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Theorem fprodntriv 25221
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodntriv.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodntriv.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fprodntriv  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y   
k, n, y    n, N    ph, n    y, n, N    k, Z, n, y
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( k)    M( y, k, n)    N( k)

Proof of Theorem fprodntriv
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodntriv.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2494 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 peano2uz 10486 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
65, 2syl6eleqr 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
7 ax-1ne0 9015 . . 3  |-  1  =/=  0
8 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )
9 eluzelz 10452 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
109, 2eleq2s 2496 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
111, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1211peano2zd 10334 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
13 seqex 11280 . . . . 5  |-  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  e.  _V )
15 ax-1cn 9004 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
17 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
18 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  A  C_  ( M ... N
) )
2011ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  e.  ZZ )
2120zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  e.  RR )
2220peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
2322zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
24 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  m  e.  ZZ )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  ZZ )
2625zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  RR )
2721ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
28 elfzle1 11016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  ( N  +  1 )  <_  m )
2928adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  <_  m )
3021, 23, 26, 27, 29ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  <  m )
3121, 26ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  <  m  <->  -.  m  <_  N ) )
3230, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  <_  N )
3332intnand 883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) )
3433intnand 883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
35 elfz2 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
3634, 35sylnibr 297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  e.  ( M ... N ) )
3719, 36ssneldd 3311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  e.  A )
38 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
3937, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
40 fzssuz 11049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 ) ... n )  C_  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )
415adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
42 uzss 10462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
4443, 2syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  Z
)
4540, 44syl5ss 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  +  1 ) ... n )  C_  Z )
4645sselda 3308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  Z )
4739, 15syl6eqel 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
48 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
m
49 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  m  e.  A
50 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
51 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
1
5249, 50, 51nfif 3723 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )
53 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
54 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
55 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  1  =  1 )
5653, 54, 55ifbieq12d 3721 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
57 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
5848, 52, 56, 57fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
5946, 47, 58syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
60 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
6160adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
62 1ex 9042 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
6362fvconst2 5906 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m )  =  1 )
6461, 63syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m
)  =  1 )
6539, 59, 643eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) `  m )  =  ( ( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m
) )
6617, 65seqfveq 11302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) ) `
 n )  =  (  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  X. 
{ 1 } ) ) `  n ) )
678prodf1 25172 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  (  seq  ( N  +  1
) (  x.  , 
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) ) `  n )  =  1 )
6867adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  ( N  +  1
) (  x.  , 
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) ) `  n )  =  1 )
6966, 68eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq  ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) ) `
 n )  =  1 )
708, 12, 14, 16, 69climconst 12292 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 )
71 neeq1 2575 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y  =/=  0  <->  1  =/=  0 ) )
72 breq2 4176 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (  seq  ( N  +  1 ) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq  ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 ) )
7371, 72anbi12d 692 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
( y  =/=  0  /\  seq  ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( 1  =/=  0  /\  seq  ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  1 ) ) )
7462, 73spcev 3003 . . 3  |-  ( ( 1  =/=  0  /\ 
seq  ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 )  ->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
757, 70, 74sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y ) )
76 seqeq1 11281 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  seq  n (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  =  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
7776breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq  n (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq  ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
7877anbi2d 685 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
7978exbidv 1633 . . 3  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
8079rspcev 3012 . 2  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )  ->  E. n  e.  Z  E. y
( y  =/=  0  /\  seq  n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
816, 75, 80syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq  n
(  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   [_csb 3211    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  fprodss  25227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237
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