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Theorem fprodefsum 27624
Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodabs.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodabs.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodefsum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, M    k, N    k, Z
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodefsum
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodabs.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodabs.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  ( M ... a )  =  ( M ... M
) )
54prodeq1d 27573 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
64sumeq1d 13291 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
76fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
85, 7eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
98imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
10 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( M ... a )  =  ( M ... n
) )
1110prodeq1d 27573 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1210sumeq1d 13291 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1312fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1411, 13eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
16 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... a )  =  ( M ... (
n  +  1 ) ) )
1716prodeq1d 27573 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1816sumeq1d 13291 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1918fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2017, 19eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2120imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
22 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( M ... a )  =  ( M ... N
) )
2322prodeq1d 27573 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
2422sumeq1d 13291 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
2524fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2623, 25eqeq12d 2474 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2726imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
28 fzsn 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3029prodeq1d 27573 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  { M } 
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
31 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
32 uzid 10981 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 2syl6eleqr 2551 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  Z )
34 fprodabs.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
35 efcl 13481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
37 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )
3836, 37fmptd 5971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) : Z --> CC )
3938ffvelrnda 5947 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )
4033, 39sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  e.  CC )
41 fveq2 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4241prodsn 27612 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )  ->  prod_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4331, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  Z )
45 fvex 5804 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A )  e.  _V
46 nfcv 2614 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k M
47 nfcv 2614 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k exp
48 nfcsb1v 3406 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ M  /  k ]_ A
4947, 48nffv 5801 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)
50 csbeq1a 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  [_ M  /  k ]_ A )
5150fveq2d 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5246, 49, 51, 37fvmptf 5894 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A ) )
5344, 45, 52sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5430, 43, 533eqtrd 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5529sumeq1d 13291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  { M }  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
56 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  A )  =  ( k  e.  Z  |->  A )
5734, 56fmptd 5971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  A ) : Z --> CC )
5857ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  M
)  e.  CC )
5933, 58sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )
60 fveq2 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6160sumsn 13330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 M ) )
6231, 59, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6334ralrimiva 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A  e.  CC )
6448nfel1 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ M  /  k ]_ A  e.  CC
6550eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ M  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
6664, 65rspc 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
)
6766impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  /\  M  e.  Z )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6863, 33, 67syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6956fvmpts 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Z  /\  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  /  k ]_ A
)
7044, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  / 
k ]_ A )
7155, 62, 703eqtrd 2497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
[_ M  /  k ]_ A )
7271fveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
7354, 72eqtr4d 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )
7473expcom 435 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
75 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
762peano2uzs 11015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
78 nfcsb1v 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A
7978nfel1 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A  e.  CC
80 csbeq1a 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  A  =  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A )
8180eleq1d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
8279, 81rspc 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
)
8363, 82mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
84 efcl 13481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A  e.  CC  ->  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A )  e.  CC )
86 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( n  +  1 )
8747, 78nffv 5801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
8880fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
8986, 87, 88, 37fvmptf 5894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9077, 85, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A ) )
9156fvmpts 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  =  [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A )
9277, 83, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  =  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
9392fveq2d 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9490, 93eqtr4d 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
9576, 94sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
96953adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
9775, 96oveq12d 6213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
98 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
9998, 2syl6eleq 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
100 elfzuz 11561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
101100, 2syl6eleqr 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  Z )
10238ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
103101, 102sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  e.  CC )
104103adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
105 fveq2 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
10699, 104, 105fprodp1 27618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1071063adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  x.  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
10857ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
109101, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
111 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) )
11299, 110, 111fsump1 13336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  =  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
113112fveq2d 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
114 fzfid 11907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( M ... n )  e. 
Fin )
115 elfzuz 11561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
116115, 2syl6eleqr 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  Z )
117116, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
118117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
119114, 118fsumcl 13323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  e.  CC )
12057ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
12176, 120sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
122 efadd 13492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
123119, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
124113, 123eqtrd 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
1251243adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
12697, 107, 1253eqtr4d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1271263exp 1187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
129128a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1302eqcomi 2465 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
131129, 130eleq2s 2560 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1329, 15, 21, 27, 74, 131uzind4 11018 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
1333, 132mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
134 fzssuz 11611 . . . . . . . 8  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
135134, 2sseqtr4i 3492 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  C_  Z
136 resmpt 5259 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) )
137135, 136ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( exp `  A
) )
138137fveq1i 5795 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)
139 fvres 5808 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
140138, 139syl5reqr 2508 . . . 4  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m ) )
141140prodeq2i 27571 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )
142 prodfc 27597 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
143141, 142eqtri 2481 . 2  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
144 resmpt 5259 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) )
145135, 144ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A )
146145fveq1i 5795 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  m )
147 fvres 5808 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
148146, 147syl5reqr 2508 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  m ) )
149148sumeq2i 13289 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  m
)
150 sumfc 13299 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
151149, 150eqtri 2481 . . 3  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
152151fveq2i 5797 . 2  |-  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A )
153133, 143, 1523eqtr3g 2516 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   [_csb 3390    C_ wss 3431   {csn 3980    |-> cmpt 4453    |` cres 4945   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   sum_csu 13276   expce 13460   prod_cprod 27557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-ico 11412  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-prod 27558
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