Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem78 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem78 31808
 Description: is continuous when restricted on an interval not containing . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f
fourierdlem78.a
fourierdlem78.b
fourierdlem78.x
fourierdlem78.nxelab
fourierdlem78.fcn
fourierdlem78.y
fourierdlem78.w
fourierdlem78.h
fourierdlem78.k
fourierdlem78.u
fourierdlem78.n
fourierdlem78.s
fourierdlem78.g
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fourierdlem78
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
32reseq1d 5278 . . 3
4 pire 22718 . . . . . . . . 9
54renegcli 9892 . . . . . . . 8
65a1i 11 . . . . . . 7
74a1i 11 . . . . . . 7
8 ioossre 11598 . . . . . . . . 9
98sseli 3505 . . . . . . . 8
109adantl 466 . . . . . . 7
115a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
13 iccssre 11618 . . . . . . . . . . . 12
1411, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
15 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11
1614, 15sseldd 3510 . . . . . . . . . 10
1716adantr 465 . . . . . . . . 9
18 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . 13
195, 4, 18mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
2019simp2bi 1012 . . . . . . . . . . 11
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221adantr 465 . . . . . . . . 9
2317rexrd 9655 . . . . . . . . . 10
24 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13
2514, 24sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12
2625rexrd 9655 . . . . . . . . . . 11
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10
28 simpr 461 . . . . . . . . . 10
29 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . 10
3023, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
316, 17, 10, 22, 30lelttrd 9751 . . . . . . . 8
326, 10, 31ltled 9744 . . . . . . 7
3325adantr 465 . . . . . . . . 9
34 iooltub 31435 . . . . . . . . . 10
3523, 27, 28, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
36 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . 13
375, 4, 36mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
3837simp3bi 1013 . . . . . . . . . . 11
3924, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
4039adantr 465 . . . . . . . . 9
4110, 33, 7, 35, 40ltletrd 9753 . . . . . . . 8
4210, 7, 41ltled 9744 . . . . . . 7
436, 7, 10, 32, 42eliccd 31425 . . . . . 6
4443ex 434 . . . . 5
4544ssrdv 3515 . . . 4
46 resmpt 5329 . . . 4
4745, 46syl 16 . . 3
483, 47eqtrd 2508 . 2
49 0re 9608 . . . . . . . . . . . 12
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11
51 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
53 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554, 10readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . 14
5652, 55ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13
57 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15
58 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58ifcld 3988 . . . . . . . . . . . . . 14
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
6156, 60resubcld 9999 . . . . . . . . . . . 12
62 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6562, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14
67 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 68pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . 13
70 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . 13
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7261, 10, 71redivcld 10384 . . . . . . . . . . 11
7350, 72ifcld 3988 . . . . . . . . . 10
74 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11
7574fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
7643, 73, 75syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7776, 73eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
78 1re 9607 . . . . . . . . . . . 12
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11
80 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
82 rehalfcl 10777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8310, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 resincl 13753 . . . . . . . . . . . . . . 15
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
8681, 85jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
87 remulcl 9589 . . . . . . . . . . . . 13
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8981recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13
9085recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13
91 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . 14
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
93 fourierdlem44 31774 . . . . . . . . . . . . . 14
9443, 71, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9589, 90, 92, 94mulne0d 10213 . . . . . . . . . . . 12
9610, 88, 95redivcld 10384 . . . . . . . . . . 11
9779, 96ifcld 3988 . . . . . . . . . 10
98 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11
9998fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
10043, 97, 99syl2anc 661 . . . . . . . . 9
101100, 97eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
10277, 101remulcld 9636 . . . . . . 7
103 fourierdlem78.u . . . . . . . 8
104103fvmpt2 5964 . . . . . . 7
10543, 102, 104syl2anc 661 . . . . . 6
106105, 102eqeltrd 2555 . . . . 5
107 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11
108107adantr 465 . . . . . . . . . 10
10981, 92rereccld 10383 . . . . . . . . . 10
110108, 109readdcld 9635 . . . . . . . . 9
111110, 10remulcld 9636 . . . . . . . 8
112111resincld 13756 . . . . . . 7
113 fourierdlem78.s . . . . . . . 8
114113fvmpt2 5964 . . . . . . 7
11543, 112, 114syl2anc 661 . . . . . 6
116115, 112eqeltrd 2555 . . . . 5
117106, 116remulcld 9636 . . . 4
118 eqid 2467 . . . 4
119117, 118fmptd 6056 . . 3
120 ax-resscn 9561 . . . . 5
121120a1i 11 . . . 4
122105mpteq2dva 4539 . . . . . 6
123 iffalse 3954 . . . . . . . . . . 11
12469, 123syl 16 . . . . . . . . . 10
125120, 61sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
126120, 10sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
127125, 126, 71divrecd 10335 . . . . . . . . . 10
12876, 124, 1273eqtrd 2512 . . . . . . . . 9
129128mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8
130120, 56sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13
131120, 60sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 131negsubd 9948 . . . . . . . . . . . 12
133132eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
134133mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . 10
13516, 53readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136135rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137136adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13825, 53readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139138rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141120, 16sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142120, 53sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143141, 142addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144143adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14517, 10, 54, 30ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146144, 145eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14710, 33, 54, 35ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148120, 25sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149142, 148addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150149adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151147, 150breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152137, 140, 55, 146, 151eliood 31418 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
155154eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13
156155mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . . . 12
157 ioosscn 31414 . . . . . . . . . . . . . 14
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
159 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13
1608, 120sstri 3518 . . . . . . . . . . . . . 14
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
162158, 159, 161, 142, 152fourierdlem23 31753 . . . . . . . . . . . 12
163156, 162eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11
16449a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16517adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1669adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16830adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169164, 165, 166, 167, 168lelttrd 9751 . . . . . . . . . . . . . . . 16
170169iftrued 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15
171170negeqd 9826 . . . . . . . . . . . . . 14
172171mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . . . . 13
173 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
17457renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175120, 174sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
179177, 178, 177constcncfg 31532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180175, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
181176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
18257adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183182renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184120, 183sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15
185173, 180, 161, 181, 184cncfmptssg 31531 . . . . . . . . . . . . . 14
186185adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
187172, 186eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12
188 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
18916rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
190189ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19249a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194188, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19549a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
196194, 195ltnled 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197193, 196mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198197adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202200, 201ltnled 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203199, 202mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
204203adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
205190, 191, 192, 198, 204eliood 31418 . . . . . . . . . . . . . . 15
20667ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
207205, 206condan 792 . . . . . . . . . . . . . 14
208188, 207jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
2099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21133adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21235adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
213 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
214209, 211, 210, 212, 213ltletrd 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
215209, 210, 214ltled 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
216209, 210lenltd 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
217215, 216mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
218217iffalsed 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16
219218negeqd 9826 . . . . . . . . . . . . . . 15
220219mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . . . . . 14
221 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
222120, 58sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
223222negcld 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
224176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
225 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
226224, 225, 224constcncfg 31532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227223, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22858adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
229228renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
230120, 229sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
231221, 227, 161, 181, 230cncfmptssg 31531 . . . . . . . . . . . . . . 15
232231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
233220, 232eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13
234208, 233syl 16 . . . . . . . . . . . 12
235187, 234pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . 11
236163, 235addcncf 31534 . . . . . . . . . 10
237134, 236eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9
238 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
239 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . 12
240239a1i 11 . . . . . . . . . . 11
241238cdivcncf 21289 . . . . . . . . . . 11
242240, 241syl 16 . . . . . . . . . 10
243 elsn 4047 . . . . . . . . . . . . . 14
24469, 243sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . 13
245126, 244eldifd 3492 . . . . . . . . . . . 12
246245ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11
247 dfss3 3499 . . . . . . . . . . 11
248246, 247sylibr 212 . . . . . . . . . 10
24910, 71rereccld 10383 . . . . . . . . . . 11
250120, 249sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
251238, 242, 248, 181, 250cncfmptssg 31531 . . . . . . . . 9
252237, 251mulcncf 21727 . . . . . . . 8
253129, 252eqeltrd 2555 . . . . . . 7
254 iffalse 3954 . . . . . . . . . . 11
25569, 254syl 16 . . . . . . . . . 10
256120, 88sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
257126, 256, 95divrecd 10335 . . . . . . . . . 10
258100, 255, 2573eqtrd 2512 . . . . . . . . 9
259258mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8
260255, 257eqtr2d 2509 . . . . . . . . . 10
261260mpteq2dva 4539 . . . . . . . . 9
262 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
263 cncfss 21271 . . . . . . . . . . . 12
264120, 176, 263mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
265262fourierdlem62 31792 . . . . . . . . . . . 12
266265a1i 11 . . . . . . . . . . 11
267264, 266sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
268120, 97sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
269262, 267, 45, 181, 268cncfmptssg 31531 . . . . . . . . 9
270261, 269eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
271259, 270eqeltrd 2555 . . . . . . 7
272253, 271mulcncf 21727 . . . . . 6
273122, 272eqeltrd 2555 . . . . 5
274115mpteq2dva 4539 . . . . . 6
275 sinf 13737 . . . . . . . . . 10
276275a1i 11 . . . . . . . . 9
277120, 111sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
278 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
279277, 278fmptd 6056 . . . . . . . . 9
280 fcompt 6068 . . . . . . . . 9
281276, 279, 280syl2anc 661 . . . . . . . 8
282 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
283 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12
284283adantl 466 . . . . . . . . . . 11
285 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
28678rehalfcli 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
287286a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
288107, 287jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
289 readdcl 9587 . . . . . . . . . . . . . 14
290288, 289syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
291290adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2928, 285sseldi 3507 . . . . . . . . . . . 12
293291, 292remulcld 9636 . . . . . . . . . . 11
294282, 284, 285, 293fvmptd 5962 . . . . . . . . . 10
295294fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
296295mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8
297 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11
298297fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10
299298cbvmptv 4544 . . . . . . . . 9
300299a1i 11 . . . . . . . 8
301281, 296, 3003eqtrrd 2513 . . . . . . 7
30280, 91rereccli 10321 . . . . . . . . . . . . 13
303302a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
304107, 303readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11
305120, 304sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
306 cncfmptc 21283 . . . . . . . . . 10
307305, 161, 181, 306syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
308 cncfmptid 21284 . . . . . . . . . 10
309161, 181, 308syl2anc 661 . . . . . . . . 9
310307, 309mulcncf 21727 . . . . . . . 8
311 sincn 22706 . . . . . . . . 9
312311a1i 11 . . . . . . . 8
313310, 312cncfco 21279 . . . . . . 7
314301, 313eqeltrd 2555 . . . . . 6
315274, 314eqeltrd 2555 . . . . 5
316273, 315mulcncf 21727 . . . 4
317 cncffvrn 21270 . . . 4
318121, 316, 317syl2anc 661 . . 3
319119, 318mpbird 232 . 2
32048, 319eqeltrd 2555 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817   cdif 3478   wss 3481  cif 3945  csn 4033   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cres 5007   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cxr 9639   clt 9640   cle 9641   cmin 9817  cneg 9818   cdiv 10218  c2 10597  cioo 11541  cicc 11544  csin 13678  cpi 13681  ccncf 21248 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  fourierdlem88  31818
 Copyright terms: Public domain W3C validator