Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodm1 Unicode version

Theorem fprodm1 25243
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fprodm1.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fprodm1.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fprodm1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Distinct variable groups:    B, k    ph, k    k, M    k, N
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 25163 . . . . 5  |-  -.  (
( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1
) )
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzelz 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
54zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
85, 7npcand 9371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
98eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
N  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
101, 9mtbii 294 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
11 disjsn 3828 . . . 4  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
1210, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  { N } )  =  (/) )
13 eluzel2 10449 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
142, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
15 peano2zm 10276 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1714zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817, 7npcand 9371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
1918fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
202, 19eleqtrrd 2481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )
21 eluzp1m1 10465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
2216, 20, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
23 fzsuc2 11060 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )  -> 
( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
2414, 22, 23syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
258oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
268sneqd 3787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) }  =  { N } )
2726uneq2d 3461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  {
( ( N  - 
1 )  +  1 ) } )  =  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  { N } ) )
2824, 25, 273eqtr3d 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N }
) )
29 fzfid 11267 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
30 fprodm1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3112, 28, 29, 30fprodsplit 25242 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A ) )
32 eluzfz2 11021 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
332, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
3430ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
35 fprodm1.3 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
3635eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3736rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
3833, 34, 37sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3935prodsn 25239 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
402, 38, 39syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  { N } A  =  B )
4140oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  x.  prod_ k  e.  { N } A
)  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
4231, 41eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( prod_
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   prod_cprod 25184
This theorem is referenced by:  fprodp1  25245  fprodm1s  25246  risefacp1  25297  fallfacp1  25298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185
  Copyright terms: Public domain W3C validator