Theorem fprod1i 14673

Description: The finite composite of A(k) from k = M to M (i.e. a composite with only one term) is B i.e. A(M).

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1.1	|- (k = M -> A = B)
fprod1.2	|- G e. D

Assertion

Ref	Expression
fprod1i	|- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> prod_k e. (M...M)GA = B)

Distinct variable groups:   B,k   k,M

Proof of Theorem fprod1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. . . 4 |- (B e. C -> B e. _V)
2		fprod1.1	. . . . . . . 8 |- (k = M -> A = B)
3	2	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (k = M -> (A e. _V <-> B e. _V))
4	3	biimprcd 173	. . . . . 6 |- (B e. _V -> (k = M -> A e. _V))
5		elfz1eq 7662	. . . . . 6 |- (k e. (M...M) -> k = M)
6	4, 5	syl5 20	. . . . 5 |- (B e. _V -> (k e. (M...M) -> A e. _V))
7	6	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (B e. _V -> A.k e. (M...M)A e. _V)
8		elfzelz 7652	. . . . . . 7 |- (k e. (M...M) -> k e. ZZ)
9		fvopab2 4754	. . . . . . . 8 |- ((k e. ZZ /\ A e. _V) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A)
10	9	ex 402	. . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> (A e. _V -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A))
11	8, 10	syl 12	. . . . . 6 |- (k e. (M...M) -> (A e. _V -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A))
12	11	ralimia 2166	. . . . 5 |- (A.k e. (M...M)A e. _V -> A.k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A)
13		fprod1.2	. . . . 5 |- G e. D
14	12, 13	prodeq3d 14668	. . . 4 |- (A.k e. (M...M)A e. _V -> prod_k e. (M...M)G({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = prod_k e. (M...M)GA)
15	1, 7, 14	3syl 24	. . 3 |- (B e. C -> prod_k e. (M...M)G({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = prod_k e. (M...M)GA)
16		uzid 7596	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>=` M))
17		zex 7353	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
18	17	opabex2 4539	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} e. _V
19		hbopab1 3562	. . . . 5 |- (x e. {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} -> A.k x e. {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})
20	18, 13, 19	fprodserzfi 14672	. . . 4 |- (M e. (ZZ>=` M) -> prod_k e. (M...M)G({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = ((<.M, G>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
21	16, 20	syl 12	. . 3 |- (M e. ZZ -> prod_k e. (M...M)G({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = ((<.M, G>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
22	15, 21	sylan9req 1950	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> prod_k e. (M...M)GA = ((<.M, G>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
23	13	elisseti 2301	. . . 4 |- G e. _V
24	23, 18	seqz1 7790	. . 3 |- (M e. ZZ -> ((<.M, G>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M) = ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M))
25	24	adantl 424	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> ((<.M, G>. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M) = ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M))
26		eqid 1884	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} = {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}
27	2, 26	fvopab4g 4742	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ B e. C) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M) = B)
28	27	ancoms 484	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M) = B)
29	22, 25, 28	3eqtrd 1929	1 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> prod_k e. (M...M)GA = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774  prod_cprd2 14654

This theorem is referenced by:  fprod1fi 14675  fprod1i2 14685  fprod1ib 14686  fincmpzer 14711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-prod 14653  df-prod2 14655

Copyright terms: Public domain