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Theorem fourierdlem78 38160
Description:  G is continuous when restricted on an interval not containing  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem78.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem78.nxelab  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
fourierdlem78.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem78.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem78.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem78.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem78.n  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
fourierdlem78.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem78.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    F, s    N, s    W, s    X, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hints:    S( s)    U( s)    G( s)    H( s)    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) )
32reseq1d 5110 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( A (,) B
) ) )
4 pire 23492 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
54renegcli 9955 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR )
74a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR )
8 elioore 11691 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
98adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1210, 11iccssred 37698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
13 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
1412, 13sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1514adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
165, 4elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1716simp2bi 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  -u pi  <_  A )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  A
)
1918adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  A )
2015rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
21 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
2212, 21sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2423adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
25 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
26 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2720, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <  s )
296, 9, 28ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  s )
3022adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
31 iooltub 37706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
3220, 24, 25, 31syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
335, 4elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  -u pi  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
3433simp3bi 1047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  B  <_  pi )
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
3635adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  <_  pi )
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 9812 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  pi )
389, 7, 37ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <_  pi )
396, 7, 9, 29, 38eliccd 37697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4039ex 441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  (
-u pi [,] pi ) ) )
4140ssrdv 3424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4241resmptd 5162 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) ) )
433, 42eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) ) )
44 0red 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
45 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
47 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
4948, 9readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5046, 49ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
51 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5351, 52ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5550, 54resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
56 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  0  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  <->  0  e.  ( A (,) B ) ) )
5756biimpac 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
5857adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
59 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6059ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6158, 60pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6261neqned 2650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
6355, 9, 62redivcld 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  e.  RR )
6444, 63ifcld 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )
65 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
6665fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6739, 64, 66syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6867, 64eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
69 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
70 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
729rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
7372resincld 14274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
7471, 73remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
7571recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
7673recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
77 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
79 fourierdlem44 38127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
8039, 62, 79syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
8175, 76, 78, 80mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
829, 74, 81redivcld 10457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
8369, 82ifcld 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )
84 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
8584fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
8639, 83, 85syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
8786, 83eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
8868, 87remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s
) )  e.  RR )
89 fourierdlem78.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
9089fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
9139, 88, 90syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
9291, 88eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
93 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9493adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  N  e.  RR )
9571, 78rereccld 10456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
9694, 95readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
9796, 9remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
9897resincld 14274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  e.  RR )
99 fourierdlem78.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
10099fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
10139, 98, 100syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( S `  s )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
102101, 98eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
10392, 102remulcld 9689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s
) )  e.  RR )
104 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
105103, 104fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106 ax-resscn 9614 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
10891mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( U `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
10961iffalsed 3883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
11055recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
1119recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
112110, 111, 62divrecd 10408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) )
11367, 109, 1123eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )
114113mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( H `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) ) )
11550recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
11654recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
117115, 116negsubd 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
118117eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
119118mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) ) )
12014, 47readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
121120rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR* )
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  e.  RR* )
12322, 47readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
124123rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR* )
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( B  +  X )  e.  RR* )
12614recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12747recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
128126, 127addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  =  ( X  +  A ) )
129128adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  =  ( X  +  A ) )
13015, 9, 48, 27ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
131129, 130eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  <  ( X  +  s )
)
1329, 30, 48, 32ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
13322recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
134127, 133addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  =  ( B  +  X ) )
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  =  ( B  +  X ) )
136132, 135breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( B  +  X
) )
137122, 125, 49, 131, 136eliood 37691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) )
138 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) ) ) `  ( X  +  s
) )  =  ( F `  ( X  +  s ) ) )
140139eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
141140mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) ) )
142 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X ) )  C_  CC
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
)  C_  CC )
144 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
145 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
147143, 144, 146, 127, 137fourierdlem23 38104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
148141, 147eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
149 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
15014ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  e.  RR )
1518adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
152 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <_  A )
15327adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
154149, 150, 151, 152, 153lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <  s )
155154iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  Y )
156155negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u Y )
157156mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y ) )
15851renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  RR )
159158recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
160 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  C_  CC
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
162146, 159, 161constcncfg 37845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163162adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164157, 163eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ph )
16614rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
167166ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
16823ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR* )
169 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
170 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  -.  0  <_  A )
17114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
172 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  0  e.  RR )
173171, 172ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ( A  <  0  <->  -.  0  <_  A ) )
174170, 173mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  <  0 )
175174adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  <  0
)
176 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  B  <_  0 )
177 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
17822adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR )
179177, 178ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
180176, 179mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B )
181180adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B
)
182167, 168, 169, 175, 181eliood 37691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
18359ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
184182, 183condan 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  B  <_  0 )
1858adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
186 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
18722ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  e.  RR )
18832adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
189 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  <_  0 )
190185, 187, 186, 188, 189ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  0 )
191185, 186, 190ltnsymd 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -.  0  <  s )
192191iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  W )
193192negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u W )
194193mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W ) )
19552recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
196195negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u W  e.  CC )
197146, 196, 161constcncfg 37845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198197adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199194, 198eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200165, 184, 199syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
201164, 200pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202148, 201addcncf 37847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
203119, 202eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
204 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  s
) )  =  ( s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )
205 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
206204cdivcncf 22027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  s ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
208 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
20961, 208sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
210111, 209eldifd 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
211210ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
212 dfss3 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
213211, 212sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
2149, 62rereccld 10456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  RR )
215214recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  CC )
216204, 207, 213, 161, 215cncfmptssg 37844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
217203, 216mulcncf 22476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
218114, 217eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( H `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
21961iffalsed 3883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
22074recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
221111, 220, 81divrecd 10408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
22286, 219, 2213eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( s  x.  ( 1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
223222mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  x.  ( 1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
224219, 221eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
225224mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
226 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
227 cncfss 22009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228106, 160, 227mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229226fourierdlem62 38144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231228, 230sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
23283recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
233226, 231, 41, 161, 232cncfmptssg 37844 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
234225, 233eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
235223, 234eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
236218, 235mulcncf 22476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
237108, 236eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( U `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
238101mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( S `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
239 sincn 23478 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
240239a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
241 halfre 10851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
24393, 242readdcld 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
244243recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
245146, 244, 161constcncfg 37845 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
246146, 161idcncfg 37846 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
247245, 246mulcncf 22476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
248240, 247cncfmpt1f 22023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
249238, 248eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( S `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
250237, 249mulcncf 22476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
251 cncffvrn 22008 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252107, 250, 251syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253105, 252mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> RR ) )
25443, 253eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   sincsin 14193   picpi 14196   -cn->ccncf 21986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  38170
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