MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodeq0g Structured version   Unicode version

Theorem fprodeq0g 14048
Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0g.kph  |-  F/ k
ph
fprodeq0g.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodeq0g.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodeq0g.c  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
fprodeq0g.b0  |-  ( (
ph  /\  k  =  C )  ->  B  =  0 )
Assertion
Ref Expression
fprodeq0g  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 )
Distinct variable groups:    A, k    C, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem fprodeq0g
StepHypRef Expression
1 fprodeq0g.kph . . 3  |-  F/ k
ph
2 nfcvd 2581 . . 3  |-  ( ph  -> 
F/_ k 0 )
3 fprodeq0g.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 fprodeq0g.b . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5 fprodeq0g.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
6 fprodeq0g.b0 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  =  C )  ->  B  =  0 )
71, 2, 3, 4, 5, 6fprodsplit1f 14044 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  ( 0  x.  prod_ k  e.  ( A  \  { C } ) B ) )
8 diffi 7813 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  { C }
)  e.  Fin )
93, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  { C } )  e.  Fin )
10 simpl 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { C } ) )  ->  ph )
11 eldifi 3587 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  \  { C } )  -> 
k  e.  A )
1211adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { C } ) )  -> 
k  e.  A )
1310, 12, 4syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { C } ) )  ->  B  e.  CC )
141, 9, 13fprodclf 14046 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( A  \  { C } ) B  e.  CC )
1514mul02d 9839 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  prod_ k  e.  ( A  \  { C } ) B )  =  0 )
167, 15eqtrd 2463 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   F/wnf 1661    e. wcel 1872    \ cdif 3433   {csn 3998  (class class class)co 6306   Fincfn 7581   CCcc 9545   0cc0 9547    x. cmul 9552   prod_cprod 13959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-clim 13552  df-prod 13960
This theorem is referenced by:  fprodle  14050
  Copyright terms: Public domain W3C validator