MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1s Structured version   Unicode version

Theorem fprodm1s 13786
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1s.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodm1s.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodm1s  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  [_ N  / 
k ]_ A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodm1s
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodm1s.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 fprodm1s.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
32ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
4 nfcsb1v 3446 . . . . . 6  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
54nfel1 2635 . . . . 5  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ A  e.  CC
6 csbeq1a 3439 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
76eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
85, 7rspc 3204 . . . 4  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC ) )
93, 8mpan9 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... N ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ A  e.  CC )
10 csbeq1 3433 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ N  /  k ]_ A )
111, 9, 10fprodm1 13783 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N )
[_ m  /  k ]_ A  =  ( prod_ m  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) [_ m  /  k ]_ A  x.  [_ N  /  k ]_ A ) )
12 nfcv 2619 . . 3  |-  F/_ m A
1312, 4, 6cbvprodi 13736 . 2  |-  prod_ k  e.  ( M ... N
) A  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) [_ m  /  k ]_ A
1412, 4, 6cbvprodi 13736 . . 3  |-  prod_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  =  prod_ m  e.  ( M ... ( N  -  1
) ) [_ m  /  k ]_ A
1514oveq1i 6306 . 2  |-  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  [_ N  / 
k ]_ A )  =  ( prod_ m  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )
[_ m  /  k ]_ A  x.  [_ N  /  k ]_ A
)
1611, 13, 153eqtr4g 2523 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  [_ N  / 
k ]_ A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   [_csb 3430   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   1c1 9510    x. cmul 9514    - cmin 9824   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   prod_cprod 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-prod 13725
This theorem is referenced by:  fprodeq0  13791
  Copyright terms: Public domain W3C validator