fperdvper - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fperdvper 37887

Description: The derivative of a periodic function is periodic. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fperdvper.f
fperdvper.t
fperdvper.fper	$/\$
fperdvper.g

**Assertion**
Ref	Expression
fperdvper	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem fperdvper Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvbsss 22936	. . . . . . . 8
2		id 22	. . . . . . . . 9
3		fperdvper.g	. . . . . . . . . 10
4	3	dmeqi 5041	. . . . . . . . 9
5	2, 4	syl6eleq 2559	. . . . . . . 8
6	1, 5	sseldi 3416	. . . . . . 7
7	6	adantl 473	. . . . . 6 $/\$
8		fperdvper.t	. . . . . . 7
9	8	adantr 472	. . . . . 6 $/\$
10	7, 9	readdcld 9688	. . . . 5 $/\$
11		reopn 37591	. . . . . . 7
12		retop 21860	. . . . . . . 8
13		ssid 3437	. . . . . . . . 9
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
15		uniretop 21861	. . . . . . . . 9
16	15	isopn3 20159	. . . . . . . 8 $/\$
17	12, 14, 16	sylancr 676	. . . . . . 7 $/\$
18	11, 17	mpbii 216	. . . . . 6 $/\$
19	18	eqcomd 2477	. . . . 5 $/\$
20	10, 19	eleqtrd 2551	. . . 4 $/\$
21	5	adantl 473	. . . . . . . 8 $/\$
22	3	fveq1i 5880	. . . . . . . . . 10
23	22	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
25		dvf 22941	. . . . . . . . . . . 12
26		ffun 5742	. . . . . . . . . . . 12
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10
29		funbrfv2b 5923	. . . . . . . . . 10 $/\$
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	adantr 472	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32	21, 24, 31	mpbir2and 936	. . . . . . 7 $/\$
33		eqid 2471	. . . . . . . . 9 ℂ_fld ℂ_fld
34	33	tgioo2 21899	. . . . . . . 8 ℂ_fld ↾_t
35		eqid 2471	. . . . . . . 8 $\$ $\$
36		ax-resscn 9614	. . . . . . . . 9
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
38		fperdvper.f	. . . . . . . . 9
39	38	adantr 472	. . . . . . . 8 $/\$
40	34, 33, 35, 37, 39, 14	eldv 22932	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ lim
41	32, 40	mpbid 215	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ lim
42	41	simprd 470	. . . . 5 $/\$ $\$ lim
43		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
44		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
45	44	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
46		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
47	45, 46	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48		eldifi 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $\$
49	48	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\$
50	49	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\$
51	8	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
52	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\$
53	50, 52	npcand 10009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $\$
54	53	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $\$
55	54	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $\$
56		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
57	48	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $\$
58	8	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $\$
59	57, 58	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\$
60	59	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$
61	60	imdistani 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $\$ $/\$
62		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
63	62	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
64		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
65	64	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
66		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
67	65, 66	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
68	63, 67	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
69		fperdvper.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
70	68, 69	vtoclg 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
71	56, 61, 70	mpsyl 64	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $\$
72	55, 71	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $\$
73	72	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$
74		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$
75	6	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$
76	74, 75, 69	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$
77	73, 76	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
78	49	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$
79	74, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$
80	7	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
81	80	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$
82	78, 79, 81	subsub4d 10036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$
83	79, 81	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$
84	83	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$
85	82, 84	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
86	77, 85	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
87	47, 86	sylan9eqr 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
88		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $\$
89	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $\$
90	89, 59	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$
91	90	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
92	39, 7	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
93	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
94	91, 93	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
95	78, 79	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
96	95, 81	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
97		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
98	49	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
99	79	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
100	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
101	98, 99, 100	subadd2d 10024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
102	97, 101	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
103	102	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
104		eldifsni 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\$
105	104	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
106	105	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
107	103, 106	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$
108	107	neqned 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$
109	95, 81, 108	subne0d 10014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
110	94, 96, 109	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
111	43, 87, 88, 110	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $\$
112	111	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $\$
113	112	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $\$
114	113	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
115	114	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
116		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
117	48	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
118	8	ad4antr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
119	117, 118	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
120		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
121	107, 120	nsyl 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
123	122	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
124	119, 123	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
125		neeq1 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
127	126	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128	127	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129	125, 128	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
130		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$
131	130	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
132	131	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $\$
133	132	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$
134	129, 133	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$
135	134	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
136	116, 124, 135	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
137		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
138		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
139	138	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
140	139	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
141	138	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
142	140, 141	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
143	48	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $\$
144	74, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $\$
145	143, 144	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $\$
146	145, 121	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$ $\$
147	137, 142, 146, 110	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $\$
148	147	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $\$
149	148	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
150	149	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
151	150	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
152	108	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
153	85	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $\$
154	153	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
155	154	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
156		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
157	155, 156	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $/\$
158	152, 157	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
159	158	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$
160		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
161	159, 160	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
162	151, 161	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
163	162	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
164	163	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
165	136, 164	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
166	165	adantrl 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
167	115, 166	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$
168	167	ex 441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
169	168	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
170		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$ $\$
171		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
172	171	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
173		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
174	172, 173	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
175	174	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $/\$
176		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
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