Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodm1 Structured version   Unicode version

Theorem fprodm1 27323
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodm1.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fprodm1.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fprodm1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Distinct variable groups:    B, k    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 27243 . . . . 5  |-  -.  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1
) )
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzelz 10857 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
54zcnd 10735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6 ax-1cn 9327 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
85, 7npcand 9710 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
98eleq1d 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
N  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
101, 9mtbii 302 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
11 disjsn 3924 . . . 4  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
1210, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  { N } )  =  (/) )
13 eluzel2 10853 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
142, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
15 peano2zm 10675 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1714zcnd 10735 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817, 7npcand 9710 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
1918fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
202, 19eleqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )
21 eluzp1m1 10871 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
2216, 20, 21syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
23 fzsuc2 11498 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )  -> 
( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
2414, 22, 23syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
258oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
268sneqd 3877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) }  =  { N } )
2726uneq2d 3498 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  {
( ( N  - 
1 )  +  1 ) } )  =  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  { N } ) )
2824, 25, 273eqtr3d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N }
) )
29 fzfid 11778 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
30 fprodm1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3112, 28, 29, 30fprodsplit 27322 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A ) )
32 eluzfz2 11445 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
332, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
3430ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
35 fprodm1.3 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
3635eleq1d 2499 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3736rspcv 3058 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
3833, 34, 37sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3935prodsn 27319 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
402, 38, 39syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
4140oveq2d 6096 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A
)  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
4231, 41eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705    u. cun 3314    i^i cin 3315   (/)c0 3625   {csn 3865   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    - cmin 9582   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423   prod_cprod 27264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-prod 27265
This theorem is referenced by:  fprodp1  27325  fprodm1s  27326  risefacp1  27378  fallfacp1  27379
  Copyright terms: Public domain W3C validator