Theorem fourierdlem91 38098

Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the upper bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem91.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem91.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem91.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem91.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem91.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem91.6	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem91.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem91.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem91.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem91.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem91.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem91.h	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem91.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem91.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem91.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem91.J	|- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem91.17	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem91.u	|- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem91.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
fourierdlem91.w	|- W = ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem91	|- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( J + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   f, E, k, y   i, E, x   i, F, x, y   f, H   x, H   f, I, k, y   i, I, x   i, J, x, y   i, M, x   m, M, p   f, N, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, f, k, y   T, i, x   x, U, y   x, W, y   i, Z, x, y   ph, f, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( k)   D( k)   P( x, y, f, i, k, m, p)   Q( m)   S( m)   T( m, p)   U( f, i, k, m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   H( y, i, k, m, p)   I( m, p)   J( f, k, m, p)   L( x, y, f, i, k, m, p)   M( y, f, k)   O( x, y, f, i, k, m, p)   W( f, i, k, m, p)   Z( f, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem91

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem91.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem91.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem91.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 38008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		elmapi 7518	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10		fzossfz 11968	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
11		fourierdlem91.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( B - A )
12		fourierdlem91.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
13		fourierdlem91.J	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
14		fourierdlem91.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
15	3, 2, 1, 11, 12, 13, 14	fourierdlem37 38044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } ) ) )
16	15	simpld 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem91.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. RR )
18		fourierdlem91.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
19		elioore 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. RR )
21		elioo4g 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
22	18, 21	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
23	22	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) )
24	23	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C < D )
25		fourierdlem91.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
26		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( y + ( k x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
27	26	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
28	27	rexbidv 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
29	28	cbvrabv 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
30	29	uneq2i 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
31		fourierdlem91.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
32		fourierdlem91.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
33	32	fveq2i 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
34	33	oveq1i 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
35	31, 34	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
36		fourierdlem91.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
37		isoeq5 6238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
38	32, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
39	38	iotabii 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
40	36, 39	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
41	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40	fourierdlem54 38061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
42	41	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
43	42	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
44	42	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN )
45	25	fourierdlem2 38008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
47	43, 46	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
48	47	simpld 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
49		elmapi 7518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		fourierdlem91.17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
52		elfzofz 11965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
54	50, 53	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
55	16, 54	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
56	10, 55	sseldi 3441	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0 ... M ) )
57	9, 56	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
58	57	rexrd 9715	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
59	58	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
60		fzofzp1 12038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
62	9, 61	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR )
63	62	rexrd 9715	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
64	63	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
65	3, 2, 1	fourierdlem11 38017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
66	65	simp1d 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
67	66	rexrd 9715	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR* )
68	65	simp2d 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
69		iocssre 11742	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
70	67, 68, 69	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
71	65	simp3d 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < B )
72	66, 68, 71, 11, 12	fourierdlem4 38010	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
73		fzofzp1 12038	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
74	51, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
75	50, 74	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
76	72, 75	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( A (,] B ) )
77	70, 76	sseldd 3444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
78	77	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
79	66, 68	iccssred 37639	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
80	66, 68, 71, 13	fourierdlem17 38023	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
81	72, 54	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` ( S ` J ) ) e. ( A (,] B ) )
82	80, 81	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( A [,] B ) )
83	79, 82	sseldd 3444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
84	47	simprrd 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
85		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` i ) = ( S ` J ) )
86		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = J -> ( i + 1 ) = ( J + 1 ) )
87	86	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` ( i + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
88	85, 87	breq12d 4428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = J -> ( ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
89	88	rspccva 3160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
90	84, 51, 89	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
91	54, 75	posdifd 10227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) <-> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
92	90, 91	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
93		eleq1 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( j e. ( 0..^ N ) <-> J e. ( 0..^ N ) ) )
94	93	anbi2d 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) <-> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) ) )
95		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = J -> ( j + 1 ) = ( J + 1 ) )
96	95	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( S ` ( j + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
97	96	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
98		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = J -> ( S ` j ) = ( S ` J ) )
99	98	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( E ` ( S ` J ) ) )
100	99	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
101	97, 100	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
102	96, 98	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
103	101, 102	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
104	94, 103	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) ) )
105	11	oveq2i 6325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) )
106	105	oveq2i 6325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) )
107	106	eleq1i 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
108	107	rexbii 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
109	108	rgenw 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
110		rabbi 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) <-> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
111	109, 110	mpbi 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q }
112	111	uneq2i 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
113	112	fveq2i 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
114	113	oveq1i 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
115	35, 114	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
116		isoeq5 6238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
117	112, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
118	117	iotabii 5586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
119	40, 118	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
120		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
121	3, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 115, 119, 12, 13, 120	fourierdlem65 38072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
122	104, 121	vtoclg 3118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
123	122	anabsi7 833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
124	51, 123	mpdan 679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
125	92, 124	breqtrrd 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
126	83, 77	posdifd 10227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
127	125, 126	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
128	100, 97	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
129	98	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( I ` ( S ` j ) ) = ( I ` ( S ` J ) ) )
130	129	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
131	129	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
132	131	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
133	130, 132	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
134	128, 133	sseq12d 3472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) <-> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
135	94, 134	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
136	32, 30	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
137		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) ) = ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) )
138	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 136, 31, 36, 12, 13, 137, 14	fourierdlem79 38086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) )
139	135, 138	vtoclg 3118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
140	139	anabsi7 833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
141	51, 140	mpdan 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
142	57, 62, 83, 77, 127, 141	fourierdlem10 38016	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) /\ ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
143	142	simpld 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
144	57, 83, 77, 143, 127	lelttrd 9818	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
145	144	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
146	62	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR )
147	142	simprd 469	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
148	147	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
149		neqne 2642	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) =/= ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
150	149	necomd 2690	. . . . . . . 8 |- ( -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) =/= ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
151	150	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) =/= ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
152	78, 146, 148, 151	leneltd 9814	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
153	59, 64, 78, 145, 152	eliood 37632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
154		fvres 5901	. . . . 5 |- ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
155	153, 154	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
156	155	eqcomd 2467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
157	156	ifeq2da 3923	. 2 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
158		fourierdlem91.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> CC )
159		fdm 5755	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
160	158, 159	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = RR )
161	160	feq2d 5736	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC <-> F : RR --> CC ) )
162	158, 161	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
163		ioosscn 37628	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC
164	163	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC )
165		ioossre 11724	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ RR
166	165, 160	syl5sseqr 3492	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ dom F )
167		fourierdlem91.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
168	75, 77	resubcld 10074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
169	167, 168	syl5eqel 2543	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
170	169	recnd 9694	. . . . 5 |- ( ph -> U e. CC )
171		eqid 2461	. . . . 5 |- { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) }
172	83, 77, 169	iooshift 37660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } )
173		ioossre 11724	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ RR
174	173, 160	syl5sseqr 3492	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ dom F )
175	172, 174	eqsstr3d 3478	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } C_ dom F )
176		elioore 11694	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
177	68, 66	resubcld 10074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
178	11, 177	syl5eqel 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. RR )
179	178	recnd 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
180	66, 68	posdifd 10227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
181	71, 180	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
182	181, 11	syl6breqr 4456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < T )
183	182	gt0ne0d 10205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T =/= 0 )
184	170, 179, 183	divcan1d 10411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U / T ) x. T ) = U )
185	184	eqcomd 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U = ( ( U / T ) x. T ) )
186	185	oveq2d 6330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
187	186	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
188	187	fveq2d 5891	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) )
189	158	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : RR --> CC )
190	178	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. RR )
191	77	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
192	75	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
193	191, 192	negsubdi2d 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
194	193	eqcomd 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
195	194	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
196	167	oveq1i 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T )
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) )
198	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
199		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
200		oveq2 6322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
201	200	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
202	201	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
203	202	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
204	199, 203	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
205	204	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
206	68, 75	resubcld 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
207	206, 178, 183	redivcld 10462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
208	207	flcld 12065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
209	208	zred 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
210	209, 178	remulcld 9696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
211	75, 210	readdcld 9695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
212	198, 205, 75, 211	fvmptd 5976	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
213	212	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
214	208	zcnd 11069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. CC )
215	214, 179	mulcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
216	192, 215	pncan2d 10013	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
217	213, 216	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
218	217, 215	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
219	218, 179, 183	divnegd 10423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
220	195, 197, 219	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U / T ) = -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
221	217	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) )
222	214, 179, 183	divcan4d 10416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
223	221, 222	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
224	223, 208	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
225	224	znegcld 11070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
226	220, 225	eqeltrd 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U / T ) e. ZZ )
227	226	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( U / T ) e. ZZ )
228		simpr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
229		fourierdlem91.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
230	229	adantlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
231	189, 190, 227, 228, 230	fperiodmul 37559	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) = ( F ` y ) )
232	188, 231	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
233	176, 232	sylan2 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
234	6	simprrd 772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
235		fveq2 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
236		oveq1 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
237	236	fveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
238	235, 237	breq12d 4428	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
239	238	rspccva 3160	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
240	234, 55, 239	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
241	55	ancli 558	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
242		eleq1 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
243	242	anbi2d 715	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) )
244	235, 237	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
245	244	reseq2d 5123	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
246	244	oveq1d 6329	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
247	245, 246	eleq12d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) <-> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
248	243, 247	imbi12d 326	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
249		fourierdlem91.fcn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
250	248, 249	vtoclg 3118	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
251	55, 241, 250	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
252		nfv 1771	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
253		fourierdlem91.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )
254		nfmpt1 4505	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )
255	253, 254	nfcxfr 2600	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i W
256		nfcv 2602	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( I ` ( S ` J ) )
257	255, 256	nffv 5894	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) )
258	257	nfel1 2616	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
259	252, 258	nfim 2013	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
260	243	biimpar 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
261	260	3adant2 1033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
262		fourierdlem91.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
263	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
264		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( W ` i ) = ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
265	264	eqcomd 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( W ` i ) )
266	265	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( W ` i ) )
267	260	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
268		elex 3065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> L e. _V )
269	260, 262, 268	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> L e. _V )
270	253	fvmpt2 5979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ L e. _V ) -> ( W ` i ) = L )
271	267, 269, 270	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` i ) = L )
272	266, 271	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = L )
273	272	3adant2 1033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = L )
274	245, 237	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
275	274	eqcomd 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
276	275	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
277	263, 273, 276	3eltr4d 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
278	277	3exp 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
279	262	2a1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
280	278, 279	impbid 195	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
281	259, 280, 262	vtoclg1f 3117	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
282	55, 241, 281	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
283		eqid 2461	. . . . . . 7 |- if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
284		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) } ) )
285	57, 62, 240, 251, 282, 83, 77, 127, 141, 283, 284	fourierdlem33 38040	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
286	141	resabs1d 5152	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
287	286	oveq1d 6329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
288	285, 287	eleqtrd 2541	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
289	162, 164, 166, 170, 171, 175, 233, 288	limcperiod 37745	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) )
290	167	oveq2i 6325	. . . . . 6 |- ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
291	191, 192	pncan3d 10014	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
292	290, 291	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
293	292	oveq2d 6330	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
294	289, 293	eleqtrd 2541	. . 3 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
295	167	oveq2i 6325	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
296	295	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
297	17, 20	iccssred 37639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
298		ax-resscn 9621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
299	297, 298	syl6ss 3455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ CC )
300	25, 44, 43	fourierdlem15 38021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
301	300, 53	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` J ) e. ( C [,] D ) )
302	299, 301	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` J ) e. CC )
303	192, 302	subcld 10011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) e. CC )
304	83	recnd 9694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. CC )
305	191, 303, 304	subsub23d 37537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
306	124, 305	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
307	306	eqcomd 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
308	307	oveq1d 6329	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
309	191, 303	subcld 10011	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) e. CC )
310	309, 192, 191	addsub12d 10034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) -