Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodle Structured version   Unicode version

Theorem fprodle 13993
 Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph
fprodle.a
fprodle.b
fprodle.0l3b
fprodle.c
fprodle.blec
Assertion
Ref Expression
fprodle
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9609 . . . 4
2 fprodle.kph . . . . . 6
3 nfra1 2746 . . . . . 6
42, 3nfan 1988 . . . . 5
5 fprodle.a . . . . . 6
65adantr 466 . . . . 5
7 fprodle.c . . . . . . 7
87adantlr 719 . . . . . 6
9 fprodle.b . . . . . . 7
109adantlr 719 . . . . . 6
11 rspa 2732 . . . . . . 7
1211adantll 718 . . . . . 6
138, 10, 12redivcld 10386 . . . . 5
144, 6, 13fprodreclf 13956 . . . 4
152, 5, 9fprodreclf 13956 . . . . 5
1615adantr 466 . . . 4
17 fprodle.0l3b . . . . . 6
182, 5, 9, 17fprodge0 13990 . . . . 5
1918adantr 466 . . . 4
20 0red 9595 . . . . . . . 8
2117adantlr 719 . . . . . . . 8
2220, 10, 21, 12leneltd 9740 . . . . . . 7
2310, 22elrpd 11289 . . . . . 6
24 fprodle.blec . . . . . . 7
2524adantlr 719 . . . . . 6
26 divge1 11318 . . . . . 6
2723, 8, 25, 26syl3anc 1264 . . . . 5
284, 6, 13, 27fprodge1 13992 . . . 4
291, 14, 16, 19, 28lemul2ad 10498 . . 3
309recnd 9620 . . . . . . 7
312, 5, 30fprodclf 13989 . . . . . 6
3231mulid1d 9611 . . . . 5
3332adantr 466 . . . 4
347recnd 9620 . . . . . . . 8
3534adantlr 719 . . . . . . 7
3630adantlr 719 . . . . . . 7
374, 6, 35, 36, 12fproddivf 13984 . . . . . 6
3837oveq2d 6265 . . . . 5
392, 5, 34fprodclf 13989 . . . . . . 7
4039adantr 466 . . . . . 6
4131adantr 466 . . . . . 6
424, 6, 36, 12fprodn0f 13988 . . . . . 6
4340, 41, 42divcan2d 10336 . . . . 5
44 eqidd 2429 . . . . 5
4538, 43, 443eqtrd 2466 . . . 4
4633, 45breq12d 4379 . . 3
4729, 46mpbid 213 . 2
48 simpl 458 . . 3
49 nne 2605 . . . . . . 7
5049rexbii 2866 . . . . . 6
51 rexnal 2813 . . . . . 6
52 nfv 1755 . . . . . . 7
53 nfcsb1v 3354 . . . . . . . 8
54 nfcv 2569 . . . . . . . 8
5553, 54nfeq 2580 . . . . . . 7
56 csbeq1a 3347 . . . . . . . 8
5756eqeq1d 2430 . . . . . . 7
5852, 55, 57cbvrex 2993 . . . . . 6
5950, 51, 583bitr3i 278 . . . . 5
6059biimpi 197 . . . 4
6160adantl 467 . . 3
62 nfv 1755 . . . . . 6
63 nfv 1755 . . . . . 6
64 nfv 1755 . . . . . . . . 9
652, 64, 55nf3an 1990 . . . . . . . 8
6653ad2ant1 1026 . . . . . . . 8
67303ad2antl1 1167 . . . . . . . 8
68 simp2 1006 . . . . . . . 8
6957biimparc 489 . . . . . . . . 9
70693ad2antl3 1169 . . . . . . . 8
7165, 66, 67, 68, 70fprodeq0g 13991 . . . . . . 7
72713exp 1204 . . . . . 6
7362, 63, 72rexlimd 2848 . . . . 5
7473imp 430 . . . 4
75 0red 9595 . . . . . . 7
7675, 9, 7, 17, 24letrd 9743 . . . . . 6
772, 5, 7, 76fprodge0 13990 . . . . 5
7877adantr 466 . . . 4
7974, 78eqbrtrd 4387 . . 3
8048, 61, 79syl2anc 665 . 2
8147, 80pm2.61dan 798 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wnf 1661   wcel 1872   wne 2599  wral 2714  wrex 2715  csb 3338   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249  cfn 7524  cc 9488  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   cmul 9495   cle 9627   cdiv 10220  crp 11253  cprod 13902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-ico 11592  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-prod 13903 This theorem is referenced by:  prmolefac  14947  prmorlefacOLD  14961  etransclem23  38005
 Copyright terms: Public domain W3C validator