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Theorem fprodle 31843
Description: If all the terms of two finite products are nonnegative and compare, so do the two products. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodle.kph  |-  F/ k
ph
fprodle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodle.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fprodle.0l3b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fprodle.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fprodle.blec  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fprodle  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fprodle
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9600 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  1  e.  RR )
2 fprodle.kph . . . . . 6  |-  F/ k
ph
3 nfra1 2835 . . . . . 6  |-  F/ k A. k  e.  A  B  =/=  0
42, 3nfan 1933 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )
5 fprodle.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  A  e.  Fin )
7 fprodle.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
87adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
9 fprodle.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
109adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
11 rspa 2821 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =/=  0  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
1211adantll 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  =/=  0 )
138, 10, 12redivcld 10368 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  ( C  /  B )  e.  RR )
144, 6, 13fprodreclf 31835 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  ( C  /  B )  e.  RR )
152, 5, 9fprodreclf 31835 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  RR )
1615adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  RR )
17 fprodle.0l3b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
182, 5, 9, 17fprodge0 31836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  A  B )
1918adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  0  <_  prod_ k  e.  A  B )
20 0red 9586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2117adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
2220, 10, 21, 12leneltd 31733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  0  <  B )
2310, 22elrpd 11256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
24 fprodle.blec . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
2524adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
26 divge1 31752 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  C  e.  RR  /\  B  <_  C )  ->  1  <_  ( C  /  B
) )
2723, 8, 25, 26syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  1  <_  ( C  /  B
) )
284, 6, 13, 27fprodge1 31837 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  1  <_  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) )
291, 14, 16, 19, 28lemul2ad 10481 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  <_  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) ) )
309recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
312, 5, 30fprodclf 31834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  CC )
3231mulid1d 9602 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  =  prod_ k  e.  A  B )
3332adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  =  prod_ k  e.  A  B )
347recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3534adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3630adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
374, 6, 35, 36, 12fproddivf 31827 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  ( C  /  B )  =  ( prod_ k  e.  A  C  /  prod_ k  e.  A  B ) )
3837oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) )  =  (
prod_ k  e.  A  B  x.  ( prod_ k  e.  A  C  /  prod_ k  e.  A  B
) ) )
392, 5, 34fprodclf 31834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  e.  CC )
4039adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  C  e.  CC )
4131adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  e.  CC )
424, 6, 36, 12fprodn0f 31833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  =/=  0 )
4340, 41, 42divcan2d 10318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  ( prod_ k  e.  A  C  /  prod_ k  e.  A  B ) )  = 
prod_ k  e.  A  C )
44 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  A  C )
4538, 43, 443eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B
) )  =  prod_ k  e.  A  C )
4633, 45breq12d 4452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  (
( prod_ k  e.  A  B  x.  1 )  <_  ( prod_ k  e.  A  B  x.  prod_ k  e.  A  ( C  /  B ) )  <->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C ) )
4729, 46mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C
)
48 simpl 455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  ph )
49 nne 2655 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  =/=  0  <->  B  =  0 )
5049rexbii 2956 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  -.  B  =/=  0  <->  E. k  e.  A  B  = 
0 )
51 rexnal 2902 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  -.  B  =/=  0  <->  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )
52 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ j  B  =  0
53 nfcsb1v 3436 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
54 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
0
5553, 54nfeq 2627 . . . . . . 7  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  =  0
56 csbeq1a 3429 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
5756eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( B  =  0  <->  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 ) )
5852, 55, 57cbvrex 3078 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  B  =  0  <->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
5950, 51, 583bitr3i 275 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  A  B  =/=  0  <->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
6059biimpi 194 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  A  B  =/=  0  ->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
6160adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )
62 nfv 1712 . . . . . 6  |-  F/ j
ph
63 nfv 1712 . . . . . 6  |-  F/ j
prod_ k  e.  A  B  =  0
64 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  j  e.  A
652, 64, 55nf3an 1935 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  =  0 )
6653ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  A  e.  Fin )
67303ad2antl1 1156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  =  0 )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
68 simp2 995 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  j  e.  A )
6957biimparc 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ j  /  k ]_ B  =  0  /\  k  =  j
)  ->  B  = 
0 )
70693ad2antl3 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  =  0 )  /\  k  =  j )  ->  B  =  0 )
7165, 66, 67, 68, 70fprodeq0g 31840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 )
72713exp 1193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  ->  ( [_ j  / 
k ]_ B  =  0  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 ) ) )
7362, 63, 72rexlimd 2938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 ) )
7473imp 427 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 )
75 0red 9586 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  RR )
7675, 9, 7, 17, 24letrd 9728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  C )
772, 5, 7, 76fprodge0 31836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  prod_ k  e.  A  C )
7877adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  0  <_  prod_
k  e.  A  C
)
7974, 78eqbrtrd 4459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. j  e.  A  [_ j  / 
k ]_ B  =  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C )
8048, 61, 79syl2anc 659 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A. k  e.  A  B  =/=  0 )  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C
)
8147, 80pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  <_  prod_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   F/wnf 1621    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   [_csb 3420   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    <_ cle 9618    / cdiv 10202   RR+crp 11221   prod_cprod 13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-prod 13795
This theorem is referenced by:  etransclem23  32279
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