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Theorem fproddiv 27472
Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fproddiv.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fproddiv  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fproddiv
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1div1e1 10024 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
21eqcomi 2447 . . . 4  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
3 prodeq1 27422 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  prod_ k  e.  (/)  ( B  /  C ) )
4 prod0 27456 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  /  C )  =  1
53, 4syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  1 )
6 prodeq1 27422 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
7 prod0 27456 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
86, 7syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
1 )
9 prodeq1 27422 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
10 prod0 27456 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
119, 10syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
1 )
128, 11oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C )  =  ( 1  /  1 ) )
132, 5, 123eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
15 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
16 nnuz 10896 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16syl6eleq 2533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 fprodmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2018, 19fmptd 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
21 f1of 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2221adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
23 fco 5568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2420, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2524ffvelrnda 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
26 fprodmul.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2826, 27fmptd 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
29 fco 5568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3028, 22, 29syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3130ffvelrnda 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
32 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
3332, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
34 fvco3 5768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3533, 34sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3633ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
3827fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
3937, 26, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
40 fproddiv.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
4139, 40eqnetrd 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =/=  0 )
4241ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
44 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
45 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
4644, 45nfne 2703 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
47 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
4847neeq1d 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
)  =/=  0 ) )
4946, 48rspc 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
) )
5036, 43, 49sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
)
5135, 50eqnetrd 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =/=  0
)
5218, 26, 40divcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )
5453fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 k )  =  ( B  /  C
) )
5537, 52, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( B  /  C ) )
5619fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5737, 18, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5857, 39oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  /  C ) )
5955, 58eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
6059ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
62 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )
63 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
64 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  /
6563, 64, 44nfov 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
6662, 65nfeq 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
67 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
68 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
6968, 47oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
7067, 69eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
7166, 70rspc 3067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
7236, 61, 71sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
73 fvco3 5768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
7433, 73sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
75 fvco3 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7633, 75sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7776, 35oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  / 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
7872, 74, 773eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  /  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
7917, 25, 31, 51, 78prodfdiv 27411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
80 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
8152, 53fmptd 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) : A --> CC )
8281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) : A --> CC )
8382ffvelrnda 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  e.  CC )
8480, 15, 32, 83, 74fprod 27454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
85 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
8620adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
8786ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8885, 15, 32, 87, 76fprod 27454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
89 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
9028adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
9190ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9289, 15, 32, 91, 35fprod 27454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9388, 92oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
9479, 84, 933eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  /  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
95 prodfc 27458 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)
96 prodfc 27458 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
97 prodfc 27458 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
9896, 97oveq12i 6103 . . . . . 6  |-  ( prod_
m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C )
9994, 95, 983eqtr3g 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
10099expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
101100exlimdv 1690 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
102101expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
103 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
104 fz1f1o 13187 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
105103, 104syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10614, 102, 105mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   (/)c0 3637    e. cmpt 4350    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    x. cmul 9287    / cdiv 9993   NNcn 10322   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437    seqcseq 11806   #chash 12103   prod_cprod 27418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-prod 27419
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