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Theorem fourierdlem95 38177
Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem95.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem95.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem95.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem95.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem95.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
fourierdlem95.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem95.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem95.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem95.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem95.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem95.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem95.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem95.i  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem95.ifn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem95.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem95.admvol  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
fourierdlem95.ass  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi ) )
fourierdlem95.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem95.o  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
fourierdlem95.ifeqo  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  O )
fourierdlem95.itgdirker  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s  =  ( 1  /  2
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    D, s    F, s    i, G, s    H, s    K, s    L, s    i, M, p, m    M, s    O, s    R, s    S, s    i, V, p    V, s    W, s   
i, X, p, m    X, s    Y, s    i, n, s    ph, i, s
Allowed substitution hints:    ph( m, n, p)    A( i, m, n, p)    B( i, m, n, p)    C( i, m, n, p)    D( i, m, n, p)    P( i, m, n, s, p)    R( i, m, n, p)    S( i, m, n, p)    U( i, m, n, s, p)    E( i, m, n, s, p)    F( i, m, n, p)    G( m, n, p)    H( i, m, n, p)    I(
i, m, n, s, p)    K( i, m, n, p)    L( i, m, n, p)    M( n)    O( i, m, n, p)    V( m, n)    W( i, m, n, p)    X( n)    Y( i, m, n, p)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
32difss2d 3552 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
43adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
54sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
76adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
98adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
10 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X (,) +oo )  C_  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  RR )
126, 11fssresd 5762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
13 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X (,) +oo )  C_  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  CC )
15 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
16 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
188ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  < +oo )
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 37824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( X (,) +oo ) ) )
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
2112, 14, 19, 20limcrecl 37806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2221adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  RR )
23 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) X )  C_  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  RR )
256, 24fssresd 5762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
26 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -oo (,) X )  C_  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  CC )
28 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
308mnfltd 11449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> -oo  <  X )
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 37823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( -oo (,) X ) ) )
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
3325, 27, 31, 32limcrecl 37806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
3433adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  RR )
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
381nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 38149 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
4241ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
435, 42syldan 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4544adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e. 
dom  vol )
4641feqmptd 5932 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) ) )
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
4948adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e. 
ran  V )
5020adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )
)
5132adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5352adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  V  e.  ( P `  M
) )
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5756adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
5958adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  i )
) )
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  ( V `  j )  =  ( V `  i ) )
6362oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 i )  -  X ) )
6463cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  j )  -  X ) )  =  ( i  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( ( V `
 i )  -  X ) )
65 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  -u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  -u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
6867adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
7069adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  B  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
7271adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )
)
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 38170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
7446, 73eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( G `
 s ) )  e.  L^1 )
754, 45, 42, 74iblss 22841 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( G `
 s ) )  e.  L^1 )
7643, 75itgrecl 22834 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( G `  s
)  _d s  e.  RR )
77 pire 23492 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
7877a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
79 pipos 23494 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
8077, 79gt0ne0ii 10171 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
8180a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
8276, 78, 81redivcld 10457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  e.  RR )
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi ) )
8483fvmpt2 5972 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi )  e.  RR )  -> 
( E `  n
)  =  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi ) )
851, 82, 84syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi ) )
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  RR )
8786recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  CC )
88 2cnd 10704 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
89 2ne0 10724 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9187, 88, 90divrecd 10408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  /  2
)  =  ( O  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
9291adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  /  2 )  =  ( O  x.  (
1  /  2 ) ) )
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s  =  ( 1  /  2
) )
9493eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  2 )  =  S. A ( ( D `  n ) `
 s )  _d s )
9594oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )
9692, 95eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  /  2 )  =  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )
9785, 96oveq12d 6326 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  ( ( S. A
( G `  s
)  _d s  /  pi )  +  ( O  x.  S. A
( ( D `  n ) `  s
)  _d s ) ) )
982sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
9998adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
101 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  =  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 38148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
10399, 102syldan 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
104103itgeq2dv 22818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( G `  s
)  _d s  =  S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  _d s )
105104oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  =  ( S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  /  pi ) )
10678recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
1076adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  F : RR --> RR )
1088adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
109 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  ( -u pi [,] pi )
11077renegcli 9955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
111 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
112110, 77, 111mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
113109, 112sstri 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  RR
114113, 98sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
115108, 114readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
116107, 115ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
11721, 33ifcld 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
118117adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
119116, 118resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
120119adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
1211adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  NN )
122114adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
123100dirkerre 38069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
124121, 122, 123syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  RR )
125120, 124remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  RR )
126103eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
pi  x.  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( G `
 s ) )
127126oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  /  pi )  =  ( ( G `
 s )  /  pi ) )
128 picn 23493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
130125recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  CC )
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  =/=  0 )
132129, 130, 129, 131div23d 10442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi 
/  pi )  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
13343recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  e.  CC )
134133, 129, 131divrec2d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( G `  s
)  /  pi )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s
) ) )
135127, 132, 1343eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) )  =  ( ( pi  /  pi )  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
136128, 80dividi 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi 
/  pi )  =  1
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
pi  /  pi )  =  1 )
138137oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( pi  /  pi )  x.  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) ) )
139130mulid2d 9679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
1  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )
140135, 138, 1393eqtrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s
) ) )
141140mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) ) ) )
142106, 81reccld 10398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  pi )  e.  CC )
143142, 43, 75iblmulc2 22867 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( 1  /  pi )  x.  ( G `  s ) ) )  e.  L^1 )
144141, 143eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  e.  L^1 )
145106, 125, 144itgmulc2 22870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  =  S. A ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  _d s )
146145eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( pi  x.  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  ( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
147146oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  /  pi )  =  (
( pi  x.  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )  /  pi ) )
148125, 144itgcl 22820 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  e.  CC )
149148, 106, 81divcan3d 10410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( pi  x.  S. A
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  /  pi )  =  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )
150105, 147, 1493eqtrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( G `  s )  _d s  /  pi )  =  S. A ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )
15187adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  O  e.  CC )
152112sseli 3414 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  s  e.  RR )
153152, 123sylan2 482 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
154153adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  RR )
155110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -u pi  e.  RR )
156 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
157156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  RR  C_  CC )
158 ssid 3437 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
159 cncfss 22009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
160157, 158, 159sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
161 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) )
162100dirkerf 38071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n ) : RR --> RR )
163162feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( s  e.  RR  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )
164100dirkercncf 38081 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  ( RR -cn-> RR ) )
165163, 164eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  RR  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
166112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u pi [,] pi ) 
C_  RR )
167 ssid 3437 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR
168167a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  RR  C_  RR )
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 37844 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
170160, 169sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n
) `  s )
)  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
171170adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
172 cniccibl 22877 . . . . . 6  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( D `
 n ) `  s ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
173155, 78, 171, 172syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
1744, 45, 154, 173iblss 22841 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  L^1 )
175151, 124, 174itgmulc2 22870 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( O  x.  S. A ( ( D `  n
) `  s )  _d s )  =  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s )
176150, 175oveq12d 6326 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S. A ( G `
 s )  _d s  /  pi )  +  ( O  x.  S. A ( ( D `
 n ) `  s )  _d s ) )  =  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
17786ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  O  e.  RR )
178177, 124remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s ) )  e.  RR )
179151, 124, 174iblmulc2 22867 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  A  |->  ( O  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  e.  L^1 )
180125, 144, 178, 179itgadd 22861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s ) )
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  O )
182181eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  O  =  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W ) )
183182adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  O  =  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W ) )
184183oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s ) )  =  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
185184oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
186116recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
187186adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
188118recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
189188adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
190124recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  CC )
191187, 189, 190subdird 10096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  -  ( if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
192191oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  -  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) ) )
193187, 190mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  e.  CC )
194189, 190mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  e.  CC )
195193, 194npcand 10009 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  -  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  +  ( if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )
196185, 192, 1953eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
197196itgeq2dv 22818 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. A
( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  +  ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) )  _d s  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
198180, 197eqtr3d 2507 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. A ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `  s
) )  _d s  +  S. A ( O  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) )  _d s )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
19997, 176, 1983eqtrd 2509 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( E `  n )  +  ( O  / 
2 ) )  =  S. A ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) )  _d s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942    mod cmo 12129   sincsin 14193   picpi 14196   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655   lim CC climc 22896    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186
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