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Theorem fpwipodrs 16410
Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fpwipodrs  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4587 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
2 inex1g 4546 . . 3  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
4 0elpw 4572 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P A
5 0fin 7799 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
6 elin 3617 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
74, 5, 6mpbir2an 931 . . 3  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
8 ne0i 3737 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
97, 8mp1i 13 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
10 elin 3617 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin ) )
11 elin 3617 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P A  /\  y  e.  Fin ) )
12 elpwi 3960 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
13 elpwi 3960 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
1412, 13anim12i 570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  A  /\  y  C_  A ) )
15 unss 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
16 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17unex 6589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1918elpw 3957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P A  <->  ( x  u.  y )  C_  A
)
2015, 19bitr4i 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  y  C_  A )  <->  ( x  u.  y )  e.  ~P A )
2114, 20sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P A )
2221ad2ant2r 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ~P A
)
23 unfi 7838 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2423ad2ant2l 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  Fin )
2522, 24elind 3618 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P A  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2610, 11, 25syl2anb 482 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
27 ssid 3451 . . . . 5  |-  ( x  u.  y )  C_  ( x  u.  y
)
28 sseq2 3454 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( x  u.  y )  C_  (
x  u.  y ) ) )
2928rspcev 3150 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( x  u.  y
)  C_  ( x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( x  u.  y
)  C_  z )
3026, 27, 29sylancl 668 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
3130rgen2a 2815 . . 3  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
3231a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
)
33 isipodrs 16407 . 2  |-  ( (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset  <->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( x  u.  y )  C_  z
) )
343, 9, 32, 33syl3anbrc 1192 1  |-  ( A  e.  V  ->  (toInc `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   ` cfv 5582   Fincfn 7569  Dirsetcdrs 16172  toInccipo 16397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ocomp 15211  df-preset 16173  df-drs 16174  df-poset 16191  df-ipo 16398
This theorem is referenced by:  isacs5lem  16415  isnacs3  35552
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