Theorem fprodss 25227

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fprodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
fprodss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fprodss	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fprodss

Dummy variables f m n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodss.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq2 3330	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( A C_ B <-> A C_ (/) ) )
3		ss0 3618	. . . . 5 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
4	2, 3	syl6bi 220	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> A = (/) ) )
5		prodeq1 25188	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
6		prodeq1 25188	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> prod_ k e. B C = prod_ k e. (/) C )
7	6	eqcomd 2409	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> prod_ k e. (/) C = prod_ k e. B C )
8	5, 7	sylan9eq 2456	. . . . 5 |- ( ( A = (/) /\ B = (/) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
9	8	expcom 425	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
10	4, 9	syld 42	. . 3 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
11	1, 10	syl5com 28	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
12		cnvimass 5183	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
13		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B )
14		f1of 5633	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
16		fdm 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
18	12, 17	syl5sseq 3356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
19		f1ofn 5634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
20	13, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
21		elpreima 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
23	15	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
24	23	ex 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
25	24	adantrd 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
26	22, 25	sylbid 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
27	26	imp 419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
28		fprodss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
29	28	ex 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
30	29	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
31		eldif 3290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
32		fprodss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
33		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
34	32, 33	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
35	31, 34	sylan2br 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
36	35	expr 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
37	30, 36	pm2.61d 152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
38	37	adantlr 696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
39		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
40	38, 39	fmptd 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
41	40	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
42	27, 41	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
43		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
44		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( # ` B ) e. NN )
45		nnuz 10477	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
46	44, 45	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( # ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
47		ssid 3327	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
49	43, 46, 48	fprodntriv 25221	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> E. m e. ( ZZ>= ` 1 ) E. y ( y =/= 0 /\ seq m ( x. , ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> if ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) , ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) , 1 ) ) ) ~~> y ) )
50		eldifi 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
51	50, 23	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
52		eldifn 3430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
53	52	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
54	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
55	50	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
56	55	biantrurd 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
57	54, 56	bitr4d 248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
58	53, 57	mtbid 292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
59	51, 58	eldifd 3291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
60		difss 3434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
61		resmpt 5150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
62	60, 61	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
63	62	fveq1i 5688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
64		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
65	63, 64	syl5eqr 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
66	59, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
67		1ex 9042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
68	67	elsnc2 3803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 1 } <-> C = 1 )
69	32, 68	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 1 } )
70		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( B \ A ) |-> C ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
71	69, 70	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
72	71	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
73	72, 59	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } )
74		elsni 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
75	73, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
76	66, 75	eqtr3d 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
77		fzssuz 11049	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
79	18, 42, 49, 76, 78	prodss 25226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = prod_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
80	1	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
81		resmpt 5150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
83	82	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
84		fvres 5704	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
85	83, 84	sylan9req 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
86	85	prodeq2dv 25202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
87		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
88		fzfid 11267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
89	88, 15	fisuppfi 14728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
90		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
91	13, 90	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
92		f1ores 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
93	91, 18, 92	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
94		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
95	13, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
96		foimacnv 5651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
97	95, 80, 96	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
98		f1oeq3 5626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
100	93, 99	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
101		fvres 5704	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
102	101	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
103	80	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
104	40	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
105	103, 104	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
106	87, 89, 100, 102, 105	fprodf1o 25225	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
107	86, 106	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
108		eqidd 2405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
109	87, 88, 13, 108, 104	fprodf1o 25225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
110	79, 107, 109	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
111		prodfc 25224	. . . . . 6 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C
112		prodfc 25224	. . . . . 6 |- prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C
113	110, 111, 112	3eqtr3g 2459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
114	113	expr 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
115	114	exlimdv 1643	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
116	115	expimpd 587	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
117		fprodss.4	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
118		fz1f1o 12459	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
119	117, 118	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
120	11, 116, 119	mpjaod 371	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   1c1 8947   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   #chash 11573   prod_cprod 25184

This theorem is referenced by:  fprodsplit  25242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185