Theorem fourierdlem94 32186

Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem94.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem94.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem94.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem94.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem94.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem94.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem94.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem94.dvcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem94.dvlb	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
fourierdlem94.dvub	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem94	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, M, x, n   M, p, i, n   Q, i, x, n   Q, p   T, i, x, n   T, p   i, X, x, n   X, p   ph, i, x, n

Allowed substitution hints:   ph( p)   P( x, i, n, p)   F( p)

Proof of Theorem fourierdlem94

Dummy variables j k w y t z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 22977	. . . . 5 |- pi e. RR
2	1	renegcli 9899	. . . 4 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -u pi e. RR )
4	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> pi e. RR )
5		negpilt0 31665	. . . . 5 |- -u pi < 0
6		pipos 22979	. . . . 5 |- 0 < pi
7		0re 9613	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	2, 7, 1	lttri 9727	. . . . 5 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
9	5, 6, 8	mp2an 672	. . . 4 |- -u pi < pi
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -u pi < pi )
11		fourierdlem94.p	. . 3 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		picn 22978	. . . . 5 |- pi e. CC
13	12	2timesi 10677	. . . 4 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
14		fourierdlem94.t	. . . 4 |- T = ( 2 x. pi )
15	12, 12	subnegi 9917	. . . 4 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
16	13, 14, 15	3eqtr4i 2496	. . 3 |- T = ( pi - -u pi )
17		fourierdlem94.m	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
18		fourierdlem94.q	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
19		ssid 3518	. . . 4 |- RR C_ RR
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR C_ RR )
21		fourierdlem94.f	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> RR )
22		simp2 997	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> x e. RR )
23		zre 10889	. . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
24	23	3ad2ant3 1019	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
25		2re 10626	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
26	25, 1	remulcli 9627	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR )
28	14, 27	syl5eqel 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
29	28	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
30	29	3adant2 1015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
31	24, 30	remulcld 9641	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
32	22, 31	readdcld 9640	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. RR )
33		simp1 996	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ph )
34		simp3 998	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
35		ax-resscn 9566	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ CC )
37	21, 36	fssd 5746	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> CC )
38	37	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> F : RR --> CC )
39	38	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> F : RR --> CC )
40	29	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> T e. RR )
41		simplr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> k e. ZZ )
42		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
43		eleq1 2529	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. RR <-> y e. RR ) )
44	43	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ y e. RR ) ) )
45		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x + T ) = ( y + T ) )
46	45	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( y + T ) ) )
47		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
48	46, 47	eqeq12d 2479	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) )
49	44, 48	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) ) )
50		fourierdlem94.per	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
51	49, 50	chvarv 2015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
52	51	adant423 31628	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
53	39, 40, 41, 42, 52	fperiodmul 31707	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
54	33, 34, 22, 53	syl21anc 1227	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
55	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ CC )
56		ioossre 11611	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
58	21, 57	fssresd 5758	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
59	58, 36	fssd 5746	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
60	59	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
61	56	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
62	37	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> CC )
63	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ RR )
64		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
65	64	tgioo2 21434	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
66	64, 65	dvres 22441	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
67	55, 62, 63, 61, 66	syl22anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
68	67	dmeqd 5215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
69		ioontr 31752	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) )
70	69	reseq2i 5280	. . . . . . 7 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
71	70	dmeqi 5214	. . . . . 6 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
72	71	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
73		fourierdlem94.dvcn	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
74		cncff 21523	. . . . . 6 |- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
75		fdm 5741	. . . . . 6 |- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
76	73, 74, 75	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
77	68, 72, 76	3eqtrd 2502	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
78		dvcn 22450	. . . 4 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
79	55, 60, 61, 77, 78	syl31anc 1231	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
80	61, 35	syl6ss 3511	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
81	11	fourierdlem2 32094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
82	17, 81	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
83	18, 82	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
85		elmapi 7459	. . . . . . . . 9 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
87	86	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88		elfzofz 11841	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
89	88	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
90	87, 89	ffvelrnd 6033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
91	90	rexrd 9660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
92		fzofzp1 11912	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
93	92	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
94	87, 93	ffvelrnd 6033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
95	83	simprrd 758	. . . . . 6 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
96	95	r19.21bi 2826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
97	64, 91, 94, 96	lptioo2cn 31854	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
98	58	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
99	36, 37, 20	dvbss 22431	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) C_ RR )
100		dvfre 22480	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : RR --> RR /\ RR C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
101	21, 20, 100	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
102	83	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
103	102	simplld 754	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
104	102	simplrd 31629	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
105	73, 74	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
106	94	rexrd 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
107	64, 106, 90, 96	lptioo1cn 31855	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
108		fourierdlem94.dvlb	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
109	105, 80, 107, 108, 64	ellimciota 31823	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
110		fourierdlem94.dvub	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
111	105, 80, 97, 110, 64	ellimciota 31823	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
112	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
113	112, 29	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
114	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> F : RR --> CC )
115	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> T e. RR )
116		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> k e. ZZ )
117		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
118	50	adant423 31628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
119	114, 115, 116, 117, 118	fperiodmul 31707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> ( F ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( F ` t ) )
120		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D F ) = ( RR _D F )
121	38, 113, 119, 120	fperdvper 31918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. dom ( RR _D F ) ) -> ( ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
122	121	an32s 804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
123	122	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) )
124	122	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
125		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
126		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )
127	126	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
128	125, 127	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
129	128	cbvmptv 4548	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
130		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( t e. RR |-> ( t + ( ( |_ ` ( ( pi - t ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( t e. RR |-> ( t + ( ( |_ ` ( ( pi - t ) / T ) ) x. T ) ) )
131	99, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130	fourierdlem71 32163	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
132	131	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
133		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) )
134		nfra1 2838	. . . . . . . . . 10 |- F/ t A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z
135	133, 134	nfan 1929	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
136	67, 70	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
137	136	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) )
138		fvres 5886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
139	137, 138	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
140	139	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
141	140	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
142		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
143		ssdmres 5305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) <-> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
144	76, 143	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
145	144	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
146		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
147	145, 146	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. dom ( RR _D F ) )
148		rspa 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. dom ( RR _D F ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
149	142, 147, 148	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
150	141, 149	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
151	150	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
152	135, 151	ralrimi 2857	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
153	152	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
154	153	reximdv 2931	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
155	132, 154	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
156	90, 94, 98, 77, 155	ioodvbdlimc2 31935	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
157	60, 80, 97, 156, 64	ellimciota 31823	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota y y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
158		fourierdlem94.x	. . 3 |- ( ph -> X e. RR )
159		oveq2 6304	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( pi - y ) = ( pi - x ) )
160	159	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( pi - y ) / T ) = ( ( pi - x ) / T ) )
161	160	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( y = x -> ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) )
162	161	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
163	162	cbvmptv 4548	. . 3 |- ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
164		id 22	. . . . 5 |- ( z = x -> z = x )
165		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) = ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) )
166	164, 165	oveq12d 6314	. . . 4 |- ( z = x -> ( z + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) ) = ( x + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
167	166	cbvmptv 4548	. . 3 |- ( z e. RR |-> ( z + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
168	3, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167	fourierdlem49 32141	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) )
169	90, 94, 98, 77, 155	ioodvbdlimc1 31933	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
170	60, 80, 107, 169, 64	ellimciota 31823	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota y y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
171		biid 236	. . 3 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ w e. ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ w = ( X + ( k x. T ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ w e. ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ w = ( X + ( k x. T ) ) ) )
172	3, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171	fourierdlem48 32140	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) )
173	168, 172	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   iotacio 5555   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   |_cfl 11930   abscabs 13079   picpi 13814   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂ_fldccnfld 18547   intcnt 19645   -cn->ccncf 21506   lim CC climc 22392   _D cdv 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  32194