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Theorem fprodf1o 13835
Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fprodf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fprodf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fprodf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodf1o  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    k, n, ph
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fprodf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prod0 13832 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
2 fprodf1o.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
32adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : C
-1-1-onto-> A )
4 f1oeq2 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
63, 5mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
7 f1ofo 5805 . . . . . . 7  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/)
-onto-> A )
9 fo00 5831 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
109simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
118, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
1211prodeq1d 13810 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
13 prodeq1 13798 . . . . . 6  |-  ( C  =  (/)  ->  prod_ n  e.  C  D  =  prod_ n  e.  (/)  D )
14 prod0 13832 . . . . . 6  |-  prod_ n  e.  (/)  D  =  1
1513, 14syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( C  =  (/)  ->  prod_ n  e.  C  D  = 
1 )
1615adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ n  e.  C  D  =  1 )
171, 12, 163eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
1817ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
19 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( f `  n
) ) )
2019fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
21 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( # `
 C )  e.  NN )
22 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
23 f1of 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
242, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2524ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
26 fprodf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2826, 27fmptd 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2928ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
3025, 29syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
3130adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) )  e.  CC )
32 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
33 f1oco 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
342, 32, 33syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
35 f1of 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C ) ) --> A )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A )
37 fvco3 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3836, 37sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
39 f1of 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  f :
( 1 ... ( # `
 C ) ) --> C )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
42 fvco3 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4341, 42sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4443fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4538, 44eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4620, 21, 22, 31, 45fprod 13830 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
47 fprodf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4824ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4947, 48eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
50 fprodf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
5150, 27fvmpti 5930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5249, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5347fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
54 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5554fvmpt2i 5938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  C  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5655adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5752, 53, 563eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5857ralrimiva 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
59 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6059nfeq1 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
61 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
62 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
6362fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6461, 63eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6560, 64rspc 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6658, 65mpan9 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6766adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
) )
6867prodeq2dv 13812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  prod_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) )
69 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
7028adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7170ffvelrnda 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7269, 21, 34, 71, 38fprod 13830 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
7346, 68, 723eqtr4rd 2506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
74 prodfc 13834 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
75 prodfc 13834 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  prod_ n  e.  C  D
7673, 74, 753eqtr3g 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
prod_ n  e.  C  D )
7776expr 613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
7877exlimdv 1729 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
7978expimpd 601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  C )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
80 fprodf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
81 fz1f1o 13614 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( # `  C )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8280, 81syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8318, 79, 82mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   (/)c0 3783    |-> cmpt 4497    _I cid 4779    o. ccom 4992   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10531   ...cfz 11675    seqcseq 12089   #chash 12387   prod_cprod 13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-prod 13795
This theorem is referenced by:  fprodss  13837  fprodshft  13862  fprodrev  13863  fprod2dlem  13866  fprodcnv  13869
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