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Theorem fourierdlem85 32177
Description: Limit of the function  G at the lower bounds of the partition intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem85.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem85.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem85.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
fourierdlem85.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem85.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem85.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem85.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem85.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem85.n  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
fourierdlem85.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem85.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem85.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem85.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem85.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem85.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem85.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem85.i  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem85.ifn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
fourierdlem85.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem85.a  |-  A  =  ( ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem85  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  ( ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
Distinct variable groups:    E, s    F, s    H, s    K, s   
i, M, m, p    M, s, i    N, s    Q, i, p    Q, s    R, s    S, s    i, V, p    V, s    W, s    i, X, m, p    X, s    Y, s    ph, i,
s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i, m, s, p)    P( i, m, s, p)    Q( m)    R( i, m, p)    S( i, m, p)    U( i, m, s, p)    E( i, m, p)    F( i, m, p)    G( i, m, s, p)    H( i, m, p)    I( i, m, s, p)    K( i, m, p)    N( i, m, p)    O( i, m, s, p)    V( m)    W( i, m, p)    Y( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem85
StepHypRef Expression
1 fourierdlem85.a . . 3  |-  A  =  ( ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) )
3 eqid 2457 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( S `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) )
4 eqid 2457 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
5 pire 22977 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
65renegcli 9899 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  e.  RR
76rexri 9663 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR*
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
95rexri 9663 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  pi  e.  RR* )
11 fourierdlem85.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
12 fourierdlem85.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
135a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1413renegcld 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
15 fourierdlem85.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
16 fourierdlem85.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
1716fourierdlem2 32094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <->  ( V  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <-> 
( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
1915, 18mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2019simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
21 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
22 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V : ( 0 ... M ) --> RR  ->  ran 
V  C_  RR )
2320, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  RR )
24 fourierdlem85.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
2523, 24sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
26 fourierdlem85.q . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
2714, 13, 25, 16, 11, 12, 15, 26fourierdlem14 32106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( O `
 M ) )
2811, 12, 27fourierdlem15 32107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> (
-u pi [,] pi ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
31 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
328, 10, 30, 31fourierdlem8 32100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  i
) [,] ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( -u pi [,] pi ) )
33 ioossicc 11635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
3433sseli 3495 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
3632, 35sseldd 3500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
37 fourierdlem85.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
38 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X (,) +oo )  C_  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  RR )
4037, 39fssresd 5758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
41 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
4239, 41syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  CC )
43 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
44 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
4625ltpnfd 31683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  < +oo )
4743, 45, 25, 46lptioo1cn 31855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( X (,) +oo ) ) )
48 fourierdlem85.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
4940, 42, 47, 48limcrecl 31838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
50 fourierdlem85.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
51 fourierdlem85.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
5237, 25, 49, 50, 51fourierdlem9 32101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5341a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
5452, 53fssd 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
5655, 36ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( H `  s )  e.  CC )
57 fourierdlem85.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
5857fourierdlem43 32135 . . . . . . . . . 10  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
5958a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
6059, 36ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
6160recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
6256, 61mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  CC )
63 fourierdlem85.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6463fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  CC )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
6536, 62, 64syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6665, 62eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
67 fourierdlem85.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
68 fourierdlem85.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
6967, 68fourierdlem18 32110 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
70 cncff 21523 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  ->  S :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
7169, 70syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
7271adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
7372adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
7473, 36ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
7574recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  s )  e.  CC )
76 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( H `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) )
77 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( K `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) )
78 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
79 fourierdlem85.r . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
80 fourierdlem85.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
81 fourierdlem85.ifn . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
82 fourierdlem85.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
83 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  =  if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )
8425, 16, 37, 24, 48, 50, 51, 12, 15, 79, 26, 11, 80, 81, 82, 83fourierdlem75 32167 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  i )  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  i
) ) )  e.  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
8552adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  H : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
867a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
879a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  pi  e.  RR* )
88 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
8986, 87, 29, 88fourierdlem8 32100 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) [,] ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9033, 89syl5ss 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9185, 90feqresmpt 5927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) )
9291oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
9384, 92eleqtrd 2547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  i )  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  i
) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
94 limcresi 22415 . . . . . . . 8  |-  ( K lim
CC  ( Q `  i ) )  C_  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)
95 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
96 cncfss 21529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
9741, 95, 96mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
9857fourierdlem62 32154 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
9997, 98sselii 3496 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
10099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
101 elfzofz 11841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
10329, 102ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  (
-u pi [,] pi ) )
104100, 103cnlimci 22419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( K lim
CC  ( Q `  i ) ) )
10594, 104sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
106 cncff 21523 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )  ->  K :
( -u pi [,] pi )
--> CC )
10799, 106mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  K : (
-u pi [,] pi )
--> CC )
108107, 90feqresmpt 5927 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) )
109108oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
110105, 109eleqtrd 2547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
11176, 77, 78, 56, 61, 93, 110mullimc 31825 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) ) )
11265mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) ) )
113112oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
114111, 113eleqtrrd 2548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) ) lim
CC  ( Q `  i ) ) )
115 limcresi 22415 . . . . . 6  |-  ( S lim
CC  ( Q `  i ) )  C_  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)
11669adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
117116, 103cnlimci 22419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( S lim
CC  ( Q `  i ) ) )
118115, 117sseldi 3497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
11972, 90feqresmpt 5927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) )
120119oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
121118, 120eleqtrd 2547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
1222, 3, 4, 66, 75, 114, 121mullimc 31825 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( if ( ( V `  i )  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
1231, 122syl5eqel 2549 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
124 fourierdlem85.g . . . . 5  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
125124reseq1i 5279 . . . 4  |-  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
12690resmptd 5335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) ) )
127125, 126syl5req 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  =  ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
128127oveq1d 6311 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
129123, 128eleqtrd 2547 1  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  ( ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   sincsin 13811   picpi 13814   TopOpenctopn 14839  ℂfldccnfld 18547   -cn->ccncf 21506   lim CC climc 22392    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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