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Theorem fourierdlem91 37944
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the upper bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem91.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem91.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem91.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem91.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem91.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem91.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem91.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem91.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem91.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem91.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
fourierdlem91.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem91.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
fourierdlem91.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem91.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem91.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem91.J  |-  Z  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem91.17  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem91.u  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
fourierdlem91.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
fourierdlem91.w  |-  W  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem91  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ,  ( W `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    C, f, y    C, i, m, p    x, C    D, f, y    D, i, m, p    x, D    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    f, H    x, H    f, I, k, y   
i, I, x    i, J, x, y    i, M, x    m, M, p   
f, N, k, y   
i, N, x    m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, p    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, f, k, y    T, i, x    x, U, y   
x, W, y    i, Z, x, y    ph, f,
k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( k)    D( k)    P( x, y, f, i, k, m, p)    Q( m)    S( m)    T( m, p)    U( f, i, k, m, p)    E( m, p)    F( f,
k, m, p)    H( y, i, k, m, p)    I( m, p)    J( f,
k, m, p)    L( x, y, f, i, k, m, p)    M( y,
f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)    W( f, i, k, m, p)    Z( f,
k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem91
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem91.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem91.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem91.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 37854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
8 elmapi 7443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10 fzossfz 11884 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
11 fourierdlem91.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( B  -  A
)
12 fourierdlem91.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
13 fourierdlem91.J . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
14 fourierdlem91.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 37890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( Z `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ) ) )
1615simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I : RR --> ( 0..^ M ) )
17 fourierdlem91.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
18 fourierdlem91.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
19 elioore 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  ->  D  e.  RR )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
21 elioo4g 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  <->  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2218, 21sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2322simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  /\  D  < +oo )
)
2423simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  <  D )
25 fourierdlem91.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
26 oveq1 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( x  +  ( k  x.  T
) ) )
2726eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
2827rexbidv 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
2928cbvrabv 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
3029uneq2i 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
31 fourierdlem91.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
32 fourierdlem91.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
3332fveq2i 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( # `  H )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
3433oveq1i 6254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  H )  -  1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
3531, 34eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
36 fourierdlem91.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
37 isoeq5 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( H  =  ( { C ,  D }  u.  {
y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) )
3938iotabii 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) )
4036, 39eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) )
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 37907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
4241simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
4342simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
4442simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4525fourierdlem2 37854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
4743, 46mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
4847simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
49 elmapi 7443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N
) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
51 fourierdlem91.17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
52 elfzofz 11881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
5450, 53ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
5516, 54ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) )
5610, 55sseldi 3400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0 ... M ) )
579, 56ffvelrnd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  RR )
5857rexrd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  RR* )
5958adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) )  e. 
RR* )
60 fzofzp1 11953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
629, 61ffvelrnd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) )  e.  RR )
6362rexrd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) )  e.  RR* )
6463adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )  e. 
RR* )
653, 2, 1fourierdlem11 37863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
6665simp1d 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6766rexrd 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
6865simp2d 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
69 iocssre 11660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
7067, 68, 69syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
7165simp3d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  B )
7266, 68, 71, 11, 12fourierdlem4 37856 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
73 fzofzp1 11953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
7451, 73syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
7550, 74ffvelrnd 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
7672, 75ffvelrnd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  ( A (,] B ) )
7770, 76sseldd 3403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
7877adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
7966, 68iccssred 37494 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
8066, 68, 71, 13fourierdlem17 37869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
8172, 54ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  J )
)  e.  ( A (,] B ) )
8280, 81ffvelrnd 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
8379, 82sseldd 3403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  RR )
8447simprrd 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
85 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  J  ->  ( S `  i )  =  ( S `  J ) )
86 oveq1 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  J  ->  (
i  +  1 )  =  ( J  + 
1 ) )
8786fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  J  ->  ( S `  ( i  +  1 ) )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
8885, 87breq12d 4374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  J  ->  (
( S `  i
)  <  ( S `  ( i  +  1 ) )  <->  ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
8988rspccva 3119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) )  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
9084, 51, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
9154, 75posdifd 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
9290, 91mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
93 eleq1 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
j  e.  ( 0..^ N )  <->  J  e.  ( 0..^ N ) ) )
9493anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
95 oveq1 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  J  ->  (
j  +  1 )  =  ( J  + 
1 ) )
9695fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
9796fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
98 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  j )  =  ( S `  J ) )
9998fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  j ) )  =  ( E `  ( S `  J )
) )
10099fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  J  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  j
) ) )  =  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) )
10197, 100oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )
10296, 98oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
103101, 102eqeq12d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  <->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
10494, 103imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) ) )
10511oveq2i 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  x.  T )  =  ( k  x.  ( B  -  A )
)
106105oveq2i 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )
107106eleq1i 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A
) ) )  e. 
ran  Q )
108107rexbii 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )
109108rgenw 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  A. y  e.  ( C [,] D
) ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q
)
110 rabbi 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  ( C [,] D ) ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )  <->  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
111109, 110mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q }
112111uneq2i 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )
113112fveq2i 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
) )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )
114113oveq1i 6254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
11535, 114eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
116 isoeq5 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
) ) ) )
117112, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
) ) )
118117iotabii 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
) ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
11940, 118eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
120 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S `  j )  +  ( B  -  ( E `  ( S `
 j ) ) ) )  =  ( ( S `  j
)  +  ( B  -  ( E `  ( S `  j ) ) ) )
1213, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 115, 119, 12, 13, 120fourierdlem65 37918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) ) )
122104, 121vtoclg 3077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
123122anabsi7 826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
12451, 123mpdan 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
12592, 124breqtrrd 4388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) ) )
12683, 77posdifd 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  <  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  <->  0  <  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) ) )
127125, 126mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
128100, 97oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( Z `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
12998fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
I `  ( S `  j ) )  =  ( I `  ( S `  J )
) )
130129fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  j
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )
131129oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
( I `  ( S `  j )
)  +  1 )  =  ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) )
132131fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )
133130, 132oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( Q `  (
I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
134128, 133sseq12d 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  <-> 
( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
13594, 134imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
13632, 30eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
137 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  j )  +  if ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  <  ( ( Q `
 1 )  -  A ) ,  ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  /  2 ) ,  ( ( ( Q `  1 )  -  A )  / 
2 ) ) )  =  ( ( S `
 j )  +  if ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) )  < 
( ( Q ` 
1 )  -  A
) ,  ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  /  2 ) ,  ( ( ( Q `
 1 )  -  A )  /  2
) ) )
13811, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 136, 31, 36, 12, 13, 137, 14fourierdlem79 37932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )
139135, 138vtoclg 3077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
140139anabsi7 826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
14151, 140mpdan 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
14257, 62, 83, 77, 127, 141fourierdlem10 37862 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <_  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  /\  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  <_  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
143142simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  <_  ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) )
14457, 83, 77, 143, 127lelttrd 9739 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
145144adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) )  < 
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
14662adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )  e.  RR )
147142simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
148147adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_ 
( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )
149 neqne 37290 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) )  -> 
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =/=  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
150149necomd 2651 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) )  -> 
( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) )  =/=  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
151150adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )  =/=  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
15278, 146, 148, 151leneltd 9735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  < 
( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )
15359, 64, 78, 145, 152eliood 37487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
154 fvres 5834 . . . . 5  |-  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  =  ( F `  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
155153, 154syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( F `
 ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
156155eqcomd 2429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )  ->  ( F `  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
157156ifeq2da 3880 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ,  ( W `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  if ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ,  ( W `  (
I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
158 fourierdlem91.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
159 fdm 5688 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> CC  ->  dom 
F  =  RR )
160158, 159syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  RR )
161160feq2d 5671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  <->  F : RR --> CC ) )
162158, 161mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
163 ioosscn 37483 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  CC
164163a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  CC )
165 ioossre 11642 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  RR
166165, 160syl5sseqr 3451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  dom  F )
167 fourierdlem91.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
16875, 77resubcld 9993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
169167, 168syl5eqel 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
170169recnd 9615 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
171 eqid 2423 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) }  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) }
17283, 77, 169iooshift 37515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) )  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } )
173 ioossre 11642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  C_  RR
174173, 160syl5sseqr 3451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) ) 
C_  dom  F )
175172, 174eqsstr3d 3437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) x  =  ( y  +  U
) }  C_  dom  F )
176 elioore 11612 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
17768, 66resubcld 9993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
17811, 177syl5eqel 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
179178recnd 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
18066, 68posdifd 10146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
18171, 180mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
182181, 11syl6breqr 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  T )
183182gt0ne0d 10124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
184170, 179, 183divcan1d 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( U  /  T )  x.  T
)  =  U )
185184eqcomd 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( U  /  T )  x.  T ) )
186185oveq2d 6260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  +  U
)  =  ( y  +  ( ( U  /  T )  x.  T ) ) )
187186adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  U )  =  ( y  +  ( ( U  /  T
)  x.  T ) ) )
188187fveq2d 5824 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  U ) )  =  ( F `  (
y  +  ( ( U  /  T )  x.  T ) ) ) )
189158adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : RR
--> CC )
190178adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
19177recnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
19275recnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
193191, 192negsubdi2d 9948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
194193eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  -u ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
195194oveq1d 6259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  /  T )  =  ( -u (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )
196167oveq1i 6254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  /  T )  =  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  /  T )
197196a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  =  ( ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  /  T ) )
19812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
199 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  x  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
200 oveq2 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
201200oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )
202201fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
203202oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
204199, 203oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
205204adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
20668, 75resubcld 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
207206, 178, 183redivcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  RR )
208207flcld 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  ZZ )
209208zred 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  RR )
210209, 178remulcld 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
21175, 210readdcld 9616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
212198, 205, 75, 211fvmptd 5909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
213212oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
214208zcnd 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  CC )
215214, 179mulcld 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  CC )
216192, 215pncan2d 9934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
217213, 216eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
218217, 215eqeltrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  CC )
219218, 179, 183divnegd 10342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  =  (
-u ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )
220195, 197, 2193eqtr4d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  =  -u (
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )
221217oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
222214, 179, 183divcan4d 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) ) )
223221, 222eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
224223, 208eqeltrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  ZZ )
225224znegcld 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  e.  ZZ )
226220, 225eqeltrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  e.  ZZ )
227226adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( U  /  T )  e.  ZZ )
228 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
229 fourierdlem91.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
230229adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
231189, 190, 227, 228, 230fperiodmul 37419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  ( ( U  /  T )  x.  T
) ) )  =  ( F `  y
) )
232188, 231eqtrd 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  U ) )  =  ( F `  y
) )
233176, 232sylan2 476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  +  U
) )  =  ( F `  y ) )
2346simprrd 765 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
235 fveq2 5820 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) )
236 oveq1 6251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )
237236fveq2d 5824 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) )
238235, 237breq12d 4374 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( Q `  i )  <  ( Q `  (
i  +  1 ) )  <->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
239238rspccva 3119 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
240234, 55, 239syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  <  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
24155ancli 553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )
242 eleq1 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) ) )
243242anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <-> 
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
244235, 237oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
245244reseq2d 5062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) )
246244oveq1d 6259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> CC )  =  ( ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
247245, 246eleq12d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  <-> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
248243, 247imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )  <->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) ) )
249 fourierdlem91.fcn . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
250248, 249vtoclg 3077 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
25155, 241, 250sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
252 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )
253 fourierdlem91.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )
254 nfmpt1 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )
255253, 254nfcxfr 2562 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i W
256 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( I `  ( S `  J )
)
257255, 256nffv 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( W `  (
I `  ( S `  J ) ) )
258257nfel1 2578 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( W `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
259252, 258nfim 1980 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( W `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
260243biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
2612603adant2 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
262 fourierdlem91.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
263261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
264 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) )
265264eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J )
) )  =  ( W `  i ) )
266265adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J
) ) )  =  ( W `  i
) )
267260simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
268 elex 3026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  ->  L  e.  _V )
269260, 262, 2683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  L  e.  _V )
270253fvmpt2 5912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  L  e.  _V )  ->  ( W `  i )  =  L )
271267, 269, 270syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( W `  i )  =  L )
272266, 271eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J
) ) )  =  L )
2732723adant2 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J )
) )  =  L )
274245, 237oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) ) )
275274eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
2762753ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
277263, 273, 2763eltr4d 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) ) )
2782773exp 1204 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
2792622a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( W `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
280278, 279impbid 193 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( W `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
281259, 280, 262vtoclg1f 3076 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( W `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
28255, 241, 281sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
283 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  if ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ,  ( W `  (
I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  if ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) ,  ( W `  (
I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
284 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  u.  { ( Q `
 ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) ) } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  u.  {
( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) } ) )
28557, 62, 240, 251, 282, 83, 77, 127, 141, 283, 284fourierdlem33 37886 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ,  ( W `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
286141resabs1d 5091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
287286oveq1d 6259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
288285, 287eleqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ,  ( W `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
289162, 164, 166, 170, 171, 175, 233, 288limcperiod 37591 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ,  ( W `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } ) lim CC  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) ) )
290167oveq2i 6255 . . . . . 6  |-  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
291191, 192pncan3d 9935 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
292290, 291syl5eq 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
293292oveq2d 6260 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) x  =  ( y  +  U
) } ) lim CC  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  =  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } ) lim CC  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )
294289, 293eleqtrd 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ,  ( W `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } ) lim CC  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )
295167oveq2i 6255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U )  =  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
296295a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
29717, 20iccssred 37494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
298 ax-resscn 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
299297, 298syl6ss 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  CC )
30025, 44, 43fourierdlem15 37867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
301300, 53ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  ( C [,] D ) )
302299, 301sseldd 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  CC )
303192, 302subcld 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
)  e.  CC )
30483recnd 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
305191, 303, 304subsub23d 37397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  =  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  <-> 
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
306124, 305mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) )
307306eqcomd 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
308307oveq1d 6259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
309191, 303subcld 9932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
310309, 192, 191addsub12d 9955 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E