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Theorem fprodn0 27403
Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodn0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodn0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodn0  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 27335 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
2 prod0 27369 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
31, 2syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
1 )
4 ax-1ne0 9347 . . . . 5  |-  1  =/=  0
54a1i 11 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  1  =/=  0 )
63, 5eqnetrd 2624 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 ) )
8 prodfc 27371 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
9 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
10 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
11 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1412, 13fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1514adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1615ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
17 f1of 5638 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1811, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
19 fvco3 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
2018, 19sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
219, 10, 11, 16, 20fprod 27367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
228, 21syl5eqr 2487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
23 nnuz 10892 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2410, 23syl6eleq 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
25 fco 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2615, 18, 25syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2726ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  e.  CC )
28 fvco3 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
) )
2918, 28sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
) )
3017ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
3130adantll 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
32 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( f `  m )  e.  A
)
33 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( f `  m
)
34 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
ph
35 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B
3635nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
3734, 36nfim 1857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
38 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
3938eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  (
( ph  ->  B  e.  CC )  <->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC ) ) )
4112expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  B  e.  CC ) )
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC ) )
4342impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC )
4413fvmpts 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  m
)  e.  A  /\  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  m
) )  =  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B )
4532, 43, 44syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 m ) )  =  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B )
46 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
0
4735, 46nfne 2701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
4834, 47nfim 1857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ph  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0 )
4938neeq1d 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  =/=  0  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  =/=  0
) )
5049imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  (
( ph  ->  B  =/=  0 )  <->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
) ) )
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
5251expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  B  =/=  0
) )
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  =/=  0
)
5545, 54eqnetrd 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 m ) )  =/=  0 )
5631, 55sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
)  =/=  0 )
5756anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  m
) )  =/=  0
)
5829, 57eqnetrd 2624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =/=  0
)
5924, 27, 58prodfn0 27322 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =/=  0 )
6022, 59eqnetrd 2624 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
6160expr 612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 ) )
6261exlimdv 1695 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0
) )
6362expimpd 600 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0
) )
64 fprodn0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
65 fz1f1o 13183 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
6664, 65syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
677, 63, 66mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   [_csb 3285   (/)c0 3634    e. cmpt 4347    o. ccom 4840   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802   #chash 12099   prod_cprod 27331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-prod 27332
This theorem is referenced by:  fallfacval4  27459
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