Theorem fourierdlem94 38176

Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem94.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem94.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem94.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem94.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem94.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem94.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem94.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem94.dvcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem94.dvlb	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
fourierdlem94.dvub	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem94	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   i, F, n, x   i, M, x, n   M, p, i, n   Q, i, x, n   Q, p   T, i, x, n   T, p   i, X, x, n   X, p   ph, i, x, n

Allowed substitution hints:   ph( p)   P( x, i, n, p)   F( p)

Proof of Theorem fourierdlem94

Dummy variables j k w y t z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 23492	. . . . 5 |- pi e. RR
2	1	renegcli 9955	. . . 4 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -u pi e. RR )
4	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> pi e. RR )
5		negpilt0 37580	. . . . 5 |- -u pi < 0
6		pipos 23494	. . . . 5 |- 0 < pi
7		0re 9661	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	2, 7, 1	lttri 9778	. . . . 5 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
9	5, 6, 8	mp2an 686	. . . 4 |- -u pi < pi
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -u pi < pi )
11		fourierdlem94.p	. . 3 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		picn 23493	. . . . 5 |- pi e. CC
13	12	2timesi 10753	. . . 4 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
14		fourierdlem94.t	. . . 4 |- T = ( 2 x. pi )
15	12, 12	subnegi 9973	. . . 4 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
16	13, 14, 15	3eqtr4i 2503	. . 3 |- T = ( pi - -u pi )
17		fourierdlem94.m	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
18		fourierdlem94.q	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
19		ssid 3437	. . . 4 |- RR C_ RR
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR C_ RR )
21		fourierdlem94.f	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> RR )
22		simp2 1031	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> x e. RR )
23		zre 10965	. . . . . 6 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
24	23	3ad2ant3 1053	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
25		2re 10701	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
26	25, 1	remulcli 9675	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR )
28	14, 27	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
29	28	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
30	29	3adant2 1049	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
31	24, 30	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
32	22, 31	readdcld 9688	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. RR )
33		simp1 1030	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ph )
34		simp3 1032	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
35		ax-resscn 9614	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ CC )
37	21, 36	fssd 5750	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> CC )
38	37	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> F : RR --> CC )
39	38	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> F : RR --> CC )
40	29	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> T e. RR )
41		simplr 770	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> k e. ZZ )
42		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
43		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. RR <-> y e. RR ) )
44	43	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ y e. RR ) ) )
45		oveq1 6315	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x + T ) = ( y + T ) )
46	45	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( y + T ) ) )
47		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
48	46, 47	eqeq12d 2486	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) )
49	44, 48	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) ) )
50		fourierdlem94.per	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
51	49, 50	chvarv 2120	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
52	51	adant423 37430	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
53	39, 40, 41, 42, 52	fperiodmul 37610	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
54	33, 34, 22, 53	syl21anc 1291	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
55	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ CC )
56		ioossre 11721	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
58	21, 57	fssresd 5762	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
59	58, 36	fssd 5750	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
60	59	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
61	56	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
62	37	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> CC )
63	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ RR )
64		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
65	64	tgioo2 21899	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
66	64, 65	dvres 22945	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
67	55, 62, 63, 61, 66	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
68	67	dmeqd 5042	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
69		ioontr 37707	. . . . . . . 8 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) )
70	69	reseq2i 5108	. . . . . . 7 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
71	70	dmeqi 5041	. . . . . 6 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
72	71	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
73		fourierdlem94.dvcn	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
74		cncff 22003	. . . . . 6 |- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
75		fdm 5745	. . . . . 6 |- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
76	73, 74, 75	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
77	68, 72, 76	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
78		dvcn 22954	. . . 4 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
79	55, 60, 61, 77, 78	syl31anc 1295	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
80	61, 35	syl6ss 3430	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
81	11	fourierdlem2 38083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
82	17, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
83	18, 82	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
85		elmapi 7511	. . . . . . . . 9 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
87	86	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88		elfzofz 11962	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
89	88	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
90	87, 89	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
91	90	rexrd 9708	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
92		fzofzp1 12037	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
93	92	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
94	87, 93	ffvelrnd 6038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
95	83	simprrd 775	. . . . . 6 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
96	95	r19.21bi 2776	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
97	64, 91, 94, 96	lptioo2cn 37823	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
98	58	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
99	36, 37, 20	dvbss 22935	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) C_ RR )
100		dvfre 22984	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : RR --> RR /\ RR C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
101	21, 20, 100	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
102	83	simprd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
103	102	simplld 769	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
104	102	simplrd 771	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
105	73, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
106	94	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
107	64, 106, 90, 96	lptioo1cn 37824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
108		fourierdlem94.dvlb	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
109	105, 80, 107, 108, 64	ellimciota 37791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
110		fourierdlem94.dvub	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
111	105, 80, 97, 110, 64	ellimciota 37791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
112	23	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
113	112, 29	remulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
114	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> F : RR --> CC )
115	29	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> T e. RR )
116		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> k e. ZZ )
117		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
118	50	adant423 37430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
119	114, 115, 116, 117, 118	fperiodmul 37610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> ( F ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( F ` t ) )
120		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D F ) = ( RR _D F )
121	38, 113, 119, 120	fperdvper 37887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. dom ( RR _D F ) ) -> ( ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
122	121	an32s 821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
123	122	simpld 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) )
124	122	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
125		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
126		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )
127	126	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
128	125, 127	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
129	128	cbvmptv 4488	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
130		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( t e. RR |-> ( t + ( ( |_ ` ( ( pi - t ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( t e. RR |-> ( t + ( ( |_ ` ( ( pi - t ) / T ) ) x. T ) ) )
131	99, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130	fourierdlem71 38153	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
132	131	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
133		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) )
134		nfra1 2785	. . . . . . . . . 10 |- F/ t A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z
135	133, 134	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
136	67, 70	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
137	136	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) )
138		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
139	137, 138	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
140	139	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
141	140	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
142		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
143		ssdmres 5132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) <-> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
144	76, 143	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
145	144	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
146		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
147	145, 146	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. dom ( RR _D F ) )
148		rspa 2774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. dom ( RR _D F ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
149	142, 147, 148	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
150	141, 149	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
151	150	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
152	135, 151	ralrimi 2800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
153	152	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
154	153	reximdv 2857	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
155	132, 154	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
156	90, 94, 98, 77, 155	ioodvbdlimc2 37907	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
157	60, 80, 97, 156, 64	ellimciota 37791	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota y y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
158		fourierdlem94.x	. . 3 |- ( ph -> X e. RR )
159		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( pi - y ) = ( pi - x ) )
160	159	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( pi - y ) / T ) = ( ( pi - x ) / T ) )
161	160	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( y = x -> ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) )
162	161	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( y = x -> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
163	162	cbvmptv 4488	. . 3 |- ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
164		id 22	. . . . 5 |- ( z = x -> z = x )
165		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) = ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) )
166	164, 165	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( z = x -> ( z + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) ) = ( x + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
167	166	cbvmptv 4488	. . 3 |- ( z e. RR |-> ( z + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
168	3, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167	fourierdlem49 38131	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) )
169	90, 94, 98, 77, 155	ioodvbdlimc1 37904	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
170	60, 80, 107, 169, 64	ellimciota 37791	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota y y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
171		biid 244	. . 3 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ w e. ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ w = ( X + ( k x. T ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ w e. ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ w = ( X + ( k x. T ) ) ) )
172	3, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171	fourierdlem48 38130	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) )
173	168, 172	jca 541	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   iotacio 5551   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   abscabs 13374   picpi 14196   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  38184