MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fpr 6072
Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fpr.1  |-  A  e. 
_V
fpr.2  |-  B  e. 
_V
fpr.3  |-  C  e. 
_V
fpr.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fpr  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)

Proof of Theorem fpr
StepHypRef Expression
1 fpr.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 fpr.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 fpr.3 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
4 fpr.4 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
51, 2, 3, 4funpr 5633 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  Fun  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } )
63, 4dmprop 5311 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
75, 6jctir 541 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( Fun  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { A ,  B } ) )
8 df-fn 5585 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  <->  ( Fun  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  /\  dom  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  { A ,  B }
) )
97, 8sylibr 216 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }
)
10 df-pr 3971 . . . . . 6  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
1110rneqi 5061 . . . . 5  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  ran  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
12 rnun 5244 . . . . 5  |-  ran  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ran  { <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )
131rnsnop 5317 . . . . . . 7  |-  ran  { <. A ,  C >. }  =  { C }
142rnsnop 5317 . . . . . . 7  |-  ran  { <. B ,  D >. }  =  { D }
1513, 14uneq12i 3586 . . . . . 6  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  ( { C }  u.  { D } )
16 df-pr 3971 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
1715, 16eqtr4i 2476 . . . . 5  |-  ( ran 
{ <. A ,  C >. }  u.  ran  { <. B ,  D >. } )  =  { C ,  D }
1811, 12, 173eqtri 2477 . . . 4  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. }  =  { C ,  D }
1918eqimssi 3486 . . 3  |-  ran  { <. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D }
209, 19jctir 541 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } 
C_  { C ,  D } ) )
21 df-f 5586 . 2  |-  ( {
<. A ,  C >. , 
<. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }  <->  ( { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  Fn  { A ,  B }  /\  ran  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  C_  { C ,  D } ) )
2220, 21sylibr 216 1  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. } : { A ,  B } --> { C ,  D }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   <.cop 3974   dom cdm 4834   ran crn 4835   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586
This theorem is referenced by:  fprg  6073  1sdom  7775  axlowdimlem4  24975  wlkntrllem1  25289  wlkntrllem3  25291  coinfliprv  29315  fprb  30413  poimirlem22  31962  nnsum3primes4  38883  nnsum3primesgbe  38887
  Copyright terms: Public domain W3C validator