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Theorem fprodcncf 37876
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
fprodcncf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fprodcncf.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
fprodcncf.cn  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
fprodcncf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  B  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables  u  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14040 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
21mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  (/)  C ) )
32eleq1d 2533 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  w  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  <->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  (/)  C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
4 prodeq1 14040 . . . 4  |-  ( w  =  z  ->  prod_ k  e.  w  C  = 
prod_ k  e.  z  C )
54mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )
)
65eleq1d 2533 . 2  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  w  C )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
7 prodeq1 14040 . . . 4  |-  ( w  =  ( z  u. 
{ y } )  ->  prod_ k  e.  w  C  =  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) C )
87mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( w  =  ( z  u. 
{ y } )  ->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  ( z  u.  { y } ) C ) )
98eleq1d 2533 . 2  |-  ( w  =  ( z  u. 
{ y } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  w  C )  e.  ( A -cn-> CC )  <-> 
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
10 prodeq1 14040 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  prod_ k  e.  w  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
1110mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  B  C )
)
1211eleq1d 2533 . 2  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  w  C )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  B  C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
13 prod0 14074 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  (/)  C  =  1 )
1514mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (/)  C )  =  ( x  e.  A  |->  1 ) )
16 fprodcncf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
17 1cnd 9677 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
18 ssid 3437 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
2016, 17, 19constcncfg 37845 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  1 )  e.  ( A -cn-> CC ) )
2115, 20eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (/)  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
22 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ u prod_ k  e.  ( z  u.  { y } ) C
23 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  u.  {
y } )
24 nfcsb1v 3365 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ C
2523, 24nfcprod 14042 . . . . . 6  |-  F/_ x prod_ k  e.  ( z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C
26 csbeq1a 3358 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  C  =  [_ u  /  x ]_ C )
2726adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  u  /\  k  e.  ( z  u.  { y } ) )  ->  C  =  [_ u  /  x ]_ C )
2827prodeq2dv 14054 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  prod_ k  e.  ( z  u. 
{ y } ) C  =  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) [_ u  /  x ]_ C
)
2922, 25, 28cbvmpt 4487 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) C )  =  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) [_ u  /  x ]_ C
)
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) C )  =  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  ( z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C ) )
31 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )
32 nfcsb1v 3365 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C
33 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  B  e.  Fin )
35 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  z  C_  B )
36 ssfi 7810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  z  C_  B )  -> 
z  e.  Fin )
3734, 35, 36syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  z  e.  Fin )
3837adantrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
z  e.  Fin )
3938adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  z  e.  Fin )
40 vex 3034 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  y  e.  _V )
42 eldifn 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \ 
z )  ->  -.  y  e.  z )
4342ad2antll 743 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  ->  -.  y  e.  z
)
4443adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  -.  y  e.  z )
45 simplll 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  ph )
46 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  u  e.  A )
4735adantrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
z  C_  B )
4847ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  z  C_  B )
49 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  z )
5048, 49sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  B )
51 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )
5224nfel1 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ u  /  x ]_ C  e.  CC
5351, 52nfim 2023 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
54 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
x  e.  A  <->  u  e.  A ) )
55543anbi2d 1370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
5626eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) )
5755, 56imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) ) )
58 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
5953, 57, 58chvar 2119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
6045, 46, 50, 59syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
61 csbeq1a 3358 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  y  ->  [_ u  /  x ]_ C  = 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )
62 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  ph )
63 eldifi 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( B  \ 
z )  ->  y  e.  B )
6463ad2antll 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
y  e.  B )
6564adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  y  e.  B )
66 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  u  e.  A )
67 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  ph )
68 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
69 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  y  e.  B )
70 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k CC
7232, 71nfel 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC
7370, 72nfim 2023 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
74 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (
k  e.  B  <->  y  e.  B ) )
75743anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
7661eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  y  ->  ( [_ u  /  x ]_ C  e.  CC  <->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
)
7775, 76imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) ) )
7873, 77, 59chvar 2119 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  [_ y  / 
k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
7967, 68, 69, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
8062, 65, 66, 79syl21anc 1291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  [_ y  / 
k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
8131, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80fprodsplitsn 14120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) [_ u  /  x ]_ C  =  ( prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) )
8281mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C )  =  ( u  e.  A  |->  ( prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) ) )
8382adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C )  =  ( u  e.  A  |->  ( prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) ) )
84 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u prod_ k  e.  z  C
85 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
8685, 24nfcprod 14042 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C
8726adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  k  e.  z )  ->  C  =  [_ u  /  x ]_ C )
8887prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  prod_ k  e.  z  C  = 
prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C )
8984, 86, 88cbvmpt 4487 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  =  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  z 
[_ u  /  x ]_ C )
9089eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C )  =  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  z  C )
9190a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C
)  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )
)
92 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9391, 92eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9493adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
95 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  B )
96 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k A
9796, 32nfmpt 4484 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )
98 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( A -cn-> CC )
9997, 98nfel 2624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC )
10095, 99nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  B )  ->  ( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
10174anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  B ) ) )
10261adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  y  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  x ]_ C  =  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )
103102mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  y  ->  (
u  e.  A  |->  [_ u  /  x ]_ C
)  =  ( u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) )
104103eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  (
( u  e.  A  |-> 
[_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
105101, 104imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  B )  ->  ( u  e.  A  |-> 
[_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  B
)  ->  ( u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) ) )
106 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u C
107106, 24, 26cbvmpt 4487 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( u  e.  A  |->  [_ u  /  x ]_ C )
108 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
109107, 108syl5eqelr 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
u  e.  A  |->  [_ u  /  x ]_ C
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
110100, 105, 109chvar 2119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
11164, 110syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
112111adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
11394, 112mulcncf 22476 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |->  ( prod_ k  e.  z 
[_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
11483, 113eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
11530, 114eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
116115ex 441 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  ( z  u.  { y } ) C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
1173, 6, 9, 12, 21, 116, 33findcard2d 7831 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  B  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   [_csb 3349    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   1c1 9558    x. cmul 9562   prod_cprod 14036   -cn->ccncf 21986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988
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