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Theorem fourierdlem94 32186
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem94.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem94.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
fourierdlem94.per  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem94.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem94.p  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... n ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  n )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ n ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem94.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem94.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem94.dvcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem94.dvlb  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =/=  (/) )
fourierdlem94.dvub  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem94  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) X
) ) lim CC  X
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim
CC  X )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    i, F, n, x    i, M, x, n    M, p, i, n    Q, i, x, n    Q, p    T, i, x, n    T, p    i, X, x, n    X, p    ph, i, x, n
Allowed substitution hints:    ph( p)    P( x, i, n, p)    F( p)

Proof of Theorem fourierdlem94
Dummy variables  j 
k  w  y  t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 22977 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9899 . . . 4  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
41a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 negpilt0 31665 . . . . 5  |-  -u pi  <  0
6 pipos 22979 . . . . 5  |-  0  <  pi
7 0re 9613 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
82, 7, 1lttri 9727 . . . . 5  |-  ( (
-u pi  <  0  /\  0  <  pi )  ->  -u pi  <  pi )
95, 6, 8mp2an 672 . . . 4  |-  -u pi  <  pi
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  pi )
11 fourierdlem94.p . . 3  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... n ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  n )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ n ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
12 picn 22978 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
13122timesi 10677 . . . 4  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
14 fourierdlem94.t . . . 4  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
1512, 12subnegi 9917 . . . 4  |-  ( pi 
-  -u pi )  =  ( pi  +  pi )
1613, 14, 153eqtr4i 2496 . . 3  |-  T  =  ( pi  -  -u pi )
17 fourierdlem94.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
18 fourierdlem94.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
19 ssid 3518 . . . 4  |-  RR  C_  RR
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
21 fourierdlem94.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
22 simp2 997 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
23 zre 10889 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
24233ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  RR )
25 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
2625, 1remulcli 9627 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
2814, 27syl5eqel 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  T  e.  RR )
30293adant2 1015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  T  e.  RR )
3124, 30remulcld 9641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  T )  e.  RR )
3222, 31readdcld 9640 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  RR )
33 simp1 996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  ph )
34 simp3 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
35 ax-resscn 9566 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3721, 36fssd 5746 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  F : RR
--> CC )
3938adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  RR )  ->  F : RR --> CC )
4029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
41 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  RR )  ->  k  e.  ZZ )
42 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
43 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  RR  <->  y  e.  RR ) )
4443anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  RR )  <->  ( ph  /\  y  e.  RR ) ) )
45 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  T )  =  ( y  +  T ) )
4645fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  (
y  +  T ) ) )
47 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
4846, 47eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  ( y  +  T
) )  =  ( F `  y ) ) )
4944, 48imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y ) ) ) )
50 fourierdlem94.per . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
5149, 50chvarv 2015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
5251adant423 31628 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  ( y  +  T
) )  =  ( F `  y ) )
5339, 40, 41, 42, 52fperiodmul 31707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `  x ) )
5433, 34, 22, 53syl21anc 1227 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( x  +  (
k  x.  T ) ) )  =  ( F `  x ) )
5535a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  RR  C_  CC )
56 ioossre 11611 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  RR
5756a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  RR )
5821, 57fssresd 5758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
5958, 36fssd 5746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
6059adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
6156a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR )
6237adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F : RR --> CC )
6319a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  RR  C_  RR )
64 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6564tgioo2 21434 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
6664, 65dvres 22441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
6755, 62, 63, 61, 66syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
6867dmeqd 5215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
69 ioontr 31752 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
7069reseq2i 5280 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
7170dmeqi 5214 . . . . . 6  |-  dom  (
( RR  _D  F
)  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
7271a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )  =  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
73 fourierdlem94.dvcn . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
74 cncff 21523 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
75 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) --> CC  ->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
7673, 74, 753syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
7768, 72, 763eqtrd 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( RR  _D  ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
78 dvcn 22450 . . . 4  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) --> CC 
/\  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR )  /\  dom  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
7955, 60, 61, 77, 78syl31anc 1231 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
8061, 35syl6ss 3511 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  CC )
8111fourierdlem2 32094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  -u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
8217, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  -u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
8318, 82mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  -u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
8483simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
85 elmapi 7459 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8684, 85syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8786adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88 elfzofz 11841 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
8988adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
9087, 89ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
9190rexrd 9660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR* )
92 fzofzp1 11912 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9392adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
9487, 93ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
9583simprrd 758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
9695r19.21bi 2826 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
9764, 91, 94, 96lptioo2cn 31854 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
9858adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
9936, 37, 20dvbss 22431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  C_  RR )
100 dvfre 22480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  RR  C_  RR )  -> 
( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
10121, 20, 100syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
10283simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  = 
-u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
103102simplld 754 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  -u pi )
104102simplrd 31629 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  pi )
10573, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
10694rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
10764, 106, 90, 96lptioo1cn 31855 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
108 fourierdlem94.dvlb . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =/=  (/) )
109105, 80, 107, 108, 64ellimciota 31823 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( iota x x  e.  ( (
( RR  _D  F
)  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( ( RR  _D  F )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
110 fourierdlem94.dvub . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
111105, 80, 97, 110, 64ellimciota 31823 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( iota x x  e.  ( (
( RR  _D  F
)  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( RR  _D  F )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
11223adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  RR )
113112, 29remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  T )  e.  RR )
11438adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  RR )  ->  F : RR --> CC )
11529adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
116 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  RR )  ->  k  e.  ZZ )
117 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  RR )
11850adant423 31628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
119114, 115, 116, 117, 118fperiodmul 31707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  RR )  ->  ( F `  ( t  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `  t ) )
120 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  F )  =  ( RR  _D  F
)
12138, 113, 119, 120fperdvper 31918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  t  e.  dom  ( RR  _D  F ) )  -> 
( ( t  +  ( k  x.  T
) )  e.  dom  ( RR  _D  F
)  /\  ( ( RR  _D  F ) `  ( t  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( ( RR  _D  F
) `  t )
) )
122121an32s 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  dom  ( RR  _D  F ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( t  +  ( k  x.  T
) )  e.  dom  ( RR  _D  F
)  /\  ( ( RR  _D  F ) `  ( t  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( ( RR  _D  F
) `  t )
) )
123122simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  dom  ( RR  _D  F ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( t  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
124122simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  dom  ( RR  _D  F ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  (
t  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )
125 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  ( Q `  j )  =  ( Q `  i ) )
126 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  (
j  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
127126fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
128125, 127oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  (
( Q `  j
) (,) ( Q `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
129128cbvmptv 4548 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
130 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  RR  |->  ( t  +  ( ( |_
`  ( ( pi 
-  t )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( t  +  ( ( |_ `  ( ( pi  -  t )  /  T
) )  x.  T
) ) )
13199, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130fourierdlem71 32163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )
132131adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. z  e.  RR  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )
133 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )
134 nfra1 2838 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t A. t  e.  dom  ( RR  _D  F
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
)  <_  z
135133, 134nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ t ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )
13667, 70syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
137136fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) `  t )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  t ) )
138 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  t )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  t ) )
139137, 138sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) `
 t )  =  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )
140139fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) `  t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
) )
141140adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) `
 t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
) )
142 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  ->  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
)  <_  z )
143 ssdmres 5305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  dom  ( RR  _D  F )  <->  dom  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
14476, 143sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  dom  ( RR  _D  F
) )
145144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  dom  ( RR 
_D  F ) )
146 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
147145, 146sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
t  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
148 rspa 2824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  dom  ( RR  _D  F
) ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
)  <_  z  /\  t  e.  dom  ( RR 
_D  F ) )  ->  ( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
)  <_  z )
149142, 147, 148syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  F
) `  t )
)  <_  z )
150141, 149eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `
 t ) )  <_  z )  /\  t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) `
 t ) )  <_  z )
151150ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )  <_  z
)  ->  ( t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) `  t ) )  <_  z )
)
152135, 151ralrimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )  <_  z
)  ->  A. t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) `
 t ) )  <_  z )
153152ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. t  e.  dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )  <_  z  ->  A. t  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) `
 t ) )  <_  z ) )
154153reximdv 2931 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E. z  e.  RR  A. t  e. 
dom  ( RR  _D  F ) ( abs `  ( ( RR  _D  F ) `  t
) )  <_  z  ->  E. z  e.  RR  A. t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) `  t ) )  <_ 
z ) )
155132, 154mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. z  e.  RR  A. t  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) `  t ) )  <_ 
z )
15690, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc2 31935 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
15760, 80, 97, 156, 64ellimciota 31823 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( iota y
y  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
158 fourierdlem94.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
159 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
pi  -  y )  =  ( pi  -  x ) )
160159oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( pi  -  y
)  /  T )  =  ( ( pi 
-  x )  /  T ) )
161160fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  ( ( pi 
-  y )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( pi  -  x
)  /  T ) ) )
162161oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( |_ `  (
( pi  -  y
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( pi 
-  x )  /  T ) )  x.  T ) )
163162cbvmptv 4548 . . 3  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( pi  -  y )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( |_
`  ( ( pi 
-  x )  /  T ) )  x.  T ) )
164 id 22 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
165 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( pi  -  y )  /  T
) )  x.  T
) ) `  z
)  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  (
( pi  -  y
)  /  T ) )  x.  T ) ) `  x ) )
166164, 165oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  (
( pi  -  y
)  /  T ) )  x.  T ) ) `  z ) )  =  ( x  +  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( pi  -  y )  /  T ) )  x.  T ) ) `
 x ) ) )
167166cbvmptv 4548 . . 3  |-  ( z  e.  RR  |->  ( z  +  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( pi  -  y )  /  T ) )  x.  T ) ) `
 z ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( pi  -  y )  /  T ) )  x.  T ) ) `
 x ) ) )
1683, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167fourierdlem49 32141 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X )  =/=  (/) )
16990, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc1 31933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =/=  (/) )
17060, 80, 107, 169, 64ellimciota 31823 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( iota y
y  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
171 biid 236 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  w  e.  ( ( Q `  i ) [,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  w  =  ( X  +  ( k  x.  T ) ) )  <-> 
( ( ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  w  e.  ( ( Q `  i
) [,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  w  =  ( X  +  ( k  x.  T
) ) ) )
1723, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171fourierdlem48 32140 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( X (,) +oo )
) lim CC  X )  =/=  (/) )
173168, 172jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) X
) ) lim CC  X
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim
CC  X )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   iotacio 5555   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   |_cfl 11930   abscabs 13079   picpi 13814   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   intcnt 19645   -cn->ccncf 21506   lim CC climc 22392    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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