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Theorem fourierswlem 31902
Description: The Fourier series for the square wave  F converges to  Y, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
fourierswlem.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
fourierswlem.x  |-  X  e.  RR
fourierswlem.y  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
Assertion
Ref Expression
fourierswlem  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Distinct variable groups:    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  ||  ( X  /  pi ) )
2 2z 10903 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  ZZ )
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  e.  RR
5 pirp 22830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR+
6 mod0 11984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
87biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
10 divides 13969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( X  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
121, 11mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
13 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
14 picn 22828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  e.  CC )
16 zcn 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
1713, 15, 16mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  k
) ) )
1815, 16mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
pi  x.  k )  e.  CC )
1913, 18mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( pi  x.  k ) )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2017, 19eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k
)  x.  2 ) )
2215, 16, 13mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  x.  k
)  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  x.  k )  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
2524eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
k  x.  2 ) )
274recni 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e.  CC
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
3016adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  CC )
31 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  CC )
3230, 31mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  x.  2 )  e.  CC )
33 pire 22827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR
34 pipos 22829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  pi
3533, 34gt0ne0ii 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
3728, 29, 32, 36divmuld 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X ) )
3826, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X )
3921, 23, 383eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )
)
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  =  ( 2  x.  pi ) )
4239, 41oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
4313, 15mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
44 2ne0 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  =/=  0 )
4713, 15, 45, 46mulne0d 10208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
4816, 43, 47divcan3d 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  k )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  k )
5042, 49eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  k )
51 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  ZZ )
5250, 51eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
5352ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) ) )
5554rexlimdv 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
57 2re 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
5857, 33remulcli 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5940, 58eqeltri 2527 . . . . . . . . . 10  |-  T  e.  RR
60 2pos 10634 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 9721 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
6261, 40breqtrri 4462 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  T
6359, 62elrpii 11233 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  RR+
64 mod0 11984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ ) )
654, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
6656, 65sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
6766orcd 392 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
68 odd2np1 14027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
697, 68sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
7069biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
7113, 16mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
73 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  1  e.  CC )
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
7572, 73, 74adddird 9624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
7613, 16mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  x.  2 ) )
7776oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( ( k  x.  2 )  x.  pi ) )
7816, 13, 15mulassd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  x.  pi )  =  ( k  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
7940eqcomi 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =  T )
8180oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  T ) )
8277, 78, 813eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( k  x.  T ) )
8314mulid2i 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
8582, 84oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T )  +  pi ) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T
)  +  pi ) )
8740, 43syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  T  e.  CC )
8816, 87mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  T )  e.  CC )
8988, 15addcomd 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  T
)  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T
) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( k  x.  T )  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
9175, 86, 903eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  +  ( k  x.  T
) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi ) )
92 peano2cn 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
9371, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
9493, 15mulcomd 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
9796eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
10093adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
10299, 74, 100, 101divmuld 10349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  <->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X ) )
10398, 102mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X )
10491, 95, 1033eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
105104oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T ) )
106 modcyc 12012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
10733, 63, 106mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod 
T )  =  ( pi  mod  T ) )
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  RR )
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  e.  RR+ )
111 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
112111, 33, 34ltleii 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  0  <_  pi )
114 2timesgt 31424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
116115, 40breqtrri 4462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  <  T
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  <  T
)
118 modid 12001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  pi  /\  pi  <  T ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
120105, 108, 1193eqtrd 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
121120ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi ) )
122121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) ) )
123122rexlimdv 2933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
125124olcd 393 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T )  =  pi ) )
12667, 125pm2.61dan 791 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
127 0xr 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
12833rexri 9649 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
129 iocgtlb 31471 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
130127, 128, 129mp3an12 1315 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
131130gt0ne0d 10124 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  =/=  0 )
132131neneqd 2645 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  -.  ( X  mod  T )  =  0 )
133 pm2.53 373 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  ->  ( -.  ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
134133imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  /\  -.  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
135126, 132, 134syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi )
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  e.  RR* )
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  pi  e.  RR* )
138 modcl 11981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
1394, 63, 138mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  mod  T )  e.  RR
140139rexri 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  mod  T )  e. 
RR*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
14334, 142syl5breqr 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
14433eqlei2 9698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 31479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
146145iftrued 3934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
147146adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
148 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  mod  T )  =  ( X  mod  T ) )
149148breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  mod  T
)  <  pi  <->  ( X  mod  T )  <  pi ) )
150149ifbid 3948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
152 1ex 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
153 negex 9823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  _V
154152, 153ifex 3995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  _V
155150, 151, 154fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  RR  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 )
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
159157, 158ltned 9724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  =/= 
pi )
160159necon2bi 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
161160iffalsed 3937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
162156, 161syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
163162adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( F `  X
)  =  -u 1
)
164147, 163oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  ( 1  +  -u 1
) )
165 1pneg1e0 10651 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
166164, 165syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  0 )
167166oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
168167adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
169 2cn 10613 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
170169, 44div0i 10285 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  =  0
171170a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( 0  /  2
)  =  0 )
172 fourierswlem.y . . . . . . 7  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
173 iftrue 3932 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
174172, 173syl5req 2497 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  0  =  Y )
175174ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
0  =  Y )
176168, 171, 1753eqtrrd 2489 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
177135, 176mpdan 668 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
178 iftrue 3932 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
179178adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  =  1 )
180139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
18133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
182 iocleub 31472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
183127, 128, 182mp3an12 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
184183adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
185 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
186185, 14mulcomi 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  ( pi  x.  1 )
18783, 186eqtr3i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( pi  x.  1
)
188187oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
189169, 14mulcomi 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
19040, 189eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  T  =  ( pi  x.  2 )
191190oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )
192111, 62gtneii 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  T  =/=  0
1934, 59, 192redivcli 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  /  T )  e.  RR
194 flcl 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  ZZ
196 zcn 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  CC )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  CC
19814, 169, 197mulassi 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
199191, 198eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
200199oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
201169, 197mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
20214, 185, 201adddii 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
203188, 200, 2023eqtr4ri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  mod  T ) )
206 modval 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
2074, 63, 206mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  mod  T )  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
208205, 207syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
209208oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  e.  CC )
21159recni 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  CC
212211, 197mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  CC )
214210, 213npcand 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  =  X )
215204, 209, 2143eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  =  ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) ) )
216215oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )  /  pi ) )
217185, 201addcli 9603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  CC
218217, 14, 35divcan3i 10297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  /  pi )  =  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
219216, 218syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
220 1z 10901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
221 zmulcl 10919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )
2222, 195, 221mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  ZZ
223 zaddcl 10911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
224220, 222, 223mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
226219, 225eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
227226, 7sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
228227necon3bi 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
229228adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
230180, 181, 184, 229leneltd 31443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  pi )
231 iftrue 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
232156, 231syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( F `  X )  =  1 )
233230, 232syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  1 )
234179, 233oveq12d 6299 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( 1  +  1 ) )
235234oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
) )
236 1p1e2 10656 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
237236oveq1i 6291 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
238 2div2e1 10665 . . . . . 6  |-  ( 2  /  2 )  =  1
239237, 238eqtr2i 2473 . . . . 5  |-  1  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )
240233, 239syl6req 2501 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  =  ( F `  X ) )
241 iffalse 3935 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
242172, 241syl5req 2497 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( F `  X )  =  Y )
243242adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  Y )
244235, 240, 2433eqtrrd 2489 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
245177, 244pm2.61dan 791 . 2  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
246131necon2bi 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
247246iffalsed 3937 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
248 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
249248, 34syl6eqbr 4474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
250249iftrued 3934 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
251156, 250syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( F `  X )  =  1 )
252247, 251oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  1 ) )
253252oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 ) )
254 neg1cn 10646 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
255185, 254, 165addcomli 9775 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
256255oveq1i 6291 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 )
257256, 170eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  0
258257a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( -u 1  +  1 )  /  2 )  =  0 )
25940oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  /  T )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
260 2cnne0 10757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
26114, 35pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
262 divdiv1 10262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( X  /  2
)  /  pi )  =  ( X  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26327, 260, 261, 262mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 10306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
265259, 263, 2643eqtr2i 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  T )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
266265oveq2i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( X  /  T ) )  =  ( 2  x.  (
( X  /  pi )  /  2 ) )
26727, 14, 35divcli 10293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  pi )  e.  CC
268267, 169, 44divcan2i 10294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( X  /  pi )  / 
2 ) )  =  ( X  /  pi )
269266, 268eqtr2i 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  /  pi )  =  ( 2  x.  ( X  /  T ) )
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
271 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
272270, 271zmulcld 10981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
273269, 272syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
27465, 273sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
275274, 7sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
276275iftrued 3934 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
277172, 276syl5req 2497 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  0  =  Y )
278253, 258, 2773eqtrrd 2489 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
279278adantl 466 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
280128a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
28159rexri 9649 . . . . . 6  |-  T  e. 
RR*
282281a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  T  e.  RR* )
283139a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
284 pm4.56 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
285284biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
286 olc 384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
287286adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  e.  RR* )
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR* )
291 0red 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  e.  RR )
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
293 modge0 11986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
2944, 63, 293mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( X  mod  T
)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
296 neqne 31388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  =/=  0 )
297291, 292, 295, 296leneltd 31443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <  ( X  mod  T ) )
298297adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  <  ( X  mod  T ) )
299 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 31479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
301300orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
302287, 301pm2.61dan 791 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <_  pi  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
303285, 302nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
30433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
305304, 283ltnled 9735 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T
)  <_  pi )
)
306303, 305mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  <  ( X  mod  T ) )
307 modlt 11987 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  <  T )
3084, 63, 307mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( X  mod  T )  < 
T
309308a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  T )
310280, 282, 283, 306, 309eliood 31467 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( pi
(,) T ) )
311127a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  0  e.  RR* )
31233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  e.  RR )
313140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
314 ioogtlb 31464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  T  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T
) )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
315128, 281, 314mp3an12 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
316311, 312, 313, 315gtnelioc 31459 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
317316iffalsed 3937 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
319312, 318, 315ltnsymd 9737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
320319iffalsed 3937 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
321156, 320syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
322317, 321oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  -u 1 ) )
323322oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
) )
324 df-2 10601 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
325324negeqi 9818 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  -u ( 1  +  1 )
326185, 185negdii 9908 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  +  1 )  =  ( -u 1  +  -u 1 )
327325, 326eqtr2i 2473 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  -u 1
)  =  -u 2
328327oveq1i 6291 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  ( -u
2  /  2 )
329 divneg 10246 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 ) )
330169, 169, 44, 329mp3an 1325 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 )
331238negeqi 9818 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  -u 1
332328, 330, 3313eqtr2i 2478 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
333332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( -u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
)
334172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) ) )
335312, 318ltnled 9735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi ) )
336315, 335mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
337248, 112syl6eqbr 4474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
338337adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  <_  pi )
339126orcanai 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
340339, 144syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
341338, 340pm2.61dan 791 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
342336, 341nsyl 121 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )
343342iffalsed 3937 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
344334, 343, 3213eqtrrd 2489 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -u 1  =  Y )
345323, 333, 3443eqtrrd 2489 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
346310, 345syl 16 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
347279, 346pm2.61dan 791 . 2  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
348245, 347pm2.61i 164 1  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   ZZcz 10871   RR+crp 11230   (,)cioo 11539   (,]cioc 11540   |_cfl 11908    mod cmo 11977   picpi 13783    || cdvds 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-bc 12362  df-hash 12387  df-shft 12881  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-limsup 13275  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-ef 13784  df-sin 13786  df-cos 13787  df-pi 13789  df-dvds 13968  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-cnfld 18399  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-ntr 19498  df-cls 19499  df-nei 19576  df-lp 19614  df-perf 19615  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-haus 19793  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-cncf 21359  df-limc 22247  df-dv 22248
This theorem is referenced by:  fouriersw  31903
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