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Theorem fourierdlem84 38054
Description: If  F is piecewise coninuous and  D is continuous, then  G is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem84.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem84.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem84.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem84.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  +  X
)  /\  ( p `  m )  =  ( B  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem84.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem84.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem84.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem84.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem84.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem84.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem84.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem84.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
fourierdlem84.g  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    A, s, i    B, i, m, p    B, s    D, s    F, s   
i, G    L, s    i, M, s    m, M, p    Q, i, s    Q, p    R, s    i, V, s    V, p    i, X, s    m, X, p    ph, i, s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    D( i, m, p)    P( i, m, s, p)    Q( m)    R( i, m, p)    F( i, m, p)    G( m, s, p)    L( i, m, p)    O( i, m, s, p)    V( m)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
2 fourierdlem84.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem84.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 fourierdlem84.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 fourierdlem84.xre . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
6 fourierdlem84.p . . 3  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  +  X
)  /\  ( p `  m )  =  ( B  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) ) } )
7 fourierdlem84.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
8 fourierdlem84.q . . 3  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 37983 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( O `
 M ) )
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  F : RR
--> RR )
125adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  X  e.  RR )
133adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
144adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
15 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
16 eliccre 37603 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  s  e.  RR )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  RR )
1812, 17readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
1911, 18ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
21 cncff 21925 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( RR -cn-> RR )  ->  D : RR
--> RR )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D : RR --> RR )
2322adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  D : RR
--> RR )
2423, 17ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( D `  s )  e.  RR )
2519, 24remulcld 9671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) )  e.  RR )
2625recnd 9669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) )  e.  CC )
27 fourierdlem84.g . . 3  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )
2826, 27fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
2927a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  G  =  ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) )
3029reseq1d 5104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
31 ioossicc 11720 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
323rexrd 9690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3332adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  RR* )
344rexrd 9690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
3534adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  RR* )
361, 2, 9fourierdlem15 37984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
3736adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B
) )
38 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 37977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) [,] ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
4031, 39syl5ss 3443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
4140resmptd 5156 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) )
4230, 41eqtrd 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) )
433, 5readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
444, 5readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
4543, 44iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) [,] ( B  +  X )
)  C_  RR )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( A  +  X ) [,] ( B  +  X
) )  C_  RR )
476, 2, 7fourierdlem15 37984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V : ( 0 ... M ) --> ( ( A  +  X
) [,] ( B  +  X ) ) )
4847adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> ( ( A  +  X ) [,] ( B  +  X )
) )
49 elfzofz 11935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
5049adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
5148, 50ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  ( ( A  +  X
) [,] ( B  +  X ) ) )
5246, 51sseldd 3433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
5352rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
5453adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
55 fzofzp1 12008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
5655adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
5748, 56ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ( A  +  X
) [,] ( B  +  X ) ) )
5846, 57sseldd 3433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
5958rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
6059adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
615ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
62 elioore 11666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  s  e.  RR )
6362adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
6461, 63readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
655recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6665adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  X  e.  CC )
673, 4iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
6937, 50ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  ( A [,] B ) )
7068, 69sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
7170recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
7266, 71addcomd 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( Q `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  +  X ) )
735adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  X  e.  RR )
7452, 73resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i )  -  X )  e.  RR )
758fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  ( ( V `  i )  -  X
)  e.  RR )  ->  ( Q `  i )  =  ( ( V `  i
)  -  X ) )
7650, 74, 75syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( ( V `  i
)  -  X ) )
7776oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i )  +  X )  =  ( ( ( V `  i )  -  X
)  +  X ) )
7852recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  CC )
7978, 66npcand 9990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( V `  i )  -  X )  +  X )  =  ( V `  i ) )
8072, 77, 793eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  =  ( X  +  ( Q `
 i ) ) )
8180adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  i )  =  ( X  +  ( Q `  i ) ) )
8270adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
8370rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR* )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR* )
8537, 68fssd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8685, 56ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
8786rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
8887adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
89 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
90 ioogtlb 37592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  i
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  <  s )
9184, 88, 89, 90syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  <  s )
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  ( Q `  i ) )  < 
( X  +  s ) )
9381, 92eqbrtrd 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  i )  <  ( X  +  s ) )
9486adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
95 iooltub 37610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  i
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  <  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
9684, 88, 89, 95syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  <  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  <  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
98 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  ( V `  i )  =  ( V `  j ) )
9998oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  (
( V `  i
)  -  X )  =  ( ( V `
 j )  -  X ) )
10099cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  i )  -  X ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( ( V `
 j )  -  X ) )
1018, 100eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  j )  -  X
) )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q  =  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  j
)  -  X ) ) )
103 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( V `  j )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
104103oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) )
105104adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  j  =  ( i  +  1 ) )  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) )
10658, 73resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X )  e.  RR )
107102, 105, 56, 106fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( V `  (
i  +  1 ) )  -  X ) )
108107oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( X  +  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) ) )
10958recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  CC )
11066, 109pncan3d 9989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( ( V `  ( i  +  1 ) )  -  X
) )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
111108, 110eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
112111adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( V `  (
i  +  1 ) ) )
11397, 112breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  <  ( V `  (
i  +  1 ) ) )
11454, 60, 64, 93, 113eliood 37595 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )
115 fvres 5879 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
116114, 115syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
117116eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s )
) )
118117mpteq2dva 4489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s )
) ) )
119 ioosscn 37591 . . . . . . 7  |-  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) )  C_  CC
120119a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) )  C_  CC )
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
122 ioosscn 37591 . . . . . . 7  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  CC
123122a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  CC )
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 37992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
125118, 124eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
126 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( s  e.  RR  |->  ( D `
 s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )
127 ax-resscn 9596 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
128 ssid 3451 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
129 cncfss 21931 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( RR -cn-> RR )  C_  ( RR -cn-> CC ) )
130127, 128, 129mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( RR
-cn-> RR )  C_  ( RR -cn-> CC )
13122feqmptd 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  RR  |->  ( D `
 s ) ) )
132131eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  =  D )
133132, 20eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
134130, 133sseldi 3430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  e.  ( RR
-cn-> CC ) )
135134adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  e.  ( RR -cn-> CC ) )
13640, 68sstrd 3442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR )
137128a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
13822adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  D : RR --> RR )
13962adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
140138, 139ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  s )  e.  RR )
141140recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  s )  e.  CC )
142141adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  s )  e.  CC )
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 37747 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
144125, 143mulcncf 22398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s
) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
14542, 144eqeltrd 2529 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
146 eqid 2451 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )
147 eqid 2451 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( D `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) )
148 eqid 2451 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s
) ) )
14910adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  F : RR --> RR )
1505adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
151150, 139readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
152149, 151ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
153152recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
154153adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
15510adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F : RR --> RR )
156 ioossre 11696 . . . . . 6  |-  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) )  C_  RR
157156a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR )
15882, 91gtned 9770 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  =/=  ( Q `  i
) )
159 fourierdlem84.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
16080oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  i )
)  =  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  i )
) ) )
161159, 160eleqtrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  i ) ) ) )
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 38023 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
163 limcresi 22840 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) 
C_  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) )
164130, 20sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( RR
-cn-> CC ) )
165164adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  D  e.  ( RR -cn-> CC ) )
166165, 70cnlimci 22844 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( D lim
CC  ( Q `  i ) ) )
167131oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
168167adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D lim CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
169166, 168eleqtrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
170163, 169sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
171136resmptd 5156 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `
 s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) )
172171oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
173170, 172eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 37696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( R  x.  ( D `  ( Q `
 i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
17527reseq1i 5101 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
176175, 41syl5req 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s
) ) )  =  ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
177176oveq1d 6305 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
178174, 177eleqtrd 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( R  x.  ( D `  ( Q `
 i ) ) )  e.  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
17963, 96ltned 9771 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  =/=  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
180 fourierdlem84.l . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
181111eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  =  ( X  +  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
182181oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
183180, 182eleqtrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
18486recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  CC )
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 38023 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
186 limcresi 22840 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
187165, 86cnlimci 22844 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( D lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
188131oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
189188adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
190187, 189eleqtrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
191186, 190sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
192171oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
193191, 192eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 37696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( L  x.  ( D `  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
195176oveq1d 6305 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
196194, 195eleqtrd 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( L  x.  ( D `  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 38039 1  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    - cmin 9860   NNcn 10609   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   -cn->ccncf 21908   L^1cibl 22575   lim CC climc 22817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  fourierdlem112  38082
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