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Theorem fourierdlem78 32149
Description:  G is continuous when restricted on an interval not containing  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem78.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem78.nxelab  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
fourierdlem78.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem78.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem78.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem78.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem78.n  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
fourierdlem78.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem78.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    F, s    N, s    W, s    X, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hints:    S( s)    U( s)    G( s)    H( s)    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) )
32reseq1d 5282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( A (,) B
) ) )
4 pire 22977 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
54renegcli 9899 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR )
74a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR )
8 elioore 11584 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1210, 11iccssred 31721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
13 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
1412, 13sseldd 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
165, 4elicc2i 11615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1716simp2bi 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  -u pi  <_  A )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  A
)
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  A )
2015rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
21 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
2212, 21sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2423adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
25 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
26 ioogtlb 31710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2720, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 9757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <  s )
296, 9, 28ltled 9750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  s )
3022adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
31 iooltub 31730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
3220, 24, 25, 31syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
335, 4elicc2i 11615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  -u pi  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
3433simp3bi 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  B  <_  pi )
3521, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  <_  pi )
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 9759 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  pi )
389, 7, 37ltled 9750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <_  pi )
396, 7, 9, 29, 38eliccd 31720 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4039ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  (
-u pi [,] pi ) ) )
4140ssrdv 3505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4241resmptd 5335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) ) )
433, 42eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) ) )
44 0red 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
45 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
47 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
4948, 9readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5046, 49ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
51 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5351, 52ifcld 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5550, 54resubcld 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
56 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  0  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  <->  0  e.  ( A (,) B ) ) )
5756biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
5857adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
59 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6158, 60pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6261neqned 2660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
6355, 9, 62redivcld 10393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  e.  RR )
6444, 63ifcld 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )
65 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
6665fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6739, 64, 66syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6867, 64eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
69 1red 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
70 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
729rehalfcld 10806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
7372resincld 13890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
7471, 73remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
7571recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
7673recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
77 2ne0 10649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
79 fourierdlem44 32115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
8039, 62, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
8175, 76, 78, 80mulne0d 10222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
829, 74, 81redivcld 10393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
8369, 82ifcld 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )
84 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
8584fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
8639, 83, 85syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
8786, 83eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
8868, 87remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s
) )  e.  RR )
89 fourierdlem78.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
9089fvmpt2 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
9139, 88, 90syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
9291, 88eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
93 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9493adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  N  e.  RR )
9571, 78rereccld 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
9694, 95readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
9796, 9remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
9897resincld 13890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  e.  RR )
99 fourierdlem78.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
10099fvmpt2 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
10139, 98, 100syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( S `  s )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
102101, 98eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
10392, 102remulcld 9641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s
) )  e.  RR )
104 eqid 2457 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
105103, 104fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106 ax-resscn 9566 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
10891mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( U `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
10961iffalsed 3955 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
11055recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
1119recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
112110, 111, 62divrecd 10344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) )
11367, 109, 1123eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )
114113mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( H `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) ) )
11550recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
11654recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
117115, 116negsubd 9956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
118117eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
119118mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) ) )
12014, 47readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
121120rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR* )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  e.  RR* )
12322, 47readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
124123rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR* )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( B  +  X )  e.  RR* )
12614recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12747recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
128126, 127addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  =  ( X  +  A ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  =  ( X  +  A ) )
13015, 9, 48, 27ltadd2dd 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
131129, 130eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  <  ( X  +  s )
)
1329, 30, 48, 32ltadd2dd 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
13322recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
134127, 133addcomd 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  =  ( B  +  X ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  =  ( B  +  X ) )
136132, 135breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( B  +  X
) )
137122, 125, 49, 131, 136eliood 31713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) )
138 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) ) ) `  ( X  +  s
) )  =  ( F `  ( X  +  s ) ) )
140139eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
141140mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) ) )
142 ioosscn 31709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X ) )  C_  CC
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
)  C_  CC )
144 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
145 ioosscn 31709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
147143, 144, 146, 127, 137fourierdlem23 32094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
148141, 147eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
149 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
15014ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  e.  RR )
1518adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
152 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <_  A )
15327adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
154149, 150, 151, 152, 153lelttrd 9757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <  s )
155154iftrued 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  Y )
156155negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u Y )
157156mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y ) )
15851renegcld 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  RR )
159158recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
160 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  C_  CC
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
162146, 159, 161constcncfg 31855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163162adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164157, 163eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ph )
16614rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
167166ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
16823ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR* )
169 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
170 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  -.  0  <_  A )
17114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
172 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  0  e.  RR )
173171, 172ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ( A  <  0  <->  -.  0  <_  A ) )
174170, 173mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  <  0 )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  <  0
)
176 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  B  <_  0 )
177 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
17822adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR )
179177, 178ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
180176, 179mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B )
181180adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B
)
182167, 168, 169, 175, 181eliood 31713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
18359ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
184182, 183condan 794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  B  <_  0 )
1858adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
186 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
18722ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  e.  RR )
18832adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
189 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  <_  0 )
190185, 187, 186, 188, 189ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  0 )
191185, 186, 190ltnsymd 9751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -.  0  <  s )
192191iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  W )
193192negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u W )
194193mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W ) )
19552recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
196195negcld 9937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u W  e.  CC )
197146, 196, 161constcncfg 31855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198197adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199194, 198eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200165, 184, 199syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
201164, 200pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202148, 201addcncf 31857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
203119, 202eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
204 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  s
) )  =  ( s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )
205 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
206204cdivcncf 21547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
207205, 206syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  s ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
208 elsn 4046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
20961, 208sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
210111, 209eldifd 3482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
211210ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
212 dfss3 3489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
213211, 212sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
2149, 62rereccld 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  RR )
215214recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  CC )
216204, 207, 213, 161, 215cncfmptssg 31854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
217203, 216mulcncf 21985 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
218114, 217eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( H `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
21961iffalsed 3955 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
22074recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
221111, 220, 81divrecd 10344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
22286, 219, 2213eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( s  x.  ( 1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
223222mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  x.  ( 1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
224219, 221eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
225224mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
226 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
227 cncfss 21529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228106, 160, 227mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229226fourierdlem62 32133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231228, 230sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
23283recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
233226, 231, 41, 161, 232cncfmptssg 31854 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
234225, 233eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
235223, 234eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
236218, 235mulcncf 21985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
237108, 236eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( U `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
238101mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( S `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
239 sincn 22965 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
240239a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
241 halfre 10775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
24393, 242readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
244243recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
245146, 244, 161constcncfg 31855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
246146, 161idcncfg 31856 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
247245, 246mulcncf 21985 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
248240, 247cncfmpt1f 21543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
249238, 248eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( S `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
250237, 249mulcncf 21985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
251 cncffvrn 21528 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252107, 250, 251syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253105, 252mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> RR ) )
25443, 253eqeltrd 2545 1  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   sincsin 13811   picpi 13814   -cn->ccncf 21506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  32159
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