Theorem fourierdlem92 38002

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function F is unchanged if the domain is shifted by its period T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem92.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem92.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem92.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem92.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem92.t	|- ( ph -> T e. RR )
fourierdlem92.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem92.fper	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem92.s	|- S = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) + T ) )
fourierdlem92.h	|- H = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem92.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem92.cncf	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem92.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem92.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem92	|- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   x, A, i   B, i, m, p   x, B   i, F, x   x, L   i, M, x   m, M, p   Q, i, x   Q, p   x, R   S, i, x   S, p   T, i, x   T, m, p   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( x, i, m, p)   Q( m)   R( i, m, p)   S( m)   F( m, p)   H( x, i, m, p)   L( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem92

Dummy variables y w z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem92.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> A e. RR )
3		fourierdlem92.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> B e. RR )
5		fourierdlem92.p	. . 3 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
6		fourierdlem92.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
7	6	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> M e. NN )
8		fourierdlem92.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
9	8	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> T e. RR )
10		simpr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> 0 < T )
11	9, 10	elrpd 11345	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> T e. RR+ )
12		fourierdlem92.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
13	12	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> Q e. ( P ` M ) )
14		fourierdlem92.fper	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
15	14	adantlr 719	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < T ) /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
16		fveq2 5881	. . . . 5 |- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
17	16	oveq1d 6320	. . . 4 |- ( j = i -> ( ( Q ` j ) + T ) = ( ( Q ` i ) + T ) )
18	17	cbvmptv 4516	. . 3 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) + T ) )
19		fourierdlem92.f	. . . 4 |- ( ph -> F : RR --> CC )
20	19	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> F : RR --> CC )
21		fourierdlem92.cncf	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
22	21	adantlr 719	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < T ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
23		fourierdlem92.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
24	23	adantlr 719	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < T ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
25		fourierdlem92.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
26	25	adantlr 719	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < T ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
27		eqeq1 2426	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y = ( Q ` i ) <-> x = ( Q ` i ) ) )
28		eqeq1 2426	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( y = ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> x = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
29		fveq2 5881	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
30	28, 29	ifbieq2d 3936	. . . . 5 |- ( y = x -> if ( y = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) = if ( x = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` x ) ) )
31	27, 30	ifbieq2d 3936	. . . 4 |- ( y = x -> if ( y = ( Q ` i ) , R , if ( y = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) = if ( x = ( Q ` i ) , R , if ( x = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` x ) ) ) )
32	31	cbvmptv 4516	. . 3 |- ( y e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( y = ( Q ` i ) , R , if ( y = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) ) = ( x e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( x = ( Q ` i ) , R , if ( x = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` x ) ) ) )
33		eqid 2422	. . 3 |- ( x e. ( ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) ) ` i ) [,] ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) ) ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( y e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( y = ( Q ` i ) , R , if ( y = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) ) ` ( x - T ) ) ) = ( x e. ( ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) ) ` i ) [,] ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) ) ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( y e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( y = ( Q ` i ) , R , if ( y = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) ) ` ( x - T ) ) )
34	2, 4, 5, 7, 11, 13, 15, 18, 20, 22, 24, 26, 32, 33	fourierdlem81 37991	. 2 |- ( ( ph /\ 0 < T ) -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
35		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> T = 0 )
36	35	oveq2d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( A + T ) = ( A + 0 ) )
37	1	recnd 9676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
38	37	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> A e. CC )
39	38	addid1d 9840	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( A + 0 ) = A )
40	36, 39	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( A + T ) = A )
41	35	oveq2d 6321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( B + T ) = ( B + 0 ) )
42	3	recnd 9676	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
43	42	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> B e. CC )
44	43	addid1d 9840	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( B + 0 ) = B )
45	41, 44	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( B + T ) = B )
46	40, 45	oveq12d 6323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) = ( A [,] B ) )
47	46	itgeq1d 37773	. . . 4 |- ( ( ph /\ T = 0 ) -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
48	47	adantlr 719	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ T = 0 ) -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
49		simpll 758	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> ph )
50		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> -. T = 0 )
51		simplr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> -. 0 < T )
52		ioran 492	. . . . . . 7 |- ( -. ( T = 0 \/ 0 < T ) <-> ( -. T = 0 /\ -. 0 < T ) )
53	50, 51, 52	sylanbrc 668	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> -. ( T = 0 \/ 0 < T ) )
54	49, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> T e. RR )
55		0red 9651	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> 0 e. RR )
56	54, 55	lttrid 9780	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> ( T < 0 <-> -. ( T = 0 \/ 0 < T ) ) )
57	53, 56	mpbird 235	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> T < 0 )
58	54	lt0neg1d 10190	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> ( T < 0 <-> 0 < -u T ) )
59	57, 58	mpbid 213	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> 0 < -u T )
60	1, 8	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR )
61	60	recnd 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + T ) e. CC )
62	8	recnd 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
63	61, 62	negsubd 9999	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A + T ) + -u T ) = ( ( A + T ) - T ) )
64	37, 62	pncand 9994	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A + T ) - T ) = A )
65	63, 64	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A + T ) + -u T ) = A )
66	3, 8	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR )
67	66	recnd 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + T ) e. CC )
68	67, 62	negsubd 9999	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B + T ) + -u T ) = ( ( B + T ) - T ) )
69	42, 62	pncand 9994	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B + T ) - T ) = B )
70	68, 69	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B + T ) + -u T ) = B )
71	65, 70	oveq12d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A + T ) + -u T ) [,] ( ( B + T ) + -u T ) ) = ( A [,] B ) )
72	71	eqcomd 2430	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) = ( ( ( A + T ) + -u T ) [,] ( ( B + T ) + -u T ) ) )
73	72	itgeq1d 37773	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( ( A + T ) + -u T ) [,] ( ( B + T ) + -u T ) ) ( F ` x ) _d x )
74	73	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( ( A + T ) + -u T ) [,] ( ( B + T ) + -u T ) ) ( F ` x ) _d x )
75	1	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> A e. RR )
76	8	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> T e. RR )
77	75, 76	readdcld 9677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> ( A + T ) e. RR )
78	3	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> B e. RR )
79	78, 76	readdcld 9677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> ( B + T ) e. RR )
80		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
81	6	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> M e. NN )
82	76	renegcld 10053	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> -u T e. RR )
83		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> 0 < -u T )
84	82, 83	elrpd 11345	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> -u T e. RR+ )
85	5	fourierdlem2 37911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
86	6, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
87	12, 86	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
88	87	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
89		elmapi 7504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
91	90	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
92	8	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> T e. RR )
93	91, 92	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) e. RR )
94		fourierdlem92.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) + T ) )
95	93, 94	fmptd 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S : ( 0 ... M ) --> RR )
96		reex 9637	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
98		ovex 6333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... M ) e. _V
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
100	97, 99	elmapd 7497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> S : ( 0 ... M ) --> RR ) )
101	95, 100	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
102	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` i ) + T ) ) )
103		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
104	103	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( ( Q ` i ) + T ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
105	104	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( Q ` i ) + T ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
106		0zd 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
107	6	nnzd 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
108	106, 107, 106	3jca 1185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) )
109		0le0 10706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ 0
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ 0 )
111		nnnn0 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
112	111	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
113	6, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ M )
114	108, 110, 113	jca32 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 0 /\ 0 <_ M ) ) )
115		elfz2 11798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... M ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) /\ ( 0 <_ 0 /\ 0 <_ M ) ) )
116	114, 115	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
117	90, 116	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
118	117, 8	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) + T ) e. RR )
119	102, 105, 116, 118	fvmptd 5970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` 0 ) = ( ( Q ` 0 ) + T ) )
120		simprll 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` 0 ) = A )
121	87, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
122	121	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) + T ) = ( A + T ) )
123	119, 122	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` 0 ) = ( A + T ) )
124		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = M -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
125	124	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = M -> ( ( Q ` i ) + T ) = ( ( Q ` M ) + T ) )
126	125	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i = M ) -> ( ( Q ` i ) + T ) = ( ( Q ` M ) + T ) )
127	6	nnnn0d 10932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. NN0 )
128		nn0uz 11200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
129	127, 128	syl6eleq 2517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
130		eluzfz2 11814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
132	90, 131	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
133	132, 8	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` M ) + T ) e. RR )
134	102, 126, 131, 133	fvmptd 5970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` M ) = ( ( Q ` M ) + T ) )
135		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` M ) = B )
136	87, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
137	136	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` M ) + T ) = ( B + T ) )
138	134, 137	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` M ) = ( B + T ) )
139	123, 138	jca 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( S ` M ) = ( B + T ) ) )
140	90	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
141		elfzofz 11942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
142	141	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
143	140, 142	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
144		fzofzp1 12014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
145	144	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
146	140, 145	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
147	8	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> T e. RR )
148	87	simprrd 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
149	148	r19.21bi 2791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
150	143, 146, 147, 149	ltadd1dd 10231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) )
151	143, 147	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) e. RR )
152	94	fvmpt2 5973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( Q ` i ) + T ) e. RR ) -> ( S ` i ) = ( ( Q ` i ) + T ) )
153	142, 151, 152	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` i ) = ( ( Q ` i ) + T ) )
154	94, 18	eqtr4i 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) )
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> S = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( Q ` j ) + T ) ) )
156		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( Q ` j ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
157	156	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( Q ` j ) + T ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) )
158	157	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( Q ` j ) + T ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) )
159	146, 147	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) e. RR )
160	155, 158, 145, 159	fvmptd 5970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( i + 1 ) ) = ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) )
161	150, 153, 160	3brtr4d 4454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
162	161	ralrimiva 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
163	101, 139, 162	jca32 537	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( S ` M ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
164		fourierdlem92.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
165	164	fourierdlem2 37911	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( S e. ( H ` M ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( S ` M ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
166	6, 165	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( H ` M ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( S ` M ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
167	163, 166	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( H ` M ) )
168	164	fveq1i 5882	. . . . . . . 8 |- ( H ` M ) = ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M )
169	167, 168	syl6eleq 2517	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
170	169	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> S e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A + T ) /\ ( p ` m ) = ( B + T ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
171	60	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
172	66	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR )
173		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
174		eliccre 37552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
175	171, 172, 173, 174	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
176	175	recnd 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. CC )
177	62	negcld 9980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u T e. CC )
178	177	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> -u T e. CC )
179	176, 178	addcld 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x + -u T ) e. CC )
180		simpl 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ph )
181	1	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A e. RR )
182	3	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> B e. RR )
183	8	renegcld 10053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u T e. RR )
184	183	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> -u T e. RR )
185	175, 184	readdcld 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x + -u T ) e. RR )
186	63, 64	eqtr2d 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) + -u T ) )
187	186	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) + -u T ) )
188	171	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR* )
189	172	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR* )
190		iccgelb 11698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A + T ) e. RR* /\ ( B + T ) e. RR* /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ x )
191	188, 189, 173, 190	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ x )
192	171, 175, 184, 191	leadd1dd 10234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( A + T ) + -u T ) <_ ( x + -u T ) )
193	187, 192	eqbrtrd 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A <_ ( x + -u T ) )
194		iccleub 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A + T ) e. RR* /\ ( B + T ) e. RR* /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x <_ ( B + T ) )
195	188, 189, 173, 194	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x <_ ( B + T ) )
196	175, 172, 184, 195	leadd1dd 10234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x + -u T ) <_ ( ( B + T ) + -u T ) )
197	172	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. CC )
198	62	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> T e. CC )
199	197, 198	negsubd 9999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) + -u T ) = ( ( B + T ) - T ) )
200	69	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) - T ) = B )
201	199, 200	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) + -u T ) = B )
202	196, 201	breqtrd 4448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x + -u T ) <_ B )
203	181, 182, 185, 193, 202	eliccd 37550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x + -u T ) e. ( A [,] B ) )
204	180, 203	jca 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ph /\ ( x + -u T ) e. ( A [,] B ) ) )
205		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( x + -u T ) e. ( A [,] B ) ) )
206	205	anbi2d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ ( x + -u T ) e. ( A [,] B ) ) ) )
207		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( y + T ) = ( ( x + -u T ) + T ) )
208	207	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` ( ( x + -u T ) + T ) ) )
209		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( x + -u T ) ) )
210	208, 209	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) <-> ( F ` ( ( x + -u T ) + T ) ) = ( F ` ( x + -u T ) ) ) )
211	206, 210	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x + -u T ) -> ( ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ph /\ ( x + -u T ) e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x + -u T ) + T ) ) = ( F ` ( x + -u T ) ) ) ) )
212		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. ( A [,] B ) <-> y e. ( A [,] B ) ) )
213	212	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) ) )
214		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( x + T ) = ( y + T ) )
215	214	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( y + T ) ) )
216		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
217	215, 216	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) )
218	213, 217	imbi12d 321	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) ) )
219	218, 14	chvarv 2072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
220	211, 219	vtoclg 3139	. . . . . . . . 9 |- ( ( x + -u T ) e. CC -> ( ( ph /\ ( x + -u T ) e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x + -u T ) + T ) ) = ( F ` ( x + -u T ) ) ) )
221	179, 204, 220	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( ( x + -u T ) + T ) ) = ( F ` ( x + -u T ) ) )
222	176, 198	negsubd 9999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x + -u T ) = ( x - T ) )
223	222	oveq1d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( x + -u T ) + T ) = ( ( x - T ) + T ) )
224	176, 198	npcand 9997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( x - T ) + T ) = x )
225	223, 224	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( x + -u T ) + T ) = x )
226	225	fveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( ( x + -u T ) + T ) ) = ( F ` x ) )
227	221, 226	eqtr3d 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( x + -u T ) ) = ( F ` x ) )
228	227	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < -u T ) /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( x + -u T ) ) = ( F ` x ) )
229		fveq2 5881	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( S ` j ) = ( S ` i ) )
230	229	oveq1d 6320	. . . . . . 7 |- ( j = i -> ( ( S ` j ) + -u T ) = ( ( S ` i ) + -u T ) )
231	230	cbvmptv 4516	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( S ` j ) + -u T ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( S ` i ) + -u T ) )
232	19	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> F : RR --> CC )
233	19	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> CC )
234		ioossre 11703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
235	234	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
236	233, 235	feqresmpt 5935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` x ) ) )
237	153, 160	oveq12d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) )
238	143, 146, 147	iooshift 37572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) = { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } )
239	237, 238	eqtrd 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) = { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } )
240	239	mpteq1d 4505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` x ) ) )
241		simpll 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ph )
242		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> i e. ( 0..^ M ) )
243	238	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) <-> x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) )
244	243	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) )
245	143	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
246	245	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
247	146	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
248	247	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
249		elioore 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) -> x e. RR )
250	249	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> x e. RR )
251	8	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> T e. RR )
252	250, 251	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
253	252	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
254	143	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. CC )
255	62	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> T e. CC )
256	254, 255	pncand 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + T ) - T ) = ( Q ` i ) )
257	256	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( ( Q ` i ) + T ) - T ) )
258	257	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( ( Q ` i ) + T ) - T ) )
259	151	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) e. RR )
260	250	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> x e. RR )
261	8	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> T e. RR )
262	151	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) e. RR* )
263	262	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) e. RR* )
264	159	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) e. RR* )
265	264	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) e. RR* )
266		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) )
267		ioogtlb 37541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( Q ` i ) + T ) e. RR* /\ ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) e. RR* /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) < x )
268	263, 265, 266, 267	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) < x )
269	259, 260, 261, 268	ltsub1dd 10232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + T ) - T ) < ( x - T ) )
270	258, 269	eqbrtrd 4444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( x - T ) )
271	159	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) e. RR )
272		iooltub 37559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( Q ` i ) + T ) e. RR* /\ ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) e. RR* /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> x < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) )
273	263, 265, 266, 272	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> x < ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) )
274	260, 271, 261, 273	ltsub1dd 10232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) < ( ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) - T ) )
275	146	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
276	275, 255	pncand 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) - T ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
277	276	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) - T ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
278	274, 277	breqtrd 4448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
279	246, 248, 253, 270, 278	eliood 37544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
280	241, 242, 244, 279	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( x - T ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
281		fvres 5895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x - T ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) )
282	280, 281	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) )
283	241, 244, 252	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( x - T ) e. RR )
284	1	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> A e. RR )
285	3	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> B e. RR )
286	64	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) - T ) )
287	286	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) - T ) )
288	60	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
289	1	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. RR )
290	1	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> A e. RR* )
291	290	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. RR* )
292	3	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. RR* )
293	292	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> B e. RR* )
294	5, 6, 12	fourierdlem15 37924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
295	294	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
296	295, 142	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
297		iccgelb 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) ) -> A <_ ( Q ` i ) )
298	291, 293, 296, 297	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A <_ ( Q ` i ) )
299	289, 143, 147, 298	leadd1dd 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A + T ) <_ ( ( Q ` i ) + T ) )
300	299	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ ( ( Q ` i ) + T ) )
301	288, 259, 260, 300, 268	lelttrd 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( A + T ) < x )
302	288, 260, 261, 301	ltsub1dd 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( ( A + T ) - T ) < ( x - T ) )
303	287, 302	eqbrtrd 4444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> A < ( x - T ) )
304	284, 253, 303	ltled 9790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> A <_ ( x - T ) )
305	146	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
306	295, 145	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( A [,] B ) )
307		iccleub 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ B )
308	291, 293, 306, 307	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ B )
309	308	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ B )
310	253, 305, 285, 278, 309	ltletrd 9802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) < B )
311	253, 285, 310	ltled 9790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ B )
312	284, 285, 253, 304, 311	eliccd 37550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( ( Q ` i ) + T ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( A [,] B ) )
313	241, 242, 244, 312	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( x - T ) e. ( A [,] B ) )
314	241, 313	jca 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( ph /\ ( x - T ) e. ( A [,] B ) ) )
315		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x - T ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( x - T ) e. ( A [,] B ) ) )
316	315	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x - T ) -> ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ ( x - T ) e. ( A [,] B ) ) ) )
317		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x - T ) -> ( y + T ) = ( ( x - T ) + T ) )
318	317	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x - T ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) )
319		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x - T ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( x - T ) ) )
320	318, 319	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x - T ) -> ( ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) <-> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) ) )
321	316, 320	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( x - T ) -> ( ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) <-> ( ( ph /\ ( x - T ) e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) ) ) )
322	321, 219	vtoclg 3139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x - T ) e. RR -> ( ( ph /\ ( x - T ) e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) ) )
323	283, 314, 322	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` ( x - T ) ) )
324	244, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> x e. RR )
325		recn 9636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> x e. CC )
326	325	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
327	62	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> T e. CC )
328	326, 327	npcand 9997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( x - T ) + T ) = x )
329	328	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` x ) )
330	241, 324, 329	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( F ` ( ( x - T ) + T ) ) = ( F ` x ) )
331	282, 323, 330	3eqtr2rd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } ) -> ( F ` x ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) )
332	331	mpteq2dva 4510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` x ) ) = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) ) )
333	236, 240, 332	3eqtrd 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) ) )
334		ioosscn 37540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
335	334	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
336		eqeq1 2426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
337	336	rexbidv 2936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( z + T ) ) )
338		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z + T ) = ( y + T ) )
339	338	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( y + T ) ) )
340	339	cbvrexv 3055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( z + T ) <-> E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) )
341	337, 340	syl6bb 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) <-> E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) ) )
342	341	cbvrabv 3079	. . . . . . . . . 10 |- { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } = { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) }
343		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) ) = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) )
344	335, 255, 342, 21, 343	cncfshift 37691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) ) e. ( { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } -cn-> CC ) )
345	239	eqcomd 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } = ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
346	345	oveq1d 6320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } -cn-> CC ) = ( ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
347	344, 346	eleqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } |-> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( x - T ) ) ) e. ( ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
348	333, 347	eqeltrd 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
349	348	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < -u T ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
350		ffdm 5760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : RR --> CC -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ RR ) )
351	19, 350	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ RR ) )
352	351	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
353	352	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : dom F --> CC )
354		ioossre 11703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
355		fdm 5750	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
356	233, 355	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom F = RR )
357	354, 356	syl5sseqr 3513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
358	342	eqcomi 2435	. . . . . . . . 9 |- { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } = { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) }
359	235, 345, 356	3sstr4d 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { w e. CC | E. z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) w = ( z + T ) } C_ dom F )
360	342, 359	syl5eqssr 3509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } C_ dom F )
361		simpll 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ph )
362	361, 290	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A e. RR* )
363	361, 292	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> B e. RR* )
364	361, 294	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
365		simplr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
366		ioossicc 11727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
367	366	sseli 3460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> z e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
368	367	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> z e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
369	362, 363, 364, 365, 368	fourierdlem1 37910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> z e. ( A [,] B ) )
370		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( x e. ( A [,] B ) <-> z e. ( A [,] B ) ) )
371	370	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) ) )
372		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x + T ) = ( z + T ) )
373	372	fveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( z + T ) ) )
374		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
375	373, 374	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( z + T ) ) = ( F ` z ) ) )
376	371, 375	imbi12d 321	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( z + T ) ) = ( F ` z ) ) ) )
377	376, 14	chvarv 2072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( z + T ) ) = ( F ` z ) )
378	361, 369, 377	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ z e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( z + T ) ) = ( F ` z ) )
379	353, 335, 357, 255, 358, 360, 378, 23	limcperiod 37648	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } ) lim CC ( ( Q ` i ) + T ) ) )
380	358, 345	syl5eq 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } = ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
381	380	reseq2d 5124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } ) = ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
382	153	eqcomd 2430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + T ) = ( S ` i ) )
383	381, 382	oveq12d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } ) lim CC ( ( Q ` i ) + T ) ) = ( ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` i ) ) )
384	379, 383	eleqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` i ) ) )
385	384	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < -u T ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` i ) ) )
386	353, 335, 357, 255, 358, 360, 378, 25	limcperiod 37648	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } ) lim CC ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) )
387	160	eqcomd 2430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) = ( S ` ( i + 1 ) ) )
388	381, 387	oveq12d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) x = ( y + T ) } ) lim CC ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + T ) ) = ( ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
389	386, 388	eleqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
390	389	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < -u T ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( S ` i ) (,) ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
391		eqeq1 2426	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y = ( S ` i ) <-> x = ( S ` i ) ) )
392		eqeq1 2426	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y = ( S ` ( i + 1 ) ) <-> x = ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
393	392, 29	ifbieq2d 3936	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> if ( y = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) = if ( x = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` x ) ) )
394	391, 393	ifbieq2d 3936	. . . . . . 7 |- ( y = x -> if ( y = ( S ` i ) , R , if ( y = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) = if ( x = ( S ` i ) , R , if ( x = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` x ) ) ) )
395	394	cbvmptv 4516	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( S ` i ) [,] ( S ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( y = ( S ` i ) , R , if ( y = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) ) = ( x e. ( ( S ` i ) [,] ( S ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( x = ( S ` i ) , R , if ( x = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` x ) ) ) )
396		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( S ` j ) + -u T ) ) ` i ) [,] ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( S ` j ) + -u T ) ) ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( y e. ( ( S ` i ) [,] ( S ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( y = ( S ` i ) , R , if ( y = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) ) ` ( x - -u T ) ) ) = ( x e. ( ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( S ` j ) + -u T ) ) ` i ) [,] ( ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( S ` j ) + -u T ) ) ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( y e. ( ( S ` i ) [,] ( S ` ( i + 1 ) ) ) |-> if ( y = ( S ` i ) , R , if ( y = ( S ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` y ) ) ) ) ` ( x - -u T ) ) )
397	77, 79, 80, 81, 84, 170, 228, 231, 232, 349, 385, 390, 395, 396	fourierdlem81 37991	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> S. ( ( ( A + T ) + -u T ) [,] ( ( B + T ) + -u T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x )
398	74, 397	eqtr2d 2464	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < -u T ) -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
399	49, 59, 398	syl2anc 665	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < T ) /\ -. T = 0 ) -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
400	48, 399	pm2.61dan 798	. 2 |- ( ( ph /\ -. 0 < T ) -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
401	34, 400	pm2.61dan 798	1 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Syntax hints:   -.