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Theorem fprod2d 13937
Description: Write a double product as a product over a two-dimensional region. Compare fsum2d 13737. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
fprod2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprod2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fprod2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fprod2d  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Distinct variable groups:    A, j,
k, z    B, k,
z    z, C    D, j,
k    ph, j, z, k
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    D( z)

Proof of Theorem fprod2d
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3461 . 2  |-  A  C_  A
2 fprod2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3463 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 prodeq1 13868 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C )
5 iuneq1 4285 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
6 0iun 4328 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
75, 6syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  (/) )
87prodeq1d 13880 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
prod_ z  e.  (/)  D )
94, 8eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( prod_
j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) )
103, 9imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  prod_
j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D )  <->  ( (/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_
k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) ) )
1110imbi2d 314 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) ) ) )
12 sseq1 3463 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
13 prodeq1 13868 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C )
14 iuneq1 4285 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) )
1514prodeq1d 13880 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
1613, 15eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )
1712, 16imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
1817imbi2d 314 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) ) ) )
19 sseq1 3463 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
20 prodeq1 13868 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C )
21 iuneq1 4285 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  U_ j  e.  w  ( { j }  X.  B )  =  U_ j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) )
2221prodeq1d 13880 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D )
2320, 22eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  <->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) )
2419, 23imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
2524imbi2d 314 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
26 sseq1 3463 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
27 prodeq1 13868 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C )
28 iuneq1 4285 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  U_ j  e.  w  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
2928prodeq1d 13880 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
3027, 29eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
3126, 30imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( { j }  X.  B ) D )  <-> 
( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
3231imbi2d 314 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  prod_ j  e.  w  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  w  ( {
j }  X.  B
) D ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) D ) ) ) )
33 prod0 13902 . . . . . 6  |-  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  1
34 prod0 13902 . . . . . 6  |-  prod_ z  e.  (/)  D  =  1
3533, 34eqtr4i 2434 . . . . 5  |-  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D
3635a1ii 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  prod_ j  e.  (/)  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  (/)  D ) )
37 ssun1 3606 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
38 sstr 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
3937, 38mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4039imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) )
41 fprod2d.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  D  =  C )
422ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
43 fprod2d.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
4443adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  j  e.  A
)  ->  B  e.  Fin )
4544adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
46 fprod2d.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
4746adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B
) )  ->  C  e.  CC )
4847adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B
) )  ->  C  e.  CC )
49 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
50 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
51 biid 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D  <->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )
5241, 42, 45, 48, 49, 50, 51fprod2dlem 13936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x
)  /\  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )  /\  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D )
5352exp31 602 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  {
y } ) prod_
k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) )
5453a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5540, 54syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  x )  ->  (
( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D )  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  prod_
j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) )
5655expcom 433 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5756a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  x  -> 
( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  prod_
j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  = 
prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( {
j }  X.  B
) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u.  { y } ) prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  ( x  u.  {
y } ) ( { j }  X.  B ) D ) ) ) )
5857adantl 464 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  prod_ j  e.  x  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  x  ( { j }  X.  B ) D ) )  ->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  prod_ j  e.  ( x  u. 
{ y } )
prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e. 
U_  j  e.  ( x  u.  { y } ) ( { j }  X.  B
) D ) ) ) )
5911, 18, 25, 32, 36, 58findcard2s 7795 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) ) )
602, 59mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D ) )
611, 60mpi 20 1  |-  ( ph  ->  prod_ j  e.  A  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ z  e.  U_  j  e.  A  ( { j }  X.  B ) D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3412    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cop 3978   U_ciun 4271    X. cxp 4821   Fincfn 7554   CCcc 9520   1c1 9523   prod_cprod 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-prod 13865
This theorem is referenced by:  fprodxp  13938  fprodcom2  13940
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