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Theorem fprodle 13993
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph  |-  F/ k
ph
fprodle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodle.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fprodle.0l3b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fprodle.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fprodle.blec  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fprodle  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9609 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  1  e.  RR )
2 fprodle.kph . . . . . 6  |-  F/ k
ph
3 nfra1 2746 . . . . . 6  |-  F/ k A. k  e.  A  B  =/=  0
42, 3nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )
5 fprodle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
65adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  A  e.  Fin )
7 fprodle.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
87adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
9 fprodle.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
109adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 rspa 2732 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =/=  0  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
1211adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
138, 10, 12redivcld 10386 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  ( C  /  B )  e.  RR )
144, 6, 13fprodreclf 13956 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  ( C  /  B )  e.  RR )
152, 5, 9fprodreclf 13956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  RR )
1615adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  RR )
17 fprodle.0l3b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
182, 5, 9, 17fprodge0 13990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  A  B )
1918adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  0  <_  prod_ k  e.  A  B )
20 0red 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2117adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
2220, 10, 21, 12leneltd 9740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  0  <  B )
2310, 22elrpd 11289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
24 fprodle.blec . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
2524adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
26 divge1 11318 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  C  e.  RR  /\  B  <_  C )  ->  1  <_  ( C  /  B
) )
2723, 8, 25, 26syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  1  <_  ( C  /  B
) )
284, 6, 13, 27fprodge1 13992 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  1  <_  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) )
291, 14, 16, 19, 28lemul2ad 10498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  <_  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) ) )
309recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
312, 5, 30fprodclf 13989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  CC )
3231mulid1d 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  =  prod_ k  e.  A  B )
3332adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  =  prod_ k  e.  A  B )
347recnd 9620 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3534adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3630adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
374, 6, 35, 36, 12fproddivf 13984 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  ( C  /  B )  =  ( prod_ k  e.  A  C  /  prod_ k  e.  A  B ) )
3837oveq2d 6265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  ( prod_ k  e.  A  C  /  prod_ k  e.  A  B
) ) )
392, 5, 34fprodclf 13989 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  e.  CC )
4039adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  C  e.  CC )
4131adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  CC )
424, 6, 36, 12fprodn0f 13988 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
4340, 41, 42divcan2d 10336 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  ( prod_ k  e.  A  C  /  prod_ k  e.  A  B ) )  = 
prod_ k  e.  A  C )
44 eqidd 2429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  A  C )
4538, 43, 443eqtrd 2466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) )  =  prod_ k  e.  A  C )
4633, 45breq12d 4379 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  (
( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  <_  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B ) )  <->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C ) )
4729, 46mpbid 213 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C
)
48 simpl 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ph )
49 nne 2605 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 )
5049rexbii 2866 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  -.  B  =/=  0  <->  E. k  e.  A  B  = 
0 )
51 rexnal 2813 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  -.  B  =/=  0  <->  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )
52 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ j  B  =  0
53 nfcsb1v 3354 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
54 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
0
5553, 54nfeq 2580 . . . . . . 7  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  =  0
56 csbeq1a 3347 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
5756eqeq1d 2430 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( B  =  0  <->  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 ) )
5852, 55, 57cbvrex 2993 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  B  =  0  <->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
5950, 51, 583bitr3i 278 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  A  B  =/=  0  <->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
6059biimpi 197 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  A  B  =/=  0  ->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
6160adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
62 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ j
ph
63 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ j
prod_ k  e.  A  B  =  0
64 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  j  e.  A
652, 64, 55nf3an 1990 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  =  0 )
6653ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  A  e.  Fin )
67303ad2antl1 1167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  =  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
68 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  j  e.  A )
6957biimparc 489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ j  /  k ]_ B  =  0  /\  k  =  j
)  ->  B  = 
0 )
70693ad2antl3 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  =  0 )  /\  k  =  j )  ->  B  =  0 )
7165, 66, 67, 68, 70fprodeq0g 13991 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 )
72713exp 1204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  ->  ( [_ j  / 
k ]_ B  =  0  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 ) ) )
7362, 63, 72rexlimd 2848 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 ) )
7473imp 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 )
75 0red 9595 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  RR )
7675, 9, 7, 17, 24letrd 9743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  C )
772, 5, 7, 76fprodge0 13990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  A  C )
7877adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  0  <_  prod_
k  e.  A  C
)
7974, 78eqbrtrd 4387 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C )
8048, 61, 79syl2anc 665 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C
)
8147, 80pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1661    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   [_csb 3338   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    <_ cle 9627    / cdiv 10220   RR+crp 11253   prod_cprod 13902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-ico 11592  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-prod 13903
This theorem is referenced by:  prmolefac  14947  prmorlefacOLD  14961  etransclem23  38005
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