Theorem fourierdlem78 31808

Description: G is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem78.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem78.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem78.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem78.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem78.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem78.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem78.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem78.n	|- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem78.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem78.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem78	|- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   N, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hints:   S( s)   U( s)   G( s)   H( s)   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
3	2	reseq1d 5278	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 22718	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9892	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		ioossre 11598	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
9	8	sseli 3505	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
11	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
13		iccssre 11618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
15		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
16	14, 15	sseldd 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
18		elicc2 11601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) ) )
19	5, 4, 18	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
20	19	simp2bi 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
21	15, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
23	17	rexrd 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
24		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
25	14, 24	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
26	25	rexrd 9655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
28		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
29		ioogtlb 31415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
30	23, 27, 28, 29	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
31	6, 17, 10, 22, 30	lelttrd 9751	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
32	6, 10, 31	ltled 9744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
33	25	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
34		iooltub 31435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
35	23, 27, 28, 34	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
36		elicc2 11601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) ) )
37	5, 4, 36	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
38	37	simp3bi 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
39	24, 38	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
41	10, 33, 7, 35, 40	ltletrd 9753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
42	10, 7, 41	ltled 9744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
43	6, 7, 10, 32, 42	eliccd 31425	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
44	43	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
45	44	ssrdv 3515	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
46		resmpt 5329	. . . 4 |- ( ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
47	45, 46	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
48	3, 47	eqtrd 2508	. 2 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
49		0re 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
51		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> RR )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
53		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
55	54, 10	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
56	52, 55	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
57		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
58		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. RR )
59	57, 58	ifcld 3988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
60	59	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
61	56, 60	resubcld 9999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
62		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
63		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
65	62, 64	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
66	65	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
67		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
68	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
69	66, 68	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
70		neqne 31339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. s = 0 -> s =/= 0 )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
72	61, 10, 71	redivcld 10384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. RR )
73	50, 72	ifcld 3988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
74		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
75	74	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
76	43, 73, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
77	76, 73	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
78		1re 9607	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
80		2re 10617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
82		rehalfcl 10777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
83	10, 82	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
84		resincl 13753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
86	81, 85	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR ) )
87		remulcl 9589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
89	81	recnd 9634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
90	85	recnd 9634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
91		2ne0 10640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
93		fourierdlem44 31774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
94	43, 71, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
95	89, 90, 92, 94	mulne0d 10213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
96	10, 88, 95	redivcld 10384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
97	79, 96	ifcld 3988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
98		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
99	98	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
100	43, 97, 99	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
101	100, 97	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
102	77, 101	remulcld 9636	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
103		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
104	103	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
105	43, 102, 104	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
106	105, 102	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
107		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
108	107	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> N e. RR )
109	81, 92	rereccld 10383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
110	108, 109	readdcld 9635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
111	110, 10	remulcld 9636	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
112	111	resincld 13756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
113		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
114	113	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
115	43, 112, 114	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
116	115, 112	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
117	106, 116	remulcld 9636	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
118		eqid 2467	. . . 4 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
119	117, 118	fmptd 6056	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
120		ax-resscn 9561	. . . . 5 |- RR C_ CC
121	120	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR C_ CC )
122	105	mpteq2dva 4539	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
123		iffalse 3954	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. s = 0 -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
124	69, 123	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
125	120, 61	sseldi 3507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
126	120, 10	sseldi 3507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
127	125, 126, 71	divrecd 10335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
128	76, 124, 127	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
129	128	mpteq2dva 4539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
130	120, 56	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
131	120, 60	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
132	130, 131	negsubd 9948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
133	132	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
134	133	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
135	16, 53	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
136	135	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
137	136	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
138	25, 53	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
139	138	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
140	139	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
141	120, 16	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. CC )
142	120, 53	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. CC )
143	141, 142	addcomd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
144	143	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
145	17, 10, 54, 30	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
146	144, 145	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
147	10, 33, 54, 35	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
148	120, 25	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. CC )
149	142, 148	addcomd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
150	149	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
151	147, 150	breqtrd 4477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
152	137, 140, 55, 146, 151	eliood 31418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
153		fvres 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
154	152, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
155	154	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
156	155	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
157		ioosscn 31414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
158	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
159		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
160	8, 120	sstri 3518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ CC
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
162	158, 159, 161, 142, 152	fourierdlem23 31753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163	156, 162	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
165	17	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
166	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
167		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
168	30	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
169	164, 165, 166, 167, 168	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
170	169	iftrued 3953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
171	170	negeqd 9826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
172	171	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
173		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC |-> -u Y ) = ( s e. CC |-> -u Y )
174	57	renegcld 9998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -u Y e. RR )
175	120, 174	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u Y e. CC )
176		ssid 3528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- CC C_ CC
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u Y e. CC -> CC C_ CC )
178		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u Y e. CC -> -u Y e. CC )
179	177, 178, 177	constcncfg 31532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u Y e. CC -> ( s e. CC |-> -u Y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
180	175, 179	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. CC |-> -u Y ) e. ( CC -cn-> CC ) )
181	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
182	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> Y e. RR )
183	182	renegcld 9998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u Y e. RR )
184	120, 183	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u Y e. CC )
185	173, 180, 161, 181, 184	cncfmptssg 31531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
186	185	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
187	172, 186	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
188		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ph )
189	16	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR* )
190	189	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
191	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
192	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
193		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
194	188, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
195	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
196	194, 195	ltnled 9743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
197	193, 196	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
198	197	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
199		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
200	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
201	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
202	200, 201	ltnled 9743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
203	199, 202	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
204	203	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
205	190, 191, 192, 198, 204	eliood 31418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
206	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
207	205, 206	condan 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
208	188, 207	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( ph /\ B <_ 0 ) )
209	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
210	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
211	33	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
212	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
213		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
214	209, 211, 210, 212, 213	ltletrd 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
215	209, 210, 214	ltled 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ 0 )
216	209, 210	lenltd 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s <_ 0 <-> -. 0 < s ) )
217	215, 216	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
218	217	iffalsed 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
219	218	negeqd 9826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
220	219	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
221		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC |-> -u W ) = ( s e. CC |-> -u W )
222	120, 58	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> W e. CC )
223	222	negcld 9929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -u W e. CC )
224	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u W e. CC -> CC C_ CC )
225		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u W e. CC -> -u W e. CC )
226	224, 225, 224	constcncfg 31532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u W e. CC -> ( s e. CC |-> -u W ) e. ( CC -cn-> CC ) )
227	223, 226	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s e. CC |-> -u W ) e. ( CC -cn-> CC ) )
228	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> W e. RR )
229	228	renegcld 9998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u W e. RR )
230	120, 229	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u W e. CC )
231	221, 227, 161, 181, 230	cncfmptssg 31531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
232	231	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
233	220, 232	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
234	208, 233	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
235	187, 234	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
236	163, 235	addcncf 31534	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
237	134, 236	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
238		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
239		ax-1cn 9562	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
240	239	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
241	238	cdivcncf 21289	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
242	240, 241	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
243		elsn 4047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
244	69, 243	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
245	126, 244	eldifd 3492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
246	245	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
247		dfss3 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
248	246, 247	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
249	10, 71	rereccld 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
250	120, 249	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
251	238, 242, 248, 181, 250	cncfmptssg 31531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
252	237, 251	mulcncf 21727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
253	129, 252	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
254		iffalse 3954	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. s = 0 -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
255	69, 254	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
256	120, 88	sseldi 3507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
257	126, 256, 95	divrecd 10335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
258	100, 255, 257	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
259	258	mpteq2dva 4539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
260	255, 257	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
261	260	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
262		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
263		cncfss 21271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
264	120, 176, 263	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
265	262	fourierdlem62 31792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
266	265	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
267	264, 266	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
268	120, 97	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
269	262, 267, 45, 181, 268	cncfmptssg 31531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
270	261, 269	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
271	259, 270	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
272	253, 271	mulcncf 21727	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
273	122, 272	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
274	115	mpteq2dva 4539	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
275		sinf 13737	. . . . . . . . . 10 |- sin : CC --> CC
276	275	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sin : CC --> CC )
277	120, 111	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. CC )
278		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
279	277, 278	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
280		fcompt 6068	. . . . . . . . 9 |- ( ( sin : CC --> CC /\ ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) : ( A (,) B ) --> CC ) -> ( sin o. ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ` x ) ) ) )
281	276, 279, 280	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin o. ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ` x ) ) ) )
282		eqidd 2468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
283		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = x -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) )
284	283	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) /\ s = x ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) )
285		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A (,) B ) )
286	78	rehalfcli 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
287	286	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
288	107, 287	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
289		readdcl 9587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
290	288, 289	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
291	290	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
292	8, 285	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. RR )
293	291, 292	remulcld 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) e. RR )
294	282, 284, 285, 293	fvmptd 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ` x ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) )
295	294	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ` x ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) )
296	295	mpteq2dva 4539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) ) )
297		oveq2 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = s -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
298	297	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
299	298	cbvmptv 4544	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
300	299	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. x ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
301	281, 296, 300	3eqtrrd 2513	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( sin o. ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
302	80, 91	rereccli 10321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
303	302	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
304	107, 303	readdcld 9635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
305	120, 304	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
306		cncfmptc 21283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC /\ ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
307	305, 161, 181, 306	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
308		cncfmptid 21284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
309	161, 181, 308	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
310	307, 309	mulcncf 21727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
311		sincn 22706	. . . . . . . . 9 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
312	311	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
313	310, 312	cncfco 21279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin o. ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
314	301, 313	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
315	274, 314	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
316	273, 315	mulcncf 21727	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
317		cncffvrn 21270	. . . 4 |- ( ( RR C_ CC /\ ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
318	121, 316, 317	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
319	119, 318	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
320	48, 319	eqeltrd 2555	1 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   \ cdif 3478   C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   |` cres 5007   o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   - cmin 9817   -ucneg 9818   / cdiv 10218   2c2 10597   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   sincsin 13678   picpi 13681   -cn->ccncf 21248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  fourierdlem88  31818