MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0f Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fprodn0f 14038
Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. A version of fprodn0 14026 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0f.kph  |-  F/ k
ph
fprodn0f.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodn0f.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodn0f.bne0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodn0f  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem fprodn0f
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodn0f.kph . . 3  |-  F/ k
ph
2 difssd 3560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
3 eldifi 3554 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  e.  CC )
43adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  x  e.  CC )
5 eldifi 3554 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
65adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  y  e.  CC )
74, 6mulcld 9660 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
8 eldifsni 4097 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  x  =/=  0
)
98adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  x  =/=  0
)
10 eldifsni 4097 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
1110adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  y  =/=  0
)
124, 6, 9, 11mulne0d 10261 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  =/=  0
)
1312neneqd 2628 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  -.  ( x  x.  y )  =  0 )
14 ovex 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1514elsnc 3991 . . . . . 6  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 0 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  0 )
1613, 15sylnibr 307 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  -.  ( x  x.  y )  e.  {
0 } )
177, 16eldifd 3414 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
1817adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
19 fprodn0f.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
20 fprodn0f.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
21 fprodn0f.bne0 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
2221neneqd 2628 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  B  =  0 )
23 elsncg 3990 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  { 0 } 
<->  B  =  0 ) )
2420, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  { 0 } 
<->  B  =  0 ) )
2522, 24mtbird 303 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  B  e.  { 0 } )
2620, 25eldifd 3414 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
27 ax-1cn 9594 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
28 0ne1 10674 . . . . . . . . 9  |-  0  =/=  1
2928necomi 2677 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
30 neneq 2629 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  0  ->  -.  1  =  0 )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -.  1  =  0
32 1ex 9635 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
3332elsnc 3991 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { 0 }  <->  1  =  0 )
3431, 33mtbir 301 . . . . . 6  |-  -.  1  e.  { 0 }
3527, 34pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  /\  -.  1  e.  { 0 } )
36 eldif 3413 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\ 
-.  1  e.  {
0 } ) )
3735, 36mpbir 213 . . . 4  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
3837a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
391, 2, 18, 19, 26, 38fprodcllemf 14005 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
40 eldifsni 4097 . 2  |-  ( prod_
k  e.  A  B  e.  ( CC  \  {
0 } )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
4139, 40syl 17 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443   F/wnf 1666    e. wcel 1886    =/= wne 2621    \ cdif 3400   {csn 3967  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541   prod_cprod 13952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-prod 13953
This theorem is referenced by:  fprodle  14043
  Copyright terms: Public domain W3C validator