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Theorem fourierswlem 38094
Description: The Fourier series for the square wave  F converges to  Y, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
fourierswlem.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
fourierswlem.x  |-  X  e.  RR
fourierswlem.y  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
Assertion
Ref Expression
fourierswlem  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Distinct variable groups:    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  ||  ( X  /  pi ) )
2 2z 10969 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  ZZ )
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  e.  RR
5 pirp 23416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR+
6 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ ) )
74, 5, 6mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
87biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
98adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
10 divides 14307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( X  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
113, 9, 10syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
121, 11mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
13 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
14 picn 23414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  e.  CC )
16 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
1713, 15, 16mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  k
) ) )
1815, 16mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
pi  x.  k )  e.  CC )
1913, 18mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( pi  x.  k ) )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2017, 19eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k
)  x.  2 ) )
2215, 16, 13mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  x.  k
)  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  x.  k )  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
2524eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 ) )
2625adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
k  x.  2 ) )
274recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e.  CC
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
3016adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  CC )
31 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  CC )
3230, 31mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  x.  2 )  e.  CC )
33 pire 23413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR
34 pipos 23415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  pi
3533, 34gt0ne0ii 10150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
3728, 29, 32, 36divmuld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X ) )
3826, 37mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X )
3921, 23, 383eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )
)
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  =  ( 2  x.  pi ) )
4239, 41oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
4313, 15mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
44 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  =/=  0 )
4713, 15, 45, 46mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
4816, 43, 47divcan3d 10388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  k )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  k )
5042, 49eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  k )
51 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  ZZ )
5250, 51eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
5352ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) ) )
5554rexlimdv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
57 2re 10679 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
5857, 33remulcli 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5940, 58eqeltri 2525 . . . . . . . . . 10  |-  T  e.  RR
60 2pos 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 9768 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
6261, 40breqtrri 4428 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  T
6359, 62elrpii 11305 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  RR+
64 mod0 12103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ ) )
654, 63, 64mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
6656, 65sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
6766orcd 394 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
68 odd2np1 14365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
697, 68sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
7069biimpa 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
7113, 16mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
73 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  1  e.  CC )
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
7572, 73, 74adddird 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
7613, 16mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  x.  2 ) )
7776oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( ( k  x.  2 )  x.  pi ) )
7816, 13, 15mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  x.  pi )  =  ( k  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
7940eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =  T )
8180oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  T ) )
8277, 78, 813eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( k  x.  T ) )
8314mulid2i 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
8582, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T )  +  pi ) )
8685adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T
)  +  pi ) )
8740, 43syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  T  e.  CC )
8816, 87mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  T )  e.  CC )
8988, 15addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  T
)  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T
) ) )
9089adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( k  x.  T )  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
9175, 86, 903eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  +  ( k  x.  T
) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi ) )
92 peano2cn 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
9371, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
9493, 15mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9594adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
9796eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9897adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
10093adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
10299, 74, 100, 101divmuld 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  <->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X ) )
10398, 102mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X )
10491, 95, 1033eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
105104oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T ) )
106 modcyc 12132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
10733, 63, 106mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
108107adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod 
T )  =  ( pi  mod  T ) )
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  RR )
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  e.  RR+ )
111 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
112111, 33, 34ltleii 9757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  0  <_  pi )
114 2timesgt 37501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
116115, 40breqtrri 4428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  <  T
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  <  T
)
118 modid 12121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  pi  /\  pi  <  T ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
120105, 108, 1193eqtrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
121120ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi ) )
122121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) ) )
123122rexlimdv 2877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
125124olcd 395 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T )  =  pi ) )
12667, 125pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
127 0xr 9687 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
12833rexri 9693 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
129 iocgtlb 37599 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
130127, 128, 129mp3an12 1354 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
131130gt0ne0d 10178 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  =/=  0 )
132131neneqd 2629 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  -.  ( X  mod  T )  =  0 )
133 pm2.53 375 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  ->  ( -.  ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
134133imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  /\  -.  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
135126, 132, 134syl2anr 481 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi )
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  e.  RR* )
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  pi  e.  RR* )
138 modcl 12100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
1394, 63, 138mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  mod  T )  e.  RR
140139rexri 9693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  mod  T )  e. 
RR*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
14334, 142syl5breqr 4439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
14433eqlei2 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 37605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
146145iftrued 3889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
147146adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
148 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  mod  T )  =  ( X  mod  T ) )
149148breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  mod  T
)  <  pi  <->  ( X  mod  T )  <  pi ) )
150149ifbid 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
152 1ex 9638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
153 negex 9873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  _V
154152, 153ifex 3949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  _V
155150, 151, 154fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  RR  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 )
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
159157, 158ltned 9771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  =/= 
pi )
160159necon2bi 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
161160iffalsed 3892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
162156, 161syl5eq 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
163162adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( F `  X
)  =  -u 1
)
164147, 163oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  ( 1  +  -u 1
) )
165 1pneg1e0 10718 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
166164, 165syl6eq 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  0 )
167166oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
168167adantll 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
169 2cn 10680 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
170169, 44div0i 10341 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  =  0
171170a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( 0  /  2
)  =  0 )
172 fourierswlem.y . . . . . . 7  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
173 iftrue 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
174172, 173syl5req 2498 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  0  =  Y )
175174ad2antlr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
0  =  Y )
176168, 171, 1753eqtrrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
177135, 176mpdan 674 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
178 iftrue 3887 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
179178adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  =  1 )
180139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
18133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
182 iocleub 37600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
183127, 128, 182mp3an12 1354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
184183adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
185 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
186185, 14mulcomi 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  ( pi  x.  1 )
18783, 186eqtr3i 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( pi  x.  1
)
188187oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
189169, 14mulcomi 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
19040, 189eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  T  =  ( pi  x.  2 )
191190oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )
192111, 62gtneii 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  T  =/=  0
1934, 59, 192redivcli 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  /  T )  e.  RR
194 flcl 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  ZZ
196 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  CC )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  CC
19814, 169, 197mulassi 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
199191, 198eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
200199oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
201169, 197mulcli 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
20214, 185, 201adddii 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
203188, 200, 2023eqtr4ri 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  mod  T ) )
206 modval 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
2074, 63, 206mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  mod  T )  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
208205, 207syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
209208oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  e.  CC )
21159recni 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  CC
212211, 197mulcli 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  CC )
214210, 213npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  =  X )
215204, 209, 2143eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  =  ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) ) )
216215oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )  /  pi ) )
217185, 201addcli 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  CC
218217, 14, 35divcan3i 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  /  pi )  =  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
219216, 218syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
220 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
221 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )
2222, 195, 221mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  ZZ
223 zaddcl 10977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
224220, 222, 223mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
226219, 225eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
227226, 7sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
228227necon3bi 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
229228adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
230180, 181, 184, 229leneltd 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  pi )
231 iftrue 3887 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
232156, 231syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( F `  X )  =  1 )
233230, 232syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  1 )
234179, 233oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( 1  +  1 ) )
235234oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
) )
236 1p1e2 10723 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
237236oveq1i 6300 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
238 2div2e1 10732 . . . . . 6  |-  ( 2  /  2 )  =  1
239237, 238eqtr2i 2474 . . . . 5  |-  1  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )
240233, 239syl6req 2502 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  =  ( F `  X ) )
241 iffalse 3890 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
242172, 241syl5req 2498 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( F `  X )  =  Y )
243242adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  Y )
244235, 240, 2433eqtrrd 2490 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
245177, 244pm2.61dan 800 . 2  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
246131necon2bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
247246iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
248 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
249248, 34syl6eqbr 4440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
250249iftrued 3889 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
251156, 250syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( F `  X )  =  1 )
252247, 251oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  1 ) )
253252oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 ) )
254 neg1cn 10713 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
255185, 254, 165addcomli 9825 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
256255oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 )
257256, 170eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  0
258257a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( -u 1  +  1 )  /  2 )  =  0 )
25940oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  /  T )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
260 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
26114, 35pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
262 divdiv1 10318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( X  /  2
)  /  pi )  =  ( X  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26327, 260, 261, 262mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
265259, 263, 2643eqtr2i 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  T )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
266265oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( X  /  T ) )  =  ( 2  x.  (
( X  /  pi )  /  2 ) )
26727, 14, 35divcli 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  pi )  e.  CC
268267, 169, 44divcan2i 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( X  /  pi )  / 
2 ) )  =  ( X  /  pi )
269266, 268eqtr2i 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  /  pi )  =  ( 2  x.  ( X  /  T ) )
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
271 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
272270, 271zmulcld 11046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
273269, 272syl5eqel 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
27465, 273sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
275274, 7sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
276275iftrued 3889 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
277172, 276syl5req 2498 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  0  =  Y )
278253, 258, 2773eqtrrd 2490 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
279278adantl 468 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
280128a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
28159rexri 9693 . . . . . 6  |-  T  e. 
RR*
282281a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  T  e.  RR* )
283139a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
284 pm4.56 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
285284biimpi 198 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
286 olc 386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
287286adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  e.  RR* )
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR* )
291 0red 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  e.  RR )
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
293 modge0 12106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
2944, 63, 293mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( X  mod  T
)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
296 neqne 37374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  =/=  0 )
297291, 292, 295, 296leneltd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <  ( X  mod  T ) )
298297adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  <  ( X  mod  T ) )
299 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 37605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
301300orcd 394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
302287, 301pm2.61dan 800 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <_  pi  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
303285, 302nsyl 125 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
30433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
305304, 283ltnled 9782 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T
)  <_  pi )
)
306303, 305mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  <  ( X  mod  T ) )
307 modlt 12107 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  <  T )
3084, 63, 307mp2an 678 . . . . . 6  |-  ( X  mod  T )  < 
T
309308a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  T )
310280, 282, 283, 306, 309eliood 37595 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( pi
(,) T ) )
311127a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  0  e.  RR* )
31233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  e.  RR )
313140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
314 ioogtlb 37592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  T  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T
) )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
315128, 281, 314mp3an12 1354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
316311, 312, 313, 315gtnelioc 37587 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
317316iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
319312, 318, 315ltnsymd 9784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
320319iffalsed 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
321156, 320syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
322317, 321oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  -u 1 ) )
323322oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
) )
324 df-2 10668 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
325324negeqi 9868 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  -u ( 1  +  1 )
326185, 185negdii 9958 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  +  1 )  =  ( -u 1  +  -u 1 )
327325, 326eqtr2i 2474 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  -u 1
)  =  -u 2
328327oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  ( -u
2  /  2 )
329 divneg 10302 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 ) )
330169, 169, 44, 329mp3an 1364 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 )
331238negeqi 9868 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  -u 1
332328, 330, 3313eqtr2i 2479 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
333332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( -u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
)
334172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) ) )
335312, 318ltnled 9782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi ) )
336315, 335mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
337248, 112syl6eqbr 4440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
338337adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  <_  pi )
339126orcanai 924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
340339, 144syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
341338, 340pm2.61dan 800 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
342336, 341nsyl 125 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )
343342iffalsed 3892 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
344334, 343, 3213eqtrrd 2490 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -u 1  =  Y )
345323, 333, 3443eqtrrd 2490 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
346310, 345syl 17 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
347279, 346pm2.61dan 800 . 2  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
348245, 347pm2.61i 168 1  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   |_cfl 12026    mod cmo 12096   picpi 14119    || cdvds 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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