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Theorem fprodn0 29077
Description: A finite product of non-zero terms is non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodn0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodn0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodn0  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 29009 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
2 prod0 29043 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
31, 2syl6eq 2498 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
1 )
4 ax-1ne0 9559 . . . . 5  |-  1  =/=  0
54a1i 11 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  1  =/=  0 )
63, 5eqnetrd 2734 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 ) )
8 prodfc 29045 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
9 fveq2 5852 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
10 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
11 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1412, 13fmptd 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1615ffvelrnda 6012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
17 f1of 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1811, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
19 fvco3 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
2018, 19sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
219, 10, 11, 16, 20fprod 29041 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
228, 21syl5eqr 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
23 nnuz 11120 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2410, 23syl6eleq 2539 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
25 fco 5727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2615, 18, 25syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2726ffvelrnda 6012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  e.  CC )
28 fvco3 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
) )
2918, 28sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
) )
3017ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( f `  m )  e.  A
)
33 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( f `  m
)
34 nfv 1692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
ph
35 nfcsb1v 3433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B
3635nfel1 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
3734, 36nfim 1904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
38 csbeq1a 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
3938eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  (
( ph  ->  B  e.  CC )  <->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC ) ) )
4112expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  B  e.  CC ) )
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC ) )
4342impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC )
4413fvmpts 5939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  m
)  e.  A  /\  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  m
) )  =  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B )
4532, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 m ) )  =  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B )
46 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
0
4735, 46nfne 2772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
4834, 47nfim 1904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ph  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0 )
4938neeq1d 2718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  =/=  0  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  =/=  0
) )
5049imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  (
( ph  ->  B  =/=  0 )  <->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
) ) )
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
5251expcom 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  ( ph  ->  B  =/=  0
) )
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( ph  ->  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B  =/=  0
) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  =/=  0
)
5545, 54eqnetrd 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 m ) )  =/=  0 )
5631, 55sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  m )
)  =/=  0 )
5756anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  m
) )  =/=  0
)
5829, 57eqnetrd 2734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  m )  =/=  0
)
5924, 27, 58prodfn0 28996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =/=  0 )
6022, 59eqnetrd 2734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
6160expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 ) )
6261exlimdv 1709 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0
) )
6362expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0
) )
64 fprodn0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
65 fz1f1o 13506 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
6664, 65syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
677, 63, 66mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   [_csb 3417   (/)c0 3767    |-> cmpt 4491    o. ccom 4989   -->wf 5570   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Fincfn 7514   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495   NNcn 10537   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676    seqcseq 12081   #chash 12379   prod_cprod 29005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-prod 29006
This theorem is referenced by:  fallfacval4  29133
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