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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fprodcncf | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
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fprodcncf.a |
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fprodcncf.b |
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fprodcncf.c |
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fprodcncf.cn |
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Ref | Expression |
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fprodcncf |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prodeq1 13963 |
. . . 4
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2 | 1 | mpteq2dv 4490 |
. . 3
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3 | 2 | eleq1d 2513 |
. 2
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4 | prodeq1 13963 |
. . . 4
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5 | 4 | mpteq2dv 4490 |
. . 3
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6 | 5 | eleq1d 2513 |
. 2
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7 | prodeq1 13963 |
. . . 4
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8 | 7 | mpteq2dv 4490 |
. . 3
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9 | 8 | eleq1d 2513 |
. 2
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10 | prodeq1 13963 |
. . . 4
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11 | 10 | mpteq2dv 4490 |
. . 3
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12 | 11 | eleq1d 2513 |
. 2
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13 | prod0 13997 |
. . . . 5
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14 | 13 | a1i 11 |
. . . 4
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15 | 14 | mpteq2dv 4490 |
. . 3
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16 | fprodcncf.a |
. . . 4
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17 | 1cnd 9659 |
. . . 4
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18 | ssid 3451 |
. . . . 5
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19 | 18 | a1i 11 |
. . . 4
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20 | 16, 17, 19 | constcncfg 37748 |
. . 3
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21 | 15, 20 | eqeltrd 2529 |
. 2
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22 | nfcv 2592 |
. . . . . 6
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23 | nfcv 2592 |
. . . . . . 7
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24 | nfcsb1v 3379 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | nfcprod 13965 |
. . . . . 6
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26 | csbeq1a 3372 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | prodeq2dv 13977 |
. . . . . 6
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29 | 22, 25, 28 | cbvmpt 4494 |
. . . . 5
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30 | 29 | a1i 11 |
. . . 4
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31 | nfv 1761 |
. . . . . . . 8
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32 | nfcsb1v 3379 |
. . . . . . . 8
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33 | fprodcncf.b |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 33 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | simpr 463 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | ssfi 7792 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 34, 35, 36 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | adantrr 723 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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40 | vex 3048 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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42 | eldifn 3556 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | ad2antll 735 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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45 | simplll 768 |
. . . . . . . . 9
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46 | simplr 762 |
. . . . . . . . 9
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47 | 35 | adantrr 723 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 47 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . 10
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49 | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 48, 49 | sseldd 3433 |
. . . . . . . . 9
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51 | nfv 1761 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 24 | nfel1 2606 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 51, 52 | nfim 2003 |
. . . . . . . . . 10
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54 | eleq1 2517 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | 54 | 3anbi2d 1344 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | 26 | eleq1d 2513 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 55, 56 | imbi12d 322 |
. . . . . . . . . 10
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58 | fprodcncf.c |
. . . . . . . . . 10
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59 | 53, 57, 58 | chvar 2106 |
. . . . . . . . 9
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60 | 45, 46, 50, 59 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . 8
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61 | csbeq1a 3372 |
. . . . . . . 8
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62 | simpll 760 |
. . . . . . . . 9
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63 | eldifi 3555 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 63 | ad2antll 735 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 64 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
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66 | simpr 463 |
. . . . . . . . 9
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67 | simpll 760 |
. . . . . . . . . 10
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68 | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
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69 | simplr 762 |
. . . . . . . . . 10
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70 | nfv 1761 |
. . . . . . . . . . . 12
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71 | nfcv 2592 |
. . . . . . . . . . . . 13
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72 | 32, 71 | nfel 2604 |
. . . . . . . . . . . 12
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73 | 70, 72 | nfim 2003 |
. . . . . . . . . . 11
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74 | eleq1 2517 |
. . . . . . . . . . . . 13
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75 | 74 | 3anbi3d 1345 |
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77 | 75, 76 | imbi12d 322 |
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78 | 73, 77, 59 | chvar 2106 |
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79 | 67, 68, 69, 78 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . 9
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80 | 62, 65, 66, 79 | syl21anc 1267 |
. . . . . . . 8
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81 | 31, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80 | fprodsplitsn 14043 |
. . . . . . 7
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82 | 81 | mpteq2dva 4489 |
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83 | 82 | adantr 467 |
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84 | nfcv 2592 |
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85 | nfcv 2592 |
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86 | 85, 24 | nfcprod 13965 |
. . . . . . . . . . 11
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87 | 26 | adantr 467 |
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88 | 87 | prodeq2dv 13977 |
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89 | 84, 86, 88 | cbvmpt 4494 |
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90 | 89 | eqcomi 2460 |
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91 | 90 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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92 | id 22 |
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93 | 91, 92 | eqeltrd 2529 |
. . . . . . 7
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94 | 93 | adantl 468 |
. . . . . 6
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95 | nfv 1761 |
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96 | nfcv 2592 |
. . . . . . . . . . . 12
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97 | 96, 32 | nfmpt 4491 |
. . . . . . . . . . 11
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98 | nfcv 2592 |
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99 | 97, 98 | nfel 2604 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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102 | 61 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
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103 | 102 | mpteq2dva 4489 |
. . . . . . . . . . 11
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104 | 103 | eleq1d 2513 |
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105 | 101, 104 | imbi12d 322 |
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106 | nfcv 2592 |
. . . . . . . . . . 11
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107 | 106, 24, 26 | cbvmpt 4494 |
. . . . . . . . . 10
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109 | 107, 108 | syl5eqelr 2534 |
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110 | 100, 105, 109 | chvar 2106 |
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111 | 64, 110 | syldan 473 |
. . . . . . 7
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112 | 111 | adantr 467 |
. . . . . 6
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113 | 94, 112 | mulcncf 22398 |
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114 | 83, 113 | eqeltrd 2529 |
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115 | 30, 114 | eqeltrd 2529 |
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116 | 115 | ex 436 |
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117 | 3, 6, 9, 12, 21, 116, 33 | findcard2d 7813 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 ax-mulf 9619 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-fal 1450 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-ixp 7523 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-fsupp 7884 df-fi 7925 df-sup 7956 df-inf 7957 df-oi 8025 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-4 10670 df-5 10671 df-6 10672 df-7 10673 df-8 10674 df-9 10675 df-10 10676 df-n0 10870 df-z 10938 df-dec 11052 df-uz 11160 df-q 11265 df-rp 11303 df-xneg 11409 df-xadd 11410 df-xmul 11411 df-icc 11642 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-seq 12214 df-exp 12273 df-hash 12516 df-cj 13162 df-re 13163 df-im 13164 df-sqrt 13298 df-abs 13299 df-clim 13552 df-prod 13960 df-struct 15123 df-ndx 15124 df-slot 15125 df-base 15126 df-sets 15127 df-ress 15128 df-plusg 15203 df-mulr 15204 df-starv 15205 df-sca 15206 df-vsca 15207 df-ip 15208 df-tset 15209 df-ple 15210 df-ds 15212 df-unif 15213 df-hom 15214 df-cco 15215 df-rest 15321 df-topn 15322 df-0g 15340 df-gsum 15341 df-topgen 15342 df-pt 15343 df-prds 15346 df-xrs 15400 df-qtop 15406 df-imas 15407 df-xps 15410 df-mre 15492 df-mrc 15493 df-acs 15495 df-mgm 16488 df-sgrp 16527 df-mnd 16537 df-submnd 16583 df-mulg 16676 df-cntz 16971 df-cmn 17432 df-psmet 18962 df-xmet 18963 df-met 18964 df-bl 18965 df-mopn 18966 df-cnfld 18971 df-top 19921 df-bases 19922 df-topon 19923 df-topsp 19924 df-cn 20243 df-cnp 20244 df-tx 20577 df-hmeo 20770 df-xms 21335 df-ms 21336 df-tms 21337 df-cncf 21910 |
This theorem is referenced by: etransclem18 38117 etransclem34 38133 etransclem46 38145 |
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