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Theorem fourierdlem95 31938
Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem95.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem95.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem95.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem95.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem95.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
fourierdlem95.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem95.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem95.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem95.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem95.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem95.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem95.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem95.i  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem95.ifn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem95.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.admvol  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
fourierdlem95.ass  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi ) )
fourierdlem95.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.o  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
fourierdlem95.ifeqo  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  O )
fourierdlem95.itgdirker  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s  =  ( 1  /  2
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    D, s    F, s    i, G, s    H, s    K, s    L, s    i, M, p, m    M, s    O, s    R, s    S, s    i, V, p    V, s    W, s   
i, X, p, m    X, s    Y, s    i, n, s    ph, i, s
Allowed substitution hints:    ph( m, n, p)    A( i, m, n, p)    B( i, m, n, p)    C( i, m, n, p)    D( i, m, n, p)    P( i, m, n, s, p)    R( i, m, n, p)    S( i, m, n, p)    U( i, m, n, s, p)    E( i, m, n, s, p)    F( i, m, n, p)    G( m, n, p)    H( i, m, n, p)    I(
i, m, n, s, p)    K( i, m, n, p)    L( i, m, n, p)    M( n)    O( i, m, n, p)    V( m, n)    W( i, m, n, p)    X( n)    Y( i, m, n, p)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
32difss2d 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
54sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
10 ioossre 11597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X (,) +oo )  C_  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  RR )
126, 11fssresd 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
13 ioosscn 31481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X (,) +oo )  C_  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  CC )
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
16 pnfxr 11332 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
188ltpnfd 31434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  < +oo )
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 31606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( X (,) +oo ) ) )
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
2112, 14, 19, 20limcrecl 31589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  RR )
23 ioossre 11597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) X )  C_  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  RR )
256, 24fssresd 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
26 ioosscn 31481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo (,) X )  C_  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  CC )
28 mnfxr 11334 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
308mnfltd 31445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> -oo  <  X )
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 31605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( -oo (,) X ) ) )
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
3325, 27, 31, 32limcrecl 31589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
3433adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  RR )
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
381nnred 10558 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 31910 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
4241ffvelrnda 6016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
435, 42syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4544adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e. 
dom  vol )
4641feqmptd 5911 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) ) )
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e. 
ran  V )
5020adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )
)
5132adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  V  e.  ( P `  M
) )
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5756adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
5958adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  i )
) )
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )
62 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( V `  j )  =  ( V `  i ) )
6362oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 i )  -  X ) )
6463cbvmptv 4528 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  j )  -  X ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( ( V `
 i )  -  X ) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  -u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  -u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
6867adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )
)
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 31931 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
7446, 73eqeltrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( G `
 s ) )  e.  L^1 )
754, 45, 42, 74iblss 22189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( G `
 s ) )  e.  L^1 )
7643, 75itgrecl 22182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( G `  s
)  _d s  e.  RR )
77 pire 22829 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
7877a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
79 pipos 22831 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
8077, 79gt0ne0ii 10096 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
8180a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
8276, 78, 81redivcld 10379 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  e.  RR )
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi ) )
8483fvmpt2 5948 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi )  e.  RR )  -> 
( E `  n
)  =  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi ) )
851, 82, 84syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi ) )
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
8786recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  CC )
88 2cnd 10615 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
89 2ne0 10635 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9187, 88, 90divrecd 10330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  /  2
)  =  ( O  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  /  2 )  =  ( O  x.  (
1  /  2 ) ) )
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s  =  ( 1  /  2
) )
9493eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  2 )  =  S. A ( ( D `  n ) `
 s )  _d s )
9594oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )
9692, 95eqtrd 2484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  /  2 )  =  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )
9785, 96oveq12d 6299 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  ( ( S. A
( G `  s
)  _d s  /  pi )  +  ( O  x.  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s ) ) )
982sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
9998adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
101 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  =  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 31909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
10399, 102syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
104103itgeq2dv 22166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( G `  s
)  _d s  =  S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  _d s )
105104oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  =  ( S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  /  pi ) )
10678recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
1076adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  F : RR --> RR )
1088adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
109 difss 3616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  ( -u pi [,] pi )
11077renegcli 9885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
111 iccssre 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
112110, 77, 111mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
113109, 112sstri 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  RR
114113, 98sseldi 3487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
115108, 114readdcld 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
116107, 115ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
11721, 33ifcld 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
118117adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
119116, 118resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
120119adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  NN )
122114adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
123100dirkerre 31831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
124121, 122, 123syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  RR )
125120, 124remulcld 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  RR )
126103eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
pi  x.  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( G `
 s ) )
127126oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  /  pi )  =  ( ( G `
 s )  /  pi ) )
128 picn 22830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
130125recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  CC )
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  =/=  0 )
132129, 130, 129, 131div23d 10364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi 
/  pi )  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
13343recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  e.  CC )
134133, 129, 131divrec2d 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( G `  s
)  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s
) ) )
135127, 132, 1343eqtr3rd 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) )  =  ( ( pi  /  pi )  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
136128, 80dividi 10284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
pi  /  pi )  =  1 )
138137oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  /  pi )  x.  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) ) )
139130mulid2d 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
1  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )
140135, 138, 1393eqtrrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s
) ) )
141140mpteq2dva 4523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) ) ) )
142106, 81reccld 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
143142, 43, 75iblmulc2 22215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) ) )  e.  L^1 )
144141, 143eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  e.  L^1 )
145106, 125, 144itgmulc2 22218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  =  S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  _d s )
146145eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  ( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
147146oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  /  pi )  =  (
( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )  /  pi ) )
148125, 144itgcl 22168 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  e.  CC )
149148, 106, 81divcan3d 10332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( pi  x.  S. A
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  /  pi )  =  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )
150105, 147, 1493eqtrd 2488 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  =  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )
15187adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  CC )
152112sseli 3485 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  s  e.  RR )
153152, 123sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
154153adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  RR )
155110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u pi  e.  RR )
156 ax-resscn 9552 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
157156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  RR  C_  CC )
158 ssid 3508 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
159 cncfss 21381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
160157, 158, 159sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
161 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) )
162100dirkerf 31833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n ) : RR --> RR )
163162feqmptd 5911 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )
164100dirkercncf 31843 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  ( RR -cn-> RR ) )
165163, 164eqeltrrd 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
166112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u pi [,] pi ) 
C_  RR )
167 ssid 3508 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR
168167a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  RR  C_  RR )
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 31626 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
170160, 169sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
171170adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
172 cniccibl 22225 . . . . . 6  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
173155, 78, 171, 172syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
1744, 45, 154, 173iblss 22189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
175151, 124, 174itgmulc2 22218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  x.  S. A ( ( D `  n
) `  s )  _d s )  =  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )
176150, 175oveq12d 6299 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi )  +  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )  =  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
17786ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  O  e.  RR )
178177, 124remulcld 9627 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s ) )  e.  RR )
179151, 124, 174iblmulc2 22215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( O  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  e.  L^1 )
180125, 144, 178, 179itgadd 22209 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  O )
182181eqcomd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  O  =  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W ) )
183182adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  O  =  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W ) )
184183oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s ) )  =  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
185184oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
186116recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
187186adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
188118recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
189188adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
190124recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  CC )
191187, 189, 190subdird 10020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  -  ( if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
192191oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  -  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) ) )
193187, 190mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  CC )
194189, 190mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  e.  CC )
195193, 194npcand 9940 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  -  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )
196185, 192, 1953eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
197196itgeq2dv 22166 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
198180, 197eqtr3d 2486 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
19997, 176, 1983eqtrd 2488 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   {crab 2797    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630    < clt 9631    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806    mod cmo 11978   sincsin 13781   picpi 13784   TopOpenctopn 14801  ℂfldccnfld 18399   -cn->ccncf 21358   volcvol 21853   L^1cibl 22004   S.citg 22005   lim CC climc 22244    _D cdv 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-t1 19793  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-ibl 22009  df-itg 22010  df-0p 22055  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  31946  fourierdlem104  31947
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