Theorem fprodcncf 37779

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	|- ( ph -> A C_ CC )
fprodcncf.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fprodcncf.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
fprodcncf.cn	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	|- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, k, x   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables u y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 13963	. . . 4 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
2	1	mpteq2dv 4490	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) )
3	2	eleq1d 2513	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
4		prodeq1 13963	. . . 4 |- ( w = z -> prod_ k e. w C = prod_ k e. z C )
5	4	mpteq2dv 4490	. . 3 |- ( w = z -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) )
6	5	eleq1d 2513	. 2 |- ( w = z -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
7		prodeq1 13963	. . . 4 |- ( w = ( z u. { y } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( z u. { y } ) C )
8	7	mpteq2dv 4490	. . 3 |- ( w = ( z u. { y } ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) )
9	8	eleq1d 2513	. 2 |- ( w = ( z u. { y } ) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
10		prodeq1 13963	. . . 4 |- ( w = B -> prod_ k e. w C = prod_ k e. B C )
11	10	mpteq2dv 4490	. . 3 |- ( w = B -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) )
12	11	eleq1d 2513	. 2 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
13		prod0 13997	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) C = 1 )
15	14	mpteq2dv 4490	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) = ( x e. A |-> 1 ) )
16		fprodcncf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
17		1cnd 9659	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
18		ssid 3451	. . . . 5 |- CC C_ CC
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
20	16, 17, 19	constcncfg 37748	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> 1 ) e. ( A -cn-> CC ) )
21	15, 20	eqeltrd 2529	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) e. ( A -cn-> CC ) )
22		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ u prod_ k e. ( z u. { y } ) C
23		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ x ( z u. { y } )
24		nfcsb1v 3379	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ u / x ]_ C
25	23, 24	nfcprod 13965	. . . . . 6 |- F/_ x prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C
26		csbeq1a 3372	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> C = [_ u / x ]_ C )
27	26	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( x = u /\ k e. ( z u. { y } ) ) -> C = [_ u / x ]_ C )
28	27	prodeq2dv 13977	. . . . . 6 |- ( x = u -> prod_ k e. ( z u. { y } ) C = prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C )
29	22, 25, 28	cbvmpt 4494	. . . . 5 |- ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) )
31		nfv 1761	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A )
32		nfcsb1v 3379	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C
33		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> B e. Fin )
35		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z C_ B )
36		ssfi 7792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ z C_ B ) -> z e. Fin )
37	34, 35, 36	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z e. Fin )
38	37	adantrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> z e. Fin )
39	38	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> z e. Fin )
40		vex 3048	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> y e. _V )
42		eldifn 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ z ) -> -. y e. z )
43	42	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> -. y e. z )
44	43	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> -. y e. z )
45		simplll 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> ph )
46		simplr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> u e. A )
47	35	adantrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> z C_ B )
48	47	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> z C_ B )
49		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> k e. z )
50	48, 49	sseldd 3433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> k e. B )
51		nfv 1761	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ u e. A /\ k e. B )
52	24	nfel1 2606	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ u / x ]_ C e. CC
53	51, 52	nfim 2003	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
54		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
55	54	3anbi2d 1344	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) ) )
56	26	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( C e. CC <-> [_ u / x ]_ C e. CC ) )
57	55, 56	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC ) ) )
58		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
59	53, 57, 58	chvar 2106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
60	45, 46, 50, 59	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
61		csbeq1a 3372	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> [_ u / x ]_ C = [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
62		simpll 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> ph )
63		eldifi 3555	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( B \ z ) -> y e. B )
64	63	ad2antll 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> y e. B )
65	64	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> y e. B )
66		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
67		simpll 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> ph )
68		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> u e. A )
69		simplr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> y e. B )
70		nfv 1761	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ph /\ u e. A /\ y e. B )
71		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k CC
72	32, 71	nfel 2604	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC
73	70, 72	nfim 2003	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
74		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = y -> ( k e. B <-> y e. B ) )
75	74	3anbi3d 1345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) ) )
76	61	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( [_ u / x ]_ C e. CC <-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC ) )
77	75, 76	imbi12d 322	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC ) <-> ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC ) ) )
78	73, 77, 59	chvar 2106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
79	67, 68, 69, 78	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
80	62, 65, 66, 79	syl21anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
81	31, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80	fprodsplitsn 14043	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C = ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) )
82	81	mpteq2dva 4489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) )
83	82	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) )
84		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u prod_ k e. z C
85		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x z
86	85, 24	nfcprod 13965	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x prod_ k e. z [_ u / x ]_ C
87	26	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ k e. z ) -> C = [_ u / x ]_ C )
88	87	prodeq2dv 13977	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> prod_ k e. z C = prod_ k e. z [_ u / x ]_ C )
89	84, 86, 88	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C )
90	89	eqcomi 2460	. . . . . . . . 9 |- ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C )
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) )
92		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) )
93	91, 92	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
94	93	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
95		nfv 1761	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ y e. B )
96		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k A
97	96, 32	nfmpt 4491	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
98		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( A -cn-> CC )
99	97, 98	nfel 2604	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC )
100	95, 99	nfim 2003	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
101	74	anbi2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( ph /\ k e. B ) <-> ( ph /\ y e. B ) ) )
102	61	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = y /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ C = [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
103	102	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) )
104	103	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
105	101, 104	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ k e. B ) -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) ) )
106		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u C
107	106, 24, 26	cbvmpt 4494	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> C ) = ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C )
108		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. ( A -cn-> CC ) )
109	107, 108	syl5eqelr 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
110	100, 105, 109	chvar 2106	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
111	64, 110	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
112	111	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
113	94, 112	mulcncf 22398	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
114	83, 113	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
115	30, 114	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) )
116	115	ex 436	. 2 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
117	3, 6, 9, 12, 21, 116, 33	findcard2d 7813	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   [_csb 3363   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   |-> cmpt 4461  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   1c1 9540   x. cmul 9544   prod_cprod 13959   -cn->ccncf 21908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910

This theorem is referenced by:  etransclem18  38117  etransclem34  38133  etransclem46  38145