Theorem fourierdlem89 37942

Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem89.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem89.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem89.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem89.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem89.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem89.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem89.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem89.limc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem89.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem89.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem89.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem89.12	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem89.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem89.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem89.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem89.z	|- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem89.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem89.u	|- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem89.20	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
fourierdlem89.21	|- V = ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem89	|- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` J ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   f, E, k, y   i, E, x   i, F, x, y   f, I, k, y   i, I, x   i, J, x, y   i, M, x   m, M, p   f, N, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, f, k, y   T, i, x   x, U, y   x, V, y   i, Z, x, y   ph, f, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( k)   D( k)   P( x, y, f, i, k, m, p)   Q( m)   R( x, y, f, i, k, m, p)   S( m)   T( m, p)   U( f, i, k, m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   H( x, y, f, i, k, m, p)   I( m, p)   J( f, k, m, p)   M( y, f, k)   O( x, y, f, i, k, m, p)   V( f, i, k, m, p)   Z( f, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem89

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem89.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem89.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem89.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 37854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		elmapi 7443	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10		fzossfz 11884	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
11		fourierdlem89.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( B - A )
12		fourierdlem89.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
13		fourierdlem89.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
14		fourierdlem89.20	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
15	3, 2, 1, 11, 12, 13, 14	fourierdlem37 37890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } ) ) )
16	15	simpld 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem89.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. RR )
18		fourierdlem89.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
19		elioore 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. RR )
21		elioo4g 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
22	18, 21	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
23	22	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) )
24	23	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C < D )
25		fourierdlem89.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
26		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( y + ( k x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
27	26	eleq1d 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
28	27	rexbidv 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
29	28	cbvrabv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
30	29	uneq2i 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
31		fourierdlem89.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
32		fourierdlem89.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
33	32	fveq2i 5823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
34	33	oveq1i 6254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
35	31, 34	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
36		fourierdlem89.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
37		isoeq5 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
38	32, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
39	38	iotabii 5525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
40	36, 39	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
41	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40	fourierdlem54 37907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
42	41	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
43	42	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
44	42	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN )
45	25	fourierdlem2 37854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
47	43, 46	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
48	47	simpld 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
49		elmapi 7443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		fourierdlem89.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
52		elfzofz 11881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
54	50, 53	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
55	16, 54	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
56	10, 55	sseldi 3400	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0 ... M ) )
57	9, 56	ffvelrnd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
58	57	rexrd 9636	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
59	58	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
60		fzofzp1 11953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
62	9, 61	ffvelrnd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR )
63	62	rexrd 9636	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
64	63	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
65	3, 2, 1	fourierdlem11 37863	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
66	65	simp1d 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
67	65	simp2d 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
68	66, 67	iccssred 37494	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
69	65	simp3d 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < B )
70	66, 67, 69, 13	fourierdlem17 37869	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
71	66, 67, 69, 11, 12	fourierdlem4 37856	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
72	71, 54	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ` ( S ` J ) ) e. ( A (,] B ) )
73	70, 72	ffvelrnd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( A [,] B ) )
74	68, 73	sseldd 3403	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
75	74	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
76	57	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
77	66	rexrd 9636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
78		iocssre 11660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
79	77, 67, 78	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
80		fzofzp1 11953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
81	51, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
82	50, 81	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
83	71, 82	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( A (,] B ) )
84	79, 83	sseldd 3403	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
85	47	simprrd 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
86		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` i ) = ( S ` J ) )
87		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = J -> ( i + 1 ) = ( J + 1 ) )
88	87	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` ( i + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
89	86, 88	breq12d 4374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = J -> ( ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
90	89	rspccva 3119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
91	85, 51, 90	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
92	54, 82	posdifd 10146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) <-> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
93	91, 92	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
94	51	ancli 553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) )
95		eleq1 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( j e. ( 0..^ N ) <-> J e. ( 0..^ N ) ) )
96	95	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) <-> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) ) )
97		oveq1 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( j + 1 ) = ( J + 1 ) )
98	97	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( S ` ( j + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
99	98	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
100		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( S ` j ) = ( S ` J ) )
101	100	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( E ` ( S ` J ) ) )
102	101	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
103	99, 102	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
104	98, 100	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
105	103, 104	eqeq12d 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
106	96, 105	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) ) )
107	11	oveq2i 6255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) )
108	107	oveq2i 6255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) )
109	108	eleq1i 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
110	109	rexbii 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
111	110	rgenw 2721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
112		rabbi 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) <-> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
113	111, 112	mpbi 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q }
114	113	uneq2i 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
115	114	fveq2i 5823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
116	115	oveq1i 6254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
117	35, 116	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
118		isoeq5 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
119	114, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
120	119	iotabii 5525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
121	40, 120	eqtri 2445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
122		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
123	3, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122	fourierdlem65 37918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
124	106, 123	vtoclg 3077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
125	51, 94, 124	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
126	93, 125	breqtrrd 4388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
127	74, 84	posdifd 10146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
128	126, 127	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
129		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ph )
130	102, 99	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
131	100	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( I ` ( S ` j ) ) = ( I ` ( S ` J ) ) )
132	131	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
133	131	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
134	133	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
135	132, 134	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
136	130, 135	sseq12d 3431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) <-> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
137	96, 136	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
138		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) ) = ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) )
139	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14	fourierdlem79 37932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) )
140	137, 139	vtoclg 3077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
141	140	anabsi7 826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
142	129, 51, 141	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
143	57, 62, 74, 84, 128, 142	fourierdlem10 37862	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) /\ ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
144	143	simpld 460	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
145	144	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
146		neqne 37290	. . . . . . . 8 |- ( -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) =/= ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
147	146	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) =/= ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
148	76, 75, 145, 147	leneltd 9735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
149	143	simprd 464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
150	74, 84, 62, 128, 149	ltletrd 9741	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
151	150	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
152	59, 64, 75, 148, 151	eliood 37487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
153		fvres 5834	. . . . 5 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
154	152, 153	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
155	154	eqcomd 2429	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
156	155	ifeq2da 3880	. 2 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) = if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
157		fourierdlem89.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> CC )
158		fdm 5688	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
159	157, 158	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = RR )
160	159	feq2d 5671	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC <-> F : RR --> CC ) )
161	157, 160	mpbird 235	. . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
162		ioosscn 37483	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC
163	162	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC )
164		ioossre 11642	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ RR
165	164, 159	syl5sseqr 3451	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ dom F )
166		fourierdlem89.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
167	82, 84	resubcld 9993	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
168	166, 167	syl5eqel 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
169	168	recnd 9615	. . . . 5 |- ( ph -> U e. CC )
170		eqid 2423	. . . . 5 |- { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) }
171	74, 84, 168	iooshift 37515	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } )
172		ioossre 11642	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ RR
173	172, 159	syl5sseqr 3451	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ dom F )
174	171, 173	eqsstr3d 3437	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } C_ dom F )
175		elioore 11612	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
176	67, 66	resubcld 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
177	11, 176	syl5eqel 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. RR )
178	177	recnd 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
179	66, 67	posdifd 10146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
180	69, 179	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
181	180, 11	syl6breqr 4402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < T )
182	181	gt0ne0d 10124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T =/= 0 )
183	169, 178, 182	divcan1d 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U / T ) x. T ) = U )
184	183	eqcomd 2429	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U = ( ( U / T ) x. T ) )
185	184	oveq2d 6260	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
186	185	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
187	186	fveq2d 5824	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) )
188	157	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : RR --> CC )
189	177	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. RR )
190	84	recnd 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
191	82	recnd 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
192	190, 191	negsubdi2d 9948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
193	192	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
194	193	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
195	166	oveq1i 6254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T )
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) )
197	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
198		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
199		oveq2 6252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
200	199	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
201	200	fveq2d 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
202	201	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
203	198, 202	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
204	203	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
205	67, 82	resubcld 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
206	205, 177, 182	redivcld 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
207	206	flcld 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
208	207	zred 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
209	208, 177	remulcld 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
210	82, 209	readdcld 9616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
211	197, 204, 82, 210	fvmptd 5909	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
212	211	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
213	208	recnd 9615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. CC )
214	213, 178	mulcld 9609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
215	191, 214	pncan2d 9934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
216	212, 215	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
217	216, 214	eqeltrd 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
218	217, 178, 182	divnegd 10342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
219	194, 196, 218	3eqtr4d 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U / T ) = -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
220	216	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) )
221	213, 178, 182	divcan4d 10335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
222	220, 221	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
223	222, 207	eqeltrd 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
224	223	znegcld 10988	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
225	219, 224	eqeltrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U / T ) e. ZZ )
226	225	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( U / T ) e. ZZ )
227		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
228		fourierdlem89.per	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
229	228	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
230	188, 189, 226, 227, 229	fperiodmul 37419	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) = ( F ` y ) )
231	187, 230	eqtrd 2457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
232	175, 231	sylan2 476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
233	6	simprrd 765	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
234		fveq2 5820	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
235		oveq1 6251	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
236	235	fveq2d 5824	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
237	234, 236	breq12d 4374	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
238	237	rspccva 3119	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
239	233, 55, 238	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
240	55	ancli 553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
241		eleq1 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
242	241	anbi2d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) )
243	234, 236	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
244	243	reseq2d 5062	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
245	243	oveq1d 6259	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
246	244, 245	eleq12d 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) <-> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
247	242, 246	imbi12d 321	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
248		fourierdlem89.fcn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
249	247, 248	vtoclg 3077	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
250	55, 240, 249	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
251		nfv 1755	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
252		fourierdlem89.21	. . . . . . . . . . . . 13 |- V = ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )
253		nfmpt1 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )
254	252, 253	nfcxfr 2562	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i V
255		nfcv 2564	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( I ` ( S ` J ) )
256	254, 255	nffv 5827	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) )
257	256	nfel1 2578	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
258	251, 257	nfim 1980	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
259	242	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
260	259	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
261		fourierdlem89.limc	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
262	260, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
263		fveq2 5820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( V ` i ) = ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
264	263	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( V ` i ) )
265	264	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( V ` i ) )
266	259	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
267		elex 3026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) -> R e. _V )
268	259, 261, 267	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> R e. _V )
269	252	fvmpt2 5912	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ R e. _V ) -> ( V ` i ) = R )
270	266, 268, 269	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` i ) = R )
271	265, 270	eqtrd 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = R )
272	271	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = R )
273	244, 234	oveq12d 6262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
274	273	eqcomd 2429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
275	274	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
276	262, 272, 275	3eltr4d 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
277	276	3exp 1204	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) ) )
278	261	2a1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) ) )
279	277, 278	impbid 193	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) ) )
280	258, 279, 261	vtoclg1f 3076	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
281	55, 240, 280	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
282		eqid 2423	. . . . . . 7 |- if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) = if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
283		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) [,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) [,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
284	57, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283	fourierdlem32 37885	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
285	142	resabs1d 5091	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
286	285	oveq1d 6259	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
287	284, 286	eleqtrd 2503	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
288	161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287	limcperiod 37591	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) ) )
289	166	oveq2i 6255	. . . . . . 7 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
290	289	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
291	17, 20	iccssred 37494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
292		ax-resscn 9542	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
293	291, 292	syl6ss 3414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ CC )
294	25, 44, 43	fourierdlem15 37867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
295	294, 53	ffvelrnd 5977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` J ) e. ( C [,] D ) )
296	293, 295	sseldd 3403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. CC )
297	191, 296	subcld 9932	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) e. CC )
298	74	recnd 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. CC )
299	190, 297, 298	subsub23d 37397	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
300	125, 299	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
301	300	eqcomd 2429	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
302	301	oveq1d 6259	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
303	190, 297	subcld 9932	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) e. CC )
304	303, 191, 190	addsub12d 9955	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
305	190, 297, 190	sub32d 9964	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
306	190	subidd 9920	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = 0 )
307	306	oveq1d 6259	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
308		df-neg 9809	. . . . . . . . . 10 |- -u ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) = ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
309	191, 296	negsubdi2d 9948	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
310	308, 309	syl5eqr 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
311	305, 307, 310	3eqtrd 2461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
312	311	oveq2d 6260	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
313	191, 296	pncan3d 9935	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( S ` J ) )
314	304, 312, 313	3eqtrd 2461	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` J ) )
315	290, 302, 314	3eqtrd 2461	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( S ` J ) )
316	315	oveq2d 6260	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) ) = ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` J ) ) )
317	288, 316