MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfac Structured version   Unicode version

Theorem fprodfac 14005
Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fprodfac  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  = 
prod_ k  e.  (
1 ... A ) k )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem fprodfac
StepHypRef Expression
1 elnn0 10871 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
2 facnn 12458 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  A )
)
3 vex 3090 . . . . . 6  |-  k  e. 
_V
4 fvi 5938 . . . . . 6  |-  ( k  e.  _V  ->  (  _I  `  k )  =  k )
53, 4mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... A ) )  ->  (  _I  `  k )  =  k )
6 elnnuz 11195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
76biimpi 197 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 elfznn 11826 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... A )  ->  k  e.  NN )
98nncnd 10625 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... A )  ->  k  e.  CC )
109adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... A ) )  ->  k  e.  CC )
115, 7, 10fprodser 13981 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... A ) k  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  A ) )
122, 11eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... A ) k )
13 prod0 13975 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  k  =  1
1413eqcomi 2442 . . . 4  |-  1  =  prod_ k  e.  (/)  k
15 fveq2 5881 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( ! `  A )  =  ( ! ` 
0 ) )
16 fac0 12459 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
1715, 16syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( ! `  A )  =  1 )
18 oveq2 6313 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
1 ... A )  =  ( 1 ... 0
) )
19 fz10 11818 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
2018, 19syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
1 ... A )  =  (/) )
2120prodeq1d 13953 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... A ) k  = 
prod_ k  e.  (/)  k )
2214, 17, 213eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( ! `  A )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... A ) k )
2312, 22jaoi 380 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( ! `  A )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... A ) k )
241, 23sylbi 198 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  = 
prod_ k  e.  (
1 ... A ) k )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   (/)c0 3767    _I cid 4764   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782    seqcseq 12210   !cfa 12456   prod_cprod 13937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-prod 13938
This theorem is referenced by:  risefacfac  14066  fallfacval4  14074  prmolefac  14967  prmorlefacOLD  14981  bcprod  30161  etransclem41  37706
  Copyright terms: Public domain W3C validator