Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcom2 Unicode version

Theorem fprodcom2 25261
 Description: Interchange order of multiplication. Note that and are not necessarily constant expressions. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcom2.1
fprodcom2.2
fprodcom2.3
fprodcom2.4
fprodcom2.5
Assertion
Ref Expression
fprodcom2
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem fprodcom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4942 . . . . . . . . 9
21rgenw 2733 . . . . . . . 8
3 reliun 4954 . . . . . . . 8
42, 3mpbir 201 . . . . . . 7
5 relcnv 5201 . . . . . . 7
6 ancom 438 . . . . . . . . . . . 12
7 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13
8 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8opth 4395 . . . . . . . . . . . 12
108, 7opth 4395 . . . . . . . . . . . 12
116, 9, 103bitr4i 269 . . . . . . . . . . 11
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10
13 fprodcom2.4 . . . . . . . . . 10
1412, 13anbi12d 692 . . . . . . . . 9
15142exbidv 1635 . . . . . . . 8
16 eliunxp 4971 . . . . . . . 8
177, 8opelcnv 5013 . . . . . . . . 9
18 eliunxp 4971 . . . . . . . . 9
19 excom 1752 . . . . . . . . 9
2017, 18, 193bitri 263 . . . . . . . 8
2115, 16, 203bitr4g 280 . . . . . . 7
224, 5, 21eqrelrdv 4931 . . . . . 6
23 nfcv 2540 . . . . . . 7
24 nfcv 2540 . . . . . . . 8
25 nfcsb1v 3243 . . . . . . . 8
2624, 25nfxp 4863 . . . . . . 7
27 sneq 3785 . . . . . . . 8
28 csbeq1a 3219 . . . . . . . 8
2927, 28xpeq12d 4862 . . . . . . 7
3023, 26, 29cbviun 4088 . . . . . 6
31 nfcv 2540 . . . . . . . 8
32 nfcv 2540 . . . . . . . . 9
33 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . 9
3432, 33nfxp 4863 . . . . . . . 8
35 sneq 3785 . . . . . . . . 9
36 csbeq1a 3219 . . . . . . . . 9
3735, 36xpeq12d 4862 . . . . . . . 8
3831, 34, 37cbviun 4088 . . . . . . 7
3938cnveqi 5006 . . . . . 6
4022, 30, 393eqtr3g 2459 . . . . 5
4140prodeq1d 25200 . . . 4
42 vex 2919 . . . . . . . 8
43 vex 2919 . . . . . . . 8
4442, 43op1std 6316 . . . . . . 7
4544csbeq1d 3217 . . . . . 6
4642, 43op2ndd 6317 . . . . . . . 8
4746csbeq1d 3217 . . . . . . 7
4847csbeq2dv 3236 . . . . . 6
4945, 48eqtrd 2436 . . . . 5
5043, 42op2ndd 6317 . . . . . . 7
5150csbeq1d 3217 . . . . . 6
5243, 42op1std 6316 . . . . . . . 8
5352csbeq1d 3217 . . . . . . 7
5453csbeq2dv 3236 . . . . . 6
5551, 54eqtrd 2436 . . . . 5
56 fprodcom2.2 . . . . . 6
57 snfi 7146 . . . . . . . 8
58 fprodcom2.1 . . . . . . . . . 10
5958adantr 452 . . . . . . . . 9
6033nfcri 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
62 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362snid 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6461, 63syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6564biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6765, 66syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6836eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6967, 68bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7060, 69rspce 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7270, 71sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7343, 42opelcnv 5013 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7472, 73sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
7622adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
7775, 76eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13
78 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
80 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8280, 81sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
86 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14
8785, 86eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13
8887rexlimiva 2785 . . . . . . . . . . . 12
8979, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11
9089expr 599 . . . . . . . . . 10
9190ssrdv 3314 . . . . . . . . 9
92 ssfi 7288 . . . . . . . . 9
9359, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . 8
94 xpfi 7337 . . . . . . . 8
9557, 93, 94sylancr 645 . . . . . . 7
9695ralrimiva 2749 . . . . . 6
97 iunfi 7353 . . . . . 6
9856, 96, 97syl2anc 643 . . . . 5
99 reliun 4954 . . . . . . 7
100 relxp 4942 . . . . . . . 8
101100a1i 11 . . . . . . 7
10299, 101mprgbir 2736 . . . . . 6
103102a1i 11 . . . . 5
104 simpr 448 . . . . . . . 8
105 eliun 4057 . . . . . . . 8
106104, 105sylib 189 . . . . . . 7
107 xp2nd 6336 . . . . . . . . . 10
108107adantl 453 . . . . . . . . 9
109 xp1st 6335 . . . . . . . . . . . 12
110109adantl 453 . . . . . . . . . . 11
111 elsni 3798 . . . . . . . . . . 11
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . 10
113112csbeq1d 3217 . . . . . . . . 9
114108, 113eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8
115114rexlimiva 2785 . . . . . . 7
116106, 115syl 16 . . . . . 6
117 simpl 444 . . . . . . . . . 10
118112, 117eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9
119118rexlimiva 2785 . . . . . . . 8
120106, 119syl 16 . . . . . . 7
121 simpl 444 . . . . . . . . . 10
12225nfcri 2534 . . . . . . . . . . . 12
12384eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124123, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125124eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14
12781, 126sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
129122, 128rexlimi 2783 . . . . . . . . . . 11
13079, 129syl 16 . . . . . . . . . 10
131 fprodcom2.5 . . . . . . . . . . . . . 14
132131ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . 13
133 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134133nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15
13525, 134nfral 2719 . . . . . . . . . . . . . 14
136 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137136eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
13828, 137raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . . . 14
139135, 138rspc 3006 . . . . . . . . . . . . 13
140132, 139mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12
141 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . 14
142141nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . 13
143 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . 14
144143eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
145142, 144rspc 3006 . . . . . . . . . . . 12
146140, 145syl5com 28 . . . . . . . . . . 11
147146impr 603 . . . . . . . . . 10
148121, 89, 130, 147syl12anc 1182 . . . . . . . . 9
149148ralrimivva 2758 . . . . . . . 8
150149adantr 452 . . . . . . 7
151 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9
152 csbeq1 3214 . . . . . . . . . 10
153152eleq1d 2470 . . . . . . . . 9
154151, 153raleqbidv 2876 . . . . . . . 8
155154rspcv 3008 . . . . . . 7
156120, 150, 155sylc 58 . . . . . 6
157 csbeq1 3214 . . . . . . . . 9
158157csbeq2dv 3236 . . . . . . . 8
159158eleq1d 2470 . . . . . . 7
160159rspcv 3008 . . . . . 6
161116, 156, 160sylc 58 . . . . 5
16249, 55, 98, 103, 161fprodcnv 25260 . . . 4
16341, 162eqtr4d 2439 . . 3
164 fprodcom2.3 . . . . . 6
165164ralrimiva 2749 . . . . 5
16625nfel1 2550 . . . . . 6
16728eleq1d 2470 . . . . . 6
168166, 167rspc 3006 . . . . 5
169165, 168mpan9 456 . . . 4
17055, 58, 169, 147fprod2d 25258 . . 3
17149, 56, 93, 148fprod2d 25258 . . 3
172163, 170, 1713eqtr4d 2446 . 2
173 nfcv 2540 . . 3
174 nfcv 2540 . . . . 5
175174, 133nfcsb 3245 . . . 4
17625, 175nfcprod 25190 . . 3
177 nfcv 2540 . . . . 5
178 nfcsb1v 3243 . . . . 5
179 csbeq1a 3219 . . . . 5
180177, 178, 179cbvprodi 25196 . . . 4
181136csbeq2dv 3236 . . . . . 6
182181adantr 452 . . . . 5
18328, 182prodeq12dv 25205 . . . 4
184180, 183syl5eq 2448 . . 3
185173, 176, 184cbvprodi 25196 . 2
186 nfcv 2540 . . 3
18733, 141nfcprod 25190 . . 3
188 nfcv 2540 . . . . 5
189188, 133, 136cbvprodi 25196 . . . 4
190143adantr 452 . . . . 5
19136, 190prodeq12dv 25205 . . . 4
192189, 191syl5eq 2448 . . 3
193186, 187, 192cbvprodi 25196 . 2
194172, 185, 1933eqtr4g 2461 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667  csb 3211   wss 3280  csn 3774  cop 3777  ciun 4053   cxp 4835  ccnv 4836   wrel 4842  cfv 5413  c1st 6306  c2nd 6307  cfn 7068  cc 8944  cprod 25184 This theorem is referenced by:  fprodcom  25262  fprod0diag  25263 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185
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