Theorem fpwipodrs 15663

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	|- ( A e. V -> (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4617	. . 3 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		inex1g 4576	. . 3 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
4		0elpw 4602	. . . 4 |- (/) e. ~P A
5		0fin 7745	. . . 4 |- (/) e. Fin
6		elin 3669	. . . 4 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
7	4, 5, 6	mpbir2an 918	. . 3 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
8		ne0i 3773	. . 3 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
9	7, 8	mp1i 12	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
10		elin 3669	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) )
11		elin 3669	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) )
12		elpwi 4002	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
13		elpwi 4002	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P A -> y C_ A )
14	12, 13	anim12i 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ A /\ y C_ A ) )
15		unss 3660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ A /\ y C_ A ) <-> ( x u. y ) C_ A )
16		vex 3096	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
17		vex 3096	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
18	16, 17	unex 6579	. . . . . . . . . . 11 |- ( x u. y ) e. _V
19	18	elpw 3999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. y ) e. ~P A <-> ( x u. y ) C_ A )
20	15, 19	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ A /\ y C_ A ) <-> ( x u. y ) e. ~P A )
21	14, 20	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x u. y ) e. ~P A )
22	21	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ~P A )
23		unfi 7785	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	23	ad2ant2l 745	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. Fin )
25	22, 24	elind 3670	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
26	10, 11, 25	syl2anb 479	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
27		ssid 3505	. . . . 5 |- ( x u. y ) C_ ( x u. y )
28		sseq2 3508	. . . . . 6 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( x u. y ) C_ ( x u. y ) ) )
29	28	rspcev 3194	. . . . 5 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( x u. y ) C_ ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
30	26, 27, 29	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
31	30	rgen2a 2868	. . 3 |- A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z
32	31	a1i 11	. 2 |- ( A e. V -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
33		isipodrs 15660	. 2 |- ( (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset <-> ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V /\ ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z ) )
34	3, 9, 32, 33	syl3anbrc 1179	1 |- ( A e. V -> (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   u. cun 3456   i^i cin 3457   C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   ` cfv 5574   Fincfn 7514  Dirsetcdrs 15425  toInccipo 15650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590  df-preset 15426  df-drs 15427  df-poset 15444  df-ipo 15651

This theorem is referenced by:  isacs5lem  15668  isnacs3  30610