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Theorem fprodf1o 27306
Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fprodf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fprodf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fprodf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodf1o  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    k, n, ph
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fprodf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prod0 27303 . . . 4  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
2 fprodf1o.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
32adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : C
-1-1-onto-> A )
4 f1oeq2 5621 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
63, 5mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
7 f1ofo 5636 . . . . . . 7  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/)
-onto-> A )
9 fo00 5662 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
109simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
118, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
1211prodeq1d 27281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
13 prodeq1 27269 . . . . . 6  |-  ( C  =  (/)  ->  prod_ n  e.  C  D  =  prod_ n  e.  (/)  D )
14 prod0 27303 . . . . . 6  |-  prod_ n  e.  (/)  D  =  1
1513, 14syl6eq 2481 . . . . 5  |-  ( C  =  (/)  ->  prod_ n  e.  C  D  = 
1 )
1615adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ n  e.  C  D  =  1 )
171, 12, 163eqtr4a 2491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
1817ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
19 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( f `  n
) ) )
2019fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
21 simprl 748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( # `
 C )  e.  NN )
22 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
23 f1of 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
242, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2524ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
26 fprodf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
27 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2826, 27fmptd 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2928ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
3025, 29syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
3130adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) )  e.  CC )
32 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
33 f1oco 5651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
342, 32, 33syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
35 f1of 5629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C ) ) --> A )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A )
37 fvco3 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3836, 37sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
39 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  f :
( 1 ... ( # `
 C ) ) --> C )
4039adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
4140adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
42 fvco3 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4341, 42sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4443fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4538, 44eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4620, 21, 22, 31, 45fprod 27301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
47 fprodf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4824ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4947, 48eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
50 fprodf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
5150, 27fvmpti 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5249, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5347fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
54 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5554fvmpt2i 5768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  C  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5655adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5752, 53, 563eqtr4rd 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5857ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
59 nffvmpt1 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
6059nfeq1 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
61 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
62 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
6362fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6461, 63eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6560, 64rspc 3056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6658, 65mpan9 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6766adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
) )
6867prodeq2dv 27283 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  prod_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) )
69 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
7028adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7170ffvelrnda 5831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7269, 21, 34, 71, 38fprod 27301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
7346, 68, 723eqtr4rd 2476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
74 prodfc 27305 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
75 prodfc 27305 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  prod_ n  e.  C  D
7673, 74, 753eqtr3g 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
prod_ n  e.  C  D )
7776expr 610 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
7877exlimdv 1689 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
7978expimpd 598 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  C )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D ) )
80 fprodf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
81 fz1f1o 13171 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( # `  C )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8280, 81syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8318, 79, 82mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   A.wral 2705   (/)c0 3625    e. cmpt 4338    _I cid 4618    o. ccom 4831   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   1c1 9271    x. cmul 9275   NNcn 10310   ...cfz 11424    seqcseq 11790   #chash 12087   prod_cprod 27265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-prod 27266
This theorem is referenced by:  fprodss  27308  fprodshft  27334  fprodrev  27335  fprod2dlem  27338  fprodcnv  27341
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