Theorem fprod2dlem 13766

Description: Lemma for fprod2d 13767- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fprod2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fprod2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprod2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
fprod2d.5	|- ( ph -> -. y e. x )
fprod2d.6	|- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
fprod2d.7	|- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )

Assertion

Ref	Expression
fprod2dlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k, z   z, C   D, j, k   ph, j   x, j   y, j, z   ph, k   x, k   y, k, z   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z, j, k)   A( x, y, z)   B( x, y, j)   C( x, y, j, k)   D( x, y, z)

Proof of Theorem fprod2dlem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		fprod2d.7	. . . 4 |- ( ps <-> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
3	1, 2	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. x prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
4		nfcv 2605	. . . . . 6 |- F/_ m prod_ k e. B C
5		nfcsb1v 3436	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ B
6		nfcsb1v 3436	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ C
7	5, 6	nfcprod 13700	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
8		csbeq1a 3429	. . . . . . 7 |- ( j = m -> B = [_ m / j ]_ B )
9		csbeq1a 3429	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> C = [_ m / j ]_ C )
10	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( j = m /\ k e. B ) -> C = [_ m / j ]_ C )
11	8, 10	prodeq12dv 13715	. . . . . 6 |- ( j = m -> prod_ k e. B C = prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C )
12	4, 7, 11	cbvprodi 13706	. . . . 5 |- prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
13		fprod2d.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
14	13	unssbd 3667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y } C_ A )
15		vex 3098	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	15	snss 4139	. . . . . . . 8 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
17	14, 16	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. A )
18		fprod2d.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
19	18	ralrimiva 2857	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
20		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j [_ y / j ]_ B
21	20	nfel1 2621	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ y / j ]_ B e. Fin
22		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> B = [_ y / j ]_ B )
23	22	eleq1d 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( j = y -> ( B e. Fin <-> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
24	21, 23	rspc 3190	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
25	17, 19, 24	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ y / j ]_ B e. Fin )
26		fprod2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
27	26	ralrimivva 2864	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B C e. CC )
28		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ y / j ]_ C
29	28	nfel1 2621	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ y / j ]_ C e. CC
30	20, 29	nfral 2829	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC
31		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = y -> C = [_ y / j ]_ C )
32	31	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = y -> ( C e. CC <-> [_ y / j ]_ C e. CC ) )
33	22, 32	raleqbidv 3054	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> ( A. k e. B C e. CC <-> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
34	30, 33	rspc 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. j e. A A. k e. B C e. CC -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
35	17, 27, 34	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
36	35	r19.21bi 2812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ y / j ]_ C e. CC )
37	25, 36	fprodcl 13741	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
38		csbeq1 3423	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ B = [_ y / j ]_ B )
39		csbeq1 3423	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = y /\ k e. [_ m / j ]_ B ) -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
41	38, 40	prodeq12dv 13715	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
42	41	prodsn 13749	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
43	17, 37, 42	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
44		nfcv 2605	. . . . . . . 8 |- F/_ m [_ y / j ]_ C
45		nfcsb1v 3436	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
46		csbeq1a 3429	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> [_ y / j ]_ C = [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C )
47	44, 45, 46	cbvprodi 13706	. . . . . . 7 |- prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
48		csbeq1 3423	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( 2nd ` z ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
49		snfi 7598	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
50		xpfi 7793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / j ]_ B e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
51	49, 25, 50	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
52		2ndconst 6874	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
53	17, 52	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
54		fvres 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
56	45	nfel1 2621	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC
57	46	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( [_ y / j ]_ C e. CC <-> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
58	56, 57	rspc 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. [_ y / j ]_ B -> ( A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
59	35, 58	mpan9 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC )
60	48, 51, 53, 55, 59	fprodf1o 13735	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
61		elxp 5006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
62		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j z = <. m , k >.
63		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j m e. { y }
64	20	nfcri 2598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j k e. [_ y / j ]_ B
65	63, 64	nfan 1914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B )
66	62, 65	nfan 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
67	66	nfex 1934	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
68		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) )
69		opeq1 4202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> <. m , k >. = <. j , k >. )
70	69	eqeq2d 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( z = <. m , k >. <-> z = <. j , k >. ) )
71		eleq1 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j e. { y } ) )
72		elsn 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. { y } <-> j = y )
73	71, 72	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( m e. { y } <-> j = y ) )
74	73	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
75	22	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = y -> ( k e. B <-> k e. [_ y / j ]_ B ) )
76	75	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j = y /\ k e. B ) <-> ( j = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
77	74, 76	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
78	70, 77	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
79	78	exbidv 1701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
80	67, 68, 79	cbvex 2008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
81	61, 80	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
82		nfv 1694	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
83		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( 2nd ` z )
84	83, 28	nfcsb 3438	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
85	84	nfeq2 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
86		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ph
87		nfcsb1v 3436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
88	87	nfeq2 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
89		fprod2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
90	89	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = C )
91	31	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> C = [_ y / j ]_ C )
92		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. j , k >. ) )
93		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
94		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- k e. _V
95	93, 94	op2nd 6794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. j , k >. ) = k
96	92, 95	syl6req 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
97	96	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> k = ( 2nd ` z ) )
98		csbeq1a 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
100	90, 91, 99	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
101	100	expl 618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
102	86, 88, 101	exlimd 1900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
103	82, 85, 102	exlimd 1900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
104	81, 103	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
105	104	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
106	105	prodeq2dv 13712	. . . . . . . 8 |- ( ph -> prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
107	60, 106	eqtr4d 2487	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
108	47, 107	syl5eq 2496	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
109	43, 108	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ m e. { y } prod_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
110	12, 109	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
111	110	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. { y } prod_ k e. B C = prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
112	3, 111	oveq12d 6299	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
113		fprod2d.5	. . . . 5 |- ( ph -> -. y e. x )
114		disjsn 4075	. . . . 5 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
115	113, 114	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> ( x i^i { y } ) = (/) )
116		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
117		fprod2d.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
118		ssfi 7742	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
119	117, 13, 118	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) e. Fin )
120	13	sselda 3489	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> j e. A )
121	26	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
122	18, 121	fprodcl 13741	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> prod_ k e. B C e. CC )
123	120, 122	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> prod_ k e. B C e. CC )
124	115, 116, 119, 123	fprodsplit 13752	. . 3 |- ( ph -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
125	124	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = ( prod_ j e. x prod_ k e. B C x. prod_ j e. { y } prod_ k e. B C ) )
126		eliun 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) <-> E. j e. x z e. ( { j } X. B ) )
127		xp1st 6815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
128		elsni 4039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
130	129	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( ( 1st ` z ) e. x <-> j e. x ) )
131	130	biimparc 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) e. x )
132	131	rexlimiva 2931	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. x z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
133	126, 132	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
134		xp1st 6815	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( 1st ` z ) e. { y } )
135	133, 134	anim12i 566	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
136		elin 3672	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
137		elin 3672	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
138	135, 136, 137	3imtr4i 266	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) )
139	115	eleq2d 2513	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( 1st ` z ) e. (/) ) )
140		noel 3774	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1st ` z ) e. (/)
141	140	pm2.21i 131	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. (/) -> z e. (/) )
142	139, 141	syl6bi 228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) -> z e. (/) ) )
143	138, 142	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> z e. (/) ) )
144	143	ssrdv 3495	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) )
145		ss0 3802	. . . . 5 |- ( ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
146	144, 145	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
147		iunxun 4397	. . . . . 6 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) )
148		nfcv 2605	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( { j } X. B )
149		nfcv 2605	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { m }
150	149, 5	nfxp 5016	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
151		sneq 4024	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> { j } = { m } )
152	151, 8	xpeq12d 5014	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( { j } X. B ) = ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) )
153	148, 150, 152	cbviun 4352	. . . . . . . 8 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
154		sneq 4024	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> { m } = { y } )
155	154, 38	xpeq12d 5014	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
156	15, 155	iunxsn 4395	. . . . . . . 8 |- U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
157	153, 156	eqtri 2472	. . . . . . 7 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
158	157	uneq2i 3640	. . . . . 6 |- ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
159	147, 158	eqtri 2472	. . . . 5 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
160	159	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
161		snfi 7598	. . . . . . 7 |- { j } e. Fin
162	120, 18	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> B e. Fin )
163		xpfi 7793	. . . . . . 7 |- ( ( { j } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
164	161, 162, 163	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
165	164	ralrimiva 2857	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
166		iunfi 7810	. . . . 5 |- ( ( ( x u. { y } ) e. Fin /\ A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin ) -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
167	119, 165, 166	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
168		eliun 4320	. . . . . 6 |- ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) <-> E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) )
169		elxp 5006	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) )
170		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. m , k >. )
171		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m e. { j } )
172		elsni 4039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { j } -> m = j )
173	171, 172	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m = j )
174	173	opeq1d 4208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> <. m , k >. = <. j , k >. )
175	170, 174	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. j , k >. )
176	175, 89	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D = C )
177		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> ph )
178	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> j e. A )
179		simprrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> k e. B )
180	177, 178, 179, 26	syl12anc 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> C e. CC )
181	176, 180	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D e. CC )
182	181	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
183	182	exlimdvv 1712	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
184	169, 183	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
185	184	rexlimdva 2935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
186	168, 185	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
187	186	imp 429	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> D e. CC )
188	146, 160, 167, 187	fprodsplit 13752	. . 3 |- ( ph -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
189	188	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( prod_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D x. prod_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
190	112, 125, 189	3eqtr4d 2494	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> prod_ j e. ( x u. { y } ) prod_ k e. B C = prod_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   E.wex 1599   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   [_csb 3420   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   <.cop 4020   U_ciun 4315   X. cxp 4987   |` cres 4991   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1stc1st 6783   2ndc2nd 6784   Fincfn 7518   CCcc 9493   x. cmul 9500   prod_cprod 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-prod 13695

This theorem is referenced by:  fprod2d  13767