Theorem fourierdlem78 38160

Description: G is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem78.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem78.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem78.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem78.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem78.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem78.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem78.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem78.n	|- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem78.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem78.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem78	|- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   N, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hints:   S( s)   U( s)   G( s)   H( s)   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
3	2	reseq1d 5110	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 23492	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9955	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11691	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 37698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 37706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1047	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 37697	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3424	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5162	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
43	3, 42	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
44		0red 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
45		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> RR )
46	45	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
47		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
48	47	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
49	48, 9	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
50	46, 49	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
51		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
52		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. RR )
53	51, 52	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
55	50, 54	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
56		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
57	56	biimpac 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
58	57	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
59		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
60	59	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
61	58, 60	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
62	61	neqned 2650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
63	55, 9, 62	redivcld 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. RR )
64	44, 63	ifcld 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
65		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
66	65	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
67	39, 64, 66	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
68	67, 64	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
69		1red 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
70		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
72	9	rehalfcld 10882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
73	72	resincld 14274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
74	71, 73	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
75	71	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
76	73	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
77		2ne0 10724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
79		fourierdlem44 38127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
80	39, 62, 79	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
81	75, 76, 78, 80	mulne0d 10286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
82	9, 74, 81	redivcld 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
83	69, 82	ifcld 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
84		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
85	84	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
86	39, 83, 85	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
87	86, 83	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
88	68, 87	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
89		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
90	89	fvmpt2 5972	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
91	39, 88, 90	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
92	91, 88	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
93		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
94	93	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> N e. RR )
95	71, 78	rereccld 10456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
96	94, 95	readdcld 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
97	96, 9	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
98	97	resincld 14274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
99		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
100	99	fvmpt2 5972	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
101	39, 98, 100	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
102	101, 98	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
103	92, 102	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
104		eqid 2471	. . . 4 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
105	103, 104	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106		ax-resscn 9614	. . . . 5 |- RR C_ CC
107	106	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR C_ CC )
108	91	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
109	61	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
110	55	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
111	9	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
112	110, 111, 62	divrecd 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
113	67, 109, 112	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
114	113	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
115	50	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
116	54	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
117	115, 116	negsubd 10011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
118	117	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
119	118	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
120	14, 47	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
121	120	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
123	22, 47	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
124	123	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
125	124	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
126	14	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. CC )
127	47	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. CC )
128	126, 127	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
129	128	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
130	15, 9, 48, 27	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
131	129, 130	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
132	9, 30, 48, 32	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
133	22	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. CC )
134	127, 133	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
135	134	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
136	132, 135	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
137	122, 125, 49, 131, 136	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
138		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
140	139	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
141	140	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
142		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
144		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
145		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ CC
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
147	143, 144, 146, 127, 137	fourierdlem23 38104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
148	141, 147	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
149		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
150	14	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
151	8	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
152		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
153	27	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
154	149, 150, 151, 152, 153	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
155	154	iftrued 3880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
156	155	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
157	156	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
158	51	renegcld 10067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u Y e. RR )
159	158	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u Y e. CC )
160		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
162	146, 159, 161	constcncfg 37845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163	162	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164	157, 163	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ph )
166	14	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
167	166	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
168	23	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
169		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
170		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
171	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
172		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
173	171, 172	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
174	170, 173	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
175	174	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
176		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
177		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
178	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
179	177, 178	ltnled 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
180	176, 179	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
181	180	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
182	167, 168, 169, 175, 181	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
183	59	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
184	182, 183	condan 811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
185	8	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
186		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
187	22	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
188	32	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
189		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
190	185, 187, 186, 188, 189	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
191	185, 186, 190	ltnsymd 9801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
192	191	iffalsed 3883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
193	192	negeqd 9889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
194	193	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
195	52	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. CC )
196	195	negcld 9992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u W e. CC )
197	146, 196, 161	constcncfg 37845	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198	197	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199	194, 198	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200	165, 184, 199	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
201	164, 200	pm2.61dan 808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202	148, 201	addcncf 37847	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
203	119, 202	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
204		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
205		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
206	204	cdivcncf 22027	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
208		elsn 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
209	61, 208	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
210	111, 209	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
211	210	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
212		dfss3 3408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
213	211, 212	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
214	9, 62	rereccld 10456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
215	214	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
216	204, 207, 213, 161, 215	cncfmptssg 37844	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
217	203, 216	mulcncf 22476	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
218	114, 217	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
219	61	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
220	74	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
221	111, 220, 81	divrecd 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
222	86, 219, 221	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
223	222	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
224	219, 221	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
225	224	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
226		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
227		cncfss 22009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228	106, 160, 227	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229	226	fourierdlem62 38144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231	228, 230	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
232	83	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
233	226, 231, 41, 161, 232	cncfmptssg 37844	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
234	225, 233	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
235	223, 234	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
236	218, 235	mulcncf 22476	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
237	108, 236	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
238	101	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
239		sincn 23478	. . . . . . . 8 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
240	239	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
241		halfre 10851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
243	93, 242	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
244	243	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
245	146, 244, 161	constcncfg 37845	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
246	146, 161	idcncfg 37846	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
247	245, 246	mulcncf 22476	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
248	240, 247	cncfmpt1f 22023	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
249	238, 248	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
250	237, 249	mulcncf 22476	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
251		cncffvrn 22008	. . . 4 |- ( ( RR C_ CC /\ ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252	107, 250, 251	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253	105, 252	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
254	43, 253	eqeltrd 2549	1 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   2c2 10681   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   sincsin 14193   picpi 14196   -cn->ccncf 21986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem88  38170