Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fperiodmul 37610
 Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f
fperiodmul.t
fperiodmul.n
fperiodmul.x
fperiodmul.per
Assertion
Ref Expression
fperiodmul
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4
3 fperiodmul.t . . . 4
5 simpr 468 . . 3
6 fperiodmul.x . . . 4
8 fperiodmul.per . . . 4
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 37609 . 2
116recnd 9687 . . . . . . 7
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9
1312zcnd 11064 . . . . . . . 8
143recnd 9687 . . . . . . . 8
1513, 14mulcld 9681 . . . . . . 7
1611, 15subnegd 10012 . . . . . 6
1713, 14mulneg1d 10092 . . . . . . . 8
1817eqcomd 2477 . . . . . . 7
1918oveq2d 6324 . . . . . 6
2016, 19eqtr3d 2507 . . . . 5
2120fveq2d 5883 . . . 4
231adantr 472 . . . 4
243adantr 472 . . . 4
25 znnn0nn 11070 . . . . . 6
2612, 25sylan 479 . . . . 5
2726nnnn0d 10949 . . . 4
286adantr 472 . . . . 5
2912adantr 472 . . . . . . . 8
3029zred 11063 . . . . . . 7
3130renegcld 10067 . . . . . 6
3231, 24remulcld 9689 . . . . 5
3328, 32resubcld 10068 . . . 4
348adantlr 729 . . . 4
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 37609 . . 3
3628recnd 9687 . . . . 5
3730recnd 9687 . . . . . . 7
3837negcld 9992 . . . . . 6
3924recnd 9687 . . . . . 6
4038, 39mulcld 9681 . . . . 5
4136, 40npcand 10009 . . . 4
4241fveq2d 5883 . . 3
4322, 35, 423eqtr2d 2511 . 2
4410, 43pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880  cneg 9881  cn 10631  cn0 10893  cz 10961 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962 This theorem is referenced by:  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173  fourierdlem94  38176  fourierdlem97  38179  fourierdlem113  38195
 Copyright terms: Public domain W3C validator