Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpar Structured version   Unicode version

Theorem fpar 6909
 Description: Merge two functions in parallel. Use as the second argument of a composition with a (2-place) operation to build compound operations such as . (Contributed by NM, 17-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fpar.1
Assertion
Ref Expression
fpar
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fpar
StepHypRef Expression
1 fparlem3 6907 . . 3
2 fparlem4 6908 . . 3
31, 2ineqan12d 3667 . 2
4 fpar.1 . 2
5 opex 4683 . . . 4
65dfmpt2 6895 . . 3
7 inxp 4984 . . . . . . . 8
8 inxp 4984 . . . . . . . . . 10
9 inv1 3790 . . . . . . . . . . 11
10 incom 3656 . . . . . . . . . . . 12
11 inv1 3790 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11eqtri 2452 . . . . . . . . . . 11
139, 12xpeq12i 4873 . . . . . . . . . 10
14 vex 3085 . . . . . . . . . . 11
15 vex 3085 . . . . . . . . . . 11
1614, 15xpsn 6079 . . . . . . . . . 10
178, 13, 163eqtri 2456 . . . . . . . . 9
18 inxp 4984 . . . . . . . . . 10
19 inv1 3790 . . . . . . . . . . 11
20 incom 3656 . . . . . . . . . . . 12
21 inv1 3790 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21eqtri 2452 . . . . . . . . . . 11
2319, 22xpeq12i 4873 . . . . . . . . . 10
24 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
25 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
2624, 25xpsn 6079 . . . . . . . . . 10
2718, 23, 263eqtri 2456 . . . . . . . . 9
2817, 27xpeq12i 4873 . . . . . . . 8
29 opex 4683 . . . . . . . . 9
3029, 5xpsn 6079 . . . . . . . 8
317, 28, 303eqtri 2456 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6
3332iuneq2i 4316 . . . . 5
3433a1i 11 . . . 4
3534iuneq2i 4316 . . 3
36 2iunin 4365 . . 3
376, 35, 363eqtr2i 2458 . 2
383, 4, 373eqtr4g 2489 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  cvv 3082   cin 3436  csn 3997  cop 4003  ciun 4297   cxp 4849  ccnv 4850   cres 4853   ccom 4855   wfn 5594  cfv 5599   cmpt2 6305  c1st 6803  c2nd 6804 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator