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Theorem fproddiv 13848
Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fproddiv.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fproddiv  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fproddiv
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1div1e1 10233 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
21eqcomi 2467 . . . 4  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
3 prodeq1 13798 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  prod_ k  e.  (/)  ( B  /  C ) )
4 prod0 13832 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  /  C )  =  1
53, 4syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  1 )
6 prodeq1 13798 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
7 prod0 13832 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
86, 7syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
1 )
9 prodeq1 13798 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
10 prod0 13832 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
119, 10syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
1 )
128, 11oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C )  =  ( 1  /  1 ) )
132, 5, 123eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
15 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
16 nnuz 11117 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16syl6eleq 2552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 fprodmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
19 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2018, 19fmptd 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
21 f1of 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2221adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
23 fco 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2420, 22, 23syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2524ffvelrnda 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
26 fprodmul.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2826, 27fmptd 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
29 fco 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3028, 22, 29syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3130ffvelrnda 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
32 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
3332, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
34 fvco3 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3533, 34sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3633ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
37 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
3827fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
3937, 26, 38syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
40 fproddiv.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
4139, 40eqnetrd 2747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =/=  0 )
4241ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
44 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
45 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
4644, 45nfne 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
47 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
4847neeq1d 2731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
)  =/=  0 ) )
4946, 48rspc 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
) )
5036, 43, 49sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
)
5135, 50eqnetrd 2747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =/=  0
)
5218, 26, 40divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
53 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )
5453fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 k )  =  ( B  /  C
) )
5537, 52, 54syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( B  /  C ) )
5619fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5737, 18, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5857, 39oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  /  C ) )
5955, 58eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
6059ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
62 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )
63 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
64 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  /
6563, 64, 44nfov 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
6662, 65nfeq 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
67 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
68 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
6968, 47oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
7067, 69eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
7166, 70rspc 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
7236, 61, 71sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
73 fvco3 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
7433, 73sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
75 fvco3 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7633, 75sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7776, 35oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  / 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
7872, 74, 773eqtr4d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  /  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
7917, 25, 31, 51, 78prodfdiv 13787 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
80 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
8152, 53fmptd 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) : A --> CC )
8281adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) : A --> CC )
8382ffvelrnda 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  e.  CC )
8480, 15, 32, 83, 74fprod 13830 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
85 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
8620adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
8786ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8885, 15, 32, 87, 76fprod 13830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
89 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
9028adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
9190ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9289, 15, 32, 91, 35fprod 13830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9388, 92oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
9479, 84, 933eqtr4d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  /  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
95 prodfc 13834 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)
96 prodfc 13834 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
97 prodfc 13834 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
9896, 97oveq12i 6282 . . . . . 6  |-  ( prod_
m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C )
9994, 95, 983eqtr3g 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
10099expr 613 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
101100exlimdv 1729 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
102101expimpd 601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
103 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
104 fz1f1o 13614 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
105103, 104syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10614, 102, 105mpjaod 379 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   (/)c0 3783    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    / cdiv 10202   NNcn 10531   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12089   #chash 12387   prod_cprod 13794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-prod 13795
This theorem is referenced by:  fproddivf  31827
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