Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem94 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem94 38176
 Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem94.f
fourierdlem94.t
fourierdlem94.per
fourierdlem94.x
fourierdlem94.p ..^
fourierdlem94.m
fourierdlem94.q
fourierdlem94.dvcn ..^
fourierdlem94.dvlb ..^ lim
fourierdlem94.dvub ..^ lim
Assertion
Ref Expression
fourierdlem94 lim lim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   ()

Proof of Theorem fourierdlem94
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 23492 . . . . 5
21renegcli 9955 . . . 4
32a1i 11 . . 3
41a1i 11 . . 3
5 negpilt0 37580 . . . . 5
6 pipos 23494 . . . . 5
7 0re 9661 . . . . . 6
82, 7, 1lttri 9778 . . . . 5
95, 6, 8mp2an 686 . . . 4
109a1i 11 . . 3
11 fourierdlem94.p . . 3 ..^
12 picn 23493 . . . . 5
13122timesi 10753 . . . 4
14 fourierdlem94.t . . . 4
1512, 12subnegi 9973 . . . 4
1613, 14, 153eqtr4i 2503 . . 3
17 fourierdlem94.m . . 3
18 fourierdlem94.q . . 3
19 ssid 3437 . . . 4
2019a1i 11 . . 3
21 fourierdlem94.f . . 3
22 simp2 1031 . . . 4
23 zre 10965 . . . . . 6
24233ad2ant3 1053 . . . . 5
25 2re 10701 . . . . . . . . . 10
2625, 1remulcli 9675 . . . . . . . . 9
2726a1i 11 . . . . . . . 8
2814, 27syl5eqel 2553 . . . . . . 7
2928adantr 472 . . . . . 6
30293adant2 1049 . . . . 5
3124, 30remulcld 9689 . . . 4
3222, 31readdcld 9688 . . 3
33 simp1 1030 . . . 4
34 simp3 1032 . . . 4
35 ax-resscn 9614 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
3721, 36fssd 5750 . . . . . . 7
3837adantr 472 . . . . . 6
3938adantr 472 . . . . 5
4029adantr 472 . . . . 5
41 simplr 770 . . . . 5
42 simpr 468 . . . . 5
43 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
4443anbi2d 718 . . . . . . . 8
45 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
4645fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
47 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
4846, 47eqeq12d 2486 . . . . . . . 8
4944, 48imbi12d 327 . . . . . . 7
50 fourierdlem94.per . . . . . . 7
5149, 50chvarv 2120 . . . . . 6
5251adant423 37430 . . . . 5
5339, 40, 41, 42, 52fperiodmul 37610 . . . 4
5433, 34, 22, 53syl21anc 1291 . . 3
5535a1i 11 . . . 4 ..^
56 ioossre 11721 . . . . . . . 8
5756a1i 11 . . . . . . 7
5821, 57fssresd 5762 . . . . . 6
5958, 36fssd 5750 . . . . 5
6059adantr 472 . . . 4 ..^
6156a1i 11 . . . 4 ..^
6237adantr 472 . . . . . . 7 ..^
6319a1i 11 . . . . . . 7 ..^
64 eqid 2471 . . . . . . . 8 fld fld
6564tgioo2 21899 . . . . . . . 8 fldt
6664, 65dvres 22945 . . . . . . 7
6755, 62, 63, 61, 66syl22anc 1293 . . . . . 6 ..^
6867dmeqd 5042 . . . . 5 ..^
69 ioontr 37707 . . . . . . . 8
7069reseq2i 5108 . . . . . . 7
7170dmeqi 5041 . . . . . 6
7271a1i 11 . . . . 5 ..^
73 fourierdlem94.dvcn . . . . . 6 ..^
74 cncff 22003 . . . . . 6
75 fdm 5745 . . . . . 6
7673, 74, 753syl 18 . . . . 5 ..^
7768, 72, 763eqtrd 2509 . . . 4 ..^
78 dvcn 22954 . . . 4
7955, 60, 61, 77, 78syl31anc 1295 . . 3 ..^
8061, 35syl6ss 3430 . . . 4 ..^
8111fourierdlem2 38083 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8217, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ..^
8318, 82mpbid 215 . . . . . . . . . 10 ..^
8483simpld 466 . . . . . . . . 9
85 elmapi 7511 . . . . . . . . 9
8684, 85syl 17 . . . . . . . 8
8786adantr 472 . . . . . . 7 ..^
88 elfzofz 11962 . . . . . . . 8 ..^
8988adantl 473 . . . . . . 7 ..^
9087, 89ffvelrnd 6038 . . . . . 6 ..^
9190rexrd 9708 . . . . 5 ..^
92 fzofzp1 12037 . . . . . . 7 ..^
9392adantl 473 . . . . . 6 ..^
9487, 93ffvelrnd 6038 . . . . 5 ..^
9583simprrd 775 . . . . . 6 ..^
9695r19.21bi 2776 . . . . 5 ..^
9764, 91, 94, 96lptioo2cn 37823 . . . 4 ..^ fld
9858adantr 472 . . . . 5 ..^
9936, 37, 20dvbss 22935 . . . . . . . 8
100 dvfre 22984 . . . . . . . . 9
10121, 20, 100syl2anc 673 . . . . . . . 8
10283simprd 470 . . . . . . . . 9 ..^
103102simplld 769 . . . . . . . 8
104102simplrd 771 . . . . . . . 8
10573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ..^
10694rexrd 9708 . . . . . . . . . 10 ..^
10764, 106, 90, 96lptioo1cn 37824 . . . . . . . . 9 ..^ fld
108 fourierdlem94.dvlb . . . . . . . . 9 ..^ lim
109105, 80, 107, 108, 64ellimciota 37791 . . . . . . . 8 ..^ lim lim
110 fourierdlem94.dvub . . . . . . . . 9 ..^ lim
111105, 80, 97, 110, 64ellimciota 37791 . . . . . . . 8 ..^ lim lim
11223adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
113112, 29remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
11438adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
11529adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
116 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
117 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
11850adant423 37430 . . . . . . . . . . . 12
119114, 115, 116, 117, 118fperiodmul 37610 . . . . . . . . . . 11
120 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
12138, 113, 119, 120fperdvper 37887 . . . . . . . . . 10
122121an32s 821 . . . . . . . . 9
123122simpld 466 . . . . . . . 8
124122simprd 470 . . . . . . . 8
125 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
126 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
127126fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
128125, 127oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
129128cbvmptv 4488 . . . . . . . 8 ..^ ..^
130 eqid 2471 . . . . . . . 8
13199, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130fourierdlem71 38153 . . . . . . 7
132131adantr 472 . . . . . 6 ..^
133 nfv 1769 . . . . . . . . . 10 ..^
134 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10
135133, 134nfan 2031 . . . . . . . . 9 ..^
13667, 70syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
137136fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
138 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14
139137, 138sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
140139fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12 ..^
141140adantlr 729 . . . . . . . . . . 11 ..^
142 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12 ..^
143 ssdmres 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15
14476, 143sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
145144ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
146 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
147145, 146sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12 ..^
148 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12
149142, 147, 148syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 ..^
150141, 149eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10 ..^
151150ex 441 . . . . . . . . 9 ..^
152135, 151ralrimi 2800 . . . . . . . 8 ..^
153152ex 441 . . . . . . 7 ..^
154153reximdv 2857 . . . . . 6 ..^
155132, 154mpd 15 . . . . 5 ..^
15690, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc2 37907 . . . 4 ..^ lim
15760, 80, 97, 156, 64ellimciota 37791 . . 3 ..^ lim lim
158 fourierdlem94.x . . 3
159 oveq2 6316 . . . . . . 7
160159oveq1d 6323 . . . . . 6
161160fveq2d 5883 . . . . 5
162161oveq1d 6323 . . . 4
163162cbvmptv 4488 . . 3
164 id 22 . . . . 5
165 fveq2 5879 . . . . 5
166164, 165oveq12d 6326 . . . 4
167166cbvmptv 4488 . . 3
1683, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167fourierdlem49 38131 . 2 lim
16990, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc1 37904 . . . 4 ..^ lim
17060, 80, 107, 169, 64ellimciota 37791 . . 3 ..^ lim lim
171 biid 244 . . 3 ..^ ..^
1723, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171fourierdlem48 38130 . 2 lim
173168, 172jca 541 1 lim lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cio 5551  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690   cmnf 9691   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cz 10961  cioo 11660  cico 11662  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cfl 12059  cabs 13374  cpi 14196  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  cnt 20109  ccncf 21986   lim climc 22896   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  fourierdlem102  38184
 Copyright terms: Public domain W3C validator