Theorem fourierdlem78 32149

Description: G is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem78.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem78.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem78.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem78.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem78.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem78.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem78.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem78.n	|- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem78.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem78.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem78	|- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   N, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hints:   S( s)   U( s)   G( s)   H( s)   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
3	2	reseq1d 5282	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 22977	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9899	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11584	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 31721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 31710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9757	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 31730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9759	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 31720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3505	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5335	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
43	3, 42	eqtrd 2498	. 2 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
44		0red 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
45		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> RR )
46	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
47		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
49	48, 9	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
50	46, 49	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
51		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
52		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. RR )
53	51, 52	ifcld 3987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
55	50, 54	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
56		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
57	56	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
58	57	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
59		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
60	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
61	58, 60	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
62	61	neqned 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
63	55, 9, 62	redivcld 10393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. RR )
64	44, 63	ifcld 3987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
65		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
66	65	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
67	39, 64, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
68	67, 64	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
69		1red 9628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
70		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
72	9	rehalfcld 10806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
73	72	resincld 13890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
74	71, 73	remulcld 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
75	71	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
76	73	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
77		2ne0 10649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
79		fourierdlem44 32115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
80	39, 62, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
81	75, 76, 78, 80	mulne0d 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
82	9, 74, 81	redivcld 10393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
83	69, 82	ifcld 3987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
84		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
85	84	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
86	39, 83, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
87	86, 83	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
88	68, 87	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
89		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
90	89	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
91	39, 88, 90	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
92	91, 88	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
93		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> N e. RR )
95	71, 78	rereccld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
96	94, 95	readdcld 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
97	96, 9	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
98	97	resincld 13890	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
99		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
100	99	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
101	39, 98, 100	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
102	101, 98	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
103	92, 102	remulcld 9641	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
104		eqid 2457	. . . 4 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
105	103, 104	fmptd 6056	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106		ax-resscn 9566	. . . . 5 |- RR C_ CC
107	106	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR C_ CC )
108	91	mpteq2dva 4543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
109	61	iffalsed 3955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
110	55	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
111	9	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
112	110, 111, 62	divrecd 10344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
113	67, 109, 112	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
114	113	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
115	50	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
116	54	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
117	115, 116	negsubd 9956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
118	117	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
119	118	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
120	14, 47	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
121	120	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
122	121	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
123	22, 47	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
124	123	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
126	14	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. CC )
127	47	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. CC )
128	126, 127	addcomd 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
130	15, 9, 48, 27	ltadd2dd 9758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
131	129, 130	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
132	9, 30, 48, 32	ltadd2dd 9758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
133	22	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. CC )
134	127, 133	addcomd 9799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
136	132, 135	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
137	122, 125, 49, 131, 136	eliood 31713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
138		fvres 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
139	137, 138	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
140	139	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
141	140	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
142		ioosscn 31709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
144		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
145		ioosscn 31709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ CC
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
147	143, 144, 146, 127, 137	fourierdlem23 32094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
148	141, 147	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
149		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
150	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
151	8	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
152		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
153	27	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
154	149, 150, 151, 152, 153	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
155	154	iftrued 3952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
156	155	negeqd 9833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
157	156	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
158	51	renegcld 10007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u Y e. RR )
159	158	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u Y e. CC )
160		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
162	146, 159, 161	constcncfg 31855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163	162	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164	157, 163	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ph )
166	14	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
167	166	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
168	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
169		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
170		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
171	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
172		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
173	171, 172	ltnled 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
174	170, 173	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
175	174	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
176		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
177		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
178	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
179	177, 178	ltnled 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
180	176, 179	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
181	180	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
182	167, 168, 169, 175, 181	eliood 31713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
183	59	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
184	182, 183	condan 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
185	8	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
186		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
187	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
188	32	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
189		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
190	185, 187, 186, 188, 189	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
191	185, 186, 190	ltnsymd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
192	191	iffalsed 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
193	192	negeqd 9833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
194	193	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
195	52	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. CC )
196	195	negcld 9937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u W e. CC )
197	146, 196, 161	constcncfg 31855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198	197	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199	194, 198	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200	165, 184, 199	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
201	164, 200	pm2.61dan 791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202	148, 201	addcncf 31857	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
203	119, 202	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
204		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
205		1cnd 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
206	204	cdivcncf 21547	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
207	205, 206	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
208		elsn 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
209	61, 208	sylnibr 305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
210	111, 209	eldifd 3482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
211	210	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
212		dfss3 3489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
213	211, 212	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
214	9, 62	rereccld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
215	214	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
216	204, 207, 213, 161, 215	cncfmptssg 31854	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
217	203, 216	mulcncf 21985	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
218	114, 217	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
219	61	iffalsed 3955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
220	74	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
221	111, 220, 81	divrecd 10344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
222	86, 219, 221	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
223	222	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
224	219, 221	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
225	224	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
226		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
227		cncfss 21529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228	106, 160, 227	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229	226	fourierdlem62 32133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231	228, 230	sseldi 3497	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
232	83	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
233	226, 231, 41, 161, 232	cncfmptssg 31854	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
234	225, 233	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
235	223, 234	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
236	218, 235	mulcncf 21985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
237	108, 236	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
238	101	mpteq2dva 4543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
239		sincn 22965	. . . . . . . 8 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
240	239	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
241		halfre 10775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
243	93, 242	readdcld 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
244	243	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
245	146, 244, 161	constcncfg 31855	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
246	146, 161	idcncfg 31856	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
247	245, 246	mulcncf 21985	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
248	240, 247	cncfmpt1f 21543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
249	238, 248	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
250	237, 249	mulcncf 21985	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
251		cncffvrn 21528	. . . 4 |- ( ( RR C_ CC /\ ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252	107, 250, 251	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253	105, 252	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
254	43, 253	eqeltrd 2545	1 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   \ cdif 3468   C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   2c2 10606   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   sincsin 13811   picpi 13814   -cn->ccncf 21506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  fourierdlem88  32159