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Theorem fphpdo 29161
Description: Pigeonhole principle for sets of real numbers with implicit output reordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fphpdo.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fphpdo.2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
fphpdo.3  |-  ( ph  ->  B  ~<  A )
fphpdo.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )
fphpdo.5  |-  ( z  =  x  ->  C  =  D )
fphpdo.6  |-  ( z  =  y  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
fphpdo  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
)
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, A, y, z    z, B    x, C, y    y, D, z   
x, E, z
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( z)    D( x)    E( y)

Proof of Theorem fphpdo
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fphpdo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  ~<  A )
2 fphpdo.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  |->  C )  =  ( z  e.  A  |->  C )
42, 3fmptd 5872 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  C ) : A --> B )
54ffvelrnda 5848 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  e.  B )
6 fveq2 5696 . . 3  |-  ( b  =  c  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
71, 5, 6fphpd 29160 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( b  =/=  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c
) ) )
8 fphpdo.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
98sselda 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  RR )
109adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
b  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  b  e.  RR )
128sselda 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  A )  ->  c  e.  RR )
1312adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
c  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  c  e.  RR )
1511, 14lttri2d 9518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( b  =/=  c  <->  ( b  < 
c  \/  c  < 
b ) ) )
16 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
b  e.  A )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  b  e.  A )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
c  e.  A )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  c  e.  A )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  b  <  c )
21 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
22 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
x  <  y  <->  b  <  y ) )
23 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) )
2423eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y ) ) )
2522, 24anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( b  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
26 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  (
b  <  y  <->  b  <  c ) )
27 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
2827eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) ) )
2926, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  c  ->  (
( b  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( b  <  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) ) ) )
3025, 29rspc2ev 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  A  /\  c  e.  A  /\  ( b  <  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c
) ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) ) )
3117, 19, 20, 21, 30syl112anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  b  < 
c )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) )
3231ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( b  < 
c  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
3318ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  c  e.  A )
3416ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  b  e.  A )
35 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  c  <  b )
36 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
3736eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  c
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) )
38 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  c  ->  (
x  <  y  <->  c  <  y ) )
39 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  c  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )
4039eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  c  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y ) ) )
4138, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  c  ->  (
( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( c  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
42 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  (
c  <  y  <->  c  <  b ) )
43 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) )
4443eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b ) ) )
4542, 44anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
( c  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  <->  ( c  <  b  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 b ) ) ) )
4641, 45rspc2ev 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  A  /\  b  e.  A  /\  ( c  <  b  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b
) ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) ) )
4733, 34, 35, 37, 46syl112anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A
) )  /\  (
( z  e.  A  |->  C ) `  b
)  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  c ) )  /\  c  < 
b )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) )
4847ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( c  < 
b  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
4932, 48jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( ( b  <  c  \/  c  <  b )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) ) ) )
50 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )
51 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  A  <->  x  e.  A ) )
5251anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  z  e.  A )  <->  ( ph  /\  x  e.  A ) ) )
53 fphpdo.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  C  =  D )
5453eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
5552, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )  <-> 
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B ) ) )
5655, 2chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  D  e.  B )
5853, 3fvmptg 5777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  D )
5950, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  x
)  =  D )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
61 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  A  <->  y  e.  A ) )
6261anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  /\  z  e.  A )  <->  ( ph  /\  y  e.  A ) ) )
63 fphpdo.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  C  =  E )
6463eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  E  e.  B ) )
6562, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  C  e.  B )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  E  e.  B ) ) )
6665, 2chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  E  e.  B )
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  E  e.  B )
6863, 3fvmptg 5777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  E  e.  B )  ->  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y )  =  E )
6960, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  =  E )
7059, 69eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  <->  D  =  E
) )
7170biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
)  ->  D  =  E ) )
7271anim2d 565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  ->  (
x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7372reximdva 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  y
) )  ->  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E ) ) )
7473reximdva 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  < 
y  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7574ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  x )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 y ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7649, 75syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( ( b  <  c  \/  c  <  b )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E ) ) )
7715, 76sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  /\  ( (
z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  ( b  =/=  c  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E ) ) )
7877expimpd 603 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
( ( ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c )  /\  b  =/=  c )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
7978ancomsd 454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  A  /\  c  e.  A ) )  -> 
( ( b  =/=  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
8079rexlimdvva 2853 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  A  E. c  e.  A  ( b  =/=  c  /\  ( ( z  e.  A  |->  C ) `  b )  =  ( ( z  e.  A  |->  C ) `
 c ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
) )
817, 80mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  <  y  /\  D  =  E )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423    ~< csdm 7314   RRcr 9286    < clt 9423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-ltxr 9428
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