Theorem fpwipodrs 15339

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	|- ( A e. V -> (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4481	. . 3 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		inex1g 4440	. . 3 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
4		0elpw 4466	. . . 4 |- (/) e. ~P A
5		0fin 7545	. . . 4 |- (/) e. Fin
6		elin 3544	. . . 4 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
7	4, 5, 6	mpbir2an 911	. . 3 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
8		ne0i 3648	. . 3 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
9	7, 8	mp1i 12	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
10		elin 3544	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) )
11		elin 3544	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) )
12		elpwi 3874	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
13		elpwi 3874	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P A -> y C_ A )
14	12, 13	anim12i 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ A /\ y C_ A ) )
15		unss 3535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ A /\ y C_ A ) <-> ( x u. y ) C_ A )
16		vex 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
17		vex 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
18	16, 17	unex 6383	. . . . . . . . . . 11 |- ( x u. y ) e. _V
19	18	elpw 3871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. y ) e. ~P A <-> ( x u. y ) C_ A )
20	15, 19	bitr4i 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ A /\ y C_ A ) <-> ( x u. y ) e. ~P A )
21	14, 20	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x u. y ) e. ~P A )
22	21	ad2ant2r 746	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ~P A )
23		unfi 7584	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	23	ad2ant2l 745	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. Fin )
25	22, 24	elind 3545	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
26	10, 11, 25	syl2anb 479	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
27		ssid 3380	. . . . 5 |- ( x u. y ) C_ ( x u. y )
28		sseq2 3383	. . . . . 6 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( x u. y ) C_ ( x u. y ) ) )
29	28	rspcev 3078	. . . . 5 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( x u. y ) C_ ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
30	26, 27, 29	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
31	30	rgen2a 2787	. . 3 |- A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z
32	31	a1i 11	. 2 |- ( A e. V -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
33		isipodrs 15336	. 2 |- ( (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset <-> ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V /\ ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z ) )
34	3, 9, 32, 33	syl3anbrc 1172	1 |- ( A e. V -> (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   u. cun 3331   i^i cin 3332   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   ` cfv 5423   Fincfn 7315  Dirsetcdrs 15102  toInccipo 15326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ocomp 14264  df-preset 15103  df-drs 15104  df-poset 15121  df-ipo 15327

This theorem is referenced by:  isacs5lem  15344  isnacs3  29051