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Theorem fourierswlem 31854
Description: The Fourier series for the square wave  F converges to  Y, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
fourierswlem.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
fourierswlem.x  |-  X  e.  RR
fourierswlem.y  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
Assertion
Ref Expression
fourierswlem  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Distinct variable groups:    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 ) )
2 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  ||  ( X  /  pi ) )
3 2z 10908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  ZZ )
5 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  e.  RR
6 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
7 pipos 22720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  pi
86, 7elrpii 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
9 mod0 11983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ ) )
105, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
1110biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
13 divides 13866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( X  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
144, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
152, 14mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
16 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
18 picn 22719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  e.  CC )
20 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
2117, 19, 20mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  k
) ) )
2219, 20mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
pi  x.  k )  e.  CC )
2317, 22mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( pi  x.  k ) )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2421, 23eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k
)  x.  2 ) )
2619, 20, 17mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  x.  k
)  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  x.  k )  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
2928eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
k  x.  2 ) )
315recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X  e.  CC
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
3318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
3420adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  CC )
35 2cnd 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  CC )
3634, 35mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  x.  2 )  e.  CC )
376, 7gt0ne0ii 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  =/=  0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
3932, 33, 36, 38divmuld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X ) )
4030, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X )
4125, 27, 403eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )
)
42 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  =  ( 2  x.  pi ) )
4441, 43oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
4517, 19mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
46 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
4837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  =/=  0 )
4917, 19, 47, 48mulne0d 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
5020, 45, 49divcan3d 10337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  k )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  k )
52 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  =  k )
5344, 51, 523eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  k )
54 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  ZZ )
5553, 54eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
5655ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) ) )
5857rexlimdv 2957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5915, 58mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
60 2re 10617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
6160, 6remulcli 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
6242, 61eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e.  RR
63 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
6460, 6, 63, 7mulgt0ii 9729 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
6542eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
6664, 65breqtri 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  T
67 elrp 11234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  RR+  <->  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T ) )
6862, 66, 67mpbir2an 918 . . . . . . . . . 10  |-  T  e.  RR+
69 mod0 11983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ ) )
705, 68, 69mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
7159, 70sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
72 orc 385 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )
75 odd2np1 13922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
7611, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi ) 
<->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
7874, 77mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
7917, 20jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  e.  CC  /\  k  e.  CC )
)
80 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  CC )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
83 1cnd 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  1  e.  CC )
8418a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
8582, 83, 84adddird 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
8617, 20mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  x.  2 ) )
8786oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( ( k  x.  2 )  x.  pi ) )
8820, 17, 19mulassd 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  x.  pi )  =  ( k  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
8965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =  T )
9089oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  T ) )
9187, 88, 903eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( k  x.  T ) )
9218mulid2i 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
9491, 93oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T )  +  pi ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T
)  +  pi ) )
9689, 45eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  T  e.  CC )
9720, 96mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  T )  e.  CC )
9897, 19addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  T
)  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T
) ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( k  x.  T )  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
10085, 95, 993eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  +  ( k  x.  T
) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi ) )
101 peano2cn 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
10281, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
103102, 19mulcomd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
105 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
106105eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
107106adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
10831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
109102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
11037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
111108, 84, 109, 110divmuld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  <->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X ) )
112107, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X )
113100, 104, 1123eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
114113oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T ) )
1156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  e.  RR )
11668a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  T  e.  RR+ )
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ZZ )
118 modcyc 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
119115, 116, 117, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod 
T )  =  ( pi  mod  T ) )
1216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  RR )
12268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  e.  RR+ )
123 0re 9608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
124123, 6, 7ltleii 9719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  pi
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  0  <_  pi )
126 2timesgt 31375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
1278, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
128127, 65breqtri 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  T
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  <  T
)
130 modid 12000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  pi  /\  pi  <  T ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
131121, 122, 125, 129, 130syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
132114, 120, 1313eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
133132ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi ) )
134133a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) ) )
135134rexlimdv 2957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
13678, 135mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
137 olc 384 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T )  =  pi ) )
13973, 138pm2.61dan 789 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
140139adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
141123a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  0  e.  RR )
142 0xr 9652 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
143142a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  0  e.  RR* )
1446rexri 9658 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR*
145144a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  pi  e.  RR* )
146 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
147 iocgtlb 31422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
148143, 145, 146, 147syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
149141, 148gtned 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  =/=  0 )
150149neneqd 2669 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  -.  ( X  mod  T )  =  0 )
151150adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )
152 pm2.53 373 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  ->  ( -.  ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
153152imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  /\  -.  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
154140, 151, 153syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi )
155142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  e.  RR* )
156144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  pi  e.  RR* )
157 modcl 11980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
1585, 68, 157mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  mod  T )  e.  RR
159158rexri 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  mod  T )  e. 
RR*
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
1617a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  <  pi )
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
163162eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  pi  =  ( X  mod  T ) )
164161, 163breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
1656eqlei2 9707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
166155, 156, 160, 164, 165eliocd 31430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
167166iftrued 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
168167adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
169 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
x  mod  T )  =  ( X  mod  T ) )
170169breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  mod  T
)  <  pi  <->  ( X  mod  T )  <  pi ) )
171 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  1  =  1 )
172 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  -u 1  =  -u 1 )
173170, 171, 172ifeq123d 31337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
174 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
175 1ex 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
176 negex 9830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  _V
177175, 176keepel 4013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  _V
178173, 174, 177fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  RR  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
1795, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 )
180179a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
181158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
182 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
183181, 182ltned 9732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  =/= 
pi )
184183necon2bi 2704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
185184iffalsed 3956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
186180, 185eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
187186adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( F `  X
)  =  -u 1
)
188168, 187oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  ( 1  +  -u 1
) )
189 1pneg1e0 10656 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
190189a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( 1  +  -u
1 )  =  0 )
191188, 190eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  0 )
192191oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
193192adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
19416, 46div0i 10290 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  =  0
195194a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( 0  /  2
)  =  0 )
196195adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( 0  /  2
)  =  0 )
197 fourierswlem.y . . . . . . 7  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
198 iftrue 3951 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
199197, 198syl5req 2521 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  0  =  Y )
200199ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
0  =  Y )
201193, 196, 2003eqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
2021, 154, 201syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
203 iftrue 3951 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
204203adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  =  1 )
205158a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
2066a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
207 iocleub 31423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
208143, 145, 146, 207syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
209208adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
21016, 18mulcomi 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
21142, 210eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  ( pi  x.  2 )
212211oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )
213123, 66gtneii 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  T  =/=  0
214 redivcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR  /\  T  =/=  0 )  ->  ( X  /  T )  e.  RR )
2155, 62, 213, 214mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X  /  T )  e.  RR
216 flcl 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( X  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
217215, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  ZZ
218 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  CC )
219217, 218ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  CC
22018, 16, 219mulassi 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
221212, 220eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
222221oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
223 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  x.  pi )  =  pi  <->  pi  =  ( 1  x.  pi ) )
224 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
225224, 18mulcomi 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  x.  pi )  =  ( pi  x.  1 )
226225eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( pi  =  ( 1  x.  pi )  <->  pi  =  ( pi  x.  1
) )
227223, 226bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  x.  pi )  =  pi  <->  pi  =  ( pi  x.  1
) )
22892, 227mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  =  ( pi  x.  1
)
229228oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
23016, 219mulcli 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
23118, 224, 230adddii 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
232231eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
233222, 229, 2323eqtrri 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
235 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  mod  T ) )
236 modval 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
2375, 68, 236mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X  mod  T )  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  mod  T )  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
239235, 238eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
240239oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
24131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  e.  CC )
24262recni 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  T  e.  CC
243242, 219mulcli 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
244243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  CC )
245241, 244npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  =  X )
246234, 240, 2453eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  =  ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) ) )
247246oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )  /  pi ) )
248224, 230addcli 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  CC
249248, 18, 37divcan3i 10302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  /  pi )  =  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
250249a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( (
pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  /  pi )  =  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
251247, 250eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
252 1z 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
2533, 217pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
254 zmulcl 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )
255253, 254ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  ZZ
256252, 255pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )
257 zaddcl 10915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
258256, 257ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
260251, 259eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
261260, 10sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
262261adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  /\  pi  =  ( X  mod  T ) )  ->  ( X  mod  pi )  =  0
)
263 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  /\  pi  =  ( X  mod  T ) )  ->  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )
264262, 263pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  -.  pi  =  ( X  mod  T ) )
265264neqned 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
266265adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
267205, 206, 209, 266leneltd 31394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  pi )
268179a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
269 iftrue 3951 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
270268, 269eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( F `  X )  =  1 )
271267, 270syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  1 )
272204, 271oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( 1  +  1 ) )
273272oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
) )
274 eqid 2467 . . . . . 6  |-  1  =  1
275274a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  1  =  1 )
276 1p1e2 10661 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
277276oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
27816, 46dividi 10289 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
279277, 278eqtr2i 2497 . . . . . 6  |-  1  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )
280279a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  1  =  ( ( 1  +  1 )  /  2 ) )
281271, 275, 2803eqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  =  ( F `  X ) )
282197a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) ) )
283 iffalse 3954 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
284282, 283eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( F `  X )  =  Y )
285284adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  Y )
286273, 281, 2853eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
287202, 286pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
288150con2i 120 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
289288iffalsed 3956 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
290179a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
291 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
2927a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  0  <  pi )
293291, 292eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
294293iftrued 3953 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
295290, 294eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( F `  X )  =  1 )
296289, 295oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  1 ) )
297296oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 ) )
298 neg1cn 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
299224, 298addcomi 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  ( -u 1  +  1 )
300299eqeq1i 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  =  0  <->  ( -u 1  +  1 )  =  0 )
301189, 300mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
302301oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 )
303302, 194eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  0
304303a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( -u 1  +  1 )  /  2 )  =  0 )
305197a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) ) )
30670biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
30742oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  /  T )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
30816, 46pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
30918, 37pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
310 divdiv1 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( X  /  2
)  /  pi )  =  ( X  / 
( 2  x.  pi ) ) )
31131, 308, 309, 310mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
312311eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( X  / 
2 )  /  pi )
31331, 16, 18, 46, 37divdiv32i 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
314307, 312, 3133eqtri 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  /  T )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
315314oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( X  /  T ) )  =  ( 2  x.  (
( X  /  pi )  /  2 ) )
31631, 18, 37divcli 10298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  /  pi )  e.  CC
317316, 16, 46divcan2i 10299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( ( X  /  pi )  / 
2 ) )  =  ( X  /  pi )
318 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  pi )  =  ( X  /  pi )
319315, 317, 3183eqtrri 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  /  pi )  =  ( 2  x.  ( X  /  T ) )
320319a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  pi )  =  ( 2  x.  ( X  /  T ) ) )
3213a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
322 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
323321, 322zmulcld 10984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
324320, 323eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
325306, 324syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
32610bicomi 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( X  mod  pi )  =  0 )
327325, 326sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
328327iftrued 3953 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
329305, 328eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  0  =  Y )
330297, 304, 3293eqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
331330adantl 466 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
332144a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
33362rexri 9658 . . . . . 6  |-  T  e. 
RR*
334333a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  T  e.  RR* )
335158a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
336 olc 384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
337336adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
338142a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  e.  RR* )
339144a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
340159a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR* )
341123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  e.  RR )
342158a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
343 modge0 11985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
3445, 68, 343mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( X  mod  T
)
345344a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
346 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  =/=  0 )
347341, 342, 345, 346leneltd 31394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <  ( X  mod  T ) )
348347adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  <  ( X  mod  T ) )
349 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
350338, 339, 340, 348, 349eliocd 31430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
351 orc 385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
352350, 351syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
353337, 352pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  <_  pi  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
354353adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  <_  pi )  ->  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
355 pm4.56 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
356355biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
357356adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  <_  pi )  ->  -.  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
358354, 357pm2.65da 576 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
3596a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
360359, 335ltnled 9743 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T
)  <_  pi )
)
361358, 360mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  <  ( X  mod  T ) )
362 modlt 11986 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  <  T )
3635, 68, 362mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( X  mod  T )  < 
T
364363a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  T )
365332, 334, 335, 361, 364eliood 31418 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( pi
(,) T ) )
366142a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  0  e.  RR* )
3676a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  e.  RR )
368159a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
369144a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  e.  RR* )
370333a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  T  e.  RR* )
371 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T
) )
372 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  T  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T
) )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
373369, 370, 371, 372syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
374366, 367, 368, 373gtnelioc 31410 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
375374iffalsed 3956 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
376179a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
377369, 368, 373xrltled 31356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  <_  ( X  mod  T
) )
378158a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
379367, 378lenltd 9742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
pi  <_  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T )  <  pi ) )
380377, 379mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
381380iffalsed 3956 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
382376, 381eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
383375, 382oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  -u 1 ) )
384383oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
) )
385276eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
386385negeqi 9825 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  -u ( 1  +  1 )
387224, 224negdii 9915 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  +  1 )  =  ( -u 1  +  -u 1 )
388386, 387eqtr2i 2497 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  -u 1
)  =  -u 2
389388oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  ( -u
2  /  2 )
390 divneg 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 ) )
39116, 16, 46, 390mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 )
392391eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  ( -u
2  /  2 )  =  -u ( 2  / 
2 )
393278negeqi 9825 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  -u 1
394389, 392, 3933eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
395394a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( -u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
)
396197a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) ) )
397291, 124syl6eqbr 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
398397adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  <_  pi )
399139, 153sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
400399, 165syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
401398, 400pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
402401adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( pi
(,) T )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  <_  pi )
403367, 378ltnled 9743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi ) )
404373, 403mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
405404adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( pi
(,) T )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  -.  ( X  mod  T
)  <_  pi )
406402, 405pm2.65da 576 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )
407406iffalsed 3956 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
408396, 407, 3823eqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -u 1  =  Y )
409384, 395, 4083eqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
410365, 409syl 16 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
411331, 410pm2.61dan 789 . 2  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
412287, 411pm2.61i 164 1  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   ZZcz 10876   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   (,]cioc 11542   |_cfl 11907    mod cmo 11976   picpi 13681    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fouriersw  31855
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