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Theorem fprodcom2 25261
Description: Interchange order of multiplication. Note that  B ( j ) and  D ( k ) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcom2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodcom2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fprodcom2.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fprodcom2.4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( k  e.  C  /\  j  e.  D ) ) )
fprodcom2.5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  E  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprodcom2  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A prod_ k  e.  B E  =  prod_ k  e.  C prod_ j  e.  D E )
Distinct variable groups:    A, j,
k    B, k    C, j, k    D, j    j, k,
ph
Allowed substitution hints:    B( j)    D( k)    E( j, k)

Proof of Theorem fprodcom2
Dummy variables  m  x  y  z  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4942 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ( { j }  X.  B )
21rgenw 2733 . . . . . . . 8  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  B
)
3 reliun 4954 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  B
) )
42, 3mpbir 201 . . . . . . 7  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
5 relcnv 5201 . . . . . . 7  |-  Rel  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )
6 ancom 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  j  /\  y  =  k )  <->  ( y  =  k  /\  x  =  j )
)
7 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
8 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
97, 8opth 4395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>. 
<->  ( x  =  j  /\  y  =  k ) )
108, 7opth 4395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. k ,  j >.  <->  ( y  =  k  /\  x  =  j )
)
116, 9, 103bitr4i 269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. j ,  k
>. 
<-> 
<. y ,  x >.  = 
<. k ,  j >.
)
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  =  <. j ,  k >.  <->  <. y ,  x >.  =  <. k ,  j
>. ) )
13 fprodcom2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( k  e.  C  /\  j  e.  D ) ) )
1412, 13anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  B )
)  <->  ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) ) )
15142exbidv 1635 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  B )
)  <->  E. j E. k
( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j
>.  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  D ) ) ) )
16 eliunxp 4971 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j E. k ( <. x ,  y >.  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
177, 8opelcnv 5013 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  <. y ,  x >.  e.  U_ k  e.  C  ( {
k }  X.  D
) )
18 eliunxp 4971 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  E. k E. j ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) )
19 excom 1752 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k E. j (
<. y ,  x >.  = 
<. k ,  j >.  /\  ( k  e.  C  /\  j  e.  D
) )  <->  E. j E. k ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) )
2017, 18, 193bitri 263 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  E. j E. k ( <. y ,  x >.  =  <. k ,  j >.  /\  (
k  e.  C  /\  j  e.  D )
) )
2115, 16, 203bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) ) )
224, 5, 21eqrelrdv 4931 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  =  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
23 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ m
( { j }  X.  B )
24 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ j { m }
25 nfcsb1v 3243 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ B
2624, 25nfxp 4863 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )
27 sneq 3785 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  { j }  =  { m } )
28 csbeq1a 3219 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B )
2927, 28xpeq12d 4862 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) )
3023, 26, 29cbviun 4088 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ m  e.  A  ( {
m }  X.  [_ m  /  j ]_ B
)
31 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( { k }  X.  D )
32 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k { n }
33 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ D
3432, 33nfxp 4863 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )
35 sneq 3785 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  { k }  =  { n } )
36 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  D  =  [_ n  /  k ]_ D )
3735, 36xpeq12d 4862 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( { k }  X.  D )  =  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
3831, 34, 37cbviun 4088 . . . . . . 7  |-  U_ k  e.  C  ( {
k }  X.  D
)  =  U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
)
3938cnveqi 5006 . . . . . 6  |-  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  =  `' U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )
4022, 30, 393eqtr3g 2459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  `' U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
4140prodeq1d 25200 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ z  e.  U_ m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E  =  prod_ z  e.  `' U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E )
42 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  n  e. 
_V
43 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  m  e. 
_V
4442, 43op1std 6316 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  ( 1st `  w
)  =  n )
4544csbeq1d 3217 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E )
4642, 43op2ndd 6317 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  ( 2nd `  w
)  =  m )
4746csbeq1d 3217 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ m  / 
j ]_ E )
4847csbeq2dv 3236 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ n  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
4945, 48eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( w  =  <. n ,  m >.  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
5043, 42op2ndd 6317 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  ( 2nd `  z
)  =  n )
5150csbeq1d 3217 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E )
5243, 42op1std 6316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  ( 1st `  z
)  =  m )
5352csbeq1d 3217 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ m  / 
j ]_ E )
5453csbeq2dv 3236 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ n  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
5551, 54eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( z  =  <. m ,  n >.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E  =  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
56 fprodcom2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
57 snfi 7146 . . . . . . . 8  |-  { n }  e.  Fin
58 fprodcom2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5958adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  A  e.  Fin )
6033nfcri 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k  m  e.  [_ n  /  k ]_ D
61 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
62 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  k  e. 
_V
6362snid 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  k  e. 
{ k }
6461, 63syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  n  e.  { k } )
6564biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  (
m  e.  D  <->  ( n  e.  { k }  /\  m  e.  D )
) )
66 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D )  <->  ( n  e.  { k }  /\  m  e.  D )
)
6765, 66syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D )  <->  m  e.  D ) )
6836eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
m  e.  D  <->  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )
6967, 68bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D )  <->  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )
7060, 69rspce 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  / 
k ]_ D )  ->  E. k  e.  C  <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D ) )
71 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
n ,  m >.  e. 
U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  E. k  e.  C  <. n ,  m >.  e.  ( { k }  X.  D ) )
7270, 71sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  / 
k ]_ D )  ->  <. n ,  m >.  e. 
U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7343, 42opelcnv 5013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
m ,  n >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D )  <->  <. n ,  m >.  e.  U_ k  e.  C  ( {
k }  X.  D
) )
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  / 
k ]_ D )  ->  <. m ,  n >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  <. m ,  n >.  e.  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7622adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  =  `' U_ k  e.  C  ( { k }  X.  D ) )
7775, 76eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  <. m ,  n >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
78 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
m ,  n >.  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
7977, 78sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
80 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
81 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  ( m  e.  { j }  /\  n  e.  B )
)
8280, 81sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( m  e. 
{ j }  /\  n  e.  B )
)
8382simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  m  e.  {
j } )
84 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  m  =  j )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  m  =  j )
86 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  j  e.  A
)
8785, 86eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  A  /\  <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  m  e.  A
)
8887rexlimiva 2785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  m  e.  A )
8979, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  m  e.  A )
9089expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
m  e.  [_ n  /  k ]_ D  ->  m  e.  A ) )
9190ssrdv 3314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ n  /  k ]_ D  C_  A )
92 ssfi 7288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  [_ n  /  k ]_ D  C_  A )  ->  [_ n  /  k ]_ D  e.  Fin )
9359, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  [_ n  /  k ]_ D  e.  Fin )
94 xpfi 7337 . . . . . . . 8  |-  ( ( { n }  e.  Fin  /\  [_ n  / 
k ]_ D  e.  Fin )  ->  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  e. 
Fin )
9557, 93, 94sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
9695ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
97 iunfi 7353 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  A. n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )  ->  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
9856, 96, 97syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  e.  Fin )
99 reliun 4954 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )  <->  A. n  e.  C  Rel  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )
100 relxp 4942 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D )
101100a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  C  ->  Rel  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
10299, 101mprgbir 2736 . . . . . 6  |-  Rel  U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
)
103102a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Rel  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
104 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D ) )
105 eliun 4057 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  <->  E. n  e.  C  w  e.  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )
106104, 105sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  E. n  e.  C  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )
107 xp2nd 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  [_ n  /  k ]_ D
)
108107adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ n  /  k ]_ D )
109 xp1st 6335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 1st `  w
)  e.  { n } )
110109adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 1st `  w )  e. 
{ n } )
111 elsni 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  w )  e.  { n }  ->  ( 1st `  w
)  =  n )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 1st `  w )  =  n )
113112csbeq1d 3217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ D  =  [_ n  /  k ]_ D
)
114108, 113eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ D )
115114rexlimiva 2785 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  C  w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ D )
116106, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ D )
117 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  n  e.  C )
118112, 117eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  C  /\  w  e.  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  C )
119118rexlimiva 2785 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  C  w  e.  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D )  -> 
( 1st `  w
)  e.  C )
120106, 119syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  -> 
( 1st `  w
)  e.  C )
121 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  ph )
12225nfcri 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  n  e.  [_ m  /  j ]_ B
12384eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { j }  ->  j  =  m )
124123, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  { j }  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B
)
125124eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  ( n  e.  B  <->  n  e.  [_ m  /  j ]_ B
) )
126125biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  { j }  /\  n  e.  B )  ->  n  e.  [_ m  /  j ]_ B )
12781, 126sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  n  e.  [_ m  / 
j ]_ B )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  A  ->  ( <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  n  e.  [_ m  / 
j ]_ B ) )
129122, 128rexlimi 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  A  <. m ,  n >.  e.  ( { j }  X.  B )  ->  n  e.  [_ m  /  j ]_ B )
13079, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  n  e.  [_ m  / 
j ]_ B )
131 fprodcom2.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  E  e.  CC )
132131ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  B  E  e.  CC )
133 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ E
134133nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j
[_ m  /  j ]_ E  e.  CC
13525, 134nfral 2719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ j A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ E  e.  CC
136 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  m  ->  E  =  [_ m  /  j ]_ E )
137136eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  m  ->  ( E  e.  CC  <->  [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC ) )
13828, 137raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  m  ->  ( A. k  e.  B  E  e.  CC  <->  A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC ) )
139135, 138rspc 3006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. k  e.  B  E  e.  CC  ->  A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ E  e.  CC ) )
140132, 139mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC )
141 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
142141nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC
143 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  [_ m  /  j ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
144143eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
145142, 144rspc 3006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  [_ m  / 
j ]_ B  ->  ( A. k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC ) )
146140, 145syl5com 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  (
n  e.  [_ m  /  j ]_ B  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC ) )
147146impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  A  /\  n  e.  [_ m  /  j ]_ B ) )  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
148121, 89, 130, 147syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  C  /\  m  e.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
149148ralrimivva 2758 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  A. m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
150149adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  A. n  e.  C  A. m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
151 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  [_ n  / 
k ]_ D  =  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ D
)
152 csbeq1 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E  =  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
153152eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  ( [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
154151, 153raleqbidv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 1st `  w
)  ->  ( A. m  e.  [_  n  / 
k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  /  k ]_ D [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
155154rspcv 3008 . . . . . . 7  |-  ( ( 1st `  w )  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  A. m  e.  [_  n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  ->  A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  /  k ]_ D [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC )
)
156120, 150, 155sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  / 
k ]_ D [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E  e.  CC )
157 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( 2nd `  w
)  ->  [_ m  / 
j ]_ E  =  [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E
)
158157csbeq2dv 3236 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( 2nd `  w
)  ->  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E )
159158eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( 2nd `  w
)  ->  ( [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  <->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  e.  CC )
)
160159rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ D  ->  ( A. m  e.  [_  ( 1st `  w )  /  k ]_ D [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  e.  CC  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  e.  CC )
)
161116, 156, 160sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) )  ->  [_ ( 1st `  w
)  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w
)  /  j ]_ E  e.  CC )
16249, 55, 98, 103, 161fprodcnv 25260 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  /  k ]_ D ) [_ ( 1st `  w )  / 
k ]_ [_ ( 2nd `  w )  /  j ]_ E  =  prod_ z  e.  `' U_ n  e.  C  ( {
n }  X.  [_ n  /  k ]_ D
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ ( 1st `  z
)  /  j ]_ E )
16341, 162eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ z  e.  U_ m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ ( 1st `  z )  /  j ]_ E  =  prod_ w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D ) [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w )  / 
j ]_ E )
164 fprodcom2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
165164ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  Fin )
16625nfel1 2550 . . . . . 6  |-  F/ j
[_ m  /  j ]_ B  e.  Fin
16728eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ m  / 
j ]_ B  e.  Fin ) )
168166, 167rspc 3006 . . . . 5  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ m  /  j ]_ B  e.  Fin ) )
169165, 168mpan9 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  j ]_ B  e.  Fin )
17055, 58, 169, 147fprod2d 25258 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  A prod_ n  e.  [_ m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  prod_ z  e.  U_ m  e.  A  ( { m }  X.  [_ m  / 
j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ ( 1st `  z )  / 
j ]_ E )
17149, 56, 93, 148fprod2d 25258 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ n  e.  C prod_ m  e.  [_ n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  prod_ w  e.  U_ n  e.  C  ( { n }  X.  [_ n  / 
k ]_ D ) [_ ( 1st `  w )  /  k ]_ [_ ( 2nd `  w )  / 
j ]_ E )
172163, 170, 1713eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  A prod_ n  e.  [_ m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E  =  prod_ n  e.  C prod_ m  e.  [_ n  /  k ]_ D [_ n  / 
k ]_ [_ m  / 
j ]_ E )
173 nfcv 2540 . . 3  |-  F/_ m prod_ k  e.  B E
174 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ j
n
175174, 133nfcsb 3245 . . . 4  |-  F/_ j [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
17625, 175nfcprod 25190 . . 3  |-  F/_ j prod_ n  e.  [_ m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
177 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ n E
178 nfcsb1v 3243 . . . . 5  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ E
179 csbeq1a 3219 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  E  =  [_ n  /  k ]_ E )
180177, 178, 179cbvprodi 25196 . . . 4  |-  prod_ k  e.  B E  =  prod_ n  e.  B [_ n  /  k ]_ E
181136csbeq2dv 3236 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  [_ n  /  k ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
182181adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( j  =  m  /\  n  e.  B )  ->  [_ n  /  k ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
18328, 182prodeq12dv 25205 . . . 4  |-  ( j  =  m  ->  prod_ n  e.  B [_ n  /  k ]_ E  =  prod_ n  e.  [_ m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
184180, 183syl5eq 2448 . . 3  |-  ( j  =  m  ->  prod_ k  e.  B E  = 
prod_ n  e.  [_ m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
185173, 176, 184cbvprodi 25196 . 2  |-  prod_ j  e.  A prod_ k  e.  B E  =  prod_ m  e.  A prod_ n  e.  [_ m  /  j ]_ B [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
186 nfcv 2540 . . 3  |-  F/_ n prod_ j  e.  D E
18733, 141nfcprod 25190 . . 3  |-  F/_ k prod_ m  e.  [_ n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
188 nfcv 2540 . . . . 5  |-  F/_ m E
189188, 133, 136cbvprodi 25196 . . . 4  |-  prod_ j  e.  D E  =  prod_ m  e.  D [_ m  /  j ]_ E
190143adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( k  =  n  /\  m  e.  D )  ->  [_ m  /  j ]_ E  =  [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
)
19136, 190prodeq12dv 25205 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  prod_ m  e.  D [_ m  /  j ]_ E  =  prod_ m  e.  [_ n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
192189, 191syl5eq 2448 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  prod_ j  e.  D E  = 
prod_ m  e.  [_ n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E )
193186, 187, 192cbvprodi 25196 . 2  |-  prod_ k  e.  C prod_ j  e.  D E  =  prod_ n  e.  C prod_ m  e.  [_ n  /  k ]_ D [_ n  /  k ]_ [_ m  /  j ]_ E
194172, 185, 1933eqtr4g 2461 1  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A prod_ k  e.  B E  =  prod_ k  e.  C prod_ j  e.  D E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   [_csb 3211    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   U_ciun 4053    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   Rel wrel 4842   ` cfv 5413   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   Fincfn 7068   CCcc 8944   prod_cprod 25184
This theorem is referenced by:  fprodcom  25262  fprod0diag  25263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185
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