Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem84 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem84 38166
 Description: If is piecewise coninuous and is continuous, then is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1
fourierdlem84.2
fourierdlem84.f
fourierdlem84.xre
fourierdlem84.p ..^
fourierdlem84.m
fourierdlem84.v
fourierdlem84.fcn ..^
fourierdlem84.r ..^ lim
fourierdlem84.l ..^ lim
fourierdlem84.q
fourierdlem84.o ..^
fourierdlem84.d
fourierdlem84.g
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2 ..^
2 fourierdlem84.m . 2
3 fourierdlem84.1 . . 3
4 fourierdlem84.2 . . 3
5 fourierdlem84.xre . . 3
6 fourierdlem84.p . . 3 ..^
7 fourierdlem84.v . . 3
8 fourierdlem84.q . . 3
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 38095 . 2
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7
1110adantr 472 . . . . . 6
125adantr 472 . . . . . . 7
133adantr 472 . . . . . . . 8
144adantr 472 . . . . . . . 8
15 simpr 468 . . . . . . . 8
16 eliccre 37699 . . . . . . . 8
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . 7
1812, 17readdcld 9688 . . . . . 6
1911, 18ffvelrnd 6038 . . . . 5
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8
21 cncff 22003 . . . . . . . 8
2220, 21syl 17 . . . . . . 7
2322adantr 472 . . . . . 6
2423, 17ffvelrnd 6038 . . . . 5
2519, 24remulcld 9689 . . . 4
2625recnd 9687 . . 3
27 fourierdlem84.g . . 3
2826, 27fmptd 6061 . 2
2927a1i 11 . . . . 5 ..^
3029reseq1d 5110 . . . 4 ..^
31 ioossicc 11745 . . . . . 6
323rexrd 9708 . . . . . . . 8
3332adantr 472 . . . . . . 7 ..^
344rexrd 9708 . . . . . . . 8
3534adantr 472 . . . . . . 7 ..^
361, 2, 9fourierdlem15 38096 . . . . . . . 8
3736adantr 472 . . . . . . 7 ..^
38 simpr 468 . . . . . . 7 ..^ ..^
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 38089 . . . . . 6 ..^
4031, 39syl5ss 3429 . . . . 5 ..^
4140resmptd 5162 . . . 4 ..^
4230, 41eqtrd 2505 . . 3 ..^
433, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
444, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^
476, 2, 7fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . . . . . 14
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
49 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5148, 50ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5246, 51sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11 ..^
5352rexrd 9708 . . . . . . . . . 10 ..^
5453adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
55 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5748, 56ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5846, 57sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11 ..^
5958rexrd 9708 . . . . . . . . . 10 ..^
6059adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
615ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 ..^
62 elioore 11691 . . . . . . . . . . 11
6362adantl 473 . . . . . . . . . 10 ..^
6461, 63readdcld 9688 . . . . . . . . 9 ..^
655recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
673, 4iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6937, 50ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
7068, 69sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
7170recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7266, 71addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12 ..^
735adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
7452, 73resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
758fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
7650, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7776oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7852recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7978, 66npcand 10009 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8072, 77, 793eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11 ..^
8180adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
8270adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
8370rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8537, 68fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
8685, 56ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8786rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^
89 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 ..^
90 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . 12
9184, 88, 89, 90syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 ..^
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . 10 ..^
9381, 92eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9 ..^
9486adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
95 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . 12
9684, 88, 89, 95syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 ..^
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . 10 ..^
98 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1018, 100eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
103 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
10658, 73resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
107102, 105, 56, 106fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
108107oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12 ..^
10958recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
11066, 109pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . 12 ..^
111108, 110eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11 ..^
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
11397, 112breqtrd 4420 . . . . . . . . 9 ..^
11454, 60, 64, 93, 113eliood 37691 . . . . . . . 8 ..^
115 fvres 5893 . . . . . . . 8
116114, 115syl 17 . . . . . . 7 ..^
117116eqcomd 2477 . . . . . 6 ..^
118117mpteq2dva 4482 . . . . 5 ..^
119 ioosscn 37687 . . . . . . 7
120119a1i 11 . . . . . 6 ..^
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6 ..^
122 ioosscn 37687 . . . . . . 7
123122a1i 11 . . . . . 6 ..^
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 38104 . . . . 5 ..^
125118, 124eqeltrd 2549 . . . 4 ..^
126 eqid 2471 . . . . 5
127 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8
128 ssid 3437 . . . . . . . 8
129 cncfss 22009 . . . . . . . 8
130127, 128, 129mp2an 686 . . . . . . 7
13122feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
132131eqcomd 2477 . . . . . . . 8
133132, 20eqeltrd 2549 . . . . . . 7
134130, 133sseldi 3416 . . . . . 6
135134adantr 472 . . . . 5 ..^
13640, 68sstrd 3428 . . . . 5 ..^
137128a1i 11 . . . . 5 ..^
13822adantr 472 . . . . . . . 8
13962adantl 473 . . . . . . . 8
140138, 139ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
141140recnd 9687 . . . . . 6
142141adantlr 729 . . . . 5 ..^
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 37844 . . . 4 ..^
144125, 143mulcncf 22476 . . 3 ..^
14542, 144eqeltrd 2549 . 2 ..^
146 eqid 2471 . . . 4
147 eqid 2471 . . . 4
148 eqid 2471 . . . 4
14910adantr 472 . . . . . . 7
1505adantr 472 . . . . . . . 8
151150, 139readdcld 9688 . . . . . . 7
152149, 151ffvelrnd 6038 . . . . . 6
153152recnd 9687 . . . . 5
154153adantlr 729 . . . 4 ..^
15510adantr 472 . . . . 5 ..^
156 ioossre 11721 . . . . . 6
157156a1i 11 . . . . 5 ..^
15882, 91gtned 9787 . . . . 5 ..^
159 fourierdlem84.r . . . . . 6 ..^ lim
16080oveq2d 6324 . . . . . 6 ..^ lim lim
161159, 160eleqtrd 2551 . . . . 5 ..^ lim
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 38135 . . . 4 ..^ lim
163 limcresi 22919 . . . . . 6 lim lim
164130, 20sseldi 3416 . . . . . . . . 9
165164adantr 472 . . . . . . . 8 ..^
166165, 70cnlimci 22923 . . . . . . 7 ..^ lim
167131oveq1d 6323 . . . . . . . 8 lim lim
168167adantr 472 . . . . . . 7 ..^ lim lim
169166, 168eleqtrd 2551 . . . . . 6 ..^ lim
170163, 169sseldi 3416 . . . . 5 ..^ lim
171136resmptd 5162 . . . . . 6 ..^
172171oveq1d 6323 . . . . 5 ..^ lim lim
173170, 172eleqtrd 2551 . . . 4 ..^ lim
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 37793 . . 3 ..^ lim
17527reseq1i 5107 . . . . 5
176175, 41syl5req 2518 . . . 4 ..^
177176oveq1d 6323 . . 3 ..^ lim lim
178174, 177eleqtrd 2551 . 2 ..^ lim
17963, 96ltned 9788 . . . . 5 ..^
180 fourierdlem84.l . . . . . 6 ..^ lim
181111eqcomd 2477 . . . . . . 7 ..^
182181oveq2d 6324 . . . . . 6 ..^ lim lim
183180, 182eleqtrd 2551 . . . . 5 ..^ lim
18486recnd 9687 . . . . 5 ..^
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 38135 . . . 4 ..^ lim
186 limcresi 22919 . . . . . 6 lim lim
187165, 86cnlimci 22923 . . . . . . 7 ..^ lim
188131oveq1d 6323 . . . . . . . 8 lim lim
189188adantr 472 . . . . . . 7 ..^ lim lim
190187, 189eleqtrd 2551 . . . . . 6 ..^ lim
191186, 190sseldi 3416 . . . . 5 ..^ lim
192171oveq1d 6323 . . . . 5 ..^ lim lim
193191, 192eleqtrd 2551 . . . 4 ..^ lim
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 37793 . . 3 ..^ lim
195176oveq1d 6323 . . 3 ..^ lim lim
196194, 195eleqtrd 2551 . 2 ..^ lim
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 38151 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cmin 9880  cn 10631  cioo 11660  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  ccncf 21986  cibl 22654   lim climc 22896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900 This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186  fourierdlem112  38194
 Copyright terms: Public domain W3C validator