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmap.3	. . 3 |- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
2		fpwrelmap.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> A e. _V )
4		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. ( f ` x ) )
5		elmapi 7359	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B )
6	5	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
7	6	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
8		elelpwi 3938	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( f ` x ) /\ ( f ` x ) e. ~P B ) -> y e. B )
9	4, 7, 8	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
10	9	ex 432	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
11	10	alrimiv 1727	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
12		abss 3483	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B <-> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
13		fpwrelmap.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
14	13	ssex 4509	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
15	12, 14	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
16	11, 15	syl 16	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
17	3, 16	opabex3d 6677	. . . 4 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
18	17	adantl 464	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
19	2	mptex 6044	. . . 4 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ( T. /\ r e. ~P ( A X. B ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V )
21	10	imdistanda 691	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
22	21	ssopab2dv 4690	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
23	22	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
24		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
25		df-xp 4919	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
27	23, 24, 26	3sstr4d 3460	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r C_ ( A X. B ) )
28		selpw 3934	. . . . . . 7 |- ( r e. ~P ( A X. B ) <-> r C_ ( A X. B ) )
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r e. ~P ( A X. B ) )
30	5	feqmptd 5827	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
32		nfv 1715	. . . . . . . . 9 |- F/ x f e. ( ~P B ^m A )
33		nfopab1 4433	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
34	33	nfeq2 2561	. . . . . . . . 9 |- F/ x r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
35	32, 34	nfan 1936	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
36		df-rab 2741	. . . . . . . . . 10 |- { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) }
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
38		nfv 1715	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y f e. ( ~P B ^m A )
39		nfopab2 4434	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
40	39	nfeq2 2561	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
41	38, 40	nfan 1936	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
42		nfv 1715	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. A
43	41, 42	nfan 1936	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A )
44	9	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
45		df-br 4368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x r y <-> <. x , y >. e. r )
46		eleq2 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
47		opabid 4668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
48	46, 47	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
49	45, 48	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
50	49	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
51		elfvdm 5800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( f ` x ) -> x e. dom f )
52	51	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. dom f )
53		fdm 5643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : A --> ~P B -> dom f = A )
54	5, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> dom f = A )
55	54	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> dom f = A )
56	52, 55	eleqtrd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. A )
57	56	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> x e. A ) )
58	57	pm4.71rd 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
59	58	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
60	50, 59	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> y e. ( f ` x ) ) )
61	60	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
62	44, 61	jca 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( y e. B /\ x r y ) )
63	62	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> ( y e. B /\ x r y ) ) )
64	60	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y -> y e. ( f ` x ) ) )
65	64	adantld 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. B /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) ) )
66	63, 65	impbid 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
67	43, 66	abbid 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
68		abid2 2522	. . . . . . . . . 10 |- { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x ) )
70	37, 67, 69	3eqtr2rd 2430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
71	35, 70	mpteq2da 4452	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( x e. A |-> ( f ` x ) ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
72	31, 71	eqtrd 2423	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
73	29, 72	jca 530	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
74		ssrab2 3499	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | x r y } C_ B
75	13	elpw2 4529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { y e. B | x r y } e. ~P B <-> { y e. B | x r y } C_ B )
76	74, 75	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | x r y } e. ~P B
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } e. ~P B )
78		eqid 2382	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
79	77, 78	fmptd 5957	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
80	79	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
81		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
82	81	feq1d 5625	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f : A --> ~P B <-> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B ) )
83	80, 82	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f : A --> ~P B )
84	13	pwex 4548	. . . . . . . 8 |- ~P B e. _V
85	84, 2	elmap 7366	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B )
86	83, 85	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f e. ( ~P B ^m A ) )
87		elpwi 3936	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> r C_ ( A X. B ) )
88	87	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( A X. B ) )
89		xpss 5022	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
90	88, 89	syl6ss 3429	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( _V X. _V ) )
91		df-rel 4920	. . . . . . . 8 |- ( Rel r <-> r C_ ( _V X. _V ) )
92	90, 91	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel r )
93		relopab 5041	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
95		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
96		nfv 1715	. . . . . . . . 9 |- F/ x r e. ~P ( A X. B )
97		nfmpt1 4456	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
98	97	nfeq2 2561	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
99	96, 98	nfan 1936	. . . . . . . 8 |- F/ x ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
100		nfv 1715	. . . . . . . . 9 |- F/ y r e. ~P ( A X. B )
101	42	nfci 2533	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
102		nfrab1 2963	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y { y e. B | x r y }
103	101, 102	nfmpt 4455	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
104	103	nfeq2 2561	. . . . . . . . 9 |- F/ y f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
105	100, 104	nfan 1936	. . . . . . . 8 |- F/ y ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
106		nfcv 2544	. . . . . . . 8 |- F/_ x r
107		nfcv 2544	. . . . . . . 8 |- F/_ y r
108		brelg 27596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r C_ ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
109	87, 108	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
110	109	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
111	110	simpld 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x e. A )
112	110	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. B )
113		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x r y )
114	81	fveq1d 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) )
115	13	rabex 4516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. B | x r y } e. _V
116	78	fvmpt2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ { y e. B | x r y } e. _V ) -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
117	115, 116	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
118	114, 117	sylan9eq 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
119	118	eleq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. { y e. B | x r y } ) )
120		rabid 2959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | x r y } <-> ( y e. B /\ x r y ) )
121	119, 120	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
122	111, 121	syldan 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
123	112, 113, 122	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) )
124	111, 123	jca 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
125	124	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
126	121	simplbda 622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
127	126	expl 616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y ) )
128	125, 127	impbid 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
129	45, 128	syl5bbr 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
130	129, 47	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
131	99, 105, 106, 107, 33, 39, 130	eqrelrd2 27601	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rel r /\ Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
132	92, 94, 95, 131	syl21anc 1225	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
133	86, 132	jca 530	. . . . 5 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
134	73, 133	impbii 188	. . . 4 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
135	134	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) )
136	1, 18, 20, 135	f1od 6424	. 2 |- ( T. -> M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B ) )
137	136	trud 1408	1 |- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1397   = wceq 1399   T. wtru 1400   e. wcel 1826   {cab 2367   {crab 2736   _Vcvv 3034   C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   <.cop 3950   class class class wbr 4367   {copab 4424   |-> cmpt 4425   X. cxp 4911   dom cdm 4913   Rel wrel 4918   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ^m cmap 7338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-map 7340

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  27707