Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem95 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem95 38177
 Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f
fourierdlem95.xre
fourierdlem95.p ..^
fourierdlem95.m
fourierdlem95.v
fourierdlem95.x
fourierdlem95.fcn ..^
fourierdlem95.r ..^ lim
fourierdlem95.l ..^ lim
fourierdlem95.h
fourierdlem95.k
fourierdlem95.u
fourierdlem95.s
fourierdlem95.g
fourierdlem95.i
fourierdlem95.ifn ..^
fourierdlem95.b lim
fourierdlem95.c lim
fourierdlem95.y lim
fourierdlem95.w lim
fourierdlem95.ass
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e
fourierdlem95.d
fourierdlem95.o
fourierdlem95.ifeqo
fourierdlem95.itgdirker
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . 4
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10
32difss2d 3552 . . . . . . . . 9
43adantr 472 . . . . . . . 8
54sselda 3418 . . . . . . 7
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10
76adantr 472 . . . . . . . . 9
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10
98adantr 472 . . . . . . . . 9
10 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
126, 11fssresd 5762 . . . . . . . . . . 11
13 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . 12
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11
15 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
16 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . 13
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
188ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . 12
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 37824 . . . . . . . . . . 11 fld
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11 lim
2112, 14, 19, 20limcrecl 37806 . . . . . . . . . 10
2221adantr 472 . . . . . . . . 9
23 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
256, 24fssresd 5762 . . . . . . . . . . 11
26 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . 12
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11
28 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . 13
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
308mnfltd 11449 . . . . . . . . . . . 12
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 37823 . . . . . . . . . . 11 fld
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11 lim
3325, 27, 31, 32limcrecl 37806 . . . . . . . . . 10
3433adantr 472 . . . . . . . . 9
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9
381nnred 10646 . . . . . . . . 9
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 38149 . . . . . . . 8
4241ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
435, 42syldan 478 . . . . . 6
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8
4544adantr 472 . . . . . . 7
4641feqmptd 5932 . . . . . . . 8
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9 ..^
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10
4948adantr 472 . . . . . . . . 9
5020adantr 472 . . . . . . . . 9 lim
5132adantr 472 . . . . . . . . 9 lim
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10
5352adantr 472 . . . . . . . . 9
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10
5554adantr 472 . . . . . . . . 9
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10 ..^
5756adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10 ..^ lim
5958adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^ lim
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10 ..^ lim
6160adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^ lim
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
6362oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
6463cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9
65 eqid 2471 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10 ..^
6867adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10 lim
7069adantr 472 . . . . . . . . 9 lim
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10 lim
7271adantr 472 . . . . . . . . 9 lim
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 38170 . . . . . . . 8
7446, 73eqeltrrd 2550 . . . . . . 7
754, 45, 42, 74iblss 22841 . . . . . 6
7643, 75itgrecl 22834 . . . . 5
77 pire 23492 . . . . . 6
7877a1i 11 . . . . 5
79 pipos 23494 . . . . . . 7
8077, 79gt0ne0ii 10171 . . . . . 6
8180a1i 11 . . . . 5
8276, 78, 81redivcld 10457 . . . 4
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5
8483fvmpt2 5972 . . . 4
851, 82, 84syl2anc 673 . . 3
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7
8786recnd 9687 . . . . . 6
88 2cnd 10704 . . . . . 6
89 2ne0 10724 . . . . . . 7
9089a1i 11 . . . . . 6
9187, 88, 90divrecd 10408 . . . . 5
9291adantr 472 . . . 4
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6
9493eqcomd 2477 . . . . 5
9594oveq2d 6324 . . . 4
9692, 95eqtrd 2505 . . 3
9785, 96oveq12d 6326 . 2
982sselda 3418 . . . . . . . 8
9998adantlr 729 . . . . . . 7
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8
101 eqid 2471 . . . . . . . 8
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 38148 . . . . . . 7
10399, 102syldan 478 . . . . . 6
104103itgeq2dv 22818 . . . . 5
105104oveq1d 6323 . . . 4
10678recnd 9687 . . . . . . 7
1076adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1088adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
109 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14
11077renegcli 9955 . . . . . . . . . . . . . . 15
111 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15
112110, 77, 111mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14
113109, 112sstri 3427 . . . . . . . . . . . . 13
114113, 98sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
115108, 114readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
116107, 115ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
11721, 33ifcld 3915 . . . . . . . . . . 11
118117adantr 472 . . . . . . . . . 10
119116, 118resubcld 10068 . . . . . . . . 9
120119adantlr 729 . . . . . . . 8
1211adantr 472 . . . . . . . . 9
122114adantlr 729 . . . . . . . . 9
123100dirkerre 38069 . . . . . . . . 9
124121, 122, 123syl2anc 673 . . . . . . . 8
125120, 124remulcld 9689 . . . . . . 7
126103eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
127126oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
128 picn 23493 . . . . . . . . . . . . 13
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
130125recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
132129, 130, 129, 131div23d 10442 . . . . . . . . . . 11
13343recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
134133, 129, 131divrec2d 10409 . . . . . . . . . . 11
135127, 132, 1343eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . 10
136128, 80dividi 10362 . . . . . . . . . . . 12
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11
138137oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
139130mulid2d 9679 . . . . . . . . . 10
140135, 138, 1393eqtrrd 2510 . . . . . . . . 9
141140mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
142106, 81reccld 10398 . . . . . . . . 9
143142, 43, 75iblmulc2 22867 . . . . . . . 8
144141, 143eqeltrd 2549 . . . . . . 7
145106, 125, 144itgmulc2 22870 . . . . . 6
146145eqcomd 2477 . . . . 5
147146oveq1d 6323 . . . 4
148125, 144itgcl 22820 . . . . 5
149148, 106, 81divcan3d 10410 . . . 4
150105, 147, 1493eqtrd 2509 . . 3
15187adantr 472 . . . 4
152112sseli 3414 . . . . . . 7
153152, 123sylan2 482 . . . . . 6
154153adantll 728 . . . . 5
155110a1i 11 . . . . . 6
156 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . 10
157156a1i 11 . . . . . . . . 9
158 ssid 3437 . . . . . . . . 9
159 cncfss 22009 . . . . . . . . 9
160157, 158, 159sylancl 675 . . . . . . . 8
161 eqid 2471 . . . . . . . . 9
162100dirkerf 38071 . . . . . . . . . . 11
163162feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10
164100dirkercncf 38081 . . . . . . . . . 10
165163, 164eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
166112a1i 11 . . . . . . . . 9
167 ssid 3437 . . . . . . . . . 10
168167a1i 11 . . . . . . . . 9
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 37844 . . . . . . . 8
170160, 169sseldd 3419 . . . . . . 7
171170adantl 473 . . . . . 6
172 cniccibl 22877 . . . . . 6
173155, 78, 171, 172syl3anc 1292 . . . . 5
1744, 45, 154, 173iblss 22841 . . . 4
175151, 124, 174itgmulc2 22870 . . 3
176150, 175oveq12d 6326 . 2
17786ad2antrr 740 . . . . 5
178177, 124remulcld 9689 . . . 4
179151, 124, 174iblmulc2 22867 . . . 4
180125, 144, 178, 179itgadd 22861 . . 3
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9
182181eqcomd 2477 . . . . . . . 8
183182adantlr 729 . . . . . . 7
184183oveq1d 6323 . . . . . 6
185184oveq2d 6324 . . . . 5
186116recnd 9687 . . . . . . . 8
187186adantlr 729 . . . . . . 7
188118recnd 9687 . . . . . . . 8
189188adantlr 729 . . . . . . 7
190124recnd 9687 . . . . . . 7
191187, 189, 190subdird 10096 . . . . . 6
192191oveq1d 6323 . . . . 5
193187, 190mulcld 9681 . . . . . 6
194189, 190mulcld 9681 . . . . . 6
195193, 194npcand 10009 . . . . 5
196185, 192, 1953eqtrd 2509 . . . 4
197196itgeq2dv 22818 . . 3
198180, 197eqtr3d 2507 . 2
19997, 176, 1983eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  cif 3872  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690   cmnf 9691  cxr 9692   clt 9693   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cioo 11660  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942   cmo 12129  csin 14193  cpi 14196  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  ccncf 21986  cvol 22493  cibl 22654  citg 22655   lim climc 22896   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186
 Copyright terms: Public domain W3C validator