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Theorem fourierdlem95 32150
Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem95.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem95.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem95.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem95.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem95.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
fourierdlem95.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem95.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem95.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem95.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem95.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem95.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem95.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem95.i  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem95.ifn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem95.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.admvol  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
fourierdlem95.ass  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi ) )
fourierdlem95.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.o  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
fourierdlem95.ifeqo  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  O )
fourierdlem95.itgdirker  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s  =  ( 1  /  2
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    D, s    F, s    i, G, s    H, s    K, s    L, s    i, M, p, m    M, s    O, s    R, s    S, s    i, V, p    V, s    W, s   
i, X, p, m    X, s    Y, s    i, n, s    ph, i, s
Allowed substitution hints:    ph( m, n, p)    A( i, m, n, p)    B( i, m, n, p)    C( i, m, n, p)    D( i, m, n, p)    P( i, m, n, s, p)    R( i, m, n, p)    S( i, m, n, p)    U( i, m, n, s, p)    E( i, m, n, s, p)    F( i, m, n, p)    G( m, n, p)    H( i, m, n, p)    I(
i, m, n, s, p)    K( i, m, n, p)    L( i, m, n, p)    M( n)    O( i, m, n, p)    V( m, n)    W( i, m, n, p)    X( n)    Y( i, m, n, p)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
32difss2d 3548 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
43adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
54sselda 3417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
76adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
98adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
10 ioossre 11507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X (,) +oo )  C_  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  RR )
126, 11fssresd 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
13 ioosscn 31693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X (,) +oo )  C_  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  CC )
15 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
16 pnfxr 11242 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
188ltpnfd 31647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  < +oo )
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 31818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( X (,) +oo ) ) )
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
2112, 14, 19, 20limcrecl 31801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2221adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  RR )
23 ioossre 11507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) X )  C_  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  RR )
256, 24fssresd 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
26 ioosscn 31693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo (,) X )  C_  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  CC )
28 mnfxr 11244 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
308mnfltd 31657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> -oo  <  X )
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 31817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( -oo (,) X ) ) )
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
3325, 27, 31, 32limcrecl 31801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
3433adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  RR )
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
381nnred 10467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 32122 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
4241ffvelrnda 5933 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
435, 42syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4544adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e. 
dom  vol )
4641feqmptd 5827 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) ) )
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
4948adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e. 
ran  V )
5020adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )
)
5132adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5352adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
5554adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  V  e.  ( P `  M
) )
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5756adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
5958adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  i )
) )
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )
62 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( V `  j )  =  ( V `  i ) )
6362oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 i )  -  X ) )
6463cbvmptv 4458 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  j )  -  X ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( ( V `
 i )  -  X ) )
65 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  -u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  -u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
6867adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
7069adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
7271adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )
)
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 32143 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
7446, 73eqeltrrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( G `
 s ) )  e.  L^1 )
754, 45, 42, 74iblss 22296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( G `
 s ) )  e.  L^1 )
7643, 75itgrecl 22289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( G `  s
)  _d s  e.  RR )
77 pire 22936 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
7877a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
79 pipos 22938 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
8077, 79gt0ne0ii 10006 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
8180a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
8276, 78, 81redivcld 10289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  e.  RR )
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi ) )
8483fvmpt2 5865 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi )  e.  RR )  -> 
( E `  n
)  =  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi ) )
851, 82, 84syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi ) )
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
8786recnd 9533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  CC )
88 2cnd 10525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
89 2ne0 10545 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9187, 88, 90divrecd 10240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  /  2
)  =  ( O  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
9291adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  /  2 )  =  ( O  x.  (
1  /  2 ) ) )
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s  =  ( 1  /  2
) )
9493eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  2 )  =  S. A ( ( D `  n ) `
 s )  _d s )
9594oveq2d 6212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )
9692, 95eqtrd 2423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  /  2 )  =  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )
9785, 96oveq12d 6214 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  ( ( S. A
( G `  s
)  _d s  /  pi )  +  ( O  x.  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s ) ) )
982sselda 3417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
9998adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
101 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  =  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 32121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
10399, 102syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
104103itgeq2dv 22273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( G `  s
)  _d s  =  S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  _d s )
105104oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  =  ( S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  /  pi ) )
10678recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
1076adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  F : RR --> RR )
1088adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
109 difss 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  ( -u pi [,] pi )
11077renegcli 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
111 iccssre 11527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
112110, 77, 111mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
113109, 112sstri 3426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  RR
114113, 98sseldi 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
115108, 114readdcld 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
116107, 115ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
11721, 33ifcld 3900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
118117adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
119116, 118resubcld 9905 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
120119adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
1211adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  NN )
122114adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
123100dirkerre 32043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
124121, 122, 123syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  RR )
125120, 124remulcld 9535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  RR )
126103eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
pi  x.  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( G `
 s ) )
127126oveq1d 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  /  pi )  =  ( ( G `
 s )  /  pi ) )
128 picn 22937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
130125recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  CC )
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  =/=  0 )
132129, 130, 129, 131div23d 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi 
/  pi )  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
13343recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  e.  CC )
134133, 129, 131divrec2d 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( G `  s
)  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s
) ) )
135127, 132, 1343eqtr3rd 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) )  =  ( ( pi  /  pi )  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
136128, 80dividi 10194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
pi  /  pi )  =  1 )
138137oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  /  pi )  x.  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) ) )
139130mulid2d 9525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
1  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )
140135, 138, 1393eqtrrd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s
) ) )
141140mpteq2dva 4453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) ) ) )
142106, 81reccld 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
143142, 43, 75iblmulc2 22322 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) ) )  e.  L^1 )
144141, 143eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  e.  L^1 )
145106, 125, 144itgmulc2 22325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  =  S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  _d s )
146145eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  ( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
147146oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  /  pi )  =  (
( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )  /  pi ) )
148125, 144itgcl 22275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  e.  CC )
149148, 106, 81divcan3d 10242 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( pi  x.  S. A
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  /  pi )  =  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )
150105, 147, 1493eqtrd 2427 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  =  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )
15187adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  CC )
152112sseli 3413 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  s  e.  RR )
153152, 123sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
154153adantll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  RR )
155110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u pi  e.  RR )
156 ax-resscn 9460 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
157156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  RR  C_  CC )
158 ssid 3436 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
159 cncfss 21488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
160157, 158, 159sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
161 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) )
162100dirkerf 32045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n ) : RR --> RR )
163162feqmptd 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )
164100dirkercncf 32055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  ( RR -cn-> RR ) )
165163, 164eqeltrrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
166112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u pi [,] pi ) 
C_  RR )
167 ssid 3436 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR
168167a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  RR  C_  RR )
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 31838 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
170160, 169sseldd 3418 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
171170adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
172 cniccibl 22332 . . . . . 6  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
173155, 78, 171, 172syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
1744, 45, 154, 173iblss 22296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
175151, 124, 174itgmulc2 22325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  x.  S. A ( ( D `  n
) `  s )  _d s )  =  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )
176150, 175oveq12d 6214 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi )  +  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )  =  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
17786ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  O  e.  RR )
178177, 124remulcld 9535 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s ) )  e.  RR )
179151, 124, 174iblmulc2 22322 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( O  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  e.  L^1 )
180125, 144, 178, 179itgadd 22316 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  O )
182181eqcomd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  O  =  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W ) )
183182adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  O  =  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W ) )
184183oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s ) )  =  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
185184oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
186116recnd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
187186adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
188118recnd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
189188adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
190124recnd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  CC )
191187, 189, 190subdird 9931 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  -  ( if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
192191oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  -  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) ) )
193187, 190mulcld 9527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  CC )
194189, 190mulcld 9527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  e.  CC )
195193, 194npcand 9848 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  -  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )
196185, 192, 1953eqtrd 2427 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
197196itgeq2dv 22273 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
198180, 197eqtr3d 2425 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
19997, 176, 1983eqtrd 2427 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   {crab 2736    \ cdif 3386    C_ wss 3389   ifcif 3857   {csn 3944   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914    |` cres 4915   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408   +oocpnf 9536   -oocmnf 9537   RR*cxr 9538    < clt 9539    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   (,)cioo 11450   [,]cicc 11453   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717    mod cmo 11896   sincsin 13801   picpi 13804   TopOpenctopn 14829  ℂfldccnfld 18533   -cn->ccncf 21465   volcvol 21960   L^1cibl 22111   S.citg 22112   lim CC climc 22351    _D cdv 22352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-t1 19901  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114  df-itg2 22115  df-ibl 22116  df-itg 22117  df-0p 22162  df-limc 22355  df-dv 22356
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