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Theorem fproddiv 27385
Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodmul.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprodmul.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fproddiv.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fproddiv  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fproddiv
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1div1e1 10020 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
21eqcomi 2445 . . . 4  |-  1  =  ( 1  / 
1 )
3 prodeq1 27335 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  prod_ k  e.  (/)  ( B  /  C ) )
4 prod0 27369 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  ( B  /  C )  =  1
53, 4syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  1 )
6 prodeq1 27335 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  (/)  B )
7 prod0 27369 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  B  =  1
86, 7syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  B  = 
1 )
9 prodeq1 27335 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
10 prod0 27369 . . . . . 6  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
119, 10syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
1 )
128, 11oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C )  =  ( 1  /  1 ) )
132, 5, 123eqtr4a 2499 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
1413a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
15 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
16 nnuz 10892 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1715, 16syl6eleq 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
18 fprodmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
19 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2018, 19fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
21 f1of 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2221adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
23 fco 5565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2420, 22, 23syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
2524ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
26 fprodmul.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
27 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2826, 27fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
29 fco 5565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  C )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3028, 22, 29syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3130ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
32 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
3332, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
34 fvco3 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3533, 34sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
3633ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
37 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
3827fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
3937, 26, 38syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
40 fproddiv.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
4139, 40eqnetrd 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =/=  0 )
4241ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
4342ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0
)
44 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )
45 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
0
4644, 45nfne 2701 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
47 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
4847neeq1d 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  <->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
)  =/=  0 ) )
4946, 48rspc 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =/=  0  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
) )
5036, 43, 49sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =/=  0
)
5135, 50eqnetrd 2624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n )  =/=  0
)
5218, 26, 40divcld 10103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
53 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )
5453fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `
 k )  =  ( B  /  C
) )
5537, 52, 54syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( B  /  C ) )
5619fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5737, 18, 56syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5857, 39oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( B  /  C ) )
5955, 58eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ) )
6059ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
6160ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ) )
62 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )
63 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
64 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  /
6563, 64, 44nfov 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) )
6662, 65nfeq 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
67 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
68 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
6968, 47oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
7067, 69eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  <->  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) )  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) ) ) )
7166, 70rspc 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  k )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
)  /  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ) ) )
7236, 61, 71sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )  /  (
( k  e.  A  |->  C ) `  (
f `  n )
) ) )
73 fvco3 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
7433, 73sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  (
f `  n )
) )
75 fvco3 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7633, 75sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
7776, 35oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 n )  / 
( ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) )  / 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `  n
) ) ) )
7872, 74, 773eqtr4d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  /  (
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) `  n
) ) )
7917, 25, 31, 51, 78prodfdiv 27324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
80 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  ( f `
 n ) ) )
8152, 53fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) ) : A --> CC )
8281adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) : A --> CC )
8382ffvelrnda 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  e.  CC )
8480, 15, 32, 83, 74fprod 27367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
85 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
8620adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
8786ffvelrnda 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8885, 15, 32, 87, 76fprod 27367 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
89 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
9028adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
9190ffvelrnda 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9289, 15, 32, 91, 35fprod 27367 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9388, 92oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  /  (  seq 1 (  x.  , 
( ( k  e.  A  |->  C )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )
9479, 84, 933eqtr4d 2483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  ( prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  /  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ) )
95 prodfc 27371 . . . . . 6  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( B  /  C ) ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)
96 prodfc 27371 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  B
97 prodfc 27371 . . . . . . 7  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
9896, 97oveq12i 6102 . . . . . 6  |-  ( prod_
m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  /  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m ) )  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C )
9994, 95, 983eqtr3g 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  ( prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
10099expr 612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
101100exlimdv 1695 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
102101expimpd 600 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C )  =  (
prod_ k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) ) )
103 fprodmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
104 fz1f1o 13183 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
105103, 104syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10614, 102, 105mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  ( prod_
k  e.  A  B  /  prod_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   (/)c0 3634    e. cmpt 4347    o. ccom 4840   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    / cdiv 9989   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802   #chash 12099   prod_cprod 27331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-prod 27332
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