MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovrn Structured version   Unicode version

Theorem fovrn 6222
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fovrn  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  A  e.  R  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  e.  C
)

Proof of Theorem fovrn
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4858 . . 3  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S
) )
2 df-ov 6083 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
3 ffvelrn 5829 . . . 4  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S ) )  -> 
( F `  <. A ,  B >. )  e.  C )
42, 3syl5eqel 2517 . . 3  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  <. A ,  B >.  e.  ( R  X.  S ) )  -> 
( A F B )  e.  C )
51, 4sylan2 471 . 2  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  ( A  e.  R  /\  B  e.  S ) )  -> 
( A F B )  e.  C )
653impb 1176 1  |-  ( ( F : ( R  X.  S ) --> C  /\  A  e.  R  /\  B  e.  S
)  ->  ( A F B )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    e. wcel 1755   <.cop 3871    X. cxp 4825   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083
This theorem is referenced by:  fovrnda  6223  fovrnd  6224  curry1f  6655  curry2f  6657  mapxpen  7465  axdc4lem  8612  axdc4uzlem  11788  imasmnd2  15441  grpsubcl  15586  imasgrp2  15650  imasrng  16646  tsmsxplem1  19569  psmetcl  19725  xmetcl  19748  metcl  19749  blssm  19835  mbfi1fseqlem3  21037  mbfi1fseqlem4  21038  mbfi1fseqlem5  21039  grpocl  23510  grpodivcl  23557  clmgm  23631  rngocl  23692  vccl  23751  nvmcl  23850  cvmliftphtlem  27054  isbnd3  28527  isdrngo2  28608
  Copyright terms: Public domain W3C validator