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Theorem fprodn0 14045
Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodn0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodn0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodn0  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 13975 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
2 prod0 14009 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
31, 2syl6eq 2503 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
1 )
4 ax-1ne0 9613 . . . . 5  |-  1  =/=  0
54a1i 11 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  1  =/=  0 )
63, 5eqnetrd 2693 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 ) )
8 prodfc 14011 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
9 fveq2 5870 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
10 simprl 765 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
11 simprr 767 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1412, 13fmptd 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1514adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1615ffvelrnda 6027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
17 f1of 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
19 fvco3 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
2018, 19sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
219, 10, 11, 16, 20fprod 14007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
228, 21syl5eqr 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
23 nnuz 11201 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2410, 23syl6eleq 2541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
25 fco 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2615, 18, 25syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2726ffvelrnda 6027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  e.  CC )
28 fvco3 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
) )
2918, 28sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
) )
3017ffvelrnda 6027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
3130adantll 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
32 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( f `  m )  e.  A
)
33 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( f `  m
)
34 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
ph
35 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B
3635nfel1 2608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
3734, 36nfim 2005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
38 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
3938eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4039imbi2d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  (
( ph  ->  B  e.  CC )  <->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC ) ) )
4112expcom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  B  e.  CC ) )
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC ) )
4342impcom 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC )
4413fvmpts 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  m
)  e.  A  /\  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  m
) )  =  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B )
4532, 43, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 m ) )  =  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B )
46 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
0
4735, 46nfne 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
4834, 47nfim 2005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ph  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0 )
4938neeq1d 2685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  =/=  0  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  =/=  0
) )
5049imbi2d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  (
( ph  ->  B  =/=  0 )  <->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
) ) )
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
5251expcom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  B  =/=  0
) )
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
) )
5453impcom 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  =/=  0
)
5545, 54eqnetrd 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 m ) )  =/=  0 )
5631, 55sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
)  =/=  0 )
5756anassrs 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  m
) )  =/=  0
)
5829, 57eqnetrd 2693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =/=  0
)
5924, 27, 58prodfn0 13962 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =/=  0 )
6022, 59eqnetrd 2693 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
6160expr 620 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 ) )
6261exlimdv 1781 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0
) )
6362expimpd 608 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0
) )
64 fprodn0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
65 fz1f1o 13788 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
6664, 65syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
677, 63, 66mpjaod 383 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   [_csb 3365   (/)c0 3733    |-> cmpt 4464    o. ccom 4841   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549   NNcn 10616   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791    seqcseq 12220   #chash 12522   prod_cprod 13971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-prod 13972
This theorem is referenced by:  fallfacval4  14108  absprodnn  14600  bcc0  36700  mccllem  37687  dvnprodlem2  37832  etransclem15  38124  etransclem25  38134  etransclem31  38140  etransclem32  38141  etransclem33  38142  etransclem34  38143
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