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Theorem fourierdlem84 38166
Description: If  F is piecewise coninuous and  D is continuous, then  G is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem84.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem84.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem84.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem84.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem84.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  +  X
)  /\  ( p `  m )  =  ( B  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem84.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem84.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem84.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem84.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem84.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem84.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem84.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem84.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
fourierdlem84.g  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem84  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    A, s, i    B, i, m, p    B, s    D, s    F, s   
i, G    L, s    i, M, s    m, M, p    Q, i, s    Q, p    R, s    i, V, s    V, p    i, X, s    m, X, p    ph, i, s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    D( i, m, p)    P( i, m, s, p)    Q( m)    R( i, m, p)    F( i, m, p)    G( m, s, p)    L( i, m, p)    O( i, m, s, p)    V( m)

Proof of Theorem fourierdlem84
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem84.o . 2  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
2 fourierdlem84.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem84.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 fourierdlem84.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 fourierdlem84.xre . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
6 fourierdlem84.p . . 3  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  +  X
)  /\  ( p `  m )  =  ( B  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) ) } )
7 fourierdlem84.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
8 fourierdlem84.q . . 3  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
93, 4, 5, 6, 1, 2, 7, 8fourierdlem14 38095 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( O `
 M ) )
10 fourierdlem84.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1110adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  F : RR
--> RR )
125adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  X  e.  RR )
133adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
144adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
15 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
16 eliccre 37699 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  s  e.  RR )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  s  e.  RR )
1812, 17readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
1911, 18ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
20 fourierdlem84.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
21 cncff 22003 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( RR -cn-> RR )  ->  D : RR
--> RR )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D : RR --> RR )
2322adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  D : RR
--> RR )
2423, 17ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( D `  s )  e.  RR )
2519, 24remulcld 9689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) )  e.  RR )
2625recnd 9687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) )  e.  CC )
27 fourierdlem84.g . . 3  |-  G  =  ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )
2826, 27fmptd 6061 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
2927a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  G  =  ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) )
3029reseq1d 5110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
31 ioossicc 11745 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
323rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3332adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  RR* )
344rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
3534adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  RR* )
361, 2, 9fourierdlem15 38096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
3736adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B
) )
38 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
3933, 35, 37, 38fourierdlem8 38089 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) [,] ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
4031, 39syl5ss 3429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
4140resmptd 5162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) )
4230, 41eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) )
433, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
444, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
4543, 44iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) [,] ( B  +  X )
)  C_  RR )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( A  +  X ) [,] ( B  +  X
) )  C_  RR )
476, 2, 7fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V : ( 0 ... M ) --> ( ( A  +  X
) [,] ( B  +  X ) ) )
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> ( ( A  +  X ) [,] ( B  +  X )
) )
49 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
5148, 50ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  ( ( A  +  X
) [,] ( B  +  X ) ) )
5246, 51sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
5352rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
5453adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
55 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
5655adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
5748, 56ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ( A  +  X
) [,] ( B  +  X ) ) )
5846, 57sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
5958rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
6059adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
615ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
62 elioore 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  s  e.  RR )
6362adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
6461, 63readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
655recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  X  e.  CC )
673, 4iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
6937, 50ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  ( A [,] B ) )
7068, 69sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
7170recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  CC )
7266, 71addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( Q `  i ) )  =  ( ( Q `  i )  +  X ) )
735adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  X  e.  RR )
7452, 73resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i )  -  X )  e.  RR )
758fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  ( ( V `  i )  -  X
)  e.  RR )  ->  ( Q `  i )  =  ( ( V `  i
)  -  X ) )
7650, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( ( V `  i
)  -  X ) )
7776oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i )  +  X )  =  ( ( ( V `  i )  -  X
)  +  X ) )
7852recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  CC )
7978, 66npcand 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( V `  i )  -  X )  +  X )  =  ( V `  i ) )
8072, 77, 793eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  =  ( X  +  ( Q `
 i ) ) )
8180adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  i )  =  ( X  +  ( Q `  i ) ) )
8270adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
8370rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR* )
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR* )
8537, 68fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8685, 56ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
8786rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR* )
89 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
90 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  i
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  <  s )
9184, 88, 89, 90syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  i )  <  s )
9282, 63, 61, 91ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  ( Q `  i ) )  < 
( X  +  s ) )
9381, 92eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( V `  i )  <  ( X  +  s ) )
9486adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
95 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  i
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  <  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
9684, 88, 89, 95syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  <  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
9763, 94, 61, 96ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  <  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
98 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  ( V `  i )  =  ( V `  j ) )
9998oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  j  ->  (
( V `  i
)  -  X )  =  ( ( V `
 j )  -  X ) )
10099cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  i )  -  X ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( ( V `
 j )  -  X ) )
1018, 100eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  j )  -  X
) )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q  =  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  j
)  -  X ) ) )
103 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  ( V `  j )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
104103oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( i  +  1 )  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) )
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  j  =  ( i  +  1 ) )  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) )
10658, 73resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X )  e.  RR )
107102, 105, 56, 106fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( V `  (
i  +  1 ) )  -  X ) )
108107oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( X  +  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) ) )
10958recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  CC )
11066, 109pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( ( V `  ( i  +  1 ) )  -  X
) )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
111108, 110eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( V `  (
i  +  1 ) ) )
11397, 112breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  <  ( V `  (
i  +  1 ) ) )
11454, 60, 64, 93, 113eliood 37691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )
115 fvres 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
116114, 115syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
117116eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s )
) )
118117mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s )
) ) )
119 ioosscn 37687 . . . . . . 7  |-  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) )  C_  CC
120119a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) )  C_  CC )
121 fourierdlem84.fcn . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
122 ioosscn 37687 . . . . . . 7  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  CC
123122a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  CC )
124120, 121, 123, 66, 114fourierdlem23 38104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
125118, 124eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
126 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( s  e.  RR  |->  ( D `
 s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )
127 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
128 ssid 3437 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
129 cncfss 22009 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( RR -cn-> RR )  C_  ( RR -cn-> CC ) )
130127, 128, 129mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( RR
-cn-> RR )  C_  ( RR -cn-> CC )
13122feqmptd 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  RR  |->  ( D `
 s ) ) )
132131eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  =  D )
133132, 20eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  e.  ( RR
-cn-> RR ) )
134130, 133sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  e.  ( RR
-cn-> CC ) )
135134adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  e.  ( RR -cn-> CC ) )
13640, 68sstrd 3428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR )
137128a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
13822adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  D : RR --> RR )
13962adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
140138, 139ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  s )  e.  RR )
141140recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  s )  e.  CC )
142141adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  s )  e.  CC )
143126, 135, 136, 137, 142cncfmptssg 37844 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
144125, 143mulcncf 22476 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s
) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
14542, 144eqeltrd 2549 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
146 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )
147 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( D `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) )
148 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s
) ) )
14910adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  F : RR --> RR )
1505adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  RR )
151150, 139readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
152149, 151ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
153152recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
154153adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
15510adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F : RR --> RR )
156 ioossre 11721 . . . . . 6  |-  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) )  C_  RR
157156a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) )  C_  RR )
15882, 91gtned 9787 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  =/=  ( Q `  i
) )
159 fourierdlem84.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
16080oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  i )
)  =  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  i )
) ) )
161159, 160eleqtrd 2551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  i ) ) ) )
162155, 73, 136, 146, 114, 157, 158, 161, 71fourierdlem53 38135 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
163 limcresi 22919 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) 
C_  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) )
164130, 20sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( RR
-cn-> CC ) )
165164adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  D  e.  ( RR -cn-> CC ) )
166165, 70cnlimci 22923 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( D lim
CC  ( Q `  i ) ) )
167131oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
168167adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D lim CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
169166, 168eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
170163, 169sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
171136resmptd 5162 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `
 s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) )
172171oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
173170, 172eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
174146, 147, 148, 154, 142, 162, 173mullimc 37793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( R  x.  ( D `  ( Q `
 i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
17527reseq1i 5107 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  x.  ( D `  s )
) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
176175, 41syl5req 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s
) ) )  =  ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
177176oveq1d 6323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
178174, 177eleqtrd 2551 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( R  x.  ( D `  ( Q `
 i ) ) )  e.  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
17963, 96ltned 9788 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  =/=  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
180 fourierdlem84.l . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
181111eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  =  ( X  +  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
182181oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
183180, 182eleqtrd 2551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( X  +  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
18486recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  CC )
185155, 73, 136, 146, 114, 157, 179, 183, 184fourierdlem53 38135 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
186 limcresi 22919 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
187165, 86cnlimci 22923 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( D lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
188131oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
189188adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
190187, 189eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
191186, 190sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
192171oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( s  e.  RR  |->  ( D `  s ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
193191, 192eleqtrd 2551 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( D `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( D `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
194146, 147, 148, 154, 142, 185, 193mullimc 37793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( L  x.  ( D `  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  x.  ( D `
 s ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
195176oveq1d 6323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  x.  ( D `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
196194, 195eleqtrd 2551 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( L  x.  ( D `  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
1971, 2, 9, 28, 145, 178, 196fourierdlem69 38151 1  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880   NNcn 10631   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   -cn->ccncf 21986   L^1cibl 22654   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186  fourierdlem112  38194
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