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Theorem fourierdlem87 31865
Description: The integral of  G goes uniformly ( with respect to  n) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem87.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem87.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem87.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem87.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem87.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem87.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem87.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem87.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem87.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem87.10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  x )
fourierdlem87.gibl  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
fourierdlem87.d  |-  D  =  ( ( e  / 
3 )  /  a
)
fourierdlem87.ch  |-  ( ch  <->  ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )
)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem87  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
Distinct variable groups:    D, d, n, u    G, a, d, s, u    K, a, s    U, a, n    U, k, n    x, U, a   
e, a, d, n, u    ph, a, d, n, s, u    ch, s    e, k, u    k, s    ph, x, s
Allowed substitution hints:    ph( e, k)    ch( x, u, e, k, n, a, d)    D( x, e, k, s, a)    S( x, u, e, k, n, s, a, d)    U( u, e, s, d)    F( x, u, e, k, n, s, a, d)    G( x, e, k, n)    H( x, u, e, k, n, s, a, d)    K( x, u, e, k, n, d)    W( x, u, e, k, n, s, a, d)    X( x, u, e, k, n, s, a, d)    Y( x, u, e, k, n, s, a, d)

Proof of Theorem fourierdlem87
StepHypRef Expression
1 fourierdlem87.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem87.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 fourierdlem87.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 fourierdlem87.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5 fourierdlem87.h . . . . . 6  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
6 fourierdlem87.k . . . . . 6  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
7 fourierdlem87.u . . . . . 6  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
8 fourierdlem87.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  x )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fourierdlem77 31855 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )
10 nfv 1694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s ( ph  /\  a  e.  RR+ )
11 nfra1 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a
1210, 11nfan 1914 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )
13 nfv 1694 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s  n  e.  NN
1412, 13nfan 1914 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )
15 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  ph )
16 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR+ )
17 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  n  e.  NN )
1815, 16, 17jca31 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  (
( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
20 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )
21 rspa 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )
2220, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7fourierdlem55 31833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2524ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
27 nnre 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
28 fourierdlem87.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
2928fourierdlem5 31783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  RR  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3231, 23ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
3326, 32remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  RR )
34 fourierdlem87.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
3534fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  e.  RR )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )
3623, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
38 halfre 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
4027, 39readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
42 pire 22723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  pi  e.  RR
4342renegcli 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  -u pi  e.  RR
44 iccssre 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
4543, 42, 44mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
4645sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  s  e.  RR )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  RR )
4841, 47remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
)  e.  RR )
4948resincld 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
5028fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
5137, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
5251oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  =  ( ( U `  s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
5352adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
5436, 53eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
5554fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  =  ( abs `  (
( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) ) ) )
5626recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
5749adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
5857recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  CC )
5956, 58absmuld 13264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6055, 59eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6160adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s
) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6356abscld 13246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
6458abscld 13246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  e.  RR )
6563, 64remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  e.  RR )
6665adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) ) )  e.  RR )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  e.  RR )
6863adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s
) )  e.  RR )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
70 rpre 11235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
7170ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  a  e.  RR )
72 1red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  1  e.  RR )
7356absge0d 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( U `  s )
) )
7448adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
75 abssinbd 31439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  <_  1
)
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  <_  1
)
7764, 72, 63, 73, 76lemul2ad 10492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  1 ) )
7863recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  CC )
7978mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( U `  s )
) )
8077, 79breqtrd 4461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( U `  s )
) )
8180adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_  ( abs `  ( U `  s
) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( U `  s )
) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )
8467, 69, 71, 82, 83letrd 9742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
a )
8562, 84eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  <_ 
a )
8618, 19, 22, 85syl21anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  <_ 
a )
8786ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
)
8814, 87ralrimi 2843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )  /\  n  e.  NN )  ->  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
8988ralrimiva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  a
)  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
9089ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  a  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a ) )
9190reximdva 2918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a  ->  E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
)
929, 91mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s
) )  <_  a
)
9392adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
94 fourierdlem87.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( e  / 
3 )  /  a
)
95 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR+ )
96 3rp 31420 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR+
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  RR+  ->  3  e.  RR+ )
9895, 97rpdivcld 11282 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  3 )  e.  RR+ )
9998adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  (
e  /  3 )  e.  RR+ )
100 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
10199, 100rpdivcld 11282 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  (
( e  /  3
)  /  a )  e.  RR+ )
10294, 101syl5eqel 2535 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
103102adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
1041033adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  ->  D  e.  RR+ )
105 nfv 1694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ph  /\  e  e.  RR+ )
106 nfv 1694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  a  e.  RR+
107 nfra1 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a
108105, 106, 107nf3an 1916 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
109 nfv 1694 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  u  e.  dom  vol
110108, 109nfan 1914 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )
111 nfv 1694 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  D )
112110, 111nfan 1914 . . . . . . . 8  |-  F/ n
( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )
113 fourierdlem87.ch . . . . . . . . . 10  |-  ( ch  <->  ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )
)
114 simpl1l 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  ph )
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ph )
116113, 115sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  ph )
117116, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  F : RR --> RR )
118116, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  X  e.  RR )
119116, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  Y  e.  RR )
120116, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  W  e.  RR )
12127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
122113, 121sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  n  e.  RR )
123117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34fourierdlem67 31845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
125 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )
126113, 125sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )
127126sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
128124, 127ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
129 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  u  e.  dom  vol )
130113, 129sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  u  e.  dom  vol )
131123ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
132123feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  G  =  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) ) )
133113simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  n  e.  NN )
134 fourierdlem87.gibl . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
135116, 133, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  G  e.  L^1 )
136132, 135eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) )  e.  L^1 )
137126, 130, 131, 136iblss 22084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  ( s  e.  u  |->  ( G `  s
) )  e.  L^1 )
138128, 137itgcl 22063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u ( G `
 s )  _d s  e.  CC )
139138abscld 13246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  e.  RR )
140128recnd 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( G `  s )  e.  CC )
141140abscld 13246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  e.  RR )
142128, 137iblabs 22108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  ( s  e.  u  |->  ( abs `  ( G `  s )
) )  e.  L^1 )
143141, 142itgrecl 22077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  S. u ( abs `  ( G `  s
) )  _d s  e.  RR )
144 simpl1r 1049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  e  e.  RR+ )
145144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  e  e.  RR+ )
146113, 145sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  e  e.  RR+ )
147146rpred 11265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  e  e.  RR )
148147rehalfcld 10791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  ( e  /  2
)  e.  RR )
149128, 137itgabs 22114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <_  S. u
( abs `  ( G `  s )
)  _d s )
150 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  a  e.  RR+ )
151150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  a  e.  RR+ )
152113, 151sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  a  e.  RR+ )
153152rpred 11265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  a  e.  RR )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  a  e.  RR )
155 iccssxr 11616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
156 volf 21813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
)
158157, 130ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
159155, 158sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  e.  RR* )
160 iccvolcl 21850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR )
16143, 42, 160mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR )
163 mnfxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  e.  RR*
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
-> -oo  e.  RR* )
165 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  0  e.  RR* )
167 mnflt0 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  <  0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
-> -oo  <  0 )
169 volge0 31650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  0  <_  ( vol `  u
) )
170130, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  0  <_  ( vol `  u ) )
171164, 166, 159, 168, 170xrltletrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
-> -oo  <  ( vol `  u ) )
172 iccmbl 21849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  e.  dom  vol )
17343, 42, 172mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u pi [,] pi )  e. 
dom  vol
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( -u pi [,] pi )  e.  dom  vol )
175 volss 21817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( -u pi [,] pi )  e.  dom  vol 
/\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( vol `  u )  <_  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) ) )
176130, 174, 126, 175syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  <_  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) ) )
177 xrre 11379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( vol `  u
)  e.  RR*  /\  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( vol `  u
)  /\  ( vol `  u )  <_  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) ) ) )  ->  ( vol `  u )  e.  RR )
178159, 162, 171, 176, 177syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  e.  RR )
179152rpcnd 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  a  e.  CC )
180 iblconstmpt 31644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  a  e.  CC )  ->  ( s  e.  u  |->  a )  e.  L^1 )
181130, 178, 179, 180syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  ( s  e.  u  |->  a )  e.  L^1 )
182154, 181itgrecl 22077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u a  _d s  e.  RR )
183 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
184183ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a )
185113, 184sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a )
186 rspa 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a  /\  n  e.  NN )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
187185, 133, 186syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
188187adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
189 rspa 2810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
190188, 127, 189syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  <_ 
a )
191142, 181, 141, 154, 190itgle 22089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u ( abs `  ( G `  s
) )  _d s  <_  S. u a  _d s )
192 itgconst 22098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  a  e.  CC )  ->  S. u a  _d s  =  ( a  x.  ( vol `  u
) ) )
193130, 178, 179, 192syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  S. u a  _d s  =  ( a  x.  ( vol `  u
) ) )
194153, 178remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  ( vol `  u ) )  e.  RR )
195 3re 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  RR
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ch 
->  3  e.  RR )
197 3ne0 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  =/=  0
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ch 
->  3  =/=  0
)
199147, 196, 198redivcld 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  ( e  /  3
)  e.  RR )
200152rpne0d 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  a  =/=  0
)
201199, 153, 200redivcld 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( ( e  / 
3 )  /  a
)  e.  RR )
20294, 201syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  D  e.  RR )
203153, 202remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  D
)  e.  RR )
204152rpge0d 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  0  <_  a )
205 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  u
)  <_  D )
206113, 205sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  <_  D )
207178, 202, 153, 204, 206lemul2ad 10492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  ( vol `  u ) )  <_  ( a  x.  D ) )
20894oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  x.  D )  =  ( a  x.  (
( e  /  3
)  /  a ) )
209199recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  ( e  /  3
)  e.  CC )
210209, 179, 200divcan2d 10328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( a  x.  (
( e  /  3
)  /  a ) )  =  ( e  /  3 ) )
211208, 210syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( a  x.  D
)  =  ( e  /  3 ) )
212 2rp 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  2  e.  RR+ )
21496a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  3  e.  RR+ )
215 2lt3 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <  3
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  2  <  3
)
217213, 214, 146, 216ltdiv2dd 31434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( e  /  3
)  <  ( e  /  2 ) )
218211, 217eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  D
)  <  ( e  /  2 ) )
219194, 203, 148, 207, 218lelttrd 9743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  ( a  x.  ( vol `  u ) )  <  ( e  / 
2 ) )
220193, 219eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u a  _d s  <  ( e  /  2 ) )
221143, 182, 148, 191, 220lelttrd 9743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  S. u ( abs `  ( G `  s
) )  _d s  <  ( e  / 
2 ) )
222139, 143, 148, 149, 221lelttrd 9743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ch 
->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )
223113, 222sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )
224223ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  -> 
( n  e.  NN  ->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
225112, 224ralrimi 2843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )
226225ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  ( (
u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
227226ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )
228 breq2 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( vol `  u
)  <_  d  <->  ( vol `  u )  <_  D
) )
229228anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  <->  ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) ) )
230229imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )  <->  ( (
u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
231230ralbidv 2882 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
232231rspcev 3196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  RR+  /\  A. u  e.  dom  vol (
( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )
233104, 227, 232syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )
234233rexlimdv3a 2937 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
23593, 234mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
236 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  ph )
237 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  n  e.  NN )
238 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )
239 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  s  e.  u )
240238, 239sseldd 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
241236, 237, 240, 54syl21anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) ) )
242241itgeq2dv 22061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  ->  S. u ( G `  s )  _d s  =  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )
243242fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  =  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s ) )
244243breq1d 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 )  <->  ( abs `  S. u ( ( U `  s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
245244ralbidva 2879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  < 
( e  /  2
)  <->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) ) )
246 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( k  +  ( 1  /  2
) ) )
247246oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  =  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
248247fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
249248oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  =  ( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) ) )
250249adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  k  /\  s  e.  u )  ->  ( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
251250itgeq2dv 22061 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s  =  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )
252251fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )  =  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s ) )
253252breq1d 4447 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 )  <->  ( abs `  S. u ( ( U `  s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
254253cbvralv 3070 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )  <  (
e  /  2 )  <->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) )
255245, 254syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  < 
( e  /  2
)  <->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) ) )
256255adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d ) )  -> 
( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 )  <->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
257256pm5.74da 687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )  <-> 
( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) ) ) )
258257rexralbidv 2962 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
259258adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
260235, 259mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10212   NNcn 10542   2c2 10591   3c3 10592   RR+crp 11229   [,]cicc 11541   abscabs 13046   sincsin 13677   picpi 13680   volcvol 21748   L^1cibl 21899   S.citg 21900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-t1 19688  df-haus 19689  df-cmp 19760  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-ovol 21749  df-vol 21750  df-mbf 21901  df-itg1 21902  df-itg2 21903  df-ibl 21904  df-itg 21905  df-0p 21950  df-limc 22143  df-dv 22144
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