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Theorem fprodefsum 14039
Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodefsum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodefsum.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodefsum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodefsum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, M    k, N    k, Z
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodefsum
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodefsum.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodefsum.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  ( M ... a )  =  ( M ... M
) )
54prodeq1d 13880 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
64sumeq1d 13672 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
76fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
85, 7eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
98imbi2d 314 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
10 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( M ... a )  =  ( M ... n
) )
1110prodeq1d 13880 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1210sumeq1d 13672 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1312fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1411, 13eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
1514imbi2d 314 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
16 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... a )  =  ( M ... (
n  +  1 ) ) )
1716prodeq1d 13880 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1816sumeq1d 13672 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1918fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2017, 19eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2120imbi2d 314 . . . 4  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
22 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( M ... a )  =  ( M ... N
) )
2322prodeq1d 13880 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
2422sumeq1d 13672 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
2524fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2623, 25eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2726imbi2d 314 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
28 fzsn 11780 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2928adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3029prodeq1d 13880 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  { M } 
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
31 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
32 uzid 11141 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 2syl6eleqr 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  Z )
34 fprodefsum.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
35 efcl 14027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
37 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )
3836, 37fmptd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) : Z --> CC )
3938ffvelrnda 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )
4033, 39sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  e.  CC )
41 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4241prodsn 13919 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )  ->  prod_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4331, 40, 42syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4433adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  Z )
45 fvex 5859 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A )  e.  _V
46 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k M
47 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k exp
48 nfcsb1v 3389 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ M  /  k ]_ A
4947, 48nffv 5856 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)
50 csbeq1a 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  [_ M  /  k ]_ A )
5150fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5246, 49, 51, 37fvmptf 5950 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A ) )
5344, 45, 52sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5430, 43, 533eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5529sumeq1d 13672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  { M }  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
56 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  A )  =  ( k  e.  Z  |->  A )
5734, 56fmptd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  A ) : Z --> CC )
5857ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  M
)  e.  CC )
5933, 58sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )
60 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6160sumsn 13712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 M ) )
6231, 59, 61syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6334ralrimiva 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A  e.  CC )
6448nfel1 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ M  /  k ]_ A  e.  CC
6550eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ M  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
6664, 65rspc 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
)
6766impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  /\  M  e.  Z )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6863, 33, 67syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6956fvmpts 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Z  /\  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  /  k ]_ A
)
7044, 68, 69syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  / 
k ]_ A )
7155, 62, 703eqtrd 2447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
[_ M  /  k ]_ A )
7271fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
7354, 72eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )
7473expcom 433 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
75 simp3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
762peano2uzs 11181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
77 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
78 nfcsb1v 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A
7978nfel1 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A  e.  CC
80 csbeq1a 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  A  =  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A )
8180eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
8279, 81rspc 3154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
)
8363, 82mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
84 efcl 14027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A  e.  CC  ->  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A )  e.  CC )
86 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( n  +  1 )
8747, 78nffv 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
8880fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
8986, 87, 88, 37fvmptf 5950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9077, 85, 89syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A ) )
9156fvmpts 5935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  =  [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A )
9277, 83, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  =  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
9392fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9490, 93eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
9576, 94sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
96953adant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
9775, 96oveq12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
98 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
9998, 2syl6eleq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
100 elfzuz 11738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
101100, 2syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  Z )
10238ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
103101, 102sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  e.  CC )
104103adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
105 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
10699, 104, 105fprodp1 13925 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1071063adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  x.  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
10857ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
109101, 108sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
110109adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
111 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) )
11299, 110, 111fsump1 13722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  =  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
113112fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
114 fzfid 12124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( M ... n )  e. 
Fin )
115 elfzuz 11738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
116115, 2syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  Z )
117116, 108sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
118117adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
119114, 118fsumcl 13704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  e.  CC )
12057ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
12176, 120sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
122 efadd 14038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
123119, 121, 122syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
124113, 123eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
1251243adant3 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
12697, 107, 1253eqtr4d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1271263exp 1196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
128127com12 29 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
129128a2d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1302eqcomi 2415 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
131129, 130eleq2s 2510 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1329, 15, 21, 27, 74, 131uzind4 11185 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
1333, 132mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
134 fzssuz 11779 . . . . . . . 8  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
135134, 2sseqtr4i 3475 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  C_  Z
136 resmpt 5143 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) )
137135, 136ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( exp `  A
) )
138137fveq1i 5850 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)
139 fvres 5863 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
140138, 139syl5reqr 2458 . . . 4  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m ) )
141140prodeq2i 13878 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )
142 prodfc 13904 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
143141, 142eqtri 2431 . 2  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
144 resmpt 5143 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) )
145135, 144ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A )
146145fveq1i 5850 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  m )
147 fvres 5863 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
148146, 147syl5reqr 2458 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  m ) )
149148sumeq2i 13670 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  m
)
150 sumfc 13680 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
151149, 150eqtri 2431 . . 3  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
152151fveq2i 5852 . 2  |-  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A )
153133, 143, 1523eqtr3g 2466 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059   [_csb 3373    C_ wss 3414   {csn 3972    |-> cmpt 4453    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   sum_csu 13657   prod_cprod 13864   expce 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-prod 13865  df-ef 14012
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