Theorem fprodn0f 14038

Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. A version of fprodn0 14026 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	|- F/ k ph
fprodn0f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodn0f.bne0	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodn0f	|- ( ph -> prod_ k e. A B =/= 0 )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodn0f

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodn0f.kph	. . 3 |- F/ k ph
2		difssd 3560	. . 3 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
3		eldifi 3554	. . . . . . 7 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x e. CC )
4	3	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x e. CC )
5		eldifi 3554	. . . . . . 7 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> y e. CC )
6	5	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> y e. CC )
7	4, 6	mulcld 9660	. . . . 5 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
8		eldifsni 4097	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x =/= 0 )
9	8	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x =/= 0 )
10		eldifsni 4097	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> y =/= 0 )
11	10	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> y =/= 0 )
12	4, 6, 9, 11	mulne0d 10261	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x x. y ) =/= 0 )
13	12	neneqd 2628	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -. ( x x. y ) = 0 )
14		ovex 6316	. . . . . . 7 |- ( x x. y ) e. _V
15	14	elsnc 3991	. . . . . 6 |- ( ( x x. y ) e. { 0 } <-> ( x x. y ) = 0 )
16	13, 15	sylnibr 307	. . . . 5 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -. ( x x. y ) e. { 0 } )
17	7, 16	eldifd 3414	. . . 4 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x x. y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
18	17	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
19		fprodn0f.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
20		fprodn0f.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
21		fprodn0f.bne0	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B =/= 0 )
22	21	neneqd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. B = 0 )
23		elsncg 3990	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B e. { 0 } <-> B = 0 ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B e. { 0 } <-> B = 0 ) )
25	22, 24	mtbird 303	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. B e. { 0 } )
26	20, 25	eldifd 3414	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( CC \ { 0 } ) )
27		ax-1cn 9594	. . . . . 6 |- 1 e. CC
28		0ne1 10674	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
29	28	necomi 2677	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
30		neneq 2629	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 0 -> -. 1 = 0 )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
32		1ex 9635	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
33	32	elsnc 3991	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { 0 } <-> 1 = 0 )
34	31, 33	mtbir 301	. . . . . 6 |- -. 1 e. { 0 }
35	27, 34	pm3.2i 457	. . . . 5 |- ( 1 e. CC /\ -. 1 e. { 0 } )
36		eldif 3413	. . . . 5 |- ( 1 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 1 e. CC /\ -. 1 e. { 0 } ) )
37	35, 36	mpbir 213	. . . 4 |- 1 e. ( CC \ { 0 } )
38	37	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ( CC \ { 0 } ) )
39	1, 2, 18, 19, 26, 38	fprodcllemf 14005	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. ( CC \ { 0 } ) )
40		eldifsni 4097	. 2 |- ( prod_ k e. A B e. ( CC \ { 0 } ) -> prod_ k e. A B =/= 0 )
41	39, 40	syl 17	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   F/wnf 1666   e. wcel 1886   =/= wne 2621   \ cdif 3400   {csn 3967  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537   x. cmul 9541   prod_cprod 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-prod 13953

This theorem is referenced by:  fprodle  14043