MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fprodn0f 14122
Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. A version of fprodn0 14110 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph  |-  F/ k
ph
fprodn0f.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodn0f.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodn0f.bne0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodn0f  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3  |-  F/ k
ph
2 difssd 3550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
3 eldifi 3544 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
43adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  x  e.  CC )
5 eldifi 3544 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
65adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  y  e.  CC )
74, 6mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
8 eldifsni 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
98adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  x  =/=  0
)
10 eldifsni 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
1110adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  y  =/=  0
)
124, 6, 9, 11mulne0d 10286 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  =/=  0
)
1312neneqd 2648 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  -.  ( x  x.  y )  =  0 )
14 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1514elsnc 3984 . . . . . 6  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 0 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  0 )
1613, 15sylnibr 312 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  -.  ( x  x.  y )  e.  {
0 } )
177, 16eldifd 3401 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
1817adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
19 fprodn0f.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
20 fprodn0f.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
2221neneqd 2648 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  B  =  0 )
23 elsncg 3983 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  { 0 } 
<->  B  =  0 ) )
2420, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  { 0 } 
<->  B  =  0 ) )
2522, 24mtbird 308 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  B  e.  { 0 } )
2620, 25eldifd 3401 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
27 ax-1cn 9615 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
28 0ne1 10699 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  1
2928necomi 2697 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
30 neneq 2649 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  0  ->  -.  1  =  0 )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -.  1  =  0
32 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
3332elsnc 3984 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { 0 }  <->  1  =  0 )
3431, 33mtbir 306 . . . . . 6  |-  -.  1  e.  { 0 }
3527, 34pm3.2i 462 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  /\  -.  1  e.  { 0 } )
36 eldif 3400 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\ 
-.  1  e.  {
0 } ) )
3735, 36mpbir 214 . . . 4  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
3837a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
391, 2, 18, 19, 26, 38fprodcllemf 14089 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
40 eldifsni 4089 . 2  |-  ( prod_
k  e.  A  B  e.  ( CC  \  {
0 } )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
4139, 40syl 17 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387   {csn 3959  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562   prod_cprod 14036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037
This theorem is referenced by:  fprodle  14127
  Copyright terms: Public domain W3C validator