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Theorem fourierswlem 38206
Description: The Fourier series for the square wave  F converges to  Y, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
fourierswlem.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
fourierswlem.x  |-  X  e.  RR
fourierswlem.y  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
Assertion
Ref Expression
fourierswlem  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Distinct variable groups:    x, T    x, X
Allowed substitution hints:    F( x)    Y( x)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  ||  ( X  /  pi ) )
2 2z 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  ZZ )
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  e.  RR
5 pirp 23495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR+
6 mod0 12136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ ) )
74, 5, 6mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  <->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
87biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
98adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
10 divides 14384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( X  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
113, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) ) )
121, 11mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
13 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
14 picn 23493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  e.  CC )
16 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
1713, 15, 16mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  k
) ) )
1815, 16mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
pi  x.  k )  e.  CC )
1913, 18mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( pi  x.  k ) )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2017, 19eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k )  x.  2 ) )
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  =  ( ( pi  x.  k
)  x.  2 ) )
2215, 16, 13mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  x.  k
)  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  x.  k )  x.  2 )  =  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) ) )
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )
2524eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 ) )
2625adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
k  x.  2 ) )
274recni 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  e.  CC
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
3016adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  CC )
31 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  2  e.  CC )
3230, 31mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  x.  2 )  e.  CC )
33 pire 23492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  pi  e.  RR
34 pipos 23494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  pi
3533, 34gt0ne0ii 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
3728, 29, 32, 36divmuld 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( k  x.  2 )  <->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X ) )
3826, 37mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( k  x.  2 ) )  =  X )
3921, 23, 383eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  k )
)
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  =  ( 2  x.  pi ) )
4239, 41oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
4313, 15mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  e.  CC )
44 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  pi  =/=  0 )
4713, 15, 45, 46mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
4816, 43, 47divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  pi )  x.  k
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  k )
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  pi )  x.  k )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  k )
5042, 49eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  =  k )
51 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  k  e.  ZZ )
5250, 51eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
5352ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) ) )
5554rexlimdv 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( k  x.  2 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  /  T
)  e.  ZZ ) )
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
57 2re 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
5857, 33remulcli 9675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5940, 58eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10  |-  T  e.  RR
60 2pos 10723 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
6261, 40breqtrri 4421 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  T
6359, 62elrpii 11328 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  RR+
64 mod0 12136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ ) )
654, 63, 64mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  <->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
6656, 65sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
6766orcd 399 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
68 odd2np1 14443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  pi )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
697, 68sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( X  /  pi )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) ) )
7069biimpa 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
7113, 16mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
73 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  1  e.  CC )
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  CC )
7572, 73, 74adddird 9686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
7613, 16mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  x.  2 ) )
7776oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( ( k  x.  2 )  x.  pi ) )
7816, 13, 15mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  x.  pi )  =  ( k  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
7940eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
2  x.  pi )  =  T )
8180oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( k  x.  T ) )
8277, 78, 813eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  pi )  =  ( k  x.  T ) )
8314mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1  x.  pi )  =  pi )
8582, 84oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T )  +  pi ) )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( k  x.  T
)  +  pi ) )
8740, 43syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  T  e.  CC )
8816, 87mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  T )  e.  CC )
8988, 15addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  T
)  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T
) ) )
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( k  x.  T )  +  pi )  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
9175, 86, 903eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  +  ( k  x.  T
) )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi ) )
92 peano2cn 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
9371, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
9493, 15mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )
9796eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
9897adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  /  pi )  =  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  e.  CC )
10093adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  =/=  0
)
10299, 74, 100, 101divmuld 10427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  /  pi )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  <->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X ) )
10398, 102mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  x.  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  X )
10491, 95, 1033eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  X  =  ( pi  +  ( k  x.  T ) ) )
105104oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T ) )
106 modcyc 12165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
10733, 63, 106mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod  T )  =  ( pi  mod  T ) )
108107adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( pi  +  ( k  x.  T ) )  mod 
T )  =  ( pi  mod  T ) )
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  e.  RR )
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  T  e.  RR+ )
111 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
112111, 33, 34ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  pi
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  0  <_  pi )
114 2timesgt 37590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
116115, 40breqtrri 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  <  T
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  pi  <  T
)
118 modid 12154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  pi  /\  pi  <  T ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( pi  mod  T )  =  pi )
120105, 108, 1193eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
121120ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi ) )
122121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) ) )
123122rexlimdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( X  /  pi )  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
125124olcd 400 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  2  ||  ( X  /  pi ) )  ->  ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T )  =  pi ) )
12667, 125pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi ) )
127 0xr 9705 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
12833rexri 9711 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
129 iocgtlb 37695 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
130127, 128, 129mp3an12 1380 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
131130gt0ne0d 10199 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  =/=  0 )
132131neneqd 2648 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  -.  ( X  mod  T )  =  0 )
133 pm2.53 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  ->  ( -.  ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  pi ) )
134133imp 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  =  0  \/  ( X  mod  T
)  =  pi )  /\  -.  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
135126, 132, 134syl2anr 486 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  =  pi )
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  e.  RR* )
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  pi  e.  RR* )
138 modcl 12133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
1394, 63, 138mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  mod  T )  e.  RR
140139rexri 9711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  mod  T )  e. 
RR*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
14334, 142syl5breqr 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  0  <  ( X  mod  T
) )
14433eqlei2 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 37701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
146145iftrued 3880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
147146adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
148 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  mod  T )  =  ( X  mod  T ) )
149148breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  mod  T
)  <  pi  <->  ( X  mod  T )  <  pi ) )
150149ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
152 1ex 9656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
153 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  _V
154152, 153ifex 3940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( X  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  _V
155150, 151, 154fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  RR  ->  ( F `  X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 X )  =  if ( ( X  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 )
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
159157, 158ltned 9788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( X  mod  T )  =/= 
pi )
160159necon2bi 2673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
161160iffalsed 3883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
162156, 161syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  pi  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
163162adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( F `  X
)  =  -u 1
)
164147, 163oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  ( 1  +  -u 1
) )
165 1pneg1e0 10740 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
166164, 165syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  =  0 )
167166oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
168167adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
169 2cn 10702 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
170169, 44div0i 10363 . . . . . 6  |-  ( 0  /  2 )  =  0
171170a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
( 0  /  2
)  =  0 )
172 fourierswlem.y . . . . . . 7  |-  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) )
173 iftrue 3878 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
174172, 173syl5req 2518 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  0  =  Y )
175174ad2antlr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  -> 
0  =  Y )
176168, 171, 1753eqtrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  /\  ( X  mod  T )  =  pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
177135, 176mpdan 681 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
178 iftrue 3878 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  1 )
179178adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  =  1 )
180139a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
18133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
182 iocleub 37696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
183127, 128, 182mp3an12 1380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
184183adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
185 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
186185, 14mulcomi 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  pi )  =  ( pi  x.  1 )
18783, 186eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  =  ( pi  x.  1
)
188187oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
189169, 14mulcomi 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  x.  2 )
19040, 189eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  T  =  ( pi  x.  2 )
191190oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )
192111, 62gtneii 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  T  =/=  0
1934, 59, 192redivcli 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  /  T )  e.  RR
194 flcl 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  ZZ
196 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  CC )
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |_
`  ( X  /  T ) )  e.  CC
19814, 169, 197mulassi 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  x.  2 )  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
199191, 198eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  =  ( pi  x.  (
2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )
200199oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( pi  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
201169, 197mulcli 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
20214, 185, 201adddii 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( ( pi  x.  1 )  +  ( pi  x.  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
203188, 200, 2023eqtr4ri 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) ) )  =  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  mod  T ) )
206 modval 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
2074, 63, 206mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  mod  T )  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
208205, 207syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  pi  =  ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
209208oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( pi  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  =  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  e.  CC )
21159recni 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  CC
212211, 197mulcli 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  CC
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  CC )
214210, 213npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( ( X  -  ( T  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  +  ( T  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  =  X )
215204, 209, 2143eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  X  =  ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) ) )
216215oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( ( pi  x.  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )  /  pi ) )
217185, 201addcli 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  CC
218217, 14, 35divcan3i 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  x.  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) ) )  /  pi )  =  (
1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) )
219216, 218syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  =  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) ) ) )
220 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
221 zmulcl 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )
2222, 195, 221mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T
) ) )  e.  ZZ
223 zaddcl 11001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( |_
`  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
224220, 222, 223mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( |_ `  ( X  /  T ) ) ) )  e.  ZZ )
226219, 225eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
227226, 7sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  =  ( X  mod  T )  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
228227necon3bi 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
229228adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  pi  =/=  ( X  mod  T ) )
230180, 181, 184, 229leneltd 9806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  pi )
231 iftrue 3878 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
232156, 231syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <  pi  ->  ( F `  X )  =  1 )
233230, 232syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  1 )
234179, 233oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( 1  +  1 ) )
235234oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
) )
236 1p1e2 10745 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
237236oveq1i 6318 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
238 2div2e1 10755 . . . . . 6  |-  ( 2  /  2 )  =  1
239237, 238eqtr2i 2494 . . . . 5  |-  1  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )
240233, 239syl6req 2522 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  =  ( F `  X ) )
241 iffalse 3881 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
242172, 241syl5req 2518 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( F `  X )  =  Y )
243242adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  ( F `  X )  =  Y )
244235, 240, 2433eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
245177, 244pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
246131necon2bi 2673 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
247246iffalsed 3883 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
248 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  =  0 )
249248, 34syl6eqbr 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  < 
pi )
250249iftrued 3880 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
251156, 250syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( F `  X )  =  1 )
252247, 251oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  1 ) )
253252oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 ) )
254 neg1cn 10735 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
255185, 254, 165addcomli 9843 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
256255oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 )
257256, 170eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  1 )  /  2 )  =  0
258257a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( -u 1  +  1 )  /  2 )  =  0 )
25940oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  /  T )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
260 2cnne0 10847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
26114, 35pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
262 divdiv1 10340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
( X  /  2
)  /  pi )  =  ( X  / 
( 2  x.  pi ) ) )
26327, 260, 261, 262mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( X  /  (
2  x.  pi ) )
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  /  2 )  /  pi )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
265259, 263, 2643eqtr2i 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  T )  =  ( ( X  /  pi )  /  2
)
266265oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( X  /  T ) )  =  ( 2  x.  (
( X  /  pi )  /  2 ) )
26727, 14, 35divcli 10371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  /  pi )  e.  CC
268267, 169, 44divcan2i 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( X  /  pi )  / 
2 ) )  =  ( X  /  pi )
269266, 268eqtr2i 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  /  pi )  =  ( 2  x.  ( X  /  T ) )
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
271 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  T )  e.  ZZ )
272270, 271zmulcld 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( X  /  T ) )  e.  ZZ )
273269, 272syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  /  T )  e.  ZZ  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
27465, 273sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  /  pi )  e.  ZZ )
275274, 7sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  pi )  =  0 )
276275iftrued 3880 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  0 )
277172, 276syl5req 2518 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  0  =  Y )
278253, 258, 2773eqtrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
279278adantl 473 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
280128a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
28159rexri 9711 . . . . . 6  |-  T  e. 
RR*
282281a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  T  e.  RR* )
283139a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
284 pm4.56 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
285284biimpi 199 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
286 olc 391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
287286adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  e.  RR* )
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR* )
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR* )
291 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  e.  RR )
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  e.  RR )
293 modge0 12139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
2944, 63, 293mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( X  mod  T
)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <_  ( X  mod  T ) )
296 neqne 2651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
( X  mod  T
)  =/=  0 )
297291, 292, 295, 296leneltd 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  =  0  -> 
0  <  ( X  mod  T ) )
298297adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  0  <  ( X  mod  T ) )
299 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 37701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
301300orcd 399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  mod  T
)  <_  pi  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T )  =  0 ) )
302287, 301pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  <_  pi  ->  (
( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  \/  ( X  mod  T
)  =  0 ) )
303285, 302nsyl 125 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
30433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  e.  RR )
305304, 283ltnled 9799 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T
)  <_  pi )
)
306303, 305mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  pi  <  ( X  mod  T ) )
307 modlt 12140 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  T
)  <  T )
3084, 63, 307mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( X  mod  T )  < 
T
309308a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <  T )
310280, 282, 283, 306, 309eliood 37691 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  e.  ( pi
(,) T ) )
311127a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  0  e.  RR* )
31233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  e.  RR )
313140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e. 
RR* )
314 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  RR*  /\  T  e.  RR*  /\  ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T
) )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
315128, 281, 314mp3an12 1380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  pi  <  ( X  mod  T
) )
316311, 312, 313, 315gtnelioc 37683 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) )
317316iffalsed 3883 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( X  mod  T )  e.  RR )
319312, 318, 315ltnsymd 9801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <  pi )
320319iffalsed 3883 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
321156, 320syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( F `  X )  =  -u 1 )
322317, 321oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  =  ( -u 1  +  -u 1 ) )
323322oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
)  =  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
) )
324 df-2 10690 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
325324negeqi 9888 . . . . . . . . 9  |-  -u 2  =  -u ( 1  +  1 )
326185, 185negdii 9978 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  +  1 )  =  ( -u 1  +  -u 1 )
327325, 326eqtr2i 2494 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  +  -u 1
)  =  -u 2
328327oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  ( -u
2  /  2 )
329 divneg 10324 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 ) )
330169, 169, 44, 329mp3an 1390 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  ( -u 2  /  2 )
331238negeqi 9888 . . . . . . 7  |-  -u (
2  /  2 )  =  -u 1
332328, 330, 3313eqtr2i 2499 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
333332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
( -u 1  +  -u
1 )  /  2
)  =  -u 1
)
334172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X
) ) )
335312, 318ltnled 9799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  (
pi  <  ( X  mod  T )  <->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi ) )
336315, 335mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  T )  <_  pi )
337248, 112syl6eqbr 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  mod  T )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
338337adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  ( X  mod  T )  =  0 )  -> 
( X  mod  T
)  <_  pi )
339126orcanai 927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  =  pi )
340339, 144syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  mod  pi )  =  0  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
341338, 340pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  mod  pi )  =  0  ->  ( X  mod  T )  <_  pi )
342336, 341nsyl 125 . . . . . . 7  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -.  ( X  mod  pi )  =  0 )
343342iffalsed 3883 . . . . . 6  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  if ( ( X  mod  pi )  =  0 ,  0 ,  ( F `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
344334, 343, 3213eqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  -u 1  =  Y )
345323, 333, 3443eqtrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( X  mod  T )  e.  ( pi (,) T )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
346310, 345syl 17 . . 3  |-  ( ( -.  ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi )  /\  -.  ( X  mod  T
)  =  0 )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1 )  +  ( F `  X
) )  /  2
) )
347279, 346pm2.61dan 808 . 2  |-  ( -.  ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi )  ->  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T )  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 ) )
348245, 347pm2.61i 169 1  |-  Y  =  ( ( if ( ( X  mod  T
)  e.  ( 0 (,] pi ) ,  1 ,  -u 1
)  +  ( F `
 X ) )  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   |_cfl 12059    mod cmo 12129   picpi 14196    || cdvds 14382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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