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Theorem fourierdlem87 37625
Description: The integral of  G goes uniformly ( with respect to  n) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem87.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem87.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem87.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem87.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem87.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem87.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem87.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem87.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem87.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem87.10  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  x )
fourierdlem87.gibl  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
fourierdlem87.d  |-  D  =  ( ( e  / 
3 )  /  a
)
fourierdlem87.ch  |-  ( ch  <->  ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )
)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem87  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
Distinct variable groups:    D, d, n, u    G, a, d, s, u    K, a, s    U, a, n    U, k, n    x, U, a   
e, a, d, n, u    ph, a, d, n, s, u    ch, s    e, k, u    k, s    ph, x, s
Allowed substitution hints:    ph( e, k)    ch( x, u, e, k, n, a, d)    D( x, e, k, s, a)    S( x, u, e, k, n, s, a, d)    U( u, e, s, d)    F( x, u, e, k, n, s, a, d)    G( x, e, k, n)    H( x, u, e, k, n, s, a, d)    K( x, u, e, k, n, d)    W( x, u, e, k, n, s, a, d)    X( x, u, e, k, n, s, a, d)    Y( x, u, e, k, n, s, a, d)

Proof of Theorem fourierdlem87
StepHypRef Expression
1 fourierdlem87.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem87.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 fourierdlem87.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
4 fourierdlem87.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5 fourierdlem87.h . . . . . 6  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
6 fourierdlem87.k . . . . . 6  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
7 fourierdlem87.u . . . . . 6  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
8 fourierdlem87.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  x )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fourierdlem77 37615 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )
10 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s ( ph  /\  a  e.  RR+ )
11 nfra1 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a
1210, 11nfan 1986 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )
13 nfv 1754 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s  n  e.  NN
1412, 13nfan 1986 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )
15 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  ph )
16 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR+ )
17 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  n  e.  NN )
1815, 16, 17jca31 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  (
( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN ) )
19 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
20 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )
21 rspa 2799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )
2220, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )
23 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7fourierdlem55 37593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2524ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
2625adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
27 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
28 fourierdlem87.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
2928fourierdlem5 37543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  RR  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3130ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3231, 23ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
3326, 32remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  RR )
34 fourierdlem87.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
3534fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  e.  RR )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )
3623, 33, 35syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
37 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
38 halfre 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
4027, 39readdcld 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
42 pire 23278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  pi  e.  RR
4342renegcli 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  -u pi  e.  RR
44 iccssre 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
4543, 42, 44mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
4645sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  s  e.  RR )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  RR )
4841, 47remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
)  e.  RR )
4948resincld 14175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
5028fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
5137, 49, 50syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
5251oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  =  ( ( U `  s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
5352adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
5436, 53eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
5554fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  =  ( abs `  (
( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) ) ) )
5626recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
5749adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
5857recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  CC )
5956, 58absmuld 13494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6055, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6160adantllr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s
) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  =  ( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) ) )
6356abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
6458abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  e.  RR )
6563, 64remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  e.  RR )
6665adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) ) )  e.  RR )
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  e.  RR )
6863adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s
) )  e.  RR )
6968adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
70 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
7170ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  a  e.  RR )
72 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  1  e.  RR )
7356absge0d 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( U `  s )
) )
7448adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
75 abssinbd 37121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  <_  1
)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  <_  1
)
7764, 72, 63, 73, 76lemul2ad 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( U `  s )
)  x.  1 ) )
7863recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  CC )
7978mulid1d 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( U `  s )
) )
8077, 79breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( U `  s )
) )
8180adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_  ( abs `  ( U `  s
) ) )
8281adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( U `  s )
) )
83 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )
8467, 69, 71, 82, 83letrd 9791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  (
( abs `  ( U `  s )
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )  <_ 
a )
8562, 84eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
a )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  <_ 
a )
8618, 19, 22, 85syl21anc 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  <_ 
a )
8786ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )  /\  n  e.  NN )  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
)
8814, 87ralrimi 2832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  a )  /\  n  e.  NN )  ->  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
8988ralrimiva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  a
)  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
9089ex 435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  ( A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  a  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a ) )
9190reximdva 2907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  a  ->  E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
)
929, 91mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s
) )  <_  a
)
9392adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
94 fourierdlem87.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( e  / 
3 )  /  a
)
95 id 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR+ )
96 3rp 37106 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR+
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  RR+  ->  3  e.  RR+ )
9895, 97rpdivcld 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  3 )  e.  RR+ )
9998adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  (
e  /  3 )  e.  RR+ )
100 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR+ )
10199, 100rpdivcld 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  (
( e  /  3
)  /  a )  e.  RR+ )
10294, 101syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
103102adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
1041033adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  ->  D  e.  RR+ )
105 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ph  /\  e  e.  RR+ )
106 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  a  e.  RR+
107 nfra1 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a
108105, 106, 107nf3an 1988 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
109 nfv 1754 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  u  e.  dom  vol
110108, 109nfan 1986 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )
111 nfv 1754 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  D )
112110, 111nfan 1986 . . . . . . . 8  |-  F/ n
( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )
113 fourierdlem87.ch . . . . . . . . . 10  |-  ( ch  <->  ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )
)
114 simpl1l 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  ph )
115114ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ph )
116113, 115sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  ph )
117116, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  F : RR --> RR )
118116, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  X  e.  RR )
119116, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  Y  e.  RR )
120116, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  W  e.  RR )
12127adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
122113, 121sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  n  e.  RR )
123117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34fourierdlem67 37605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
124123adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
125 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )
126113, 125sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )
127126sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
128124, 127ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
129 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  u  e.  dom  vol )
130113, 129sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  u  e.  dom  vol )
131123ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( G `  s )  e.  RR )
132123feqmptd 5934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  G  =  (
s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) ) )
133113simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  n  e.  NN )
134 fourierdlem87.gibl . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e.  L^1 )
135116, 133, 134syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  G  e.  L^1 )
136132, 135eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( G `  s ) )  e.  L^1 )
137126, 130, 131, 136iblss 22639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  ( s  e.  u  |->  ( G `  s
) )  e.  L^1 )
138128, 137itgcl 22618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u ( G `
 s )  _d s  e.  CC )
139138abscld 13476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  e.  RR )
140128recnd 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( G `  s )  e.  CC )
141140abscld 13476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  e.  RR )
142128, 137iblabs 22663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  ( s  e.  u  |->  ( abs `  ( G `  s )
) )  e.  L^1 )
143141, 142itgrecl 22632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  S. u ( abs `  ( G `  s
) )  _d s  e.  RR )
144 simpl1r 1057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  e  e.  RR+ )
145144ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  e  e.  RR+ )
146113, 145sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  e  e.  RR+ )
147146rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  e  e.  RR )
148147rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  ( e  /  2
)  e.  RR )
149128, 137itgabs 22669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <_  S. u
( abs `  ( G `  s )
)  _d s )
150 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  a  e.  RR+ )
151150ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  a  e.  RR+ )
152113, 151sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  a  e.  RR+ )
153152rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  a  e.  RR )
154153adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  a  e.  RR )
155 iccssxr 11717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
156 volf 22360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
)
158157, 130ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
159155, 158sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  e.  RR* )
160 iccvolcl 22397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR )
16143, 42, 160mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR )
163 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  e.  RR*
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
-> -oo  e.  RR* )
165 0xr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR*
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  0  e.  RR* )
167 mnflt0 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  <  0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
-> -oo  <  0 )
169 volge0 37407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  0  <_  ( vol `  u
) )
170130, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  0  <_  ( vol `  u ) )
171164, 166, 159, 168, 170xrltletrd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
-> -oo  <  ( vol `  u ) )
172 iccmbl 22396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  e.  dom  vol )
17343, 42, 172mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u pi [,] pi )  e. 
dom  vol
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( -u pi [,] pi )  e.  dom  vol )
175 volss 22364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( -u pi [,] pi )  e.  dom  vol 
/\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( vol `  u )  <_  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) ) )
176130, 174, 126, 175syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  <_  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) ) )
177 xrre 11464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( vol `  u
)  e.  RR*  /\  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  ( vol `  u
)  /\  ( vol `  u )  <_  ( vol `  ( -u pi [,] pi ) ) ) )  ->  ( vol `  u )  e.  RR )
178159, 162, 171, 176, 177syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  e.  RR )
179152rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  a  e.  CC )
180 iblconstmpt 37401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  a  e.  CC )  ->  ( s  e.  u  |->  a )  e.  L^1 )
181130, 178, 179, 180syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  ( s  e.  u  |->  a )  e.  L^1 )
182154, 181itgrecl 22632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u a  _d s  e.  RR )
183 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
184183ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a )
185113, 184sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a )
186 rspa 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `
 s ) )  <_  a  /\  n  e.  NN )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
187185, 133, 186syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
188187adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
189 rspa 2799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )
190188, 127, 189syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ch  /\  s  e.  u )  ->  ( abs `  ( G `  s ) )  <_ 
a )
191142, 181, 141, 154, 190itgle 22644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u ( abs `  ( G `  s
) )  _d s  <_  S. u a  _d s )
192 itgconst 22653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  a  e.  CC )  ->  S. u a  _d s  =  ( a  x.  ( vol `  u
) ) )
193130, 178, 179, 192syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  S. u a  _d s  =  ( a  x.  ( vol `  u
) ) )
194153, 178remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  ( vol `  u ) )  e.  RR )
195 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  RR
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ch 
->  3  e.  RR )
197 3ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  =/=  0
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ch 
->  3  =/=  0
)
199147, 196, 198redivcld 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  ( e  /  3
)  e.  RR )
200152rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  a  =/=  0
)
201199, 153, 200redivcld 10434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( ( e  / 
3 )  /  a
)  e.  RR )
20294, 201syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  D  e.  RR )
203153, 202remulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  D
)  e.  RR )
204152rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  0  <_  a )
205 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  u
)  <_  D )
206113, 205sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( vol `  u
)  <_  D )
207178, 202, 153, 204, 206lemul2ad 10547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  ( vol `  u ) )  <_  ( a  x.  D ) )
20894oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  x.  D )  =  ( a  x.  (
( e  /  3
)  /  a ) )
209199recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  ( e  /  3
)  e.  CC )
210209, 179, 200divcan2d 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  ( a  x.  (
( e  /  3
)  /  a ) )  =  ( e  /  3 ) )
211208, 210syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( a  x.  D
)  =  ( e  /  3 ) )
212 2rp 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  2  e.  RR+ )
21496a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  3  e.  RR+ )
215 2lt3 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  <  3
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ch 
->  2  <  3
)
217213, 214, 146, 216ltdiv2dd 37118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  ( e  /  3
)  <  ( e  /  2 ) )
218211, 217eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ch 
->  ( a  x.  D
)  <  ( e  /  2 ) )
219194, 203, 148, 207, 218lelttrd 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  ( a  x.  ( vol `  u ) )  <  ( e  / 
2 ) )
220193, 219eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  S. u a  _d s  <  ( e  /  2 ) )
221143, 182, 148, 191, 220lelttrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ch 
->  S. u ( abs `  ( G `  s
) )  _d s  <  ( e  / 
2 ) )
222139, 143, 148, 149, 221lelttrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ch 
->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )
223113, 222sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )
224223ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  -> 
( n  e.  NN  ->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
225112, 224ralrimi 2832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  /\  ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )
226225ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  /\  u  e.  dom  vol )  ->  ( (
u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
227226ralrimiva 2846 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )
228 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( vol `  u
)  <_  d  <->  ( vol `  u )  <_  D
) )
229228anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  <->  ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D ) ) )
230229imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )  <->  ( (
u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
231230ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
232231rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  RR+  /\  A. u  e.  dom  vol (
( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  D )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )
233104, 227, 232syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+  /\  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) ) )
234233rexlimdv3a 2926 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  A. n  e.  NN  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( G `  s )
)  <_  a  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
23593, 234mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
236 simplll 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  ph )
237 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  n  e.  NN )
238 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )
239 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  s  e.  u )
240238, 239sseldd 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
241236, 237, 240, 54syl21anc 1263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  u
)  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) ) )
242241itgeq2dv 22616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  ->  S. u ( G `  s )  _d s  =  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )
243242fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  =  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s ) )
244243breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 )  <->  ( abs `  S. u ( ( U `  s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
245244ralbidva 2868 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  < 
( e  /  2
)  <->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) ) )
246 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( k  +  ( 1  /  2
) ) )
247246oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  =  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )
248247fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
249248oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  =  ( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) ) )
250249adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  k  /\  s  e.  u )  ->  ( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
251250itgeq2dv 22616 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s  =  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )
252251fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )  =  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s ) )
253252breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 )  <->  ( abs `  S. u ( ( U `  s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
254253cbvralv 3062 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `  s
)  x.  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )  _d s )  <  (
e  /  2 )  <->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) )
255245, 254syl6bb 264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  C_  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  < 
( e  /  2
)  <->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) ) )
256255adantrr 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d ) )  -> 
( A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 )  <->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
257256pm5.74da 691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )  <-> 
( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u
( ( U `  s )  x.  ( sin `  ( ( k  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  < 
( e  /  2
) ) ) )
258257rexralbidv 2954 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u
)  <_  d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u
( G `  s
)  _d s )  <  ( e  / 
2 ) )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
259258adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. n  e.  NN  ( abs `  S. u ( G `  s )  _d s )  <  ( e  /  2 ) )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) ) )
260235, 259mpbid 213 1  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  ( -u pi [,] pi )  /\  ( vol `  u )  <_ 
d )  ->  A. k  e.  NN  ( abs `  S. u ( ( U `
 s )  x.  ( sin `  (
( k  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  _d s )  <  ( e  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   RR+crp 11302   [,]cicc 11638   abscabs 13276   sincsin 14094   picpi 14097   volcvol 22295   L^1cibl 22452   S.citg 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-t1 20261  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699
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