Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodefsum Structured version   Unicode version

Theorem fprodefsum 28709
Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodabs.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodabs.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodefsum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, M    k, N    k, Z
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodefsum
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodabs.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodabs.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2565 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  ( M ... a )  =  ( M ... M
) )
54prodeq1d 28658 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
64sumeq1d 13486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
76fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
85, 7eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
98imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
10 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( M ... a )  =  ( M ... n
) )
1110prodeq1d 28658 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1210sumeq1d 13486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1312fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1411, 13eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
16 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... a )  =  ( M ... (
n  +  1 ) ) )
1716prodeq1d 28658 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1816sumeq1d 13486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1918fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2017, 19eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2120imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
22 oveq2 6292 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( M ... a )  =  ( M ... N
) )
2322prodeq1d 28658 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
2422sumeq1d 13486 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
2524fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2623, 25eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2726imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
28 fzsn 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3029prodeq1d 28658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  { M } 
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
31 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
32 uzid 11096 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  Z )
34 fprodabs.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
35 efcl 13680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )
3836, 37fmptd 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) : Z --> CC )
3938ffvelrnda 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )
4033, 39sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  e.  CC )
41 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4241prodsn 28697 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )  ->  prod_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4331, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  Z )
45 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A )  e.  _V
46 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k M
47 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k exp
48 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ M  /  k ]_ A
4947, 48nffv 5873 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)
50 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  [_ M  /  k ]_ A )
5150fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5246, 49, 51, 37fvmptf 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A ) )
5344, 45, 52sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5430, 43, 533eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5529sumeq1d 13486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  { M }  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  A )  =  ( k  e.  Z  |->  A )
5734, 56fmptd 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  A ) : Z --> CC )
5857ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  M
)  e.  CC )
5933, 58sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )
60 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6160sumsn 13526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 M ) )
6231, 59, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6334ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A  e.  CC )
6448nfel1 2645 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ M  /  k ]_ A  e.  CC
6550eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ M  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
6664, 65rspc 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
)
6766impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  /\  M  e.  Z )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6863, 33, 67syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6956fvmpts 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Z  /\  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  /  k ]_ A
)
7044, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  / 
k ]_ A )
7155, 62, 703eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
[_ M  /  k ]_ A )
7271fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
7354, 72eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )
7473expcom 435 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
75 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
762peano2uzs 11135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
78 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A
7978nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A  e.  CC
80 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  A  =  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A )
8180eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
8279, 81rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
)
8363, 82mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
84 efcl 13680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A  e.  CC  ->  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A )  e.  CC )
86 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( n  +  1 )
8747, 78nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
8880fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
8986, 87, 88, 37fvmptf 5966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9077, 85, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A ) )
9156fvmpts 5952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  =  [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A )
9277, 83, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  =  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
9392fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9490, 93eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
9576, 94sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
96953adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
9775, 96oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
98 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
9998, 2syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
100 elfzuz 11684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
101100, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  Z )
10238ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
103101, 102sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  e.  CC )
104103adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
105 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
10699, 104, 105fprodp1 28703 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1071063adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  x.  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
10857ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
109101, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
111 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) )
11299, 110, 111fsump1 13534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  =  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
113112fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
114 fzfid 12051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( M ... n )  e. 
Fin )
115 elfzuz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
116115, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  Z )
117116, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
118117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
119114, 118fsumcl 13518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  e.  CC )
12057ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
12176, 120sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
122 efadd 13691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
123119, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
124113, 123eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
1251243adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
12697, 107, 1253eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1271263exp 1195 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
129128a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1302eqcomi 2480 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
131129, 130eleq2s 2575 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1329, 15, 21, 27, 74, 131uzind4 11139 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
1333, 132mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
134 fzssuz 11724 . . . . . . . 8  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
135134, 2sseqtr4i 3537 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  C_  Z
136 resmpt 5323 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) )
137135, 136ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( exp `  A
) )
138137fveq1i 5867 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)
139 fvres 5880 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
140138, 139syl5reqr 2523 . . . 4  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m ) )
141140prodeq2i 28656 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )
142 prodfc 28682 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
143141, 142eqtri 2496 . 2  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
144 resmpt 5323 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) )
145135, 144ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A )
146145fveq1i 5867 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  m )
147 fvres 5880 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
148146, 147syl5reqr 2523 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  m ) )
149148sumeq2i 13484 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  m
)
150 sumfc 13494 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
151149, 150eqtri 2496 . . 3  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
152151fveq2i 5869 . 2  |-  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A )
153133, 143, 1523eqtr3g 2531 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   {csn 4027    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   sum_csu 13471   expce 13659   prod_cprod 28642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-prod 28643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator