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Theorem fprodmul 29065
Description: The product of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodmul  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fprodmul
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1t1e1 10689 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2 prod0 29050 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
3 prod0 29050 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
42, 3oveq12i 6293 . . . . 5  |-  ( prod_
k  e.  (/)  B  x.  prod_ k  e.  (/)  C )  =  ( 1  x.  1 )
5 prod0 29050 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  x.  C )  =  1
61, 4, 53eqtr4ri 2483 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  (/)  B  x.  prod_ k  e.  (/)  C )
7 prodeq1 29016 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  prod_ k  e.  (/)  ( B  x.  C ) )
8 prodeq1 29016 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
9 prodeq1 29016 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
108, 9oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C )  =  (
prod_ k  e.  (/)  B  x.  prod_ k  e.  (/)  C ) )
116, 7, 103eqtr4a 2510 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
13 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
14 nnuz 11125 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1513, 14syl6eleq 2541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
16 fprodmul.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1816, 17fmptd 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
20 f1of 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
22 fco 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2423ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
25 fprodmul.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2725, 26fmptd 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
29 fco 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3028, 21, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3130ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3221ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
3416, 25mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )
3635fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `
 k )  =  ( B  x.  C
) )
3733, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  k
)  =  ( B  x.  C ) )
3817fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
3933, 16, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4026fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
4133, 25, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
4239, 41oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  x.  C ) )
4337, 42eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
4443ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
46 nffvmpt1 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  n
) )
47 nffvmpt1 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
48 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  x.
49 nffvmpt1 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
5047, 48, 49nfov 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
5146, 50nfeq 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
52 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
53 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
54 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
5553, 54oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
5652, 55eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
5751, 56rspc 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
5832, 45, 57sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  x.  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
59 fvco3 5935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  (
f `  n )
) )
6021, 59sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  (
f `  n )
) )
61 fvco3 5935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6221, 61sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
63 fvco3 5935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6421, 63sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
6562, 64oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  x.  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
6658, 60, 653eqtr4d 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  x.  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
6715, 24, 31, 66prodfmul 28999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
68 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
69 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
7034, 35fmptd 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) ) : A --> CC )
7170adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) : A --> CC )
7271ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  m )  e.  CC )
7368, 13, 69, 72, 60fprod 29048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
74 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7519ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7674, 13, 69, 75, 62fprod 29048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
77 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
7828ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
7977, 13, 69, 78, 64fprod 29048 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8076, 79oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  x.  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
8167, 73, 803eqtr4d 2494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  x.  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
82 prodfc 29052 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  x.  C ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)
83 prodfc 29052 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
84 prodfc 29052 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
8583, 84oveq12i 6293 . . . . . 6  |-  ( prod_
m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  x.  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C )
8681, 82, 853eqtr3g 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
8786expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
8887exlimdv 1711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
8988expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) ) )
90 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
91 fz1f1o 13511 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9290, 91syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
9312, 89, 92mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   (/)c0 3770    |-> cmpt 4495    o. ccom 4993   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   1c1 9496    x. cmul 9500   NNcn 10542   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681    seqcseq 12086   #chash 12384   prod_cprod 29012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-prod 29013
This theorem is referenced by:  fprodsplit  29070  risefallfac  29121
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