Theorem fourierdlem97 32228

Description: F is continuous on the intervals induced by the moved partition V. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem97.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem97.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem97.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem97.a	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem97.b	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem97.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem97.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem97.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem97.fper	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem97.qcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem97.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem97.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem97.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) )
fourierdlem97.v	|- V = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
fourierdlem97.h	|- H = ( s e. RR |-> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem97	|- ( ph -> ( G |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   A, m, p, i   B, i, x   B, m, p   y, C, g   C, i, x, y   C, m, p, y   y, D, g   D, i, x   D, m, p   F, s, x   y, F   i, G, s   y, G   i, H, s, x   h, J, k, i, x   J, s   h, M, i, x   m, M, p   M, s   Q, h, k, g, y   Q, i, x   Q, m, p, k   Q, s   T, h, k, g, y   T, i, x   T, m, p   T, s   h, V, k, g   i, V, x   V, p   V, s   ph, h, y, g   ph, i, s, x

Allowed substitution hints:   ph( k, m, p)   A( y, g, h, k, s)   B( y, g, h, k, s)   C( h, k, s)   D( h, k, s)   P( x, y, g, h, i, k, m, s, p)   F( g, h, i, k, m, p)   G( x, g, h, k, m, p)   H( y, g, h, k, m, p)   J( y, g, m, p)   M( y, g, k)   V( y, m)

Proof of Theorem fourierdlem97

Dummy variables f l t u w z v e j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 11589	. . . . . . . 8 |- ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ RR
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ RR )
3	2	sselda 3489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
4		iftrue 3935	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. dom G -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = ( G ` s ) )
5	4	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. dom G ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = ( G ` s ) )
6		fourierdlem97.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : RR --> RR )
7		ssid 3508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ RR
8		dvfre 22523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ RR C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
9	6, 7, 8	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
10		fourierdlem97.g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( RR _D F )
11	10	feq1i 5705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
12	9, 11	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
13	12	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. dom G ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
14		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. dom G -> s e. dom G )
15	10	dmeqi 5193	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom G = dom ( RR _D F )
16	14, 15	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. dom G -> s e. dom ( RR _D F ) )
17	16	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. dom G ) -> s e. dom ( RR _D F ) )
18	13, 17	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. dom G ) -> ( G ` s ) e. RR )
19	5, 18	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. dom G ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
20	19	adantlr 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ s e. dom G ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
21		iffalse 3938	. . . . . . . . . 10 |- ( -. s e. dom G -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = 0 )
22		0red 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( -. s e. dom G -> 0 e. RR )
23	21, 22	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( -. s e. dom G -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
24	23	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. s e. dom G ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
25	20, 24	pm2.61dan 789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
26	3, 25	syldan 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
27		fourierdlem97.h	. . . . . . 7 |- H = ( s e. RR |-> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) )
28	27	fvmpt2 5939	. . . . . 6 |- ( ( s e. RR /\ if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) )
29	3, 26, 28	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) = if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) )
30		fourierdlem97.t	. . . . . . . . . 10 |- T = ( B - A )
31		fourierdlem97.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
32		fourierdlem97.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
33		fourierdlem97.q	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
34		fourierdlem97.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
35		fourierdlem97.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
36		elioore 11562	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR )
38	34	rexrd 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR* )
39		pnfxr 11324	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> +oo e. RR* )
41		ioogtlb 31770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. ( C (,) +oo ) ) -> C < D )
42	38, 40, 35, 41	syl3anc 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C < D )
43		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y + ( h x. T ) ) = ( x + ( h x. T ) ) )
44	43	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q <-> ( x + ( h x. T ) ) e. ran Q ) )
45	44	rexbidv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q <-> E. h e. ZZ ( x + ( h x. T ) ) e. ran Q ) )
46	45	cbvrabv 3105	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( x + ( h x. T ) ) e. ran Q }
47	46	uneq2i 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( x + ( h x. T ) ) e. ran Q } )
48		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = l -> ( k x. T ) = ( l x. T ) )
49	48	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = l -> ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( l x. T ) ) )
50	49	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = l -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
51	50	cbvrexv 3082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( C [,] D ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
53	52	rabbiia 3095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q }
54	53	uneq2i 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } )
55		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = h -> ( l x. T ) = ( h x. T ) )
56	55	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = h -> ( y + ( l x. T ) ) = ( y + ( h x. T ) ) )
57	56	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = h -> ( ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q ) )
58	57	cbvrexv 3082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( C [,] D ) -> ( E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q ) )
60	59	rabbiia 3095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q }
61	60	uneq2i 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } )
62	54, 61	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } )
63	62	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) )
64	63	oveq1i 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
65		fourierdlem97.v	. . . . . . . . . 10 |- V = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
66		fourierdlem97.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ( 0..^ ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) )
67		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = h -> ( k x. T ) = ( h x. T ) )
68	67	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = h -> ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) = ( ( Q ` 0 ) + ( h x. T ) ) )
69	68	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = h -> ( ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` 0 ) + ( h x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
70	69	cbvrabv 3105	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } = { h e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( h x. T ) ) <_ ( V ` J ) }
71	70	supeq1i 7898	. . . . . . . . . 10 |- sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) = sup ( { h e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( h x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
72		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = e -> ( Q ` j ) = ( Q ` e ) )
73	72	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = e -> ( ( Q ` j ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) = ( ( Q ` e ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) )
74	73	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = e -> ( ( ( Q ` j ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) <-> ( ( Q ` e ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) ) )
75	74	cbvrabv 3105	. . . . . . . . . . 11 |- { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) } = { e e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` e ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) }
76	75	supeq1i 7898	. . . . . . . . . 10 |- sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) = sup ( { e e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` e ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < )
77	30, 31, 32, 33, 34, 37, 42, 47, 64, 65, 66, 71, 76	fourierdlem64 32195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( ( Q ` j ) + ( sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) /\ sup ( { k e. ZZ | ( ( Q ` 0 ) + ( k x. T ) ) <_ ( V ` J ) } , RR , < ) e. ZZ ) /\ E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) )
78	77	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
79		simpl1 997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ph )
80		simpl2l 1047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
81		fourierdlem97.qcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
82		cncff 21566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
83	81, 82	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
84		ffun 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G : dom ( RR _D F ) --> RR -> Fun G )
85	12, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Fun G )
86	85	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Fun G )
87		ffvresb 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Fun G -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC <-> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( s e. dom G /\ ( G ` s ) e. CC ) ) )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC <-> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( s e. dom G /\ ( G ` s ) e. CC ) ) )
89	83, 88	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( s e. dom G /\ ( G ` s ) e. CC ) )
90	89	r19.21bi 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( s e. dom G /\ ( G ` s ) e. CC ) )
91	90	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. dom G )
92	91	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) s e. dom G )
93		dfss3 3479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom G <-> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) s e. dom G )
94	92, 93	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom G )
95	79, 80, 94	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom G )
96		simpl2 998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) )
97	79, 96	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) )
98		simpl3 999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
99		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
100	98, 99	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
101	31	fourierdlem2 32133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
102	32, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
103	33, 102	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
104	103	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
105		elmapi 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
106	104, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
107	106	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
108		elfzofz 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
109	108	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
110	107, 109	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
111	110	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
112	111	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
113	112	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
114		fzofzp1 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
115	114	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
116	107, 115	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
117	116	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
118	117	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
119	118	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
120		elioore 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) -> t e. RR )
121	120	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> t e. RR )
122		zre 10864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l e. ZZ -> l e. RR )
123	122	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) -> l e. RR )
124	123	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> l e. RR )
125		fourierdlem97.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. RR )
126		fourierdlem97.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A e. RR )
127	125, 126	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
128	30, 127	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> T e. RR )
129	128	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> T e. RR )
130	124, 129	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( l x. T ) e. RR )
131	121, 130	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( t - ( l x. T ) ) e. RR )
132	110	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
133	122	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> l e. RR )
134	128	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> T e. RR )
135	133, 134	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( l x. T ) e. RR )
136	132, 135	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) e. RR )
137	136	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) e. RR* )
138	137	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) e. RR* )
139	117, 135	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) e. RR )
140	139	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) e. RR* )
141	140	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) e. RR* )
142		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
143		ioogtlb 31770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) e. RR* /\ ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) e. RR* /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) < t )
144	138, 141, 142, 143	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) < t )
145	132	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
146	145, 130, 121	ltaddsubd 10148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) < t <-> ( Q ` i ) < ( t - ( l x. T ) ) ) )
147	144, 146	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( t - ( l x. T ) ) )
148		iooltub 31790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) e. RR* /\ ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) e. RR* /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> t < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) )
149	138, 141, 142, 148	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> t < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) )
150	121, 130, 118	ltsubaddd 10144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> t < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) )
151	149, 150	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( t - ( l x. T ) ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
152	113, 119, 131, 147, 151	eliood 31773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( t - ( l x. T ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
153	97, 100, 152	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( t - ( l x. T ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
154	95, 153	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( t - ( l x. T ) ) e. dom G )
155		elioore 11562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) -> t e. RR )
156		recn 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t e. RR -> t e. CC )
157	156	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> t e. CC )
158		zcn 10865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l e. ZZ -> l e. CC )
159	158	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> l e. CC )
160	128	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> T e. CC )
161	160	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> T e. CC )
162	159, 161	mulcld 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> ( l x. T ) e. CC )
163	157, 162	npcand 9926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) = t )
164	163	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> t = ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) )
165	164	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) -> t = ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) )
166		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t - ( l x. T ) ) e. _V
167		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( s e. dom G <-> ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) )
168	167	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. dom G ) <-> ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) ) )
169		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( s + ( l x. T ) ) = ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) )
170	169	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( ( s + ( l x. T ) ) e. dom G <-> ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) e. dom G ) )
171	169	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( G ` ( s + ( l x. T ) ) ) = ( G ` ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) ) )
172		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( G ` s ) = ( G ` ( t - ( l x. T ) ) ) )
173	171, 172	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( ( G ` ( s + ( l x. T ) ) ) = ( G ` s ) <-> ( G ` ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( G ` ( t - ( l x. T ) ) ) ) )
174	170, 173	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( ( ( s + ( l x. T ) ) e. dom G /\ ( G ` ( s + ( l x. T ) ) ) = ( G ` s ) ) <-> ( ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) e. dom G /\ ( G ` ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( G ` ( t - ( l x. T ) ) ) ) ) )
175	168, 174	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = ( t - ( l x. T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. dom G ) -> ( ( s + ( l x. T ) ) e. dom G /\ ( G ` ( s + ( l x. T ) ) ) = ( G ` s ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) -> ( ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) e. dom G /\ ( G ` ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( G ` ( t - ( l x. T ) ) ) ) ) ) )
176		ax-resscn 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- RR C_ CC
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> RR C_ CC )
178	6, 177	fssd 5722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> F : RR --> CC )
179	178	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ l e. ZZ ) -> F : RR --> CC )
180	122	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ l e. ZZ ) -> l e. RR )
181	128	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ l e. ZZ ) -> T e. RR )
182	180, 181	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ l e. ZZ ) -> ( l x. T ) e. RR )
183	178	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. RR ) -> F : RR --> CC )
184	128	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. RR ) -> T e. RR )
185		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. RR ) -> l e. ZZ )
186		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. RR ) -> s e. RR )
187		fourierdlem97.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
188	187	adant423 31668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
189	183, 184, 185, 186, 188	fperiodmul 31746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. RR ) -> ( F ` ( s + ( l x. T ) ) ) = ( F ` s ) )
190	179, 182, 189, 10	fperdvper 31957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ s e. dom G ) -> ( ( s + ( l x. T ) ) e. dom G /\ ( G ` ( s + ( l x. T ) ) ) = ( G ` s ) ) )
191	166, 175, 190	vtocl 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) -> ( ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) e. dom G /\ ( G ` ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) ) = ( G ` ( t - ( l x. T ) ) ) ) )
192	191	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) e. dom G )
193	192	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) + ( l x. T ) ) e. dom G )
194	165, 193	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) /\ ( t - ( l x. T ) ) e. dom G ) -> t e. dom G )
195	194	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) e. dom G -> t e. dom G ) )
196	155, 195	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ l e. ZZ ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) e. dom G -> t e. dom G ) )
197	196	adantlrl 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) e. dom G -> t e. dom G ) )
198	197	3adantl3 1152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( t - ( l x. T ) ) e. dom G -> t e. dom G ) )
199	154, 198	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) /\ t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> t e. dom G )
200	199	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) t e. dom G )
201		dfss3 3479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ dom G <-> A. t e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) t e. dom G )
202	200, 201	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) /\ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) ) -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ dom G )
203	202	3exp 1193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ l e. ZZ ) -> ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ dom G ) ) )
204	203	rexlimdvv 2952	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0..^ M ) E. l e. ZZ ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( ( Q ` i ) + ( l x. T ) ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + ( l x. T ) ) ) -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ dom G ) )
205	78, 204	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) C_ dom G )
206	205	sselda 3489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> s e. dom G )
207	206	iftrued 3937	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = ( G ` s ) )
208	29, 207	eqtr2d 2496	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( G ` s ) = ( H ` s ) )
209	208	mpteq2dva 4525	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( G ` s ) ) = ( s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) )
210	15	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> dom G = dom ( RR _D F ) )
211	210	feq2d 5700	. . . . 5 |- ( ph -> ( G : dom G --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
212	12, 211	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> G : dom G --> RR )
213	212, 205	feqresmpt 5902	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( G ` s ) ) )
214	25, 27	fmptd 6031	. . . 4 |- ( ph -> H : RR --> RR )
215	214, 2	feqresmpt 5902	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) )
216	209, 213, 215	3eqtr4d 2505	. 2 |- ( ph -> ( G |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( H |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) )
217	214, 177	fssd 5722	. . 3 |- ( ph -> H : RR --> CC )
218	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> H = ( s e. RR |-> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) ) )
219		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( x + T ) -> ( s e. dom G <-> ( x + T ) e. dom G ) )
220		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( x + T ) -> ( G ` s ) = ( G ` ( x + T ) ) )
221	219, 220	ifbieq1d 3952	. . . . . . . 8 |- ( s = ( x + T ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = if ( ( x + T ) e. dom G , ( G ` ( x + T ) ) , 0 ) )
222	178, 128, 187, 10	fperdvper 31957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( x + T ) e. dom G /\ ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) ) )
223	222	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) e. dom G )
224	223	iftrued 3937	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> if ( ( x + T ) e. dom G , ( G ` ( x + T ) ) , 0 ) = ( G ` ( x + T ) ) )
225	221, 224	sylan9eqr 2517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ s = ( x + T ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = ( G ` ( x + T ) ) )
226	225	adantllr 716	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) /\ s = ( x + T ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = ( G ` ( x + T ) ) )
227		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR )
228	128	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T e. RR )
229	227, 228	readdcld 9612	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + T ) e. RR )
230	229	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) e. RR )
231	212	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> G : dom G --> RR )
232	223	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) e. dom G )
233	231, 232	ffvelrnd 6008	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( G ` ( x + T ) ) e. RR )
234	218, 226, 230, 233	fvmptd 5936	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( H ` ( x + T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
235	222	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) )
236	235	adantlr 712	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) )
237		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( s = x -> ( s e. dom G <-> x e. dom G ) )
238		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 |- ( s = x -> ( G ` s ) = ( G ` x ) )
239	237, 238	ifbieq1d 3952	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) )
240	239	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) /\ s = x ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) )
241		simplr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> x e. RR )
242		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> x e. dom G )
243	242	iftrued 3937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) = ( G ` x ) )
244	212	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. RR )
245	243, 244	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) e. RR )
246	245	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) e. RR )
247	218, 240, 241, 246	fvmptd 5936	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( H ` x ) = if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) )
248		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> x e. dom G )
249	248	iftrued 3937	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) = ( G ` x ) )
250	247, 249	eqtr2d 2496	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) = ( H ` x ) )
251	234, 236, 250	3eqtrd 2499	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. dom G ) -> ( H ` ( x + T ) ) = ( H ` x ) )
252	229	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + T ) e. CC )
253	228	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T e. CC )
254	252, 253	negsubd 9928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x + T ) + -u T ) = ( ( x + T ) - T ) )
255	227	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
256	255, 253	pncand 9923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x + T ) - T ) = x )
257	254, 256	eqtr2d 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x = ( ( x + T ) + -u T ) )
258	257	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> x = ( ( x + T ) + -u T ) )
259		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ( x + T ) e. dom G )
260		simpll 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ph )
261	260, 259	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ( ph /\ ( x + T ) e. dom G ) )
262		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x + T ) -> ( y e. dom G <-> ( x + T ) e. dom G ) )
263	262	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + T ) -> ( ( ph /\ y e. dom G ) <-> ( ph /\ ( x + T ) e. dom G ) ) )
264		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x + T ) -> ( y + -u T ) = ( ( x + T ) + -u T ) )
265	264	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x + T ) -> ( ( y + -u T ) e. dom G <-> ( ( x + T ) + -u T ) e. dom G ) )
266	264	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x + T ) -> ( G ` ( y + -u T ) ) = ( G ` ( ( x + T ) + -u T ) ) )
267		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x + T ) -> ( G ` y ) = ( G ` ( x + T ) ) )
268	266, 267	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x + T ) -> ( ( G ` ( y + -u T ) ) = ( G ` y ) <-> ( G ` ( ( x + T ) + -u T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) ) )
269	265, 268	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + T ) -> ( ( ( y + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( y + -u T ) ) = ( G ` y ) ) <-> ( ( ( x + T ) + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( ( x + T ) + -u T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) ) ) )
270	263, 269	imbi12d 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + T ) -> ( ( ( ph /\ y e. dom G ) -> ( ( y + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( y + -u T ) ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ( ( ( x + T ) + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( ( x + T ) + -u T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) ) ) ) )
271	128	renegcld 9982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u T e. RR )
272	160	mulm1d 10004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u 1 x. T ) = -u T )
273	272	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u T = ( -u 1 x. T ) )
274	273	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> -u T = ( -u 1 x. T ) )
275	274	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + -u T ) = ( y + ( -u 1 x. T ) ) )
276	275	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + -u T ) ) = ( F ` ( y + ( -u 1 x. T ) ) ) )
277	178	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : RR --> CC )
278	128	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. RR )
279		1zzd 10891	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
280	279	znegcld 10967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> -u 1 e. ZZ )
281		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
282	187	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
283	277, 278, 280, 281, 282	fperiodmul 31746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + ( -u 1 x. T ) ) ) = ( F ` y ) )
284	276, 283	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + -u T ) ) = ( F ` y ) )
285	178, 271, 284, 10	fperdvper 31957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. dom G ) -> ( ( y + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( y + -u T ) ) = ( G ` y ) ) )
286	270, 285	vtoclg 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x + T ) e. dom G -> ( ( ph /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ( ( ( x + T ) + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( ( x + T ) + -u T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) ) ) )
287	259, 261, 286	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ( ( ( x + T ) + -u T ) e. dom G /\ ( G ` ( ( x + T ) + -u T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) ) )
288	287	simpld 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> ( ( x + T ) + -u T ) e. dom G )
289	258, 288	eqeltrd 2542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( x + T ) e. dom G ) -> x e. dom G )
290	289	stoic1a 1609	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> -. ( x + T ) e. dom G )
291	290	iffalsed 3940	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> if ( ( x + T ) e. dom G , ( G ` ( x + T ) ) , 0 ) = 0 )
292	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> H = ( s e. RR |-> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) ) )
293	221	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) /\ s = ( x + T ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = if ( ( x + T ) e. dom G , ( G ` ( x + T ) ) , 0 ) )
294	229	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> ( x + T ) e. RR )
295		0red 9586	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> 0 e. RR )
296	291, 295	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> if ( ( x + T ) e. dom G , ( G ` ( x + T ) ) , 0 ) e. RR )
297	292, 293, 294, 296	fvmptd 5936	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> ( H ` ( x + T ) ) = if ( ( x + T ) e. dom G , ( G ` ( x + T ) ) , 0 ) )
298		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> -. x e. dom G )
299	298	iffalsed 3940	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> if ( x e. dom G , ( G ` x ) , 0 ) = 0 )
300	239, 299	sylan9eqr 2517	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) /\ s = x ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = 0 )
301		simplr 753	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> x e. RR )
302	292, 300, 301, 295	fvmptd 5936	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> ( H ` x ) = 0 )
303	291, 297, 302	3eqtr4d 2505	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. dom G ) -> ( H ` ( x + T ) ) = ( H ` x ) )
304	251, 303	pm2.61dan 789	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( H ` ( x + T ) ) = ( H ` x ) )
305		elioore 11562	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
306	305	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
307	305, 25	sylan2 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) e. RR )
308	306, 307, 28	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) = if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) )
309	308	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) = if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) )
310	91	iftrued 3937	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> if ( s e. dom G , ( G ` s ) , 0 ) = ( G ` s ) )
311	309, 310	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) = ( G ` s ) )
312	311	mpteq2dva 4525	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( G ` s ) ) )
313	214	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> H : RR --> RR )
314		ioossre 11589	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
315	314	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
316	313, 315	feqresmpt 5902	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) )
317	212	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G : dom G --> RR )
318	317, 94	feqresmpt 5902	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( G ` s ) ) )
319	312, 316, 318	3eqtr4d 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
320	319, 81	eqeltrd 2542	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
321		eqid 2454	. . 3 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
322		oveq1 6277	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z + ( l x. T ) ) = ( y + ( l x. T ) ) )
323	322	eleq1d 2523	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
324	323	rexbidv 2965	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
325	324	cbvrabv 3105	. . . . 5 |- { z e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q }
326	325	uneq2i 3641	. . . 4 |- ( { C , D } u. { z e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } )
327	326	eqcomi 2467	. . 3 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { z e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q } )
328	54	fveq2i 5851	. . . 4 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) )
329	328	oveq1i 6280	. . 3 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
330		isoeq5 6194	. . . . . 6 |- ( ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
331	61, 330	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
332	331	iotabii 5556	. . . 4 |- ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
333		isoeq1 6190	. . . . 5 |- ( f = g -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
334	333	cbviotav 5540	. . . 4 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
335	332, 334, 65	3eqtr4ri 2494	. . 3 |- V = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
336		id 22	. . . . 5 |- ( v = x -> v = x )
337		oveq2 6278	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( B - v ) = ( B - x ) )
338	337	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( v = x -> ( ( B - v ) / T ) = ( ( B - x ) / T ) )
339	338	fveq2d 5852	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) )
340	339	oveq1d 6285	. . . . 5 |- ( v = x -> ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
341	336, 340	oveq12d 6288	. . . 4 |- ( v = x -> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
342	341	cbvmptv 4530	. . 3 |- ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
343		eqeq1 2458	. . . . 5 |- ( u = z -> ( u = B <-> z = B ) )
344		id 22	. . . . 5 |- ( u = z -> u = z )
345	343, 344	ifbieq2d 3954	. . . 4 |- ( u = z -> if ( u = B , A , u ) = if ( z = B , A , z ) )
346	345	cbvmptv 4530	. . 3 |- ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) = ( z e. ( A (,] B ) |-> if ( z = B , A , z ) )
347		eqid 2454	. . 3 |- ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
348		eqid 2454	. . 3 |- ( H |` ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) `