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Theorem fourierdlem85 38167
Description: Limit of the function  G at the lower bounds of the partition intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem85.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem85.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem85.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
fourierdlem85.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem85.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem85.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem85.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem85.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem85.n  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
fourierdlem85.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem85.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem85.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem85.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem85.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem85.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem85.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem85.i  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem85.ifn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
fourierdlem85.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem85.a  |-  A  =  ( ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem85  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  ( ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
Distinct variable groups:    E, s    F, s    H, s    K, s   
i, M, m, p    M, s, i    N, s    Q, i, p    Q, s    R, s    S, s    i, V, p    V, s    W, s    i, X, m, p    X, s    Y, s    ph, i,
s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i, m, s, p)    P( i, m, s, p)    Q( m)    R( i, m, p)    S( i, m, p)    U( i, m, s, p)    E( i, m, p)    F( i, m, p)    G( i, m, s, p)    H( i, m, p)    I( i, m, s, p)    K( i, m, p)    N( i, m, p)    O( i, m, s, p)    V( m)    W( i, m, p)    Y( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem85
StepHypRef Expression
1 fourierdlem85.a . . 3  |-  A  =  ( ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) )
3 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( S `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) )
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
5 pire 23492 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
65renegcli 9955 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  e.  RR
76rexri 9711 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR*
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
95rexri 9711 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR*
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  pi  e.  RR* )
11 fourierdlem85.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
12 fourierdlem85.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
135a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1413renegcld 10067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
15 fourierdlem85.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
16 fourierdlem85.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
1716fourierdlem2 38083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <->  ( V  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <-> 
( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
1915, 18mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2019simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
21 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
22 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V : ( 0 ... M ) --> RR  ->  ran 
V  C_  RR )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  RR )
24 fourierdlem85.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
2523, 24sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
26 fourierdlem85.q . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
2714, 13, 25, 16, 11, 12, 15, 26fourierdlem14 38095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( O `
 M ) )
2811, 12, 27fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> (
-u pi [,] pi ) )
2928adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
3029adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
31 simplr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
328, 10, 30, 31fourierdlem8 38089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  i
) [,] ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( -u pi [,] pi ) )
33 ioossicc 11745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
3433sseli 3414 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
3534adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
3632, 35sseldd 3419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
37 fourierdlem85.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
38 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X (,) +oo )  C_  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  RR )
4037, 39fssresd 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
41 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
4239, 41syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  CC )
43 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
44 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
4625ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  < +oo )
4743, 45, 25, 46lptioo1cn 37824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( X (,) +oo ) ) )
48 fourierdlem85.y . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
4940, 42, 47, 48limcrecl 37806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
50 fourierdlem85.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
51 fourierdlem85.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
5237, 25, 49, 50, 51fourierdlem9 38090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5341a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
5452, 53fssd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
5554ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
5655, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( H `  s )  e.  CC )
57 fourierdlem85.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
5857fourierdlem43 38126 . . . . . . . . . 10  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
5958a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
6059, 36ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
6160recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
6256, 61mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  CC )
63 fourierdlem85.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6463fvmpt2 5972 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  CC )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
6536, 62, 64syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6665, 62eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
67 fourierdlem85.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
68 fourierdlem85.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
6967, 68fourierdlem18 38099 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
70 cncff 22003 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  ->  S :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
7169, 70syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
7271adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
7372adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
7473, 36ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
7574recnd 9687 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  s )  e.  CC )
76 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( H `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) )
77 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( K `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) )
78 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
79 fourierdlem85.r . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
80 fourierdlem85.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
81 fourierdlem85.ifn . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
82 fourierdlem85.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
83 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  =  if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )
8425, 16, 37, 24, 48, 50, 51, 12, 15, 79, 26, 11, 80, 81, 82, 83fourierdlem75 38157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  i )  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  i
) ) )  e.  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
8552adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  H : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
867a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
879a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  pi  e.  RR* )
88 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
8986, 87, 29, 88fourierdlem8 38089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) [,] ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9033, 89syl5ss 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9185, 90feqresmpt 5933 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) )
9291oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
9384, 92eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  i )  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  i
) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
94 limcresi 22919 . . . . . . . 8  |-  ( K lim
CC  ( Q `  i ) )  C_  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)
95 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
96 cncfss 22009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
9741, 95, 96mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
9857fourierdlem62 38144 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
9997, 98sselii 3415 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
10099a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
101 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
10329, 102ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  (
-u pi [,] pi ) )
104100, 103cnlimci 22923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( K lim
CC  ( Q `  i ) ) )
10594, 104sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
106 cncff 22003 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )  ->  K :
( -u pi [,] pi )
--> CC )
10799, 106mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  K : (
-u pi [,] pi )
--> CC )
108107, 90feqresmpt 5933 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) )
109108oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
110105, 109eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
11176, 77, 78, 56, 61, 93, 110mullimc 37793 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) ) )
11265mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) ) )
113112oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
114111, 113eleqtrrd 2552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) ) lim
CC  ( Q `  i ) ) )
115 limcresi 22919 . . . . . 6  |-  ( S lim
CC  ( Q `  i ) )  C_  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)
11669adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
117116, 103cnlimci 22923 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( S lim
CC  ( Q `  i ) ) )
118115, 117sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
11972, 90feqresmpt 5933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) )
120119oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
121118, 120eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
1222, 3, 4, 66, 75, 114, 121mullimc 37793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( if ( ( V `  i )  =  X ,  E ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
1231, 122syl5eqel 2553 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
124 fourierdlem85.g . . . . 5  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
125124reseq1i 5107 . . . 4  |-  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
12690resmptd 5162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) ) )
127125, 126syl5req 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  =  ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
128127oveq1d 6323 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
129123, 128eleqtrd 2551 1  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  ( ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sincsin 14193   picpi 14196   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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