Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodsplit Structured version   Unicode version

Theorem fprodsplit 27427
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fprodsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fprodsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fprodsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodsplit  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 3792 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
21prodeq2i 27383 . . . 4  |-  prod_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  A  C
3 ssun1 3514 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
53, 4syl5sseqr 3400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
61adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
75sselda 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
97, 8syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
106, 9eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
11 eldifn 3474 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  -.  k  e.  A )
12 iffalse 3794 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  A ) )  ->  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
15 fprodsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
165, 10, 14, 15fprodss 27412 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
172, 16syl5eqr 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
18 iftrue 3792 . . . . 5  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
1918prodeq2i 27383 . . . 4  |-  prod_ k  e.  B  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  B  C
20 ssun2 3515 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
2120, 4syl5sseqr 3400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
2218adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
2321sselda 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
2423, 8syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2522, 24eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
26 eldifn 3474 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  -.  k  e.  B )
27 iffalse 3794 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
2928adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  B ) )  ->  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
3021, 25, 29, 15fprodss 27412 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
3119, 30syl5eqr 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
3217, 31oveq12d 6104 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C )  =  ( prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
33 ax-1cn 9332 . . . 4  |-  1  e.  CC
34 ifcl 3826 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  e.  CC )
358, 33, 34sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
36 ifcl 3826 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 )  e.  CC )
378, 33, 36sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
3815, 35, 37fprodmul 27422 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( prod_
k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
394eleq2d 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
40 elun 3492 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
4139, 40syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
4241biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
43 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
44 disjel 3720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4543, 44sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4645, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
476, 46oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( C  x.  1 ) )
489mulid1d 9395 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
4947, 48eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
5045ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
5150con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
5251imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
5352, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
5453, 22oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( 1  x.  C ) )
5524mulid2d 9396 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
1  x.  C )  =  C )
5654, 55eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
5749, 56jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )  =  C )
5842, 57syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
5958prodeq2dv 27387 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  prod_ k  e.  U  C )
6032, 38, 593eqtr2rd 2477 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322   (/)c0 3632   ifcif 3786  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   1c1 9275    x. cmul 9279   prod_cprod 27369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-prod 27370
This theorem is referenced by:  fprodm1  27428  fprod1p  27429  fprodeq0  27437  fprod2dlem  27442  fallfacval4  27497
  Copyright terms: Public domain W3C validator