MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Unicode version

Theorem fprodsplit 13781
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fprodsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fprodsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fprodsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodsplit  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 3950 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
21prodeq2i 13737 . . . 4  |-  prod_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  A  C
3 ssun1 3663 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
53, 4syl5sseqr 3548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
61adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  C )
75sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
97, 8syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
106, 9eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
11 eldifn 3623 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  -.  k  e.  A )
1211iffalsed 3955 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
1312adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  A ) )  ->  if (
k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
14 fprodsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
155, 10, 13, 14fprodss 13766 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
162, 15syl5eqr 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
17 iftrue 3950 . . . . 5  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
1817prodeq2i 13737 . . . 4  |-  prod_ k  e.  B  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  B  C
19 ssun2 3664 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
2019, 4syl5sseqr 3548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
2117adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  C )
2220sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
2322, 8syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2421, 23eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
25 eldifn 3623 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  -.  k  e.  B )
2625iffalsed 3955 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( U  \  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
2726adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( U  \  B ) )  ->  if (
k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
2820, 24, 27, 14fprodss 13766 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
2918, 28syl5eqr 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
3016, 29oveq12d 6314 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C )  =  ( prod_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
31 ax-1cn 9567 . . . 4  |-  1  e.  CC
32 ifcl 3986 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  e.  CC )
338, 31, 32sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  e.  CC )
34 ifcl 3986 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 )  e.  CC )
358, 31, 34sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  e.  CC )
3614, 33, 35fprodmul 13776 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( prod_
k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  prod_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
374eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
38 elun 3641 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
3937, 38syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
4039biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
42 disjel 3876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4341, 42sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4443iffalsed 3955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  1 )
456, 44oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( C  x.  1 ) )
469mulid1d 9630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  1 )  =  C )
4745, 46eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
4843ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4948con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
5049imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
5150iffalsed 3955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  1 )
5251, 21oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( 1  x.  C ) )
5323mulid2d 9631 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
1  x.  C )  =  C )
5452, 53eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
5547, 54jaodan 785 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )  =  C )
5640, 55syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  C )
5756prodeq2dv 13741 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  x.  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  prod_ k  e.  U  C )
5830, 36, 573eqtr2rd 2505 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  U  C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e.  B  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3793   ifcif 3944  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   1c1 9510    x. cmul 9514   prod_cprod 13723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-prod 13724
This theorem is referenced by:  fprodm1  13782  fprod1p  13783  fprodeq0  13790  fprod2dlem  13795  fallfacval4  29340  fprodsplitf  31750
  Copyright terms: Public domain W3C validator