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Theorem fourierdlem86 38093
Description: Continuity of  O and its limits with respect to the  S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem86.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem86.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem86.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem86.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem86.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem86.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem86.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem86.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem86.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem86.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem86.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem86.ab  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem86.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem86.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem86.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
s )  x.  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem86.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem86.t  |-  T  =  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
fourierdlem86.n  |-  N  =  ( ( # `  T
)  -  1 )
fourierdlem86.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  T ) )
fourierdlem86.d  |-  D  =  ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  / 
i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem86.e  |-  E  =  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  / 
i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j ) )  x.  ( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem86.u  |-  U  =  ( iota_ i  e.  ( 0..^ M ) ( ( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem86  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( D  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  E  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, i, s    i, F, s    L, s    i, M, j    m, M, p, i    M, s, j    f, N    i, N, s    i, O    Q, i, s    R, s    S, f    S, i, s    T, f    U, i   
i, V, j    V, p    V, s    i, X, j    m, X, p    X, s    f, j, ph    ph, i, s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( f, i, j, m, p)    B( f, i, j, m, p)    C( f,
j, m, p)    D( f, i, j, m, s, p)    P( f, i, j, m, s, p)    Q( f, j, m, p)    R( f, i, j, m, p)    S( j, m, p)    T( i, j, m, s, p)    U( f, j, m, s, p)    E( f, i, j, m, s, p)    F( f, j, m, p)    L( f, i, j, m, p)    M( f)    N( j, m, p)    O( f, j, m, s, p)    V( f, m)    X( f)

Proof of Theorem fourierdlem86
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem86.d . . 3  |-  D  =  ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  / 
i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )
2 fourierdlem86.xre . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
32adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  X  e.  RR )
4 fourierdlem86.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
5 fourierdlem86.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  M  e.  NN )
7 fourierdlem86.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
87adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  V  e.  ( P `  M ) )
9 fourierdlem86.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
109adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  e.  RR )
11 fourierdlem86.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
1211adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  e.  RR )
13 fourierdlem86.altb . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  B )
1413adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  <  B
)
15 fourierdlem86.ab . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
1615adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A [,] B )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
17 fourierdlem86.q . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
18 fourierdlem86.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
19 fourierdlem86.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( ( # `  T
)  -  1 )
20 fourierdlem86.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  T ) )
21 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  ( 0..^ N ) )
22 fourierdlem86.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( iota_ i  e.  ( 0..^ M ) ( ( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
23 biid 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  y ) (,) ( Q `  ( y  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  y ) (,) ( Q `  (
y  +  1 ) ) ) ) )
243, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23fourierdlem50 38057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( U  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  U
) (,) ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
2524simpld 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
26 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) ) )
2724simprd 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  U
) (,) ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
2826, 25, 27jca31 541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  U
) (,) ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
29 nfv 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
30 nfv 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) )
31 nfcsb1v 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i [_ U  /  i ]_ L
32 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
3330, 31, 32nfif 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  / 
i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
34 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i  -
35 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i C
3633, 34, 35nfov 6340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1
) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )
37 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i  /
38 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( S `  (
j  +  1 ) )
3936, 37, 38nfov 6340 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( ( if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) , 
[_ U  /  i ]_ L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )
40 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i  x.
41 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) )
4239, 40, 41nfov 6340 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  / 
i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )
4342nfel1 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  / 
i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )
44 nfv 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( S `  j
)  =  ( Q `
 U )
45 nfcsb1v 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i [_ U  /  i ]_ R
46 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) )
4744, 45, 46nfif 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  / 
i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )
4847, 34, 35nfov 6340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )
49 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( S `  j
)
5048, 37, 49nfov 6340 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( ( if ( ( S `  j
)  =  ( Q `
 U ) , 
[_ U  /  i ]_ R ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)
51 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) )
5250, 40, 51nfov 6340 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  / 
i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j ) )  x.  ( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) ) )
5352nfel1 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  / 
i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j ) )  x.  ( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j ) )
5443, 53nfan 2021 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )
55 nfv 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( O  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) )
-cn-> CC )
5654, 55nfan 2021 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1
) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5729, 56nfim 2013 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  U
) (,) ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  / 
i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
58 eleq1 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
5958anbi2d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
60 fveq2 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  U ) )
61 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
i  +  1 )  =  ( U  + 
1 ) )
6261fveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1
) ) )
6360, 62oveq12d 6332 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
6463sseq2d 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  <->  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  U
) (,) ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
6559, 64anbi12d 722 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) ) ) )
6662eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  (
( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( i  +  1 ) )  <->  ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
67 csbeq1a 3383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  L  =  [_ U  /  i ]_ L )
6866, 67ifbieq1d 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) , 
[_ U  /  i ]_ L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
6968oveq1d 6329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  U  ->  ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  =  ( if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) , 
[_ U  /  i ]_ L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C ) )
7069oveq1d 6329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
7170oveq1d 6329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) ) )
7271eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7360eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  (
( S `  j
)  =  ( Q `
 i )  <->  ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ) )
74 csbeq1a 3383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  R  =  [_ U  /  i ]_ R )
7573, 74ifbieq1d 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  =  if ( ( S `  j
)  =  ( Q `
 U ) , 
[_ U  /  i ]_ R ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  j ) ) ) ) )
7675oveq1d 6329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  U  ->  ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  =  ( if ( ( S `  j
)  =  ( Q `
 U ) , 
[_ U  /  i ]_ R ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C ) )
7776oveq1d 6329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  =  ( ( if ( ( S `
 j )  =  ( Q `  U
) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
) )
7877oveq1d 6329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( if ( ( S `  j
)  =  ( Q `
 i ) ,  R ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( if ( ( S `
 j )  =  ( Q `  U
) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) ) )
7978eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j ) )  x.  ( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j ) )  <->  ( ( ( if ( ( S `
 j )  =  ( Q `  U
) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) ) )
8072, 79anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  (
i  +  1 ) ) ,  L , 
( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  <->  ( (
( ( if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) , 
[_ U  /  i ]_ L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) ) ) )
8180anbi1d 716 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )  <->  ( ( ( ( ( if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) , 
[_ U  /  i ]_ L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
8265, 81imbi12d 326 . . . . . . 7  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )  <->  ( (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1
) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) ) )
83 fourierdlem86.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
84 fourierdlem86.fcn . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
85 fourierdlem86.r . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
86 fourierdlem86.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
87 fourierdlem86.n0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
88 fourierdlem86.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
89 fourierdlem86.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
s )  x.  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
90 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  (
i  +  1 ) ) ,  L , 
( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  2
) ) ) ) )
91 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( if ( ( S `
 j )  =  ( Q `  i
) ,  R , 
( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j ) )  x.  ( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) ) )
92 biid 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  <->  ( (
( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
9383, 2, 4, 5, 7, 84, 85, 86, 9, 11, 13, 15, 87, 88, 89, 17, 18, 19, 20, 90, 91, 92fourierdlem76 38083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ,  L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  i ) ,  R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
9457, 82, 93vtoclg1f 3117 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( (
( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1
) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
9525, 28, 94sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( ( if ( ( S `  (
j  +  1 ) )  =  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) , 
[_ U  /  i ]_ L ,  ( F `
 ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
9695simpld 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( if ( ( S `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1
) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) ) )
9796simpld 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( if ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( U  +  1 ) ) ,  [_ U  /  i ]_ L ,  ( F `  ( X  +  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  x.  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  (
j  +  1 ) )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
981, 97syl5eqel 2543 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  ( ( O  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) )
99 fourierdlem86.e . . 3  |-  E  =  ( ( ( if ( ( S `  j )  =  ( Q `  U ) ,  [_ U  / 
i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j ) ) ) )  -  C )  /  ( S `  j ) )  x.  ( ( S `  j )  /  (
2  x.  ( sin `  ( ( S `  j )  /  2
) ) ) ) )
10096simprd 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( if ( ( S `
 j )  =  ( Q `  U
) ,  [_ U  /  i ]_ R ,  ( F `  ( X  +  ( S `  j )
) ) )  -  C )  /  ( S `  j )
)  x.  ( ( S `  j )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
( S `  j
)  /  2 ) ) ) ) )  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )
10199, 100syl5eqel 2543 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  E  e.  ( ( O  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `
 j ) ) )
10295simprd 469 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
10398, 101, 102jca31 541 1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( D  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  /\  E  e.  ( ( O  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )  /\  ( O  |`  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   [_csb 3374    u. cun 3413    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ifcif 3892   {cpr 3981   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ran crn 4853    |` cres 4854   iotacio 5562   -->wf 5596   ` cfv 5600    Isom wiso 5601   iota_crio 6275  (class class class)co 6314    ^m cmap 7497   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569    < clt 9700    - cmin 9885   -ucneg 9886    / cdiv 10296   NNcn 10636   2c2 10686   (,)cioo 11663   [,]cicc 11666   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945   #chash 12546   sincsin 14164   picpi 14167   -cn->ccncf 21956   lim CC climc 22865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870
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