Theorem fourierdlem91 37944

Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the upper bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem91.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem91.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem91.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem91.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem91.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem91.6	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem91.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem91.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem91.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem91.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem91.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem91.h	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem91.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem91.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem91.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem91.J	|- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem91.17	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem91.u	|- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem91.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
fourierdlem91.w	|- W = ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem91	|- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( J + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   f, E, k, y   i, E, x   i, F, x, y   f, H   x, H   f, I, k, y   i, I, x   i, J, x, y   i, M, x   m, M, p   f, N, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, f, k, y   T, i, x   x, U, y   x, W, y   i, Z, x, y   ph, f, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( k)   D( k)   P( x, y, f, i, k, m, p)   Q( m)   S( m)   T( m, p)   U( f, i, k, m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   H( y, i, k, m, p)   I( m, p)   J( f, k, m, p)   L( x, y, f, i, k, m, p)   M( y, f, k)   O( x, y, f, i, k, m, p)   W( f, i, k, m, p)   Z( f, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem91

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem91.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem91.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem91.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 37854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		elmapi 7443	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10		fzossfz 11884	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
11		fourierdlem91.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( B - A )
12		fourierdlem91.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
13		fourierdlem91.J	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
14		fourierdlem91.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
15	3, 2, 1, 11, 12, 13, 14	fourierdlem37 37890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } ) ) )
16	15	simpld 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem91.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. RR )
18		fourierdlem91.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
19		elioore 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. RR )
21		elioo4g 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
22	18, 21	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
23	22	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) )
24	23	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C < D )
25		fourierdlem91.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
26		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( y + ( k x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
27	26	eleq1d 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
28	27	rexbidv 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
29	28	cbvrabv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
30	29	uneq2i 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
31		fourierdlem91.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
32		fourierdlem91.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
33	32	fveq2i 5823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
34	33	oveq1i 6254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
35	31, 34	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
36		fourierdlem91.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
37		isoeq5 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
38	32, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
39	38	iotabii 5525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
40	36, 39	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
41	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40	fourierdlem54 37907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
42	41	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
43	42	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
44	42	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN )
45	25	fourierdlem2 37854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
47	43, 46	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
48	47	simpld 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
49		elmapi 7443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		fourierdlem91.17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
52		elfzofz 11881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
54	50, 53	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
55	16, 54	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
56	10, 55	sseldi 3400	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0 ... M ) )
57	9, 56	ffvelrnd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
58	57	rexrd 9636	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
59	58	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
60		fzofzp1 11953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
62	9, 61	ffvelrnd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR )
63	62	rexrd 9636	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
64	63	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
65	3, 2, 1	fourierdlem11 37863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
66	65	simp1d 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
67	66	rexrd 9636	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR* )
68	65	simp2d 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
69		iocssre 11660	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
70	67, 68, 69	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
71	65	simp3d 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < B )
72	66, 68, 71, 11, 12	fourierdlem4 37856	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
73		fzofzp1 11953	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
74	51, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
75	50, 74	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
76	72, 75	ffvelrnd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( A (,] B ) )
77	70, 76	sseldd 3403	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
78	77	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
79	66, 68	iccssred 37494	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
80	66, 68, 71, 13	fourierdlem17 37869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
81	72, 54	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` ( S ` J ) ) e. ( A (,] B ) )
82	80, 81	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( A [,] B ) )
83	79, 82	sseldd 3403	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
84	47	simprrd 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
85		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` i ) = ( S ` J ) )
86		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = J -> ( i + 1 ) = ( J + 1 ) )
87	86	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` ( i + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
88	85, 87	breq12d 4374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = J -> ( ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
89	88	rspccva 3119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
90	84, 51, 89	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
91	54, 75	posdifd 10146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) <-> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
92	90, 91	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
93		eleq1 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( j e. ( 0..^ N ) <-> J e. ( 0..^ N ) ) )
94	93	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) <-> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) ) )
95		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = J -> ( j + 1 ) = ( J + 1 ) )
96	95	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( S ` ( j + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
97	96	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
98		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = J -> ( S ` j ) = ( S ` J ) )
99	98	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( E ` ( S ` J ) ) )
100	99	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
101	97, 100	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
102	96, 98	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
103	101, 102	eqeq12d 2438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
104	94, 103	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) ) )
105	11	oveq2i 6255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) )
106	105	oveq2i 6255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) )
107	106	eleq1i 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
108	107	rexbii 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
109	108	rgenw 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
110		rabbi 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) <-> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
111	109, 110	mpbi 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q }
112	111	uneq2i 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
113	112	fveq2i 5823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
114	113	oveq1i 6254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
115	35, 114	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
116		isoeq5 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
117	112, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
118	117	iotabii 5525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
119	40, 118	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
120		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
121	3, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 115, 119, 12, 13, 120	fourierdlem65 37918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
122	104, 121	vtoclg 3077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
123	122	anabsi7 826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
124	51, 123	mpdan 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
125	92, 124	breqtrrd 4388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
126	83, 77	posdifd 10146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
127	125, 126	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
128	100, 97	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
129	98	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( I ` ( S ` j ) ) = ( I ` ( S ` J ) ) )
130	129	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
131	129	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
132	131	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
133	130, 132	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
134	128, 133	sseq12d 3431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) <-> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
135	94, 134	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
136	32, 30	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
137		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) ) = ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) )
138	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 136, 31, 36, 12, 13, 137, 14	fourierdlem79 37932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) )
139	135, 138	vtoclg 3077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
140	139	anabsi7 826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
141	51, 140	mpdan 672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
142	57, 62, 83, 77, 127, 141	fourierdlem10 37862	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) /\ ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
143	142	simpld 460	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
144	57, 83, 77, 143, 127	lelttrd 9739	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
145	144	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
146	62	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR )
147	142	simprd 464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
148	147	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
149		neqne 37290	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) =/= ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
150	149	necomd 2651	. . . . . . . 8 |- ( -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) =/= ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
151	150	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) =/= ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
152	78, 146, 148, 151	leneltd 9735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
153	59, 64, 78, 145, 152	eliood 37487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
154		fvres 5834	. . . . 5 |- ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
155	153, 154	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
156	155	eqcomd 2429	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
157	156	ifeq2da 3880	. 2 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
158		fourierdlem91.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> CC )
159		fdm 5688	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
160	158, 159	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = RR )
161	160	feq2d 5671	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC <-> F : RR --> CC ) )
162	158, 161	mpbird 235	. . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
163		ioosscn 37483	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC
164	163	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC )
165		ioossre 11642	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ RR
166	165, 160	syl5sseqr 3451	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ dom F )
167		fourierdlem91.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
168	75, 77	resubcld 9993	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
169	167, 168	syl5eqel 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
170	169	recnd 9615	. . . . 5 |- ( ph -> U e. CC )
171		eqid 2423	. . . . 5 |- { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) }
172	83, 77, 169	iooshift 37515	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } )
173		ioossre 11642	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ RR
174	173, 160	syl5sseqr 3451	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ dom F )
175	172, 174	eqsstr3d 3437	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } C_ dom F )
176		elioore 11612	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
177	68, 66	resubcld 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
178	11, 177	syl5eqel 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. RR )
179	178	recnd 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
180	66, 68	posdifd 10146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
181	71, 180	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
182	181, 11	syl6breqr 4402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < T )
183	182	gt0ne0d 10124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T =/= 0 )
184	170, 179, 183	divcan1d 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U / T ) x. T ) = U )
185	184	eqcomd 2429	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U = ( ( U / T ) x. T ) )
186	185	oveq2d 6260	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
187	186	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
188	187	fveq2d 5824	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) )
189	158	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : RR --> CC )
190	178	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. RR )
191	77	recnd 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
192	75	recnd 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
193	191, 192	negsubdi2d 9948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
194	193	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
195	194	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
196	167	oveq1i 6254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T )
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) )
198	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
199		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
200		oveq2 6252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
201	200	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
202	201	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
203	202	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
204	199, 203	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
205	204	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
206	68, 75	resubcld 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
207	206, 178, 183	redivcld 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
208	207	flcld 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
209	208	zred 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
210	209, 178	remulcld 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
211	75, 210	readdcld 9616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
212	198, 205, 75, 211	fvmptd 5909	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
213	212	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
214	208	zcnd 10987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. CC )
215	214, 179	mulcld 9609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
216	192, 215	pncan2d 9934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
217	213, 216	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
218	217, 215	eqeltrd 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
219	218, 179, 183	divnegd 10342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
220	195, 197, 219	3eqtr4d 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U / T ) = -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
221	217	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) )
222	214, 179, 183	divcan4d 10335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
223	221, 222	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
224	223, 208	eqeltrd 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
225	224	znegcld 10988	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
226	220, 225	eqeltrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U / T ) e. ZZ )
227	226	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( U / T ) e. ZZ )
228		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
229		fourierdlem91.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
230	229	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
231	189, 190, 227, 228, 230	fperiodmul 37419	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) = ( F ` y ) )
232	188, 231	eqtrd 2457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
233	176, 232	sylan2 476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
234	6	simprrd 765	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
235		fveq2 5820	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
236		oveq1 6251	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
237	236	fveq2d 5824	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
238	235, 237	breq12d 4374	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
239	238	rspccva 3119	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
240	234, 55, 239	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
241	55	ancli 553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
242		eleq1 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
243	242	anbi2d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) )
244	235, 237	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
245	244	reseq2d 5062	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
246	244	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
247	245, 246	eleq12d 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) <-> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
248	243, 247	imbi12d 321	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
249		fourierdlem91.fcn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
250	248, 249	vtoclg 3077	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
251	55, 241, 250	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
252		nfv 1755	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
253		fourierdlem91.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )
254		nfmpt1 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )
255	253, 254	nfcxfr 2562	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i W
256		nfcv 2564	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( I ` ( S ` J ) )
257	255, 256	nffv 5827	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) )
258	257	nfel1 2578	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
259	252, 258	nfim 1980	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
260	243	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
261	260	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
262		fourierdlem91.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
263	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
264		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( W ` i ) = ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
265	264	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( W ` i ) )
266	265	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( W ` i ) )
267	260	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
268		elex 3026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> L e. _V )
269	260, 262, 268	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> L e. _V )
270	253	fvmpt2 5912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ L e. _V ) -> ( W ` i ) = L )
271	267, 269, 270	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` i ) = L )
272	266, 271	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = L )
273	272	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = L )
274	245, 237	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
275	274	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
276	275	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
277	263, 273, 276	3eltr4d 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
278	277	3exp 1204	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
279	262	2a1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
280	278, 279	impbid 193	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
281	259, 280, 262	vtoclg1f 3076	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
282	55, 241, 281	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
283		eqid 2423	. . . . . . 7 |- if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
284		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) } ) )
285	57, 62, 240, 251, 282, 83, 77, 127, 141, 283, 284	fourierdlem33 37886	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
286	141	resabs1d 5091	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
287	286	oveq1d 6259	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
288	285, 287	eleqtrd 2503	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
289	162, 164, 166, 170, 171, 175, 233, 288	limcperiod 37591	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) )
290	167	oveq2i 6255	. . . . . 6 |- ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
291	191, 192	pncan3d 9935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
292	290, 291	syl5eq 2469	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
293	292	oveq2d 6260	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
294	289, 293	eleqtrd 2503	. . 3 |- ( ph -> if ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) , ( W ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
295	167	oveq2i 6255	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
296	295	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
297	17, 20	iccssred 37494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
298		ax-resscn 9542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
299	297, 298	syl6ss 3414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ CC )
300	25, 44, 43	fourierdlem15 37867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
301	300, 53	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` J ) e. ( C [,] D ) )
302	299, 301	sseldd 3403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` J ) e. CC )
303	192, 302	subcld 9932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) e. CC )
304	83	recnd 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. CC )
305	191, 303, 304	subsub23d 37397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
306	124, 305	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
307	306	eqcomd 2429	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
308	307	oveq1d 6259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
309	191, 303	subcld 9932	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) e. CC )
310	309, 192, 191	addsub12d 9955	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E