Theorem fprodcncf 37876

Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcncf.a	|- ( ph -> A C_ CC )
fprodcncf.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fprodcncf.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
fprodcncf.cn	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcncf	|- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, k, x   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)

Proof of Theorem fprodcncf

Dummy variables u y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 14040	. . . 4 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. (/) C )
2	1	mpteq2dv 4483	. . 3 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) )
3	2	eleq1d 2533	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
4		prodeq1 14040	. . . 4 |- ( w = z -> prod_ k e. w C = prod_ k e. z C )
5	4	mpteq2dv 4483	. . 3 |- ( w = z -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) )
6	5	eleq1d 2533	. 2 |- ( w = z -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
7		prodeq1 14040	. . . 4 |- ( w = ( z u. { y } ) -> prod_ k e. w C = prod_ k e. ( z u. { y } ) C )
8	7	mpteq2dv 4483	. . 3 |- ( w = ( z u. { y } ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) )
9	8	eleq1d 2533	. 2 |- ( w = ( z u. { y } ) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
10		prodeq1 14040	. . . 4 |- ( w = B -> prod_ k e. w C = prod_ k e. B C )
11	10	mpteq2dv 4483	. . 3 |- ( w = B -> ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) )
12	11	eleq1d 2533	. 2 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. w C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
13		prod0 14074	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) C = 1
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. (/) C = 1 )
15	14	mpteq2dv 4483	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) = ( x e. A |-> 1 ) )
16		fprodcncf.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
17		1cnd 9677	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
18		ssid 3437	. . . . 5 |- CC C_ CC
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
20	16, 17, 19	constcncfg 37845	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> 1 ) e. ( A -cn-> CC ) )
21	15, 20	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. (/) C ) e. ( A -cn-> CC ) )
22		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ u prod_ k e. ( z u. { y } ) C
23		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ x ( z u. { y } )
24		nfcsb1v 3365	. . . . . . 7 |- F/_ x [_ u / x ]_ C
25	23, 24	nfcprod 14042	. . . . . 6 |- F/_ x prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C
26		csbeq1a 3358	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> C = [_ u / x ]_ C )
27	26	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( x = u /\ k e. ( z u. { y } ) ) -> C = [_ u / x ]_ C )
28	27	prodeq2dv 14054	. . . . . 6 |- ( x = u -> prod_ k e. ( z u. { y } ) C = prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C )
29	22, 25, 28	cbvmpt 4487	. . . . 5 |- ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) )
31		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A )
32		nfcsb1v 3365	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C
33		fprodcncf.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
34	33	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> B e. Fin )
35		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z C_ B )
36		ssfi 7810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ z C_ B ) -> z e. Fin )
37	34, 35, 36	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z e. Fin )
38	37	adantrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> z e. Fin )
39	38	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> z e. Fin )
40		vex 3034	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> y e. _V )
42		eldifn 3545	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( B \ z ) -> -. y e. z )
43	42	ad2antll 743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> -. y e. z )
44	43	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> -. y e. z )
45		simplll 776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> ph )
46		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> u e. A )
47	35	adantrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> z C_ B )
48	47	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> z C_ B )
49		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> k e. z )
50	48, 49	sseldd 3419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> k e. B )
51		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ u e. A /\ k e. B )
52	24	nfel1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ u / x ]_ C e. CC
53	51, 52	nfim 2023	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
54		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
55	54	3anbi2d 1370	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) ) )
56	26	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( C e. CC <-> [_ u / x ]_ C e. CC ) )
57	55, 56	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( x = u -> ( ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC ) ) )
58		fprodcncf.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
59	53, 57, 58	chvar 2119	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
60	45, 46, 50, 59	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) /\ k e. z ) -> [_ u / x ]_ C e. CC )
61		csbeq1a 3358	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> [_ u / x ]_ C = [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
62		simpll 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> ph )
63		eldifi 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( B \ z ) -> y e. B )
64	63	ad2antll 743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> y e. B )
65	64	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> y e. B )
66		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
67		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> ph )
68		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> u e. A )
69		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> y e. B )
70		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k ( ph /\ u e. A /\ y e. B )
71		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k CC
72	32, 71	nfel 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC
73	70, 72	nfim 2023	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
74		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = y -> ( k e. B <-> y e. B ) )
75	74	3anbi3d 1371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) ) )
76	61	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( [_ u / x ]_ C e. CC <-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC ) )
77	75, 76	imbi12d 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ u e. A /\ k e. B ) -> [_ u / x ]_ C e. CC ) <-> ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC ) ) )
78	73, 77, 59	chvar 2119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. A /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
79	67, 68, 69, 78	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ u e. A ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
80	62, 65, 66, 79	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C e. CC )
81	31, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80	fprodsplitsn 14120	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ u e. A ) -> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C = ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) )
82	81	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) )
83	82	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) )
84		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u prod_ k e. z C
85		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x z
86	85, 24	nfcprod 14042	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x prod_ k e. z [_ u / x ]_ C
87	26	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ k e. z ) -> C = [_ u / x ]_ C )
88	87	prodeq2dv 14054	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> prod_ k e. z C = prod_ k e. z [_ u / x ]_ C )
89	84, 86, 88	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) = ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C )
90	89	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9 |- ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C )
91	90	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) = ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) )
92		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) )
93	91, 92	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
94	93	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. z [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
95		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ y e. B )
96		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k A
97	96, 32	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
98		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( A -cn-> CC )
99	97, 98	nfel 2624	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC )
100	95, 99	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
101	74	anbi2d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( ph /\ k e. B ) <-> ( ph /\ y e. B ) ) )
102	61	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k = y /\ u e. A ) -> [_ u / x ]_ C = [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C )
103	102	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) = ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) )
104	103	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) <-> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
105	101, 104	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( ( ( ph /\ k e. B ) -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) ) ) )
106		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ u C
107	106, 24, 26	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> C ) = ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C )
108		fprodcncf.cn	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. ( A -cn-> CC ) )
109	107, 108	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( u e. A |-> [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
110	100, 105, 109	chvar 2119	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
111	64, 110	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
112	111	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
113	94, 112	mulcncf 22476	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> ( prod_ k e. z [_ u / x ]_ C x. [_ y / k ]_ [_ u / x ]_ C ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
114	83, 113	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( u e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) [_ u / x ]_ C ) e. ( A -cn-> CC ) )
115	30, 114	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) /\ ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) )
116	115	ex 441	. 2 |- ( ( ph /\ ( z C_ B /\ y e. ( B \ z ) ) ) -> ( ( x e. A |-> prod_ k e. z C ) e. ( A -cn-> CC ) -> ( x e. A |-> prod_ k e. ( z u. { y } ) C ) e. ( A -cn-> CC ) ) )
117	3, 6, 9, 12, 21, 116, 33	findcard2d 7831	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> prod_ k e. B C ) e. ( A -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   [_csb 3349   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   |-> cmpt 4454  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   1c1 9558   x. cmul 9562   prod_cprod 14036   -cn->ccncf 21986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988

This theorem is referenced by:  etransclem18  38229  etransclem34  38245  etransclem46  38257