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Theorem fpwrelmap 27256
 Description: Define a canonical mapping between functions from into subsets of and the relations with domain and range within . Note that the same relation is used in axdc2lem 8828 and marypha2lem1 7895. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmap.1
fpwrelmap.2
fpwrelmap.3
Assertion
Ref Expression
fpwrelmap
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem fpwrelmap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmap.3 . . 3
2 fpwrelmap.1 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 simpr 461 . . . . . . . . 9
5 elmapi 7440 . . . . . . . . . . 11
65ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10
76adantr 465 . . . . . . . . 9
8 elelpwi 4021 . . . . . . . . 9
94, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . 8
109ex 434 . . . . . . 7
1110alrimiv 1695 . . . . . 6
12 abss 3569 . . . . . . 7
13 fpwrelmap.2 . . . . . . . 8
1413ssex 4591 . . . . . . 7
1512, 14sylbir 213 . . . . . 6
1611, 15syl 16 . . . . 5
173, 16opabex3d 6762 . . . 4
192mptex 6131 . . . 4
2019a1i 11 . . 3
2110imdistanda 693 . . . . . . . . . 10
2221ssopab2dv 4776 . . . . . . . . 9
2322adantr 465 . . . . . . . 8
24 simpr 461 . . . . . . . . 9
25 df-xp 5005 . . . . . . . . . 10
2625a1i 11 . . . . . . . . 9
2724, 26sseq12d 3533 . . . . . . . 8
2823, 27mpbird 232 . . . . . . 7
29 selpw 4017 . . . . . . 7
3028, 29sylibr 212 . . . . . 6
315feqmptd 5920 . . . . . . . 8
3231adantr 465 . . . . . . 7
33 nfv 1683 . . . . . . . . 9
34 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
35 nfopab1 4513 . . . . . . . . . 10
3634, 35nfeq 2640 . . . . . . . . 9
3733, 36nfan 1875 . . . . . . . 8
38 df-rab 2823 . . . . . . . . . 10
3938a1i 11 . . . . . . . . 9
40 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12
41 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13
42 nfopab2 4514 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42nfeq 2640 . . . . . . . . . . . 12
4440, 43nfan 1875 . . . . . . . . . . 11
45 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11
4644, 45nfan 1875 . . . . . . . . . 10
4710adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
49 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 opabid 4754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5250, 51syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5349, 52syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 elfvdm 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
585, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6056, 59eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6454, 63bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . 14
6665biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
6748, 66jca 532 . . . . . . . . . . . 12
6867ex 434 . . . . . . . . . . 11
6964biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12
7069adantld 467 . . . . . . . . . . 11
7168, 70impbid 191 . . . . . . . . . 10
7246, 71abbid 2602 . . . . . . . . 9
73 abid2 2607 . . . . . . . . . 10
7473a1i 11 . . . . . . . . 9
7539, 72, 743eqtr2rd 2515 . . . . . . . 8
7637, 75mpteq2da 4532 . . . . . . 7
7732, 76eqtrd 2508 . . . . . 6
7830, 77jca 532 . . . . 5
79 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . 12
8013, 79ssexi 4592 . . . . . . . . . . . . 13
81 elpwg 4018 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
8379, 82mpbir 209 . . . . . . . . . . 11
8483a1i 11 . . . . . . . . . 10
85 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
8684, 85fmptd 6045 . . . . . . . . 9
8786adantr 465 . . . . . . . 8
88 simpr 461 . . . . . . . . 9
8988feq1d 5717 . . . . . . . 8
9087, 89mpbird 232 . . . . . . 7
9113pwex 4630 . . . . . . . 8
92 elmapg 7433 . . . . . . . 8
9391, 2, 92mp2an 672 . . . . . . 7
9490, 93sylibr 212 . . . . . 6
9529biimpi 194 . . . . . . . . . 10
9695adantr 465 . . . . . . . . 9
97 xpss 5109 . . . . . . . . 9
9896, 97syl6ss 3516 . . . . . . . 8
99 df-rel 5006 . . . . . . . 8
10098, 99sylibr 212 . . . . . . 7
101 relopab 5129 . . . . . . . 8
102101a1i 11 . . . . . . 7
103 id 22 . . . . . . 7
104 nfv 1683 . . . . . . . . 9
105 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
106 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . 10
107105, 106nfeq 2640 . . . . . . . . 9
108104, 107nfan 1875 . . . . . . . 8
109 nfv 1683 . . . . . . . . 9
110 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10
11145nfci 2618 . . . . . . . . . . 11
112 nfrab1 3042 . . . . . . . . . . 11
113111, 112nfmpt 4535 . . . . . . . . . 10
114110, 113nfeq 2640 . . . . . . . . 9
115109, 114nfan 1875 . . . . . . . 8
116 brelg 27163 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11795, 116sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
118117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
119118simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
120118simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
122 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15
12388adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
12488fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12585fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12680, 125mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127124, 126sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128127eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129 rabid 3038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130128, 129syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
131122, 123, 119, 130syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14
132120, 121, 131mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . 13
133119, 132jca 532 . . . . . . . . . . . 12
134133ex 434 . . . . . . . . . . 11
135130simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13
136135ex 434 . . . . . . . . . . . 12
137136expimpd 603 . . . . . . . . . . 11
138134, 137impbid 191 . . . . . . . . . 10
13949, 138syl5bbr 259 . . . . . . . . 9
140139, 51syl6bbr 263 . . . . . . . 8
141108, 115, 34, 41, 35, 42, 140eqrelrd2 27168 . . . . . . 7
142100, 102, 103, 141syl21anc 1227 . . . . . 6
14394, 142jca 532 . . . . 5
14478, 143impbii 188 . . . 4
145144a1i 11 . . 3
1461, 18, 20, 145f1od 6509 . 2
147146trud 1388 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1377   wceq 1379   wtru 1380   wcel 1767  cab 2452  crab 2818  cvv 3113   wss 3476  cpw 4010  cop 4033   class class class wbr 4447  copab 4504   cmpt 4505   cxp 4997   cdm 4999   wrel 5004  wf 5584  wf1o 5587  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmap 7420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422 This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  27257
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