MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fowdom Structured version   Unicode version

Theorem fowdom 7998
Description: An onto function implies weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fowdom  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )

Proof of Theorem fowdom
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  F  e.  _V )
2 foeq1 5791 . . . . . 6  |-  ( z  =  F  ->  (
z : Y -onto-> X  <->  F : Y -onto-> X ) )
32spcegv 3199 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : Y -onto-> X  ->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
43imp 429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  E. z  z : Y -onto-> X )
54olcd 393 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) )
6 fof 5795 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
7 dmfex 6743 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
86, 7sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
9 brwdom 7994 . . . 4  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
115, 10mpbird 232 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
121, 11sylan 471 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   -->wf 5584   -onto->wfo 5586    ~<_* cwdom 7984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fo 5594  df-wdom 7986
This theorem is referenced by:  wdomref  7999  wdomtr  8002  wdom2d  8007  wdomima2g  8013  harwdom  8017  ixpiunwdom  8018  isf32lem10  8743  fin1a2lem7  8787
  Copyright terms: Public domain W3C validator