Theorem fprodn0f 14122

Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. A version of fprodn0 14110 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0f.kph	|- F/ k ph
fprodn0f.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodn0f.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodn0f.bne0	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
fprodn0f	|- ( ph -> prod_ k e. A B =/= 0 )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem fprodn0f

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodn0f.kph	. . 3 |- F/ k ph
2		difssd 3550	. . 3 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
3		eldifi 3544	. . . . . . 7 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x e. CC )
4	3	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x e. CC )
5		eldifi 3544	. . . . . . 7 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> y e. CC )
6	5	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> y e. CC )
7	4, 6	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
8		eldifsni 4089	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) -> x =/= 0 )
9	8	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> x =/= 0 )
10		eldifsni 4089	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> y =/= 0 )
11	10	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> y =/= 0 )
12	4, 6, 9, 11	mulne0d 10286	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x x. y ) =/= 0 )
13	12	neneqd 2648	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -. ( x x. y ) = 0 )
14		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( x x. y ) e. _V
15	14	elsnc 3984	. . . . . 6 |- ( ( x x. y ) e. { 0 } <-> ( x x. y ) = 0 )
16	13, 15	sylnibr 312	. . . . 5 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> -. ( x x. y ) e. { 0 } )
17	7, 16	eldifd 3401	. . . 4 |- ( ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( x x. y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
18	17	adantl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( CC \ { 0 } ) /\ y e. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( x x. y ) e. ( CC \ { 0 } ) )
19		fprodn0f.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
20		fprodn0f.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
21		fprodn0f.bne0	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B =/= 0 )
22	21	neneqd 2648	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. B = 0 )
23		elsncg 3983	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( B e. { 0 } <-> B = 0 ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B e. { 0 } <-> B = 0 ) )
25	22, 24	mtbird 308	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. B e. { 0 } )
26	20, 25	eldifd 3401	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( CC \ { 0 } ) )
27		ax-1cn 9615	. . . . . 6 |- 1 e. CC
28		0ne1 10699	. . . . . . . . 9 |- 0 =/= 1
29	28	necomi 2697	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
30		neneq 2649	. . . . . . . 8 |- ( 1 =/= 0 -> -. 1 = 0 )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -. 1 = 0
32		1ex 9656	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
33	32	elsnc 3984	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { 0 } <-> 1 = 0 )
34	31, 33	mtbir 306	. . . . . 6 |- -. 1 e. { 0 }
35	27, 34	pm3.2i 462	. . . . 5 |- ( 1 e. CC /\ -. 1 e. { 0 } )
36		eldif 3400	. . . . 5 |- ( 1 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 1 e. CC /\ -. 1 e. { 0 } ) )
37	35, 36	mpbir 214	. . . 4 |- 1 e. ( CC \ { 0 } )
38	37	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ( CC \ { 0 } ) )
39	1, 2, 18, 19, 26, 38	fprodcllemf 14089	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. ( CC \ { 0 } ) )
40		eldifsni 4089	. 2 |- ( prod_ k e. A B e. ( CC \ { 0 } ) -> prod_ k e. A B =/= 0 )
41	39, 40	syl 17	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   =/= wne 2641   \ cdif 3387   {csn 3959  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   prod_cprod 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037

This theorem is referenced by:  fprodle  14127