Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodm1 Structured version   Unicode version

Theorem fprodm1 27499
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodm1.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fprodm1.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fprodm1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Distinct variable groups:    B, k    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 27419 . . . . 5  |-  -.  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1
) )
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzelz 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
54zcnd 10769 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6 ax-1cn 9361 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
85, 7npcand 9744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
98eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
N  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
101, 9mtbii 302 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
11 disjsn 3957 . . . 4  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
1210, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  { N } )  =  (/) )
13 eluzel2 10887 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
142, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
15 peano2zm 10709 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1714zcnd 10769 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817, 7npcand 9744 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
1918fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
202, 19eleqtrrd 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )
21 eluzp1m1 10905 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
23 fzsuc2 11535 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )  -> 
( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
2414, 22, 23syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
258oveq2d 6128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
268sneqd 3910 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) }  =  { N } )
2726uneq2d 3531 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  {
( ( N  - 
1 )  +  1 ) } )  =  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  { N } ) )
2824, 25, 273eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N }
) )
29 fzfid 11816 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
30 fprodm1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3112, 28, 29, 30fprodsplit 27498 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A ) )
32 eluzfz2 11480 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
332, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
3430ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
35 fprodm1.3 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
3635eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3736rspcv 3090 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
3833, 34, 37sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3935prodsn 27495 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
402, 38, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
4140oveq2d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A
)  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
4231, 41eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736    u. cun 3347    i^i cin 3348   (/)c0 3658   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458   prod_cprod 27440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-prod 27441
This theorem is referenced by:  fprodp1  27501  fprodm1s  27502  risefacp1  27554  fallfacp1  27555
  Copyright terms: Public domain W3C validator