Theorem fpwrelmap 27256

Description: Define a canonical mapping between functions from A into subsets of B and the relations with domain A and range within B. Note that the same relation is used in axdc2lem 8828 and marypha2lem1 7895. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmap.1	|- A e. _V
fpwrelmap.2	|- B e. _V
fpwrelmap.3	|- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmap	|- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Allowed substitution hints:   M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmap

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmap.3	. . 3 |- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
2		fpwrelmap.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> A e. _V )
4		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. ( f ` x ) )
5		elmapi 7440	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B )
6	5	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
7	6	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
8		elelpwi 4021	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( f ` x ) /\ ( f ` x ) e. ~P B ) -> y e. B )
9	4, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
10	9	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
11	10	alrimiv 1695	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
12		abss 3569	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B <-> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
13		fpwrelmap.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
14	13	ssex 4591	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
15	12, 14	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
16	11, 15	syl 16	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
17	3, 16	opabex3d 6762	. . . 4 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
18	17	adantl 466	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
19	2	mptex 6131	. . . 4 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ( T. /\ r e. ~P ( A X. B ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V )
21	10	imdistanda 693	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
22	21	ssopab2dv 4776	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
23	22	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
24		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
25		df-xp 5005	. . . . . . . . . 10 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
27	24, 26	sseq12d 3533	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r C_ ( A X. B ) <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } ) )
28	23, 27	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r C_ ( A X. B ) )
29		selpw 4017	. . . . . . 7 |- ( r e. ~P ( A X. B ) <-> r C_ ( A X. B ) )
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r e. ~P ( A X. B ) )
31	5	feqmptd 5920	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
33		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ x f e. ( ~P B ^m A )
34		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x r
35		nfopab1 4513	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
36	34, 35	nfeq 2640	. . . . . . . . 9 |- F/ x r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
37	33, 36	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
38		df-rab 2823	. . . . . . . . . 10 |- { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) }
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
40		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y f e. ( ~P B ^m A )
41		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y r
42		nfopab2 4514	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
43	41, 42	nfeq 2640	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
44	40, 43	nfan 1875	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
45		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. A
46	44, 45	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A )
47	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
48	47	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
49		df-br 4448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x r y <-> <. x , y >. e. r )
50		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
51		opabid 4754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
52	50, 51	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
53	49, 52	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
54	53	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
55		elfvdm 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( f ` x ) -> x e. dom f )
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. dom f )
57		fdm 5735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : A --> ~P B -> dom f = A )
58	5, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> dom f = A )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> dom f = A )
60	56, 59	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. A )
61	60	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> x e. A ) )
62	61	pm4.71rd 635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
63	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
64	54, 63	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> y e. ( f ` x ) ) )
65	64	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> x r y ) )
66	65	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
67	48, 66	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( y e. B /\ x r y ) )
68	67	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> ( y e. B /\ x r y ) ) )
69	64	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y -> y e. ( f ` x ) ) )
70	69	adantld 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. B /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) ) )
71	68, 70	impbid 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
72	46, 71	abbid 2602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
73		abid2 2607	. . . . . . . . . 10 |- { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x )
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x ) )
75	39, 72, 74	3eqtr2rd 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
76	37, 75	mpteq2da 4532	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( x e. A |-> ( f ` x ) ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
77	32, 76	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
78	30, 77	jca 532	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
79		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | x r y } C_ B
80	13, 79	ssexi 4592	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. B | x r y } e. _V
81		elpwg 4018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { y e. B | x r y } e. _V -> ( { y e. B | x r y } e. ~P B <-> { y e. B | x r y } C_ B ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { y e. B | x r y } e. ~P B <-> { y e. B | x r y } C_ B )
83	79, 82	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | x r y } e. ~P B
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } e. ~P B )
85		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
86	84, 85	fmptd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
87	86	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
88		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
89	88	feq1d 5717	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f : A --> ~P B <-> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B ) )
90	87, 89	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f : A --> ~P B )
91	13	pwex 4630	. . . . . . . 8 |- ~P B e. _V
92		elmapg 7433	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P B e. _V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B ) )
93	91, 2, 92	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B )
94	90, 93	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f e. ( ~P B ^m A ) )
95	29	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> r C_ ( A X. B ) )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( A X. B ) )
97		xpss 5109	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
98	96, 97	syl6ss 3516	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( _V X. _V ) )
99		df-rel 5006	. . . . . . . 8 |- ( Rel r <-> r C_ ( _V X. _V ) )
100	98, 99	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel r )
101		relopab 5129	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
102	101	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
103		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
104		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ x r e. ~P ( A X. B )
105		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x f
106		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
107	105, 106	nfeq 2640	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
108	104, 107	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ x ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
109		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ y r e. ~P ( A X. B )
110		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y f
111	45	nfci 2618	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
112		nfrab1 3042	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y { y e. B | x r y }
113	111, 112	nfmpt 4535	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
114	110, 113	nfeq 2640	. . . . . . . . 9 |- F/ y f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
115	109, 114	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ y ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
116		brelg 27163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r C_ ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
117	95, 116	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
118	117	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
119	118	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x e. A )
120	118	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. B )
121		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x r y )
122		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> r e. ~P ( A X. B ) )
123	88	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
124	88	fveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) )
125	85	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ { y e. B | x r y } e. _V ) -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
126	80, 125	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
127	124, 126	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
128	127	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. { y e. B | x r y } ) )
129		rabid 3038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | x r y } <-> ( y e. B /\ x r y ) )
130	128, 129	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
131	122, 123, 119, 130	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
132	120, 121, 131	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) )
133	119, 132	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
134	133	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
135	130	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
136	135	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> x r y ) )
137	136	expimpd 603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y ) )
138	134, 137	impbid 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
139	49, 138	syl5bbr 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
140	139, 51	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
141	108, 115, 34, 41, 35, 42, 140	eqrelrd2 27168	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rel r /\ Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
142	100, 102, 103, 141	syl21anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
143	94, 142	jca 532	. . . . 5 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
144	78, 143	impbii 188	. . . 4 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
145	144	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) )
146	1, 18, 20, 145	f1od 6509	. 2 |- ( T. -> M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B ) )
147	146	trud 1388	1 |- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   T. wtru 1380   e. wcel 1767   {cab 2452   {crab 2818   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ^m cmap 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  27257