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Theorem fprodcncf 37779
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
fprodcncf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fprodcncf.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
fprodcncf.cn  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
fprodcncf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  B  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables  u  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 13963 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ k  e.  w  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
21mpteq2dv 4490 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  (/)  C ) )
32eleq1d 2513 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  w  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  <->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  (/)  C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
4 prodeq1 13963 . . . 4  |-  ( w  =  z  ->  prod_ k  e.  w  C  = 
prod_ k  e.  z  C )
54mpteq2dv 4490 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )
)
65eleq1d 2513 . 2  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  w  C )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
7 prodeq1 13963 . . . 4  |-  ( w  =  ( z  u. 
{ y } )  ->  prod_ k  e.  w  C  =  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) C )
87mpteq2dv 4490 . . 3  |-  ( w  =  ( z  u. 
{ y } )  ->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  ( z  u.  { y } ) C ) )
98eleq1d 2513 . 2  |-  ( w  =  ( z  u. 
{ y } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  w  C )  e.  ( A -cn-> CC )  <-> 
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
10 prodeq1 13963 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  prod_ k  e.  w  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
1110mpteq2dv 4490 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  B  C )
)
1211eleq1d 2513 . 2  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  w  C )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  B  C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
13 prod0 13997 . . . . 5  |-  prod_ k  e.  (/)  C  =  1
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  (/)  C  =  1 )
1514mpteq2dv 4490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (/)  C )  =  ( x  e.  A  |->  1 ) )
16 fprodcncf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
17 1cnd 9659 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
18 ssid 3451 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
2016, 17, 19constcncfg 37748 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  1 )  e.  ( A -cn-> CC ) )
2115, 20eqeltrd 2529 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (/)  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
22 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ u prod_ k  e.  ( z  u.  { y } ) C
23 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( z  u.  {
y } )
24 nfcsb1v 3379 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ C
2523, 24nfcprod 13965 . . . . . 6  |-  F/_ x prod_ k  e.  ( z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C
26 csbeq1a 3372 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  C  =  [_ u  /  x ]_ C )
2726adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  u  /\  k  e.  ( z  u.  { y } ) )  ->  C  =  [_ u  /  x ]_ C )
2827prodeq2dv 13977 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  prod_ k  e.  ( z  u. 
{ y } ) C  =  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) [_ u  /  x ]_ C
)
2922, 25, 28cbvmpt 4494 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) C )  =  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) [_ u  /  x ]_ C
)
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) C )  =  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  ( z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C ) )
31 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )
32 nfcsb1v 3379 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C
33 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3433adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  B  e.  Fin )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  z  C_  B )
36 ssfi 7792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  z  C_  B )  -> 
z  e.  Fin )
3734, 35, 36syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  z  e.  Fin )
3837adantrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
z  e.  Fin )
3938adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  z  e.  Fin )
40 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  y  e.  _V )
42 eldifn 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \ 
z )  ->  -.  y  e.  z )
4342ad2antll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  ->  -.  y  e.  z
)
4443adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  -.  y  e.  z )
45 simplll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  ph )
46 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  u  e.  A )
4735adantrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
z  C_  B )
4847ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  z  C_  B )
49 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  z )
5048, 49sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  B )
51 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )
5224nfel1 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ u  /  x ]_ C  e.  CC
5351, 52nfim 2003 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
54 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
x  e.  A  <->  u  e.  A ) )
55543anbi2d 1344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
5626eleq1d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) )
5755, 56imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) ) )
58 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
5953, 57, 58chvar 2106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
6045, 46, 50, 59syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A )  /\  k  e.  z )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
61 csbeq1a 3372 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  y  ->  [_ u  /  x ]_ C  = 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )
62 simpll 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  ph )
63 eldifi 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( B  \ 
z )  ->  y  e.  B )
6463ad2antll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
y  e.  B )
6564adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  y  e.  B )
66 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  u  e.  A )
67 simpll 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  ph )
68 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
69 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  y  e.  B )
70 nfv 1761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )
71 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k CC
7232, 71nfel 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC
7370, 72nfim 2003 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
74 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (
k  e.  B  <->  y  e.  B ) )
75743anbi3d 1345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
7661eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  y  ->  ( [_ u  /  x ]_ C  e.  CC  <->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
)
7775, 76imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  u  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC ) ) )
7873, 77, 59chvar 2106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  [_ y  / 
k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
7967, 68, 69, 78syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  A )  ->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
8062, 65, 66, 79syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  [_ y  / 
k ]_ [_ u  /  x ]_ C  e.  CC )
8131, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80fprodsplitsn 14043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  u  e.  A
)  ->  prod_ k  e.  ( z  u.  {
y } ) [_ u  /  x ]_ C  =  ( prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) )
8281mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C )  =  ( u  e.  A  |->  ( prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) ) )
8382adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C )  =  ( u  e.  A  |->  ( prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) ) )
84 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u prod_ k  e.  z  C
85 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
8685, 24nfcprod 13965 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C
8726adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  k  e.  z )  ->  C  =  [_ u  /  x ]_ C )
8887prodeq2dv 13977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  prod_ k  e.  z  C  = 
prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C )
8984, 86, 88cbvmpt 4494 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  =  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  z 
[_ u  /  x ]_ C )
9089eqcomi 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C )  =  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  z  C )
9190a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C
)  =  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )
)
92 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9391, 92eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  C )  e.  ( A
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  A  |->  prod_
k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
9493adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  z  [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
95 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  B )
96 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k A
9796, 32nfmpt 4491 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )
98 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( A -cn-> CC )
9997, 98nfel 2604 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC )
10095, 99nfim 2003 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  y  e.  B )  ->  ( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
10174anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  B ) ) )
10261adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  y  /\  u  e.  A )  ->  [_ u  /  x ]_ C  =  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )
103102mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  y  ->  (
u  e.  A  |->  [_ u  /  x ]_ C
)  =  ( u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) )
104103eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  (
( u  e.  A  |-> 
[_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
105101, 104imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  B )  ->  ( u  e.  A  |-> 
[_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  B
)  ->  ( u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) ) )
106 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u C
107106, 24, 26cbvmpt 4494 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( u  e.  A  |->  [_ u  /  x ]_ C )
108 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
109107, 108syl5eqelr 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
u  e.  A  |->  [_ u  /  x ]_ C
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
110100, 105, 109chvar 2106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
u  e.  A  |->  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
11164, 110syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
112111adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
[_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
11394, 112mulcncf 22398 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |->  ( prod_ k  e.  z 
[_ u  /  x ]_ C  x.  [_ y  /  k ]_ [_ u  /  x ]_ C ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
11483, 113eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) [_ u  /  x ]_ C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
11530, 114eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z ) ) )  /\  ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  (
z  u.  { y } ) C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
116115ex 436 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  B  /\  y  e.  ( B  \  z
) ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  prod_ k  e.  z  C )  e.  ( A -cn-> CC )  ->  (
x  e.  A  |->  prod_
k  e.  ( z  u.  { y } ) C )  e.  ( A -cn-> CC ) ) )
1173, 6, 9, 12, 21, 116, 33findcard2d 7813 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
prod_ k  e.  B  C )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   [_csb 3363    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968    |-> cmpt 4461  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   1c1 9540    x. cmul 9544   prod_cprod 13959   -cn->ccncf 21908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910
This theorem is referenced by:  etransclem18  38117  etransclem34  38133  etransclem46  38145
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