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Theorem fourierdlem89 37942
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem89.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem89.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem89.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem89.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem89.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem89.per  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem89.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem89.limc  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem89.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem89.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
fourierdlem89.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem89.12  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
fourierdlem89.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem89.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem89.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem89.z  |-  Z  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem89.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem89.u  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
fourierdlem89.20  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
fourierdlem89.21  |-  V  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem89  |-  ( ph  ->  if ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( F `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  J )
) )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    C, f, y    C, i, m, p    x, C    D, f, y    D, i, m, p    x, D    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    f, I, k, y    i, I, x   
i, J, x, y   
i, M, x    m, M, p    f, N, k, y    i, N, x   
m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, p    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, f, k, y    T, i, x    x, U, y   
x, V, y    i, Z, x, y    ph, f,
k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( k)    D( k)    P( x, y, f, i, k, m, p)    Q( m)    R( x, y, f, i, k, m, p)    S( m)    T( m, p)    U( f, i, k, m, p)    E( m, p)    F( f,
k, m, p)    H( x, y, f, i, k, m, p)    I( m, p)    J( f, k, m, p)    M( y, f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)    V( f, i, k, m, p)    Z( f, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem89
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem89.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem89.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem89.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 37854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
8 elmapi 7443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10 fzossfz 11884 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
11 fourierdlem89.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  ( B  -  A
)
12 fourierdlem89.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
13 fourierdlem89.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
14 fourierdlem89.20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 37890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( Z `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ) ) )
1615simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I : RR --> ( 0..^ M ) )
17 fourierdlem89.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
18 fourierdlem89.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
19 elioore 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  ->  D  e.  RR )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
21 elioo4g 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  <->  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2218, 21sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2322simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  /\  D  < +oo )
)
2423simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  <  D )
25 fourierdlem89.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
26 oveq1 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( x  +  ( k  x.  T
) ) )
2726eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
2827rexbidv 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
2928cbvrabv 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
3029uneq2i 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
31 fourierdlem89.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
32 fourierdlem89.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
3332fveq2i 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( # `  H )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
3433oveq1i 6254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  H )  -  1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
3531, 34eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
36 fourierdlem89.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
37 isoeq5 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( H  =  ( { C ,  D }  u.  {
y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) )
3938iotabii 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) )
4036, 39eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) )
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 37907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
4241simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
4342simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
4442simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4525fourierdlem2 37854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
4743, 46mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
4847simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
49 elmapi 7443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N
) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
51 fourierdlem89.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
52 elfzofz 11881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
5450, 53ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
5516, 54ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) )
5610, 55sseldi 3400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0 ... M ) )
579, 56ffvelrnd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  RR )
5857rexrd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  RR* )
5958adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  RR* )
60 fzofzp1 11953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
629, 61ffvelrnd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) )  e.  RR )
6362rexrd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) )  e.  RR* )
6463adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )  e.  RR* )
653, 2, 1fourierdlem11 37863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
6665simp1d 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6765simp2d 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6866, 67iccssred 37494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
6965simp3d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  B )
7066, 67, 69, 13fourierdlem17 37869 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
7166, 67, 69, 11, 12fourierdlem4 37856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
7271, 54ffvelrnd 5977 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  J )
)  e.  ( A (,] B ) )
7370, 72ffvelrnd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
7468, 73sseldd 3403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  RR )
7574adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J )
) )  e.  RR )
7657adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  RR )
7766rexrd 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
78 iocssre 11660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
7977, 67, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
80 fzofzp1 11953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
8151, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
8250, 81ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
8371, 82ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  ( A (,] B ) )
8479, 83sseldd 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
8547simprrd 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
86 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  J  ->  ( S `  i )  =  ( S `  J ) )
87 oveq1 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  J  ->  (
i  +  1 )  =  ( J  + 
1 ) )
8887fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  J  ->  ( S `  ( i  +  1 ) )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
8986, 88breq12d 4374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  J  ->  (
( S `  i
)  <  ( S `  ( i  +  1 ) )  <->  ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
9089rspccva 3119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) )  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
9185, 51, 90syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
9254, 82posdifd 10146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
9391, 92mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
9451ancli 553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) ) )
95 eleq1 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
j  e.  ( 0..^ N )  <->  J  e.  ( 0..^ N ) ) )
9695anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  <->  ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
97 oveq1 6251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  J  ->  (
j  +  1 )  =  ( J  + 
1 ) )
9897fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
9998fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
100 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  J  ->  ( S `  j )  =  ( S `  J ) )
101100fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  J  ->  ( E `  ( S `  j ) )  =  ( E `  ( S `  J )
) )
102101fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  j
) ) )  =  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) )
10399, 102oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )
10498, 100oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )
105103, 104eqeq12d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  <->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
10696, 105imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) ) )
10711oveq2i 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  x.  T )  =  ( k  x.  ( B  -  A )
)
108107oveq2i 6255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )
109108eleq1i 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A
) ) )  e. 
ran  Q )
110109rexbii 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )
111110rgenw 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. y  e.  ( C [,] D
) ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q
)
112 rabbi 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  ( C [,] D ) ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )  <->  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
113111, 112mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q }
114113uneq2i 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )
115114fveq2i 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
) )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )
116115oveq1i 6254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
11735, 116eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
118 isoeq5 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
) ) ) )
119114, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )  <->  f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
) ) )
120119iotabii 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
) ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
12140, 120eqtri 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
122 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S `  j )  +  ( B  -  ( E `  ( S `
 j ) ) ) )  =  ( ( S `  j
)  +  ( B  -  ( E `  ( S `  j ) ) ) )
1233, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122fourierdlem65 37918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) )  =  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) ) )
124106, 123vtoclg 3077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) ) )
12551, 94, 124sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
12693, 125breqtrrd 4388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) ) )
12774, 84posdifd 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  <  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  <->  0  <  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) ) )
128126, 127mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
129 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ph )
130102, 99oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( Z `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
131100fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
I `  ( S `  j ) )  =  ( I `  ( S `  J )
) )
132131fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  j
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )
133131oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  J  ->  (
( I `  ( S `  j )
)  +  1 )  =  ( ( I `
 ( S `  J ) )  +  1 ) )
134133fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) )  =  ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) )
135132, 134oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
( Q `  (
I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
136130, 135sseq12d 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) )  <-> 
( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
13796, 136imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
138 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  j )  +  if ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  <  ( ( Q `
 1 )  -  A ) ,  ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j )
)  /  2 ) ,  ( ( ( Q `  1 )  -  A )  / 
2 ) ) )  =  ( ( S `
 j )  +  if ( ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( S `  j ) )  < 
( ( Q ` 
1 )  -  A
) ,  ( ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( S `
 j ) )  /  2 ) ,  ( ( ( Q `
 1 )  -  A )  /  2
) ) )
13911, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14fourierdlem79 37932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ) )
140137, 139vtoclg 3077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) )
141140anabsi7 826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
142129, 51, 141syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
14357, 62, 74, 84, 128, 142fourierdlem10 37862 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <_  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  /\  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  <_  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
144143simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  <_  ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) )
145144adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <_  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) )
146 neqne 37290 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =/=  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )
147146adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J )
) )  =/=  ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) )
14876, 75, 145, 147leneltd 9735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) )
149143simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
15074, 84, 62, 128, 149ltletrd 9741 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  <  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
151150adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J )
) )  <  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
15259, 64, 75, 148, 151eliood 37487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
153 fvres 5834 . . . . 5  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  e.  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( F `  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) ) )
154152, 153syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( F `  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) ) )
155154eqcomd 2429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) )  =  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) )  ->  ( F `  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )
156155ifeq2da 3880 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( F `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )  =  if ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( V `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) ) )
157 fourierdlem89.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
158 fdm 5688 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> CC  ->  dom 
F  =  RR )
159157, 158syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  RR )
160159feq2d 5671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  <->  F : RR --> CC ) )
161157, 160mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
162 ioosscn 37483 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  CC
163162a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  CC )
164 ioossre 11642 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  C_  RR
165164, 159syl5sseqr 3451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) 
C_  dom  F )
166 fourierdlem89.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
16782, 84resubcld 9993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
168166, 167syl5eqel 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
169168recnd 9615 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
170 eqid 2423 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) }  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) }
17174, 84, 168iooshift 37515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) )  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } )
172 ioossre 11642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U ) (,) ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  +  U ) )  C_  RR
173172, 159syl5sseqr 3451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  U
) (,) ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  +  U ) ) 
C_  dom  F )
174171, 173eqsstr3d 3437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) x  =  ( y  +  U
) }  C_  dom  F )
175 elioore 11612 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
17667, 66resubcld 9993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
17711, 176syl5eqel 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
178177recnd 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
17966, 67posdifd 10146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
18069, 179mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
181180, 11syl6breqr 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  T )
182181gt0ne0d 10124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
183169, 178, 182divcan1d 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( U  /  T )  x.  T
)  =  U )
184183eqcomd 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( U  /  T )  x.  T ) )
185184oveq2d 6260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  +  U
)  =  ( y  +  ( ( U  /  T )  x.  T ) ) )
186185adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  U )  =  ( y  +  ( ( U  /  T
)  x.  T ) ) )
187186fveq2d 5824 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  U ) )  =  ( F `  (
y  +  ( ( U  /  T )  x.  T ) ) ) )
188157adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : RR
--> CC )
189177adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
19084recnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
19182recnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
192190, 191negsubdi2d 9948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
193192eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  -u ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
194193oveq1d 6259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  /  T )  =  ( -u (
( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )
195166oveq1i 6254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  /  T )  =  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  /  T )
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  =  ( ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  /  T ) )
19712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
198 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  x  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
199 oveq2 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
200199oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )
201200fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
202201oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
203198, 202oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
204203adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
20567, 82resubcld 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
206205, 177, 182redivcld 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  RR )
207206flcld 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  ZZ )
208207zred 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  RR )
209208, 177remulcld 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
21082, 209readdcld 9616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
211197, 204, 82, 210fvmptd 5909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
212211oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
213208recnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  CC )
214213, 178mulcld 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  CC )
215191, 214pncan2d 9934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
216212, 215eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
217216, 214eqeltrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  CC )
218217, 178, 182divnegd 10342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  =  (
-u ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )
219194, 196, 2183eqtr4d 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  =  -u (
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )
220216oveq1d 6259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
221213, 178, 182divcan4d 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) ) )
222220, 221eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  =  ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
223222, 207eqeltrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  ZZ )
224223znegcld 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T )  e.  ZZ )
225219, 224eqeltrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  e.  ZZ )
226225adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( U  /  T )  e.  ZZ )
227 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
228 fourierdlem89.per . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
229228adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
230188, 189, 226, 227, 229fperiodmul 37419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  ( ( U  /  T )  x.  T
) ) )  =  ( F `  y
) )
231187, 230eqtrd 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 ( y  +  U ) )  =  ( F `  y
) )
232175, 231sylan2 476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  ->  ( F `  ( y  +  U
) )  =  ( F `  y ) )
2336simprrd 765 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
234 fveq2 5820 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) )
235 oveq1 6251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) )
236235fveq2d 5824 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `
 J ) )  +  1 ) ) )
237234, 236breq12d 4374 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( Q `  i )  <  ( Q `  (
i  +  1 ) )  <->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
238237rspccva 3119 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) )  <  ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
239233, 55, 238syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) )  <  ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
24055ancli 553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )
241 eleq1 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) ) )
242241anbi2d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <-> 
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
243234, 236oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
244243reseq2d 5062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) )
245243oveq1d 6259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> CC )  =  ( ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
246244, 245eleq12d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  <-> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
247242, 246imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )  <->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) ) )
248 fourierdlem89.fcn . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
249247, 248vtoclg 3077 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) ) )
25055, 240, 249sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
251 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )
252 fourierdlem89.21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )
253 nfmpt1 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )
254252, 253nfcxfr 2562 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i V
255 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( I `  ( S `  J )
)
256254, 255nffv 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( V `  (
I `  ( S `  J ) ) )
257256nfel1 2578 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( V `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) )
258251, 257nfim 1980 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J )
)  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( V `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ) )
259242biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
2602593adant2 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) ) )
261 fourierdlem89.limc . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
263 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( V `  i )  =  ( V `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) )
264263eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) )  =  ( V `  i ) )
265264adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J
) ) )  =  ( V `  i
) )
266259simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
267 elex 3026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  ->  R  e.  _V )
268259, 261, 2673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  R  e.  _V )
269252fvmpt2 5912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  R  e.  _V )  ->  ( V `  i )  =  R )
270266, 268, 269syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( V `  i )  =  R )
271265, 270eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ph  /\  ( I `
 ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J
) ) )  =  R )
2722713adant2 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) )  =  R )
273244, 234oveq12d 6262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J
) ) ) (,) ( Q `  (
( I `  ( S `  J )
)  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ) )
274273eqcomd 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
2752743ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
276262, 272, 2753eltr4d 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  ( I `
 ( S `  J ) )  /\  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )  /\  ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ) )
2772763exp 1204 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )  ->  (
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ) ) ) )
2782612a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  (
I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ) )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) ) ) )
279277, 278impbid 193 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( I `  ( S `  J ) )  ->  ( (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( V `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ) ) ) )
280258, 279, 261vtoclg1f 3076 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  ( S `
 J ) )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  ( I `  ( S `  J ) )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( V `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ) ) )
28155, 240, 280sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V `  (
I `  ( S `  J ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I `  ( S `  J ) ) ) ) )
282 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  if ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( V `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )  =  if ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( V `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) ) )
283 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) [,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) [,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )
28457, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283fourierdlem32 37885 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )
285142resabs1d 5091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
286285oveq1d 6259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  ( I `  ( S `  J )
) ) (,) ( Q `  ( (
I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J
) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )
287284, 286eleqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) lim CC  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )
288161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287limcperiod 37591 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( Q `  ( I `
 ( S `  J ) ) ) ,  ( V `  ( I `  ( S `  J )
) ) ,  ( ( F  |`  (
( Q `  (
I `  ( S `  J ) ) ) (,) ( Q `  ( ( I `  ( S `  J ) )  +  1 ) ) ) ) `  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } ) lim CC  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U ) ) )
289166oveq2i 6255 . . . . . . 7  |-  ( ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  +  U )  =  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
290289a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
29117, 20iccssred 37494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
292 ax-resscn 9542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
293291, 292syl6ss 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  CC )
29425, 44, 43fourierdlem15 37867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
295294, 53ffvelrnd 5977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  ( C [,] D ) )
296293, 295sseldd 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  CC )
297191, 296subcld 9932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
)  e.  CC )
29874recnd 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
299190, 297, 298subsub23d 37397 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  =  ( Z `  ( E `
 ( S `  J ) ) )  <-> 
( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( Z `
 ( E `  ( S `  J ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
300125, 299mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) )
301300eqcomd 2429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) )  =  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
302301oveq1d 6259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) ) )
303190, 297subcld 9932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  e.  CC )
304303, 191, 190addsub12d 9955 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
305190, 297, 190sub32d 9964 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) ) )
306190subidd 9920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  =  0 )
307306oveq1d 6259 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  =  ( 0  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) ) )
308 df-neg 9809 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) )  =  ( 0  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )
309191, 296negsubdi2d 9948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  -  ( S `  J ) )  =  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
310308, 309syl5eqr 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  -  (
( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `
 J ) ) )  =  ( ( S `  J )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
311305, 307, 3103eqtrd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  =  ( ( S `
 J )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
312311oveq2d 6260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( S `  J ) ) )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( S `  J
)  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) )
313191, 296pncan3d 9935 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( S `  J
)  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( S `
 J ) )
314304, 312, 3133eqtrd 2461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( ( S `  ( J  +  1
) )  -  ( S `  J )
) )  +  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )  =  ( S `
 J ) )
315290, 302, 3143eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U )  =  ( S `  J ) )
316315oveq2d 6260 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `  J ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) x  =  ( y  +  U
) } ) lim CC  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) )  +  U ) )  =  ( ( F  |`  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 J ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) x  =  ( y  +  U ) } ) lim CC  ( S `
 J ) ) )
317288, 316