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Theorem fprodefsum 25251
Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodabs.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodabs.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodefsum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, M    k, N    k, Z
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fprodefsum
Dummy variables  a  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodabs.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodabs.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  ( M ... a )  =  ( M ... M
) )
54prodeq1d 25200 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
64sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  M  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
76fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  M  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
85, 7eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( a  =  M  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  M  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
10 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( M ... a )  =  ( M ... n
) )
1110prodeq1d 25200 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1210sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1312fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1411, 13eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
16 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M ... a )  =  ( M ... (
n  +  1 ) ) )
1716prodeq1d 25200 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
1816sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
1918fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2017, 19eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
22 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( M ... a )  =  ( M ... N
) )
2322prodeq1d 25200 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
2422sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
) )
2524fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
2623, 25eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  <->  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) ) )
2726imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... a
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  <->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
28 fzsn 11050 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  { M } )
2928adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M ... M )  =  { M } )
3029prodeq1d 25200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  { M } 
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
31 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
32 uzid 10456 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 2syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  Z )
34 fprodabs.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
35 efcl 12640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
37 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )
3836, 37fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) : Z --> CC )
3938ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )
4033, 39sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  e.  CC )
41 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4241prodsn 25239 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  e.  CC )  ->  prod_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4331, 40, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M ) )
4433adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  Z )
45 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A )  e.  _V
46 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k M
47 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k exp
48 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ M  /  k ]_ A
4947, 48nffv 5694 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)
50 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  A  =  [_ M  /  k ]_ A )
5150fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5246, 49, 51, 37fvmptf 5780 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Z  /\  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
)  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  M
)  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A ) )
5344, 45, 52sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  M )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5430, 43, 533eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
5529sumeq1d 12450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  { M }  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
56 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  A )  =  ( k  e.  Z  |->  A )
5734, 56fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  A ) : Z --> CC )
5857ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  M
)  e.  CC )
5933, 58sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )
60 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6160sumsn 12489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { M }  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 M ) )
6231, 59, 61syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  { M }  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M ) )
6334ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A  e.  CC )
6448nfel1 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ M  /  k ]_ A  e.  CC
6550eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ M  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
6664, 65rspc 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
)
6766impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  /\  M  e.  Z )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6863, 33, 67syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
6956fvmpts 5766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Z  /\  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  /  k ]_ A
)
7044, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  M )  =  [_ M  / 
k ]_ A )
7155, 62, 703eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
[_ M  /  k ]_ A )
7271fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  [_ M  /  k ]_ A
) )
7354, 72eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )
7473expcom 425 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... M ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
75 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
762peano2uzs 10487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
77 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
n  +  1 )  e.  Z )
78 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A
7978nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A  e.  CC
80 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  A  =  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A )
8180eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
8279, 81rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A  e.  CC  ->  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
)
8363, 82mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )
84 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A  e.  CC  ->  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  [_ ( n  +  1 )  / 
k ]_ A )  e.  CC )
86 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( n  +  1 )
8747, 78nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
8880fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  A )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
8986, 87, 88, 37fvmptf 5780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9077, 85, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  [_ ( n  + 
1 )  /  k ]_ A ) )
9156fvmpts 5766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  Z  /\  [_ ( n  +  1 )  /  k ]_ A  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  =  [_ ( n  +  1
)  /  k ]_ A )
9277, 83, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  =  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
)
9392fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( exp `  [_ (
n  +  1 )  /  k ]_ A
) )
9490, 93eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
9576, 94sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )
96953adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
9775, 96oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
98 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
9998, 2syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
100 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
101100, 2syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( M ... ( n  +  1
) )  ->  m  e.  Z )
10238ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
103101, 102sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  e.  CC )
104103adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  e.  CC )
105 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
10699, 104, 105fprodp1 25245 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  x.  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
1071063adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( prod_
m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  x.  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
10857ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
109101, 108sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
110109adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
111 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) )
11299, 110, 111fsump1 12495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... (
n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  =  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
113112fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
114 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( M ... n )  e. 
Fin )
115 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
116115, 2syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( M ... n )  ->  m  e.  Z )
117116, 108sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... n ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  A ) `  m )  e.  CC )
118117adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  m  e.  ( M ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
119114, 118fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  e.  CC )
12057ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  +  1 )  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
12176, 120sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) )  e.  CC )
122 efadd 12651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  e.  CC  /\  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
123119, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  ( sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  +  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
124113, 123eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  x.  ( exp `  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
1251243adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1
) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  x.  ( exp `  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
12697, 107, 1253eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z  /\  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
1271263exp 1152 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
128127com12 29 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  ( prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
129128a2d 24 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1302eqcomi 2408 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
131129, 130eleq2s 2496 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... n ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  prod_
m  e.  ( M ... ( n  + 
1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... ( n  +  1 ) ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) ) )
1329, 15, 21, 27, 74, 131uzind4 10490 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) ) )
1333, 132mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) ) )
134 fzssuz 11049 . . . . . . . 8  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
135134, 2sseqtr4i 3341 . . . . . . 7  |-  ( M ... N )  C_  Z
136 resmpt 5150 . . . . . . 7  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) )
137135, 136ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  ( exp `  A
) )
138137fveq1i 5688 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)
139 fvres 5704 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
) )
140138, 139syl5reqr 2451 . . . 4  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( exp `  A
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m ) )
141140prodeq2i 25198 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )
142 prodfc 25224 . . 3  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
143141, 142eqtri 2424 . 2  |-  prod_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  ( exp `  A ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A )
144 resmpt 5150 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ... N ) 
C_  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) )
145135, 144ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) )  =  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A )
146145fveq1i 5688 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `
 m )  =  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  A ) `  m )
147 fvres 5704 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  A )  |`  ( M ... N ) ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m ) )
148146, 147syl5reqr 2451 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... N )  ->  (
( k  e.  Z  |->  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `  m ) )
149148sumeq2i 12448 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  A ) `  m
)
150 sumfc 12458 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
151149, 150eqtri 2424 . . 3  |-  sum_ m  e.  ( M ... N
) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A
152151fveq2i 5690 . 2  |-  ( exp `  sum_ m  e.  ( M ... N ) ( ( k  e.  Z  |->  A ) `  m ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A )
153133, 143, 1523eqtr3g 2459 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( M ... N ) ( exp `  A
)  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( M ... N ) A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   sum_csu 12434   expce 12619   prod_cprod 25184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-prod 25185
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