Theorem fprodss 27476

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fprodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
fprodss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fprodss	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fprodss

Dummy variables f m n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodss.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq2 3393	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( A C_ B <-> A C_ (/) ) )
3		ss0 3683	. . . . 5 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
4	2, 3	syl6bi 228	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> A = (/) ) )
5		prodeq1 27437	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
6		prodeq1 27437	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> prod_ k e. B C = prod_ k e. (/) C )
7	6	eqcomd 2448	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> prod_ k e. (/) C = prod_ k e. B C )
8	5, 7	sylan9eq 2495	. . . . 5 |- ( ( A = (/) /\ B = (/) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
9	8	expcom 435	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
10	4, 9	syld 44	. . 3 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
11	1, 10	syl5com 30	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
12		cnvimass 5204	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
13		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B )
14		f1of 5656	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
16		fdm 5578	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
18	12, 17	syl5sseq 3419	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
19		f1ofn 5657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
20	13, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
21		elpreima 5838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
23	15	ffvelrnda 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
24	23	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
25	24	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
26	22, 25	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
27	26	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
28		fprodss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
31		eldif 3353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
32		fprodss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
33		ax-1cn 9355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
34	32, 33	syl6eqel 2531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
35	31, 34	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
36	35	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
37	30, 36	pm2.61d 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
38	37	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
39		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
40	38, 39	fmptd 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
41	40	ffvelrnda 5858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
42	27, 41	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
43		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
44		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( # ` B ) e. NN )
45		nnuz 10911	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
46	44, 45	syl6eleq 2533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
47		ssid 3390	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
49	43, 46, 48	fprodntriv 27470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> E. m e. ( ZZ>= ` 1 ) E. y ( y =/= 0 /\ seq m ( x. , ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> if ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) , ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) , 1 ) ) ) ~~> y ) )
50		eldifi 3493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
51	50, 23	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
52		eldifn 3494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
54	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
55	50	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
56	55	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
57	54, 56	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
58	53, 57	mtbid 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
59	51, 58	eldifd 3354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
60		difss 3498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
61		resmpt 5171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
63	62	fveq1i 5707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
64		fvres 5719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
65	63, 64	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
66	59, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
67		1ex 9396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
68	67	elsnc2 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 1 } <-> C = 1 )
69	32, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 1 } )
70		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( B \ A ) |-> C ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
71	69, 70	fmptd 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
73	72, 59	ffvelrnd 5859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } )
74		elsni 3917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
75	73, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
76	66, 75	eqtr3d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
77		fzssuz 11514	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
79	18, 42, 49, 76, 78	prodss 27475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = prod_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
80	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
81		resmpt 5171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
83	82	fveq1d 5708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
84		fvres 5719	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
85	83, 84	sylan9req 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
86	85	prodeq2dv 27451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
87		fveq2 5706	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
88		fzfid 11810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
89	88, 15	fisuppfi 7643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
90		f1of1 5655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
91	13, 90	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
92		f1ores 5670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
93	91, 18, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
94		f1ofo 5663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
95	13, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
96		foimacnv 5673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
97	95, 80, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
98		f1oeq3 5649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
100	93, 99	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
101		fvres 5719	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
102	101	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
103	80	sselda 3371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
104	40	ffvelrnda 5858	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
105	103, 104	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
106	87, 89, 100, 102, 105	fprodf1o 27474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
107	86, 106	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
108		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
109	87, 88, 13, 108, 104	fprodf1o 27474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
110	79, 107, 109	3eqtr4d 2485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
111		prodfc 27473	. . . . . 6 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C
112		prodfc 27473	. . . . . 6 |- prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C
113	110, 111, 112	3eqtr3g 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
114	113	expr 615	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
115	114	exlimdv 1690	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
116	115	expimpd 603	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
117		fprodss.4	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
118		fz1f1o 13202	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
119	117, 118	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
120	11, 116, 119	mpjaod 381	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   \ cdif 3340   C_ wss 3343   (/)c0 3652   {csn 3892   e. cmpt 4365   `'ccnv 4854   dom cdm 4855   |` cres 4857   "cima 4858   Fn wfn 5428   -->wf 5429   -1-1->wf1 5430   -onto->wfo 5431   -1-1-onto->wf1o 5432   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   1c1 9298   NNcn 10337   ZZ>=cuz 10876   ...cfz 11452   #chash 12118   prod_cprod 27433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-rp 11007  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-prod 27434

This theorem is referenced by:  fprodsplit  27491