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Theorem fprod2dlem 14046
Description: Lemma for fprod2d 14047- induction step. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fprod2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprod2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fprod2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
fprod2d.5  |-  ( ph  ->  -.  y  e.  x
)
fprod2d.6  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  C_  A )
fprod2d.7  |-  ( ps  <->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )
Assertion
Ref Expression
fprod2dlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    A, j,
k    B, k, z    z, C    D, j, k    ph, j    x, j    y, j, z    ph, k    x, k    y,
k, z    ph, z    x, z    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, z, j, k)    A( x, y, z)    B( x, y, j)    C( x, y, j, k)    D( x, y, z)

Proof of Theorem fprod2dlem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ps )
2 fprod2d.7 . . . 4  |-  ( ps  <->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )
31, 2sylib 200 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
4 nfcv 2594 . . . . . 6  |-  F/_ m prod_ k  e.  B  C
5 nfcsb1v 3381 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ B
6 nfcsb1v 3381 . . . . . . 7  |-  F/_ j [_ m  /  j ]_ C
75, 6nfcprod 13977 . . . . . 6  |-  F/_ j prod_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C
8 csbeq1a 3374 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  B  =  [_ m  /  j ]_ B )
9 csbeq1a 3374 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  m  ->  C  =  [_ m  /  j ]_ C )
109adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  m  /\  k  e.  B )  ->  C  =  [_ m  /  j ]_ C
)
118, 10prodeq12dv 13992 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C )
124, 7, 11cbvprodi 13983 . . . . 5  |-  prod_ j  e.  { y } prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ m  e.  { y } prod_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  /  j ]_ C
13 fprod2d.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  C_  A )
1413unssbd 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { y }  C_  A )
15 vex 3050 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1615snss 4099 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
1714, 16sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  A )
18 fprod2d.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
1918ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  Fin )
20 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j [_ y  /  j ]_ B
2120nfel1 2608 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
[_ y  /  j ]_ B  e.  Fin
22 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  y  ->  B  =  [_ y  /  j ]_ B )
2322eleq1d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  y  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ y  / 
j ]_ B  e.  Fin ) )
2421, 23rspc 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  B  e.  Fin  ->  [_ y  /  j ]_ B  e.  Fin ) )
2517, 19, 24sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ y  /  j ]_ B  e.  Fin )
26 fprod2d.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
2726ralrimivva 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  B  C  e.  CC )
28 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ y  /  j ]_ C
2928nfel1 2608 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
[_ y  /  j ]_ C  e.  CC
3020, 29nfral 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC
31 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  y  ->  C  =  [_ y  /  j ]_ C )
3231eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  y  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ y  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
3322, 32raleqbidv 3003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  y  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  / 
j ]_ C  e.  CC ) )
3430, 33rspc 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC ) )
3517, 27, 34sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
3635r19.21bi 2759 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
3725, 36fprodcl 14018 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
38 csbeq1 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  [_ m  /  j ]_ B  =  [_ y  /  j ]_ B )
39 csbeq1 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  [_ m  /  j ]_ C  =  [_ y  /  j ]_ C )
4039adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  y  /\  k  e.  [_ m  / 
j ]_ B )  ->  [_ m  /  j ]_ C  =  [_ y  /  j ]_ C
)
4138, 40prodeq12dv 13992 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  prod_ k  e.  [_  m  / 
j ]_ B [_ m  /  j ]_ C  =  prod_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C )
4241prodsn 14028 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  prod_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )  ->  prod_ m  e.  {
y } prod_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  prod_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
4317, 37, 42syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  {
y } prod_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  prod_ k  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ y  /  j ]_ C
)
44 nfcv 2594 . . . . . . . 8  |-  F/_ m [_ y  /  j ]_ C
45 nfcsb1v 3381 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
46 csbeq1a 3374 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  [_ y  /  j ]_ C  =  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
4744, 45, 46cbvprodi 13983 . . . . . . 7  |-  prod_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  / 
j ]_ C  =  prod_ m  e.  [_  y  / 
j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
48 csbeq1 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( 2nd `  z
)  ->  [_ m  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
49 snfi 7655 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
50 xpfi 7847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  [_ y  / 
j ]_ B  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  e.  Fin )
5149, 25, 50sylancr 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B )  e. 
Fin )
52 2ndconst 6890 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) ) : ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y  /  j ]_ B )
5317, 52syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) : ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y  /  j ]_ B
)
54 fvres 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  ->  ( ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
5554adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) `  z )  =  ( 2nd `  z ) )
5645nfel1 2608 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC
5746eleq1d 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( [_ y  /  j ]_ C  e.  CC  <->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
)
5856, 57rspc 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  [_ y  / 
j ]_ B  ->  ( A. k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC ) )
5935, 58mpan9 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  e.  CC )
6048, 51, 53, 55, 59fprodf1o 14012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  =  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
61 elxp 4854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  <->  E. m E. k
( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) ) )
62 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j  z  =  <. m ,  k >.
63 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  m  e.  { y }
6420nfcri 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ j  k  e.  [_ y  /  j ]_ B
6563, 64nfan 2013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ j ( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )
6662, 65nfan 2013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ j ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )
6766nfex 2033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ j E. k ( z  =  <. m ,  k
>.  /\  ( m  e. 
{ y }  /\  k  e.  [_ y  / 
j ]_ B ) )
68 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ m E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )
69 opeq1 4169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  <. m ,  k >.  =  <. j ,  k >. )
7069eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  j  ->  (
z  =  <. m ,  k >.  <->  z  =  <. j ,  k >.
) )
71 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  j  ->  (
m  e.  { y }  <->  j  e.  {
y } ) )
72 elsn 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  { y }  <-> 
j  =  y )
7371, 72syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  j  ->  (
m  e.  { y }  <->  j  =  y ) )
7473anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) ) )
7522eleq2d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  y  ->  (
k  e.  B  <->  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) )
7675pm5.32i 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  =  y  /\  k  e.  B )  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  [_ y  / 
j ]_ B ) )
7774, 76syl6bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  j  ->  (
( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B )  <->  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) )
7870, 77anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  j  ->  (
( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )  <->  ( z  =  <. j ,  k
>.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B ) ) ) )
7978exbidv 1770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  j  ->  ( E. k ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
y }  /\  k  e.  [_ y  /  j ]_ B ) )  <->  E. k
( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
) ) )
8067, 68, 79cbvex 2117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m E. k ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { y }  /\  k  e. 
[_ y  /  j ]_ B ) )  <->  E. j E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) ) )
8161, 80bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  <->  E. j E. k
( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
) )
82 nfv 1763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j
ph
83 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ j
( 2nd `  z
)
8483, 28nfcsb 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ j [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
8584nfeq2 2609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  D  =  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C
86 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
ph
87 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
8887nfeq2 2609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  D  =  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C
89 fprod2d.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
9089ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  C )
9131ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  C  =  [_ y  /  j ]_ C )
92 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  ( 2nd `  <. j ,  k
>. ) )
93 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
94 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  k  e. 
_V
9593, 94op2nd 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. j ,  k
>. )  =  k
9692, 95syl6req 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
9796ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
98 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2nd `  z
)  ->  [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  [_ y  / 
j ]_ C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C
)
10090, 91, 993eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  =  <. j ,  k
>. )  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
101100expl 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10286, 88, 101exlimd 1999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. k ( z  =  <. j ,  k >.  /\  (
j  =  y  /\  k  e.  B )
)  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10382, 85, 102exlimd 1999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. j E. k ( z  = 
<. j ,  k >.  /\  ( j  =  y  /\  k  e.  B
) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
10481, 103syl5bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C ) )
105104imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  ->  D  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C )
106105prodeq2dv 13989 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) D  = 
prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ [_ y  / 
j ]_ C )
10760, 106eqtr4d 2490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ m  /  k ]_ [_ y  /  j ]_ C  =  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
10847, 107syl5eq 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  [_  y  /  j ]_ B [_ y  /  j ]_ C  =  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
10943, 108eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  prod_ m  e.  {
y } prod_ k  e.  [_  m  /  j ]_ B [_ m  / 
j ]_ C  =  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
11012, 109syl5eq 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  {
y } prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
111110adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  prod_ j  e.  {
y } prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D )
1123, 111oveq12d 6313 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  x.  prod_ j  e.  {
y } prod_ k  e.  B  C )  =  ( prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  x.  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
113 fprod2d.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  y  e.  x
)
114 disjsn 4034 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
115113, 114sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  i^i  {
y } )  =  (/) )
116 eqidd 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  =  ( x  u.  {
y } ) )
117 fprod2d.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
118 ssfi 7797 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
119117, 13, 118syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin )
12013sselda 3434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
j  e.  A )
12126anassrs 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
12218, 121fprodcl 14018 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  prod_ k  e.  B  C  e.  CC )
123120, 122syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  prod_ k  e.  B  C  e.  CC )
124115, 116, 119, 123fprodsplit 14032 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  ( prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  x.  prod_ j  e.  {
y } prod_ k  e.  B  C )
)
125124adantr 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  ( prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  x.  prod_ j  e.  {
y } prod_ k  e.  B  C )
)
126 eliun 4286 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  x  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
127 xp1st 6828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
128 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
130129eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( ( 1st `  z )  e.  x  <->  j  e.  x ) )
131130biimparc 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  x  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  x )
132131rexlimiva 2877 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  x  z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  x )
133126, 132sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  x )
134 xp1st 6828 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
)  ->  ( 1st `  z )  e.  {
y } )
135133, 134anim12i 570 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
( ( 1st `  z
)  e.  x  /\  ( 1st `  z )  e.  { y } ) )
136 elin 3619 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  i^i  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  <->  ( z  e.  U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  /\  z  e.  ( { y }  X.  [_ y  / 
j ]_ B ) ) )
137 elin 3619 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( x  i^i 
{ y } )  <-> 
( ( 1st `  z
)  e.  x  /\  ( 1st `  z )  e.  { y } ) )
138135, 136, 1373imtr4i 270 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
)  i^i  ( {
y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( x  i^i  {
y } ) )
139115eleq2d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  ( x  i^i  { y } )  <->  ( 1st `  z
)  e.  (/) ) )
140 noel 3737 . . . . . . . . 9  |-  -.  ( 1st `  z )  e.  (/)
141140pm2.21i 135 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1st `  z )  e.  (/)  ->  z  e.  (/) )
142139, 141syl6bi 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  z
)  e.  ( x  i^i  { y } )  ->  z  e.  (/) ) )
143138, 142syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  -> 
z  e.  (/) ) )
144143ssrdv 3440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  C_  (/) )
145 ss0 3767 . . . . 5  |-  ( (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )  C_  (/) 
->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
146144, 145syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
147 iunxun 4366 . . . . . 6  |-  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B ) )
148 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m
( { j }  X.  B )
149 nfcv 2594 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j { m }
150149, 5nfxp 4864 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )
151 sneq 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  { j }  =  { m } )
152151, 8xpeq12d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  m  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B ) )
153148, 150, 152cbviun 4318 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B )  =  U_ m  e.  { y }  ( { m }  X.  [_ m  / 
j ]_ B )
154 sneq 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  { m }  =  { y } )
155154, 38xpeq12d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
15615, 155iunxsn 4364 . . . . . . . 8  |-  U_ m  e.  { y }  ( { m }  X.  [_ m  /  j ]_ B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )
157153, 156eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B )  =  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B )
158157uneq2i 3587 . . . . . 6  |-  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { y }  ( { j }  X.  B ) )  =  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
159147, 158eqtri 2475 . . . . 5  |-  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) )
160159a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  =  ( U_ j  e.  x  ( { j }  X.  B )  u.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B ) ) )
161 snfi 7655 . . . . . . 7  |-  { j }  e.  Fin
162120, 18syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  Fin )
163 xpfi 7847 . . . . . . 7  |-  ( ( { j }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { j }  X.  B )  e.  Fin )
164161, 162, 163sylancr 670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( { j }  X.  B )  e. 
Fin )
165164ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
166 iunfi 7867 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin  /\  A. j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  e.  Fin )  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
167119, 165, 166syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
)  e.  Fin )
168 eliun 4286 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  ( x  u.  {
y } ) z  e.  ( { j }  X.  B ) )
169 elxp 4854 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  <->  E. m E. k ( z  =  <. m ,  k >.  /\  (
m  e.  { j }  /\  k  e.  B ) ) )
170 simprl 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  z  =  <. m ,  k >. )
171 simprrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  m  e.  {
j } )
172 elsni 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { j }  ->  m  =  j )
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  m  =  j )
174173opeq1d 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  <. m ,  k
>.  =  <. j ,  k >. )
175170, 174eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  z  =  <. j ,  k >. )
176175, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  D  =  C )
177 simpll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  ph )
178120adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  j  e.  A
)
179 simprrr 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  k  e.  B
)
180177, 178, 179, 26syl12anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  C  e.  CC )
181176, 180eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( x  u.  {
y } ) )  /\  ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) ) )  ->  D  e.  CC )
182181ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) )  ->  D  e.  CC )
)
183182exlimdvv 1782 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( E. m E. k ( z  = 
<. m ,  k >.  /\  ( m  e.  {
j }  /\  k  e.  B ) )  ->  D  e.  CC )
)
184169, 183syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC ) )
185184rexlimdva 2881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( x  u.  {
y } ) z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC ) )
186168, 185syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B )  ->  D  e.  CC )
)
187186imp 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )  ->  D  e.  CC )
188146, 160, 167, 187fprodsplit 14032 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D  =  ( prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  x.  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
189188adantr 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D  =  ( prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  x.  prod_ z  e.  ( { y }  X.  [_ y  /  j ]_ B
) D ) )
190112, 125, 1893eqtr4d 2497 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   [_csb 3365    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   <.cop 3976   U_ciun 4281    X. cxp 4835    |` cres 4839   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797   Fincfn 7574   CCcc 9542    x. cmul 9549   prod_cprod 13971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-prod 13972
This theorem is referenced by:  fprod2d  14047
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