Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem82.2 |
. . . . 5
   |
2 | | fourierdlem82.3 |
. . . . 5
   |
3 | | fourierdlem82.9 |
. . . . 5
   |
4 | | fourierdlem82.4 |
. . . . . 6
   |
5 | 1, 2, 4 | ltled 9800 |
. . . . 5

  |
6 | 1, 2, 3, 5 | lesub1dd 10250 |
. . . 4
  
    |
7 | 6 | ditgpos 22890 |
. . 3
 _      ![] ]](rbrack.gif)                     
     |
8 | | fourierdlem82.1 |
. . . . . . 7
   ![[,] [,]](_icc.gif)                        |
9 | | iftrue 3878 |
. . . . . . . . . . . 12
  
     
              |
10 | 9 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
 
  
     
              |
11 | | iftrue 3878 |
. . . . . . . . . . . 12
  
     
        |
12 | 11 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
 
  
     
        |
13 | 10, 12 | eqtr4d 2508 |
. . . . . . . . . 10
 
  
     
                            |
14 | 13 | adantlr 729 |
. . . . . . . . 9
     ![[,] [,]](_icc.gif)     
     
                            |
15 | | iffalse 3881 |
. . . . . . . . . . . . 13
      
   
                           |
16 | | iftrue 3878 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
   
           |
17 | 15, 16 | sylan9eq 2525 |
. . . . . . . . . . . 12
  
   
   
              |
18 | 17 | adantll 728 |
. . . . . . . . . . 11
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
              |
19 | | iffalse 3881 |
. . . . . . . . . . . . 13
      
           
       |
20 | | iftrue 3878 |
. . . . . . . . . . . . 13
  
         |
21 | 19, 20 | sylan9eq 2525 |
. . . . . . . . . . . 12
  
   
   
        |
22 | 21 | adantll 728 |
. . . . . . . . . . 11
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
        |
23 | 18, 22 | eqtr4d 2508 |
. . . . . . . . . 10
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
                            |
24 | | iffalse 3881 |
. . . . . . . . . . . 12
                            |
25 | 24 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
   
                     |
26 | 15 | ad2antlr 741 |
. . . . . . . . . . 11
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
                             |
27 | | iffalse 3881 |
. . . . . . . . . . . . 13
                |
28 | 27 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . 12
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
             |
29 | 19 | ad2antlr 741 |
. . . . . . . . . . . 12
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
                 |
30 | 1 | rexrd 9708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
31 | 30 | ad3antrrr 744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
32 | 2 | rexrd 9708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
33 | 32 | ad3antrrr 744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
34 | 1 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
35 | 2 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
36 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  ![[,] [,]](_icc.gif)    |
37 | | eliccre 37699 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)     |
38 | 34, 35, 36, 37 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
39 | 38 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
40 | 1 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
41 | 38 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
42 | | elicc2 11724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 
    ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
43 | 34, 35, 42 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
   ![[,] [,]](_icc.gif)       |
44 | 36, 43 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
    |
45 | 44 | simp2d 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
46 | 45 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  

  |
47 | | neqne 2651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
48 | 47 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
49 | 40, 41, 46, 48 | leneltd 9806 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
50 | 49 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
51 | 38 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
52 | 2 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
53 | 44 | simp3d 1044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
  |
54 | 53 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  

  |
55 | | nesym 2699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  |
56 | 55 | biimpri 211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   |
57 | 56 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
58 | 51, 52, 54, 57 | leneltd 9806 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
   |
59 | 58 | adantlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

   |
60 | 31, 33, 39, 50, 59 | eliood 37691 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

       |
61 | | fvres 5893 |
. . . . . . . . . . . . 13
                     |
62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

                 |
63 | 28, 29, 62 | 3eqtr4d 2515 |
. . . . . . . . . . 11
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
                  |
64 | 25, 26, 63 | 3eqtr4d 2515 |
. . . . . . . . . 10
   
  ![[,] [,]](_icc.gif)  

  
     
                            |
65 | 23, 64 | pm2.61dan 808 |
. . . . . . . . 9
     ![[,] [,]](_icc.gif)  
                        
   
        |
66 | 14, 65 | pm2.61dan 808 |
. . . . . . . 8
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
   
   
                            |
67 | 66 | mpteq2dva 4482 |
. . . . . . 7
    ![[,] [,]](_icc.gif)                          ![[,] [,]](_icc.gif)       
           |
68 | 8, 67 | syl5eq 2517 |
. . . . . 6
    ![[,] [,]](_icc.gif)     
   
         |
69 | 68 | adantr 472 |
. . . . 5
 
     
      ![[,] [,]](_icc.gif)                   |
70 | | eqeq1 2475 |
. . . . . . 7
   
     |
71 | | eqeq1 2475 |
. . . . . . . 8
   
     |
72 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . 8
          
    |
73 | 71, 72 | ifbieq2d 3897 |
. . . . . . 7
    
                
     |
74 | 70, 73 | ifbieq2d 3897 |
. . . . . 6
    
     
                     
      |
75 | 1 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
     
     |
76 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
     
        
    |
77 | 1, 3 | resubcld 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     |
78 | 77 | rexrd 9708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
79 | 78 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
     
   
   |
80 | 2, 3 | resubcld 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     |
81 | 80 | rexrd 9708 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     |
82 | 81 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
     
   
   |
83 | | elioo2 11702 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
          
  
      |
84 | 79, 82, 83 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
     
           
  
      |
85 | 76, 84 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . 12
 
     
    

     |
86 | 85 | simp2d 1043 |
. . . . . . . . . . 11
 
     
   
   |
87 | 3 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
 
     
     |
88 | 85 | simp1d 1042 |
. . . . . . . . . . . 12
 
     
     |
89 | 75, 87, 88 | ltsubadd2d 10232 |
. . . . . . . . . . 11
 
     
     
     |
90 | 86, 89 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . 10
 
     
       |
91 | 75, 90 | gtned 9787 |
. . . . . . . . 9
 
     
   
   |
92 | 91 | neneqd 2648 |
. . . . . . . 8
 
     
   
   |
93 | 92 | iffalsed 3883 |
. . . . . . 7
 
     
                                      |
94 | 87, 88 | readdcld 9688 |
. . . . . . . . . 10
 
     
   
   |
95 | 85 | simp3d 1044 |
. . . . . . . . . . 11
 
     
       |
96 | 2 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
 
     
     |
97 | 87, 88, 96 | ltaddsub2d 10235 |
. . . . . . . . . . 11
 
     
     
     |
98 | 95, 97 | mpbird 240 |
. . . . . . . . . 10
 
     
   
   |
99 | 94, 98 | ltned 9788 |
. . . . . . . . 9
 
     
   
   |
100 | 99 | neneqd 2648 |
. . . . . . . 8
 
     
   
   |
101 | 100 | iffalsed 3883 |
. . . . . . 7
 
     
                        |
102 | 93, 101 | eqtrd 2505 |
. . . . . 6
 
     
                               |
103 | 74, 102 | sylan9eqr 2527 |
. . . . 5
        
           
                |
104 | 75, 94, 90 | ltled 9800 |
. . . . . 6
 
     
       |
105 | 94, 96, 98 | ltled 9800 |
. . . . . 6
 
     
   
   |
106 | 75, 96, 94, 104, 105 | eliccd 37697 |
. . . . 5
 
     
   
   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
107 | | fourierdlem82.5 |
. . . . . . . 8
     ![[,] [,]](_icc.gif)      |
108 | | ffun 5742 |
. . . . . . . 8
     ![[,] [,]](_icc.gif)      |
109 | 107, 108 | syl 17 |
. . . . . . 7
   |
110 | 109 | adantr 472 |
. . . . . 6
 
     
     |
111 | | fdm 5745 |
. . . . . . . . . 10
     ![[,] [,]](_icc.gif)      ![[,] [,]](_icc.gif)    |
112 | 107, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
113 | 112 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . 8
   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
114 | 113 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
     
     ![[,] [,]](_icc.gif)    |
115 | 106, 114 | eleqtrd 2551 |
. . . . . 6
 
     
   
   |
116 | | fvelrn 6030 |
. . . . . 6
  
     
    |
117 | 110, 115,
116 | syl2anc 673 |
. . . . 5
 
     
           |
118 | 69, 103, 106, 117 | fvmptd 5969 |
. . . 4
 
     
            
    |
119 | 118 | itgeq2dv 22818 |
. . 3
                               
     |
120 | | frn 5747 |
. . . . . . 7
     ![[,] [,]](_icc.gif)   
  |
121 | 107, 120 | syl 17 |
. . . . . 6
   |
122 | 121 | adantr 472 |
. . . . 5
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     |
123 | 109 | adantr 472 |
. . . . . 6
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     |
124 | 1 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     |
125 | 2 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     |
126 | 3 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     |
127 | 77 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   |
128 | 80 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   |
129 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . 10
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
       ![[,] [,]](_icc.gif) 
    |
130 | | eliccre 37699 |
. . . . . . . . . 10
    

 
  ![[,] [,]](_icc.gif)       |
131 | 127, 128,
129, 130 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . 9
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     |
132 | 126, 131 | readdcld 9688 |
. . . . . . . 8
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   |
133 | | elicc2 11724 |
. . . . . . . . . . . 12
    
       ![[,] [,]](_icc.gif) 
    
      |
134 | 127, 128,
133 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . 11
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
        ![[,] [,]](_icc.gif)   
  
      |
135 | 129, 134 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . 10
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
    

     |
136 | 135 | simp2d 1043 |
. . . . . . . . 9
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   |
137 | 124, 126,
131 | lesubadd2d 10233 |
. . . . . . . . 9
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     
     |
138 | 136, 137 | mpbid 215 |
. . . . . . . 8
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
       |
139 | 135 | simp3d 1044 |
. . . . . . . . 9
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
       |
140 | 126, 131,
125 | leaddsub2d 10236 |
. . . . . . . . 9
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     
     |
141 | 139, 140 | mpbird 240 |
. . . . . . . 8
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   |
142 | 124, 125,
132, 138, 141 | eliccd 37697 |
. . . . . . 7
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   ![[,] [,]](_icc.gif)    |
143 | 113 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
     ![[,] [,]](_icc.gif)    |
144 | 142, 143 | eleqtrd 2551 |
. . . . . 6
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
   
   |
145 | 123, 144,
116 | syl2anc 673 |
. . . . 5
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
           |
146 | 122, 145 | sseldd 3419 |
. . . 4
 
    ![[,] [,]](_icc.gif) 
           |
147 | 77, 80, 146 | itgioo 22852 |
. . 3
                       ![[,] [,]](_icc.gif)        
     |
148 | 7, 119, 147 | 3eqtrrd 2510 |
. 2
      ![[,] [,]](_icc.gif)            _  
   ![] ]](rbrack.gif)          |
149 | | nfv 1769 |
. . . 4
   |
150 | | fourierdlem82.6 |
. . . 4
                 |
151 | | fourierdlem82.7 |
. . . . 5
  lim    |
152 | 1, 2, 4, 107 | limcicciooub 37814 |
. . . . 5
        lim   lim    |
153 | 151, 152 | eleqtrrd 2552 |
. . . 4
  
     lim    |
154 | | fourierdlem82.8 |
. . . . 5
  lim    |
155 | 1, 2, 4, 107 | limciccioolb 37798 |
. . . . 5
        lim   lim    |
156 | 154, 155 | eleqtrrd 2552 |
. . . 4
  
     lim    |
157 | 149, 8, 1, 2, 150, 153, 156 | cncfiooicc 37869 |
. . 3
    ![[,] [,]](_icc.gif)       |
158 | 1, 2, 5, 3, 157 | itgsbtaddcnst 37956 |
. 2
 _      ![] ]](rbrack.gif)        _  ![] ]](rbrack.gif)        |
159 | 5 | ditgpos 22890 |
. . 3
 _  ![] ]](rbrack.gif)                   |
160 | | fveq2 5879 |
. . . . 5
           |
161 | 160 | cbvitgv 22813 |
. . . 4
                       |
162 | 8 | a1i 11 |
. . . . . 6
 
    

  ![[,] [,]](_icc.gif)       
   
             |
163 | 1 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . 10
        
  |
164 | | simplr 770 |
. . . . . . . . . . . . 13
               |
165 | 30 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
        
  |
166 | 32 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
        
  |
167 | | elioo2 11702 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       

    |
168 | 165, 166,
167 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . 13
                   |
169 | 164, 168 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . . 12
             |
170 | 169 | simp2d 1043 |
. . . . . . . . . . 11
           |
171 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . . 11
        
  |
172 | 170, 171 | breqtrrd 4422 |
. . . . . . . . . 10
           |
173 | 163, 172 | gtned 9787 |
. . . . . . . . 9
           |
174 | 173 | neneqd 2648 |
. . . . . . . 8
        
  |
175 | 174 | iffalsed 3883 |
. . . . . . 7
              
   
                           |
176 | 169 | simp1d 1042 |
. . . . . . . . . . 11
           |
177 | 171, 176 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . . 10
        
  |
178 | 169 | simp3d 1044 |
. . . . . . . . . . 11
        
  |
179 | 171, 178 | eqbrtrd 4416 |
. . . . . . . . . 10
           |
180 | 177, 179 | ltned 9788 |
. . . . . . . . 9
           |
181 | 180 | neneqd 2648 |
. . . . . . . 8
        
  |
182 | 181 | iffalsed 3883 |
. . . . . . 7
                                    |
183 | 171, 164 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . . 9
        
      |
184 | 183, 61 | syl 17 |
. . . . . . . 8
                         |
185 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . . 9
           |
186 | 185 | adantl 473 |
. . . . . . . 8
                   |
187 | 184, 186 | eqtrd 2505 |
. . . . . . 7
                         |
188 | 175, 182,
187 | 3eqtrd 2509 |
. . . . . 6
              
   
                |
189 | | ioossicc 11745 |
. . . . . . 7
      ![[,] [,]](_icc.gif)   |
190 | | simpr 468 |
. . . . . . 7
 
    
      |
191 | 189, 190 | sseldi 3416 |
. . . . . 6
 
    
  ![[,] [,]](_icc.gif)    |
192 | 109 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
    
  |
193 | 113 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
    
  ![[,] [,]](_icc.gif)    |
194 | 191, 193 | eleqtrd 2551 |
. . . . . . 7
 
    
  |
195 | | fvelrn 6030 |
. . . . . . 7
         |
196 | 192, 194,
195 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
 
    
      |
197 | 162, 188,
191, 196 | fvmptd 5969 |
. . . . 5
 
    
          |
198 | 197 | itgeq2dv 22818 |
. . . 4
                         |
199 | 161, 198 | syl5eq 2517 |
. . 3
                         |
200 | 107 | ffvelrnda 6037 |
. . . 4
 
  ![[,] [,]](_icc.gif)  
      |
201 | 1, 2, 200 | itgioo 22852 |
. . 3
               ![[,] [,]](_icc.gif)          |
202 | 159, 199,
201 | 3eqtrd 2509 |
. 2
 _  ![] ]](rbrack.gif)         ![[,] [,]](_icc.gif)          |
203 | 148, 158,
202 | 3eqtrrd 2510 |
1
    ![[,] [,]](_icc.gif)             ![[,] [,]](_icc.gif)        
     |