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Theorem fpwipodrs 15663
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4617 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
2 inex1g 4576 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
4 0elpw 4602 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P A
5 0fin 7745 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
6 elin 3669 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
74, 5, 6mpbir2an 918 . . 3  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
8 ne0i 3773 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
97, 8mp1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
10 elin 3669 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin ) )
11 elin 3669 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  y  e.  Fin ) )
12 elpwi 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
13 elpwi 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
1412, 13anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  A  /\  y  C_  A ) )
15 unss 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
16 vex 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 3096 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17unex 6579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1918elpw 3999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P A  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
2015, 19bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  e.  ~P A )
2114, 20sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P A )
2221ad2ant2r 746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ~P A
)
23 unfi 7785 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2423ad2ant2l 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
2522, 24elind 3670 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2610, 11, 25syl2anb 479 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
27 ssid 3505 . . . . 5  |-  ( x  u.  y )  C_  ( x  u.  y
)
28 sseq2 3508 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( x  u.  y )  C_  (
x  u.  y ) ) )
2928rspcev 3194 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( x  u.  y
)  C_  ( x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( x  u.  y
)  C_  z )
3026, 27, 29sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
3130rgen2a 2868 . . 3  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
3231a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
33 isipodrs 15660 . 2  |-  ( (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset  <->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
) )
343, 9, 32, 33syl3anbrc 1179 1  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   ` cfv 5574   Fincfn 7514  Dirsetcdrs 15425  toInccipo 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590  df-preset 15426  df-drs 15427  df-poset 15444  df-ipo 15651
This theorem is referenced by:  isacs5lem  15668  isnacs3  30610
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