Theorem fourierdlem82 38046

Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem82.1	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) )
fourierdlem82.2	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem82.3	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem82.4	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem82.5	|- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
fourierdlem82.6	|- ( ph -> ( F |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem82.7	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem82.8	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem82.9	|- ( ph -> X e. RR )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem82	|- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )

Distinct variable groups:   t, A, x   t, B, x   x, F   t, G   x, L   x, R   t, X, x   ph, t, x

Allowed substitution hints:   R( t)   F( t)   G( x)   L( t)

Proof of Theorem fourierdlem82

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem82.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem82.3	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem82.9	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem82.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A < B )
5	1, 2, 4	ltled 9780	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 3, 5	lesub1dd 10226	. . . 4 |- ( ph -> ( A - X ) <_ ( B - X ) )
7	6	ditgpos 22804	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( G ` ( X + t ) ) _d t )
8		fourierdlem82.1	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) )
9		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = R )
10	9	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = R )
11		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = R )
12	11	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = R )
13	10, 12	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
14	13	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
15		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
16		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = L )
17	15, 16	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x = A /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = L )
18	17	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = L )
19		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = A -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( F ` x ) ) )
20		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = L )
21	19, 20	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. x = A /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = L )
22	21	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = L )
23	18, 22	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
24		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
25	24	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
26	15	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
27		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x = B -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
28	27	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
29	19	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( F ` x ) ) )
30	1	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR* )
31	30	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> A e. RR* )
32	2	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
33	32	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> B e. RR* )
34	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
35	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
36		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
37		eliccre 37597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
38	34, 35, 36, 37	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
39	38	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
40	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A e. RR )
41	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> x e. RR )
42		elicc2 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
43	34, 35, 42	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
44	36, 43	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
45	44	simp2d 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
46	45	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A <_ x )
47		neqne 37368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = A -> x =/= A )
48	47	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> x =/= A )
49	40, 41, 46, 48	leneltd 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> A < x )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> A < x )
51	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
52	2	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> B e. RR )
53	44	simp3d 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x <_ B )
55		nesym 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B =/= x <-> -. x = B )
56	55	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = B -> B =/= x )
57	56	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> B =/= x )
58	51, 52, 54, 57	leneltd 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = B ) -> x < B )
59	58	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x < B )
60	31, 33, 39, 50, 59	eliood 37589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> x e. ( A (,) B ) )
61		fvres 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A (,) B ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
63	28, 29, 62	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
64	25, 26, 63	3eqtr4d 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) /\ -. x = B ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
65	23, 64	pm2.61dan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ -. x = A ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
66	14, 65	pm2.61dan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) )
67	66	mpteq2dva 4488	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
68	8, 67	syl5eq 2496	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
69	68	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) ) )
70		eqeq1 2454	. . . . . . 7 |- ( x = ( X + t ) -> ( x = A <-> ( X + t ) = A ) )
71		eqeq1 2454	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X + t ) -> ( x = B <-> ( X + t ) = B ) )
72		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( x = ( X + t ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( X + t ) ) )
73	71, 72	ifbieq2d 3905	. . . . . . 7 |- ( x = ( X + t ) -> if ( x = B , L , ( F ` x ) ) = if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) )
74	70, 73	ifbieq2d 3905	. . . . . 6 |- ( x = ( X + t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) )
75	1	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A e. RR )
76		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) )
77	1, 3	resubcld 10044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR )
78	77	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR* )
79	78	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) e. RR* )
80	2, 3	resubcld 10044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
81	80	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR* )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( B - X ) e. RR* )
83		elioo2 11674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A - X ) e. RR* /\ ( B - X ) e. RR* ) -> ( t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) ) )
84	79, 82, 83	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) ) )
85	76, 84	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( t e. RR /\ ( A - X ) < t /\ t < ( B - X ) ) )
86	85	simp2d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) < t )
87	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> X e. RR )
88	85	simp1d 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
89	75, 87, 88	ltsubadd2d 10208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( ( A - X ) < t <-> A < ( X + t ) ) )
90	86, 89	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A < ( X + t ) )
91	75, 90	gtned 9767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) =/= A )
92	91	neneqd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> -. ( X + t ) = A )
93	92	iffalsed 3891	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) = if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) )
94	87, 88	readdcld 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. RR )
95	85	simp3d 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> t < ( B - X ) )
96	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> B e. RR )
97	87, 88, 96	ltaddsub2d 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( ( X + t ) < B <-> t < ( B - X ) ) )
98	95, 97	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) < B )
99	94, 98	ltned 9768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) =/= B )
100	99	neneqd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> -. ( X + t ) = B )
101	100	iffalsed 3891	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
102	93, 101	eqtrd 2484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> if ( ( X + t ) = A , R , if ( ( X + t ) = B , L , ( F ` ( X + t ) ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
103	74, 102	sylan9eqr 2506	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) /\ x = ( X + t ) ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( F ` x ) ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
104	75, 94, 90	ltled 9780	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> A <_ ( X + t ) )
105	94, 96, 98	ltled 9780	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) <_ B )
106	75, 96, 94, 104, 105	eliccd 37595	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. ( A [,] B ) )
107		fourierdlem82.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
108		ffun 5729	. . . . . . . 8 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> Fun F )
109	107, 108	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun F )
110	109	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> Fun F )
111		fdm 5731	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> dom F = ( A [,] B ) )
112	107, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = ( A [,] B ) )
113	112	eqcomd 2456	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] B ) = dom F )
114	113	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
115	106, 114	eleqtrd 2530	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. dom F )
116		fvelrn 6013	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ ( X + t ) e. dom F ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
117	110, 115, 116	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
118	69, 103, 106, 117	fvmptd 5952	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ) -> ( G ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + t ) ) )
119	118	itgeq2dv 22732	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( G ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )
120		frn 5733	. . . . . . 7 |- ( F : ( A [,] B ) --> CC -> ran F C_ CC )
121	107, 120	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran F C_ CC )
122	121	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ran F C_ CC )
123	109	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> Fun F )
124	1	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> A e. RR )
125	2	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> B e. RR )
126	3	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> X e. RR )
127	77	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) e. RR )
128	80	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( B - X ) e. RR )
129		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) )
130		eliccre 37597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - X ) e. RR /\ ( B - X ) e. RR /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
131	127, 128, 129, 130	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t e. RR )
132	126, 131	readdcld 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. RR )
133		elicc2 11696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A - X ) e. RR /\ ( B - X ) e. RR ) -> ( t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) ) )
134	127, 128, 133	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) <-> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( t e. RR /\ ( A - X ) <_ t /\ t <_ ( B - X ) ) )
136	135	simp2d 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A - X ) <_ t )
137	124, 126, 131	lesubadd2d 10209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( ( A - X ) <_ t <-> A <_ ( X + t ) ) )
138	136, 137	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> A <_ ( X + t ) )
139	135	simp3d 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> t <_ ( B - X ) )
140	126, 131, 125	leaddsub2d 10212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( ( X + t ) <_ B <-> t <_ ( B - X ) ) )
141	139, 140	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) <_ B )
142	124, 125, 132, 138, 141	eliccd 37595	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. ( A [,] B ) )
143	113	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
144	142, 143	eleqtrd 2530	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( X + t ) e. dom F )
145	123, 144, 116	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. ran F )
146	122, 145	sseldd 3432	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ) -> ( F ` ( X + t ) ) e. CC )
147	77, 80, 146	itgioo 22766	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) (,) ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )
148	7, 119, 147	3eqtrrd 2489	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t = S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t )
149		nfv 1760	. . . 4 |- F/ x ph
150		fourierdlem82.6	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151		fourierdlem82.7	. . . . 5 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
152	1, 2, 4, 107	limcicciooub 37711	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
153	151, 152	eleqtrrd 2531	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC B ) )
154		fourierdlem82.8	. . . . 5 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
155	1, 2, 4, 107	limciccioolb 37695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
156	154, 155	eleqtrrd 2531	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( A (,) B ) ) lim CC A ) )
157	149, 8, 1, 2, 150, 153, 156	cncfiooicc 37766	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
158	1, 2, 5, 3, 157	itgsbtaddcnst 37853	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A - X ) -> ( B - X ) ] ( G ` ( X + t ) ) _d t = S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s )
159	5	ditgpos 22804	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s )
160		fveq2 5863	. . . . 5 |- ( s = t -> ( G ` s ) = ( G ` t ) )
161	160	cbvitgv 22727	. . . 4 |- S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( G ` t ) _d t
162	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> G = ( x e. ( A [,] B ) |-> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) ) )
163	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A e. RR )
164		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t e. ( A (,) B ) )
165	30	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A e. RR* )
166	32	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> B e. RR* )
167		elioo2 11674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( t e. ( A (,) B ) <-> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) ) )
168	165, 166, 167	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( t e. ( A (,) B ) <-> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) ) )
169	164, 168	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( t e. RR /\ A < t /\ t < B ) )
170	169	simp2d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A < t )
171		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x = t )
172	170, 171	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> A < x )
173	163, 172	gtned 9767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x =/= A )
174	173	neneqd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> -. x = A )
175	174	iffalsed 3891	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) )
176	169	simp1d 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t e. RR )
177	171, 176	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x e. RR )
178	169	simp3d 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> t < B )
179	171, 178	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x < B )
180	177, 179	ltned 9768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x =/= B )
181	180	neneqd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> -. x = B )
182	181	iffalsed 3891	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) = ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) )
183	171, 164	eqeltrd 2528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> x e. ( A (,) B ) )
184	183, 61	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
185		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( F ` x ) = ( F ` t ) )
186	185	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( F ` x ) = ( F ` t ) )
187	184, 186	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) = ( F ` t ) )
188	175, 182, 187	3eqtrd 2488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) /\ x = t ) -> if ( x = A , R , if ( x = B , L , ( ( F |` ( A (,) B ) ) ` x ) ) ) = ( F ` t ) )
189		ioossicc 11717	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
190		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. ( A (,) B ) )
191	189, 190	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. ( A [,] B ) )
192	109	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> Fun F )
193	113	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( A [,] B ) = dom F )
194	191, 193	eleqtrd 2530	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> t e. dom F )
195		fvelrn 6013	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ t e. dom F ) -> ( F ` t ) e. ran F )
196	192, 194, 195	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` t ) e. ran F )
197	162, 188, 191, 196	fvmptd 5952	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` t ) = ( F ` t ) )
198	197	itgeq2dv 22732	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( G ` t ) _d t = S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t )
199	161, 198	syl5eq 2496	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( G ` s ) _d s = S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t )
200	107	ffvelrnda 6020	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` t ) e. CC )
201	1, 2, 200	itgioo 22766	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( F ` t ) _d t = S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t )
202	159, 199, 201	3eqtrd 2488	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( G ` s ) _d s = S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t )
203	148, 158, 202	3eqtrrd 2489	1 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` t ) _d t = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` ( X + t ) ) _d t )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   C_ wss 3403   ifcif 3880   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   + caddc 9539   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   -cn->ccncf 21901   S.citg 22569   S__cdit 22794   lim CC climc 22810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573  df-itg 22574  df-0p 22621  df-ditg 22795  df-limc 22814  df-dv 22815

This theorem is referenced by:  fourierdlem93  38057