MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fowdom Structured version   Unicode version

Theorem fowdom 8077
Description: An onto function implies weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fowdom  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )

Proof of Theorem fowdom
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  F  e.  _V )
2 foeq1 5797 . . . . . 6  |-  ( z  =  F  ->  (
z : Y -onto-> X  <->  F : Y -onto-> X ) )
32spcegv 3164 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F : Y -onto-> X  ->  E. z  z : Y -onto-> X ) )
43imp 430 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  E. z  z : Y -onto-> X )
54olcd 394 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) )
6 fof 5801 . . . . 5  |-  ( F : Y -onto-> X  ->  F : Y --> X )
7 dmfex 6756 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y --> X )  ->  Y  e.  _V )
86, 7sylan2 476 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  Y  e.  _V )
9 brwdom 8073 . . . 4  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  ( X  ~<_*  Y  <->  ( X  =  (/)  \/  E. z  z : Y -onto-> X ) ) )
115, 10mpbird 235 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
121, 11sylan 473 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : Y -onto-> X )  ->  X  ~<_*  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   -->wf 5588   -onto->wfo 5590    ~<_* cwdom 8063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-fo 5598  df-wdom 8065
This theorem is referenced by:  wdomref  8078  wdomtr  8081  wdom2d  8086  wdomima2g  8092  harwdom  8096  ixpiunwdom  8097  isf32lem10  8781  fin1a2lem7  8825
  Copyright terms: Public domain W3C validator