Theorem fpwipodrs 16410

Description: The finite subsets of any set are directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fpwipodrs	|- ( A e. V -> (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset )

Proof of Theorem fpwipodrs

Dummy variables z x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4587	. . 3 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
2		inex1g 4546	. . 3 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
4		0elpw 4572	. . . 4 |- (/) e. ~P A
5		0fin 7799	. . . 4 |- (/) e. Fin
6		elin 3617	. . . 4 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
7	4, 5, 6	mpbir2an 931	. . 3 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
8		ne0i 3737	. . 3 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
9	7, 8	mp1i 13	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) )
10		elin 3617	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) )
11		elin 3617	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) )
12		elpwi 3960	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
13		elpwi 3960	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P A -> y C_ A )
14	12, 13	anim12i 570	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ A /\ y C_ A ) )
15		unss 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ A /\ y C_ A ) <-> ( x u. y ) C_ A )
16		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
17		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
18	16, 17	unex 6589	. . . . . . . . . . 11 |- ( x u. y ) e. _V
19	18	elpw 3957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x u. y ) e. ~P A <-> ( x u. y ) C_ A )
20	15, 19	bitr4i 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ A /\ y C_ A ) <-> ( x u. y ) e. ~P A )
21	14, 20	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x u. y ) e. ~P A )
22	21	ad2ant2r 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ~P A )
23		unfi 7838	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. Fin /\ y e. Fin ) -> ( x u. y ) e. Fin )
24	23	ad2ant2l 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. Fin )
25	22, 24	elind 3618	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P A /\ x e. Fin ) /\ ( y e. ~P A /\ y e. Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
26	10, 11, 25	syl2anb 482	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
27		ssid 3451	. . . . 5 |- ( x u. y ) C_ ( x u. y )
28		sseq2 3454	. . . . . 6 |- ( z = ( x u. y ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( x u. y ) C_ ( x u. y ) ) )
29	28	rspcev 3150	. . . . 5 |- ( ( ( x u. y ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( x u. y ) C_ ( x u. y ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
30	26, 27, 29	sylancl 668	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
31	30	rgen2a 2815	. . 3 |- A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z
32	31	a1i 11	. 2 |- ( A e. V -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z )
33		isipodrs 16407	. 2 |- ( (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset <-> ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V /\ ( ~P A i^i Fin ) =/= (/) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) E. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( x u. y ) C_ z ) )
34	3, 9, 32, 33	syl3anbrc 1192	1 |- ( A e. V -> (toInc ` ( ~P A i^i Fin ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   ` cfv 5582   Fincfn 7569  Dirsetcdrs 16172  toInccipo 16397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ocomp 15211  df-preset 16173  df-drs 16174  df-poset 16191  df-ipo 16398

This theorem is referenced by:  isacs5lem  16415  isnacs3  35552