Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprod Structured version   Unicode version

Theorem fprod 27383
Description: The value of a product over a nonempty finite set. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod.1  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
fprod.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fprod.3  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fprod.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fprod.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
Assertion
Ref Expression
fprod  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k   
k, F, n    k, G, n    ph, k    k, M, n    ph, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( n)

Proof of Theorem fprod
Dummy variables  f 
i  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 27348 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
2 fvex 5698 . . 3  |-  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  e.  _V
3 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j if ( k  e.  A ,  B ,  1 )
4 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  j  e.  A
5 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
6 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
1
74, 5, 6nfif 3815 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  1 )
8 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
9 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
10 eqidd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  1  =  1 )
118, 9, 10ifbieq12d 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  1 ) )
123, 7, 11cbvmpt 4379 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  1 ) )
13 fprod.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1413ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
155nfel1 2587 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
169eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1715, 16rspc 3064 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
1814, 17mpan9 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
19 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
2019csbeq1d 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B )
21 csbco 3295 . . . . . . . . . 10  |-  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B
2220, 21syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B )
2322cbvmptv 4380 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( i  e.  NN  |->  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B
)
2412, 18, 23prodmo 27378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
25 fprod.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
26 fprod.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... M
) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> A )
29 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
30 fex 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> A  /\  ( 1 ... M )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
32 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3325, 32syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
34 fprod.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
35 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  NN )
3635adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  n  e.  NN )
37 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 n )  e. 
_V
3834, 37syl6eqelr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  C  e.  _V )
39 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  C )  =  ( n  e.  NN  |->  C )
4039fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n )  =  C )
4136, 38, 40syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  C ) `  n
)  =  C )
4234, 41eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 n ) )
4342ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n ) )
44 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k )
4544nfeq2 2588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k )
46 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
47 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |->  C ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) )
4846, 47eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  n )  <-> 
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) ) )
4945, 48rspc 3064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( A. n  e.  (
1 ... M ) ( G `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 n )  -> 
( G `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `  k ) ) )
5043, 49mpan9 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  =  ( ( n  e.  NN  |->  C ) `
 k ) )
5133, 50seqfveq 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) )
5226, 51jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) ) )
53 f1oeq1 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <->  F :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
54 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
5554csbeq1d 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
56 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
57 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k C
58 fprod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
5956, 57, 58csbief 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  C
6055, 59syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  C )
6160mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  C ) )
6261seqeq3d 11810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) )
6362fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `
 M ) )
6463eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  M )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) ) )
6553, 64anbi12d 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) )  <->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M ) ) ) )
6665spcegv 3055 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  (
( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  C ) ) `  M
) )  ->  E. f
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
6731, 52, 66sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )
68 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... M
) )
69 f1oeq2 5630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... M )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
71 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  M ) )
7271eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )
7370, 72anbi12d 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
7473exbidv 1685 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) ) )
7574rspcev 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  E. f ( f : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  M ) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
7625, 67, 75syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
7776olcd 393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
78 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  (  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) )
79783anbi3d 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) ) )
8079rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) ) )
81 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )
8281anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8382exbidv 1685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8483rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
8580, 84orbi12d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
8685moi2 3137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  e.  _V  /\  E* x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )
)
872, 86mpanl1 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )
)
8887ancom2s 795 . . . . . . . 8  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )
)
8988expr 612 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  M )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M ) ) )
9024, 77, 89syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  ->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M ) ) )
9177, 85syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) ) )
9290, 91impbid 191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) )
9392adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) ) )
9493iota5 5398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
)  e.  _V )  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )
952, 94mpan2 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )
961, 95syl5eq 2485 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   E*wmo 2258    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   [_csb 3285    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   iotacio 5376   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802    ~~> cli 12958   prod_cprod 27347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-prod 27348
This theorem is referenced by:  prod1  27386  fprodf1o  27388  fprodser  27391  fprodcl2lem  27392  fprodmul  27400  fproddiv  27401  prodsn  27402  fprodconst  27418  fprodn0  27419
  Copyright terms: Public domain W3C validator