Theorem fourierdlem82 38164

Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem82.1	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) )
fourierdlem82.2	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem82.3	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem82.4	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem82.5	|- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
fourierdlem82.6	|- ( ph -> ( F |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem82.7	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem82.8	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem82.9	|- ( ph -> X e. RR )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem82	|- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )

Distinct variable groups:   t, A, x   t, B, x   x, F   t, G   x, L   x, R   t, X, x   ph, t, x

Allowed substitution hints:   R( t)   F( t)   G( x)   L( t)

Proof of Theorem fourierdlem82

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem82.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem82.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem82.9	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem82.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A < B )
5	1, 2, 4	ltled 9800	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 3, 5	lesub1dd 10250	. . . 4 |- ( ph -> ( A - X ) <_ ( B - X ) )
7	6	ditgpos 22890	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( G ` ( X + t ) ) _d t )
8		fourierdlem82.1	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) )
9		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = R )
10	9	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = R )
11		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = R )
12	11	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = R )
13	10, 12	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
14	13	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
15		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
16		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = L )
17	15, 16	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x = A /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = L )
18	17	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = L )
19		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( F ` x ) ) )
20		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = L )
21	19, 20	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x = A /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = L )
22	21	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = L )
23	18, 22	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
24		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
25	24	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
26	15	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
27		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = B -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
28	27	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
29	19	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( F ` x ) ) )
30	1	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR* )
31	30	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> A e. RR* )
32	2	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
33	32	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> B e. RR* )
34	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
35	2	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
36		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
37		eliccre 37699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
39	38	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
40	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A e. RR )
41	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> x e. RR )
42		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
43	34, 35, 42	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
44	36, 43	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
45	44	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
46	45	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A <_ x )
47		neqne 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = A -> x =/= A )
48	47	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> x =/= A )
49	40, 41, 46, 48	leneltd 9806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A < x )
50	49	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> A < x )
51	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
52	2	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> B e. RR )
53	44	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x <_ B )
55		nesym 2699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B =/= x <-> -. x = B )
56	55	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = B -> B =/= x )
57	56	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> B =/= x )
58	51, 52, 54, 57	leneltd 9806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x < B )
59	58	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x < B )
60	31, 33, 39, 50, 59	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x e. ( A (,) B ) )
61		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
63	28, 29, 62	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
64	25, 26, 63	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
65	23, 64	pm2.61dan 808	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
66	14, 65	pm2.61dan 808	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
67	66	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
68	8, 67	syl5eq 2517	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
69	68	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
70		eqeq1 2475	. . . . . . 7 |- ( x = ( X + t ) -> ( x = A <-> ( X + t ) = A ) )
71		eqeq1 2475	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X + t ) -> ( x = B <-> ( X + t ) = B ) )
72		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X + t ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( X + t ) ) )
73	71, 72	ifbieq2d 3897	. . . . . . 7 |- ( x = ( X + t ) -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) )
74	70, 73	ifbieq2d 3897	. . . . . 6 |- ( x = ( X + t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) )
75	1	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A e. RR )
76		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) )
77	1, 3	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR )
78	77	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR* )
79	78	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) e. RR* )
80	2, 3	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
81	80	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR* )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( B - X ) e. RR* )
83		elioo2 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A - X ) e. RR* /\ ( B - X ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) ) )
85	76, 84	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) )
86	85	simp2d 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) < t )
87	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> X e. RR )
88	85	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
89	75, 87, 88	ltsubadd2d 10232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( ( A - X ) < t <-> A < ( X + t ) ) )
90	86, 89	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A < ( X + t ) )
91	75, 90	gtned 9787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) =/= A )
92	91	neneqd 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> -. ( X + t ) = A )
93	92	iffalsed 3883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) = if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) )
94	87, 88	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. RR )
95	85	simp3d 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t < ( B - X ) )
96	2	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> B e. RR )
97	87, 88, 96	ltaddsub2d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( ( X + t ) < B <-> t < ( B - X ) ) )
98	95, 97	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) < B )
99	94, 98	ltned 9788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) =/= B )
100	99	neneqd 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> -. ( X + t ) = B )
101	100	iffalsed 3883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
102	93, 101	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
103	74, 102	sylan9eqr 2527	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) /\ x = ( X + t ) ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
104	75, 94, 90	ltled 9800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A <_ ( X + t ) )
105	94, 96, 98	ltled 9800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) <_ B )
106	75, 96, 94, 104, 105	eliccd 37697	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. ( A [,] B ) )
107		fourierdlem82.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
108		ffun 5742	. . . . . . . 8 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> Fun F )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
110	109	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> Fun F )
111		fdm 5745	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> dom F = ( A [,] B ) )
112	107, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = ( A [,] B ) )
113	112	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] B ) = dom F )
114	113	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
115	106, 114	eleqtrd 2551	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. dom F )
116		fvelrn 6030	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ ( X + t ) e. dom F ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
117	110, 115, 116	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
118	69, 103, 106, 117	fvmptd 5969	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( G ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
119	118	itgeq2dv 22818	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( G ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )
120		frn 5747	. . . . . . 7 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> ran F C_ CC )
121	107, 120	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran F C_ CC )
122	121	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ran F C_ CC )
123	109	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> Fun F )
124	1	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> A e. RR )
125	2	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> B e. RR )
126	3	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> X e. RR )
127	77	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) e. RR )
128	80	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( B - X ) e. RR )
129		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) )
130		eliccre 37699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - X ) e. RR /\ ( B - X ) e. RR /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
131	127, 128, 129, 130	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
132	126, 131	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. RR )
133		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A - X ) e. RR /\ ( B - X ) e. RR ) -> ( t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) ) )
134	127, 128, 133	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) )
136	135	simp2d 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) <_ t )
137	124, 126, 131	lesubadd2d 10233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( ( A - X ) <_ t <-> A <_ ( X + t ) ) )
138	136, 137	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> A <_ ( X + t ) )
139	135	simp3d 1044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t <_ ( B - X ) )
140	126, 131, 125	leaddsub2d 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( ( X + t ) <_ B <-> t <_ ( B - X ) ) )
141	139, 140	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) <_ B )
142	124, 125, 132, 138, 141	eliccd 37697	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. ( A [,] B ) )
143	113	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
144	142, 143	eleqtrd 2551	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. dom F )
145	123, 144, 116	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
146	122, 145	sseldd 3419	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. CC )
147	77, 80, 146	itgioo 22852	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )
148	7, 119, 147	3eqtrrd 2510	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t = S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t )
149		nfv 1769	. . . 4 |- F/ x ph
150		fourierdlem82.6	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151		fourierdlem82.7	. . . . 5 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
152	1, 2, 4, 107	limcicciooub 37814	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
153	151, 152	eleqtrrd 2552	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC B ) )
154		fourierdlem82.8	. . . . 5 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
155	1, 2, 4, 107	limciccioolb 37798	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
156	154, 155	eleqtrrd 2552	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC A ) )
157	149, 8, 1, 2, 150, 153, 156	cncfiooicc 37869	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
158	1, 2, 5, 3, 157	itgsbtaddcnst 37956	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t = S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s )
159	5	ditgpos 22890	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s )
160		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
161	160	cbvitgv 22813	. . . 4 |- S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( G ` t ) _d t
162	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) ) )
163	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A e. RR )
164		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t e. ( A (,) B ) )
165	30	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A e. RR* )
166	32	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> B e. RR* )
167		elioo2 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( t e. ( A (,) B ) <-> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) ) )
168	165, 166, 167	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( t e. ( A (,) B ) <-> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) ) )
169	164, 168	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) )
170	169	simp2d 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A < t )
171		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x = t )
172	170, 171	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A < x )
173	163, 172	gtned 9787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x =/= A )
174	173	neneqd 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> -. x = A )
175	174	iffalsed 3883	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
176	169	simp1d 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t e. RR )
177	171, 176	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x e. RR )
178	169	simp3d 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t < B )
179	171, 178	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x < B )
180	177, 179	ltned 9788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x =/= B )
181	180	neneqd 2648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> -. x = B )
182	181	iffalsed 3883	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
183	171, 164	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x e. ( A (,) B ) )
184	183, 61	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
185		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( F ` x ) = ( F ` t ) )
186	185	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( F ` x ) = ( F ` t ) )
187	184, 186	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` t ) )
188	175, 182, 187	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = ( F ` t ) )
189		ioossicc 11745	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
190		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. ( A (,) B ) )
191	189, 190	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. ( A [,] B ) )
192	109	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> Fun F )
193	113	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
194	191, 193	eleqtrd 2551	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. dom F )
195		fvelrn 6030	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ t e. dom F ) -> ( F ` t ) e. ran F )
196	192, 194, 195	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` t ) e. ran F )
197	162, 188, 191, 196	fvmptd 5969	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` t ) = ( F ` t ) )
198	197	itgeq2dv 22818	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( G ` t ) _d t = S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t )
199	161, 198	syl5eq 2517	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t )
200	107	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
201	1, 2, 200	itgioo 22852	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t = S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t )
202	159, 199, 201	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s = S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t )
203	148, 158, 202	3eqtrrd 2510	1 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   -cn->ccncf 21986   S.citg 22655   S__cdit 22880   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-ditg 22881  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem93  38175