Theorem fpwrelmap 28311

Description: Define a canonical mapping between functions from A into subsets of B and the relations with domain A and range within B. Note that the same relation is used in axdc2lem 8875 and marypha2lem1 7946. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmap.1	|- A e. _V
fpwrelmap.2	|- B e. _V
fpwrelmap.3	|- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmap	|- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Allowed substitution hints:   M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmap

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmap.3	. . 3 |- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
2		fpwrelmap.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> A e. _V )
4		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. ( f ` x ) )
5		elmapi 7490	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B )
6	5	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
7	6	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
8		elelpwi 3961	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( f ` x ) /\ ( f ` x ) e. ~P B ) -> y e. B )
9	4, 7, 8	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
10	9	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
11	10	alrimiv 1772	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
12		abss 3497	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B <-> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
13		fpwrelmap.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
14	13	ssex 4546	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
15	12, 14	sylbir 217	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
17	3, 16	opabex3d 6768	. . . 4 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
18	17	adantl 468	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
19	2	mptex 6134	. . . 4 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ( T. /\ r e. ~P ( A X. B ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V )
21	10	imdistanda 698	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
22	21	ssopab2dv 4729	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
23	22	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
24		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
25		df-xp 4839	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
27	23, 24, 26	3sstr4d 3474	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r C_ ( A X. B ) )
28		selpw 3957	. . . . . . 7 |- ( r e. ~P ( A X. B ) <-> r C_ ( A X. B ) )
29	27, 28	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r e. ~P ( A X. B ) )
30	5	feqmptd 5916	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
31	30	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
32		nfv 1760	. . . . . . . . 9 |- F/ x f e. ( ~P B ^m A )
33		nfopab1 4468	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
34	33	nfeq2 2606	. . . . . . . . 9 |- F/ x r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
35	32, 34	nfan 2010	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
36		df-rab 2745	. . . . . . . . . 10 |- { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) }
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
38		nfv 1760	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y f e. ( ~P B ^m A )
39		nfopab2 4469	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
40	39	nfeq2 2606	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
41	38, 40	nfan 2010	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
42		nfv 1760	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. A
43	41, 42	nfan 2010	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A )
44	9	adantllr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
45		df-br 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x r y <-> <. x , y >. e. r )
46		eleq2 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
47		opabid 4707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
48	46, 47	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
49	45, 48	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
50	49	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
51		elfvdm 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( f ` x ) -> x e. dom f )
52	51	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. dom f )
53		fdm 5731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : A --> ~P B -> dom f = A )
54	5, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> dom f = A )
55	54	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> dom f = A )
56	52, 55	eleqtrd 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. A )
57	56	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> x e. A ) )
58	57	pm4.71rd 640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
59	58	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
60	50, 59	bitr4d 260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> y e. ( f ` x ) ) )
61	60	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
62	44, 61	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( y e. B /\ x r y ) )
63	62	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> ( y e. B /\ x r y ) ) )
64	60	biimpd 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y -> y e. ( f ` x ) ) )
65	64	adantld 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. B /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) ) )
66	63, 65	impbid 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
67	43, 66	abbid 2567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
68		abid2 2572	. . . . . . . . . 10 |- { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x ) )
70	37, 67, 69	3eqtr2rd 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
71	35, 70	mpteq2da 4487	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( x e. A |-> ( f ` x ) ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
72	31, 71	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
73	29, 72	jca 535	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
74		ssrab2 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | x r y } C_ B
75	13	elpw2 4566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { y e. B | x r y } e. ~P B <-> { y e. B | x r y } C_ B )
76	74, 75	mpbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | x r y } e. ~P B
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } e. ~P B )
78		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
79	77, 78	fmptd 6044	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
80	79	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
81		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
82	81	feq1d 5712	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f : A --> ~P B <-> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B ) )
83	80, 82	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f : A --> ~P B )
84	13	pwex 4585	. . . . . . . 8 |- ~P B e. _V
85	84, 2	elmap 7497	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B )
86	83, 85	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f e. ( ~P B ^m A ) )
87		elpwi 3959	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> r C_ ( A X. B ) )
88	87	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( A X. B ) )
89		xpss 4940	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
90	88, 89	syl6ss 3443	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( _V X. _V ) )
91		df-rel 4840	. . . . . . . 8 |- ( Rel r <-> r C_ ( _V X. _V ) )
92	90, 91	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel r )
93		relopab 4959	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
95		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
96		nfv 1760	. . . . . . . . 9 |- F/ x r e. ~P ( A X. B )
97		nfmpt1 4491	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
98	97	nfeq2 2606	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
99	96, 98	nfan 2010	. . . . . . . 8 |- F/ x ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
100		nfv 1760	. . . . . . . . 9 |- F/ y r e. ~P ( A X. B )
101	42	nfci 2581	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
102		nfrab1 2970	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y { y e. B | x r y }
103	101, 102	nfmpt 4490	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
104	103	nfeq2 2606	. . . . . . . . 9 |- F/ y f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
105	100, 104	nfan 2010	. . . . . . . 8 |- F/ y ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
106		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ x r
107		nfcv 2591	. . . . . . . 8 |- F/_ y r
108		brelg 28210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r C_ ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
109	87, 108	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
110	109	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
111	110	simpld 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x e. A )
112	110	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. B )
113		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x r y )
114	81	fveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) )
115	13	rabex 4553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. B | x r y } e. _V
116	78	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ { y e. B | x r y } e. _V ) -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
117	115, 116	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
118	114, 117	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
119	118	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. { y e. B | x r y } ) )
120		rabid 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | x r y } <-> ( y e. B /\ x r y ) )
121	119, 120	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
122	111, 121	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
123	112, 113, 122	mpbir2and 932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) )
124	111, 123	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
125	124	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
126	121	simplbda 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
127	126	expl 623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y ) )
128	125, 127	impbid 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
129	45, 128	syl5bbr 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
130	129, 47	syl6bbr 267	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
131	99, 105, 106, 107, 33, 39, 130	eqrelrd2 28215	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rel r /\ Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
132	92, 94, 95, 131	syl21anc 1266	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
133	86, 132	jca 535	. . . . 5 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
134	73, 133	impbii 191	. . . 4 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
135	134	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) )
136	1, 18, 20, 135	f1od 6516	. 2 |- ( T. -> M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B ) )
137	136	trud 1452	1 |- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1441   = wceq 1443   T. wtru 1444   e. wcel 1886   {cab 2436   {crab 2740   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   <.cop 3973   class class class wbr 4401   {copab 4459   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   dom cdm 4833   Rel wrel 4838   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-map 7471

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  28312