Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem78 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem78 37867
Description:  G is continuous when restricted on an interval not containing  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem78.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem78.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem78.nxelab  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
fourierdlem78.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem78.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem78.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem78.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem78.n  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
fourierdlem78.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem78.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem78  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    F, s    N, s    W, s    X, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hints:    S( s)    U( s)    G( s)    H( s)    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78
StepHypRef Expression
1 fourierdlem78.g . . . . 5  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) )
32reseq1d 5119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( A (,) B
) ) )
4 pire 23399 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
54renegcli 9935 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR )
74a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR )
8 elioore 11666 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
98adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1210, 11iccssred 37432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
13 fourierdlem78.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
1412, 13sseldd 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1514adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
165, 4elicc2i 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1716simp2bi 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  -u pi  <_  A )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  A
)
1918adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  A )
2015rexrd 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
21 fourierdlem78.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
2212, 21sseldd 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2423adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
25 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
26 ioogtlb 37422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2720, 24, 25, 26syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <  s )
296, 9, 28ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  s )
3022adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
31 iooltub 37440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
3220, 24, 25, 31syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
335, 4elicc2i 11700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  -u pi  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
3433simp3bi 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  B  <_  pi )
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
3635adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  <_  pi )
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  pi )
389, 7, 37ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <_  pi )
396, 7, 9, 29, 38eliccd 37431 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4039ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  (
-u pi [,] pi ) ) )
4140ssrdv 3470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4241resmptd 5171 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) ) )
433, 42eqtrd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) ) )
44 0red 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
45 fourierdlem78.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
4645adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
47 fourierdlem78.x . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
4948, 9readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5046, 49ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
51 fourierdlem78.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 fourierdlem78.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5351, 52ifcld 3952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5550, 54resubcld 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
56 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  0  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  <->  0  e.  ( A (,) B ) ) )
5756biimpac 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
5857adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
59 fourierdlem78.nxelab . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6059ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6158, 60pm2.65da 578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6261neqned 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
6355, 9, 62redivcld 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  e.  RR )
6444, 63ifcld 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )
65 fourierdlem78.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
6665fvmpt2 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6739, 64, 66syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6867, 64eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
69 1red 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
70 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
729rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
7372resincld 14184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
7471, 73remulcld 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
7571recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
7673recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
77 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
79 fourierdlem44 37834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
8039, 62, 79syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
8175, 76, 78, 80mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
829, 74, 81redivcld 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
8369, 82ifcld 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )
84 fourierdlem78.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
8584fvmpt2 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
8639, 83, 85syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
8786, 83eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
8868, 87remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s
) )  e.  RR )
89 fourierdlem78.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
9089fvmpt2 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
9139, 88, 90syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
9291, 88eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
93 fourierdlem78.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9493adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  N  e.  RR )
9571, 78rereccld 10434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
9694, 95readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
9796, 9remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
9897resincld 14184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  e.  RR )
99 fourierdlem78.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
10099fvmpt2 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
10139, 98, 100syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( S `  s )  =  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
102101, 98eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
10392, 102remulcld 9671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s
) )  e.  RR )
104 eqid 2422 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
105103, 104fmptd 6057 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106 ax-resscn 9596 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
107106a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
10891mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( U `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
10961iffalsed 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
11055recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
1119recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
112110, 111, 62divrecd 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) )
11367, 109, 1123eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )
114113mpteq2dva 4507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( H `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) ) )
11550recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
11654recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
117115, 116negsubd 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
118117eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
119118mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) ) )
12014, 47readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
121120rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR* )
122121adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  e.  RR* )
12322, 47readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
124123rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR* )
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( B  +  X )  e.  RR* )
12614recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12747recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
128126, 127addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  =  ( X  +  A ) )
129128adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  =  ( X  +  A ) )
13015, 9, 48, 27ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
131129, 130eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  <  ( X  +  s )
)
1329, 30, 48, 32ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
13322recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
134127, 133addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  =  ( B  +  X ) )
135134adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  =  ( B  +  X ) )
136132, 135breqtrd 4445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( B  +  X
) )
137122, 125, 49, 131, 136eliood 37425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) )
138 fvres 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) ) ) `  ( X  +  s
) )  =  ( F `  ( X  +  s ) ) )
140139eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
141140mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) ) )
142 ioosscn 37421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X ) )  C_  CC
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
)  C_  CC )
144 fourierdlem78.fcn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
145 ioosscn 37421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
147143, 144, 146, 127, 137fourierdlem23 37811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
148141, 147eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
149 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
15014ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  e.  RR )
1518adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
152 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <_  A )
15327adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
154149, 150, 151, 152, 153lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <  s )
155154iftrued 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  Y )
156155negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u Y )
157156mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y ) )
15851renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  RR )
159158recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
160 ssid 3483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  C_  CC
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
162146, 159, 161constcncfg 37567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163162adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164157, 163eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ph )
16614rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
167166ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
16823ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR* )
169 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
170 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  -.  0  <_  A )
17114adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
172 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  0  e.  RR )
173171, 172ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ( A  <  0  <->  -.  0  <_  A ) )
174170, 173mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  <  0 )
175174adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  <  0
)
176 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  B  <_  0 )
177 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
17822adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR )
179177, 178ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
180176, 179mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B )
181180adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B
)
182167, 168, 169, 175, 181eliood 37425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
18359ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
184182, 183condan 801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  B  <_  0 )
1858adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
186 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
18722ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  e.  RR )
18832adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
189 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  <_  0 )
190185, 187, 186, 188, 189ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  0 )
191185, 186, 190ltnsymd 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -.  0  <  s )
192191iffalsed 3920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  W )
193192negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u W )
194193mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W ) )
19552recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
196195negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u W  e.  CC )
197146, 196, 161constcncfg 37567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198197adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199194, 198eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200165, 184, 199syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
201164, 200pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202148, 201addcncf 37569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
203119, 202eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
204 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  s
) )  =  ( s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )
205 1cnd 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
206204cdivcncf 21935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  s ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
208 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
20961, 208sylnibr 306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
210111, 209eldifd 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
211210ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
212 dfss3 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
213211, 212sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
2149, 62rereccld 10434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  RR )
215214recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  CC )
216204, 207, 213, 161, 215cncfmptssg 37566 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
217203, 216mulcncf 22384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
218114, 217eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( H `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
21961iffalsed 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
22074recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
221111, 220, 81divrecd 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
22286, 219, 2213eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( s  x.  ( 1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
223222mpteq2dva 4507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  x.  ( 1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
224219, 221eqtr2d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  x.  ( 1  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
225224mpteq2dva 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
226 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
227 cncfss 21917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228106, 160, 227mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )  C_  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229226fourierdlem62 37851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230229a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231228, 230sseldi 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
23283recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
233226, 231, 41, 161, 232cncfmptssg 37566 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
234225, 233eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  x.  (
1  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
235223, 234eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
236218, 235mulcncf 22384 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
237108, 236eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( U `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
238101mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( S `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( ( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
239 sincn 23385 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
240239a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
241 halfre 10828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
242241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
24393, 242readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
244243recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
245146, 244, 161constcncfg 37567 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
246146, 161idcncfg 37568 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
247245, 246mulcncf 22384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
248240, 247cncfmpt1f 21931 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
249238, 248eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( S `  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
250237, 249mulcncf 22384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
251 cncffvrn 21916 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252107, 250, 251syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253105, 252mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> RR ) )
25443, 253eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( G  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ifcif 3909   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14103   picpi 14106   -cn->ccncf 21894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-ef 14108  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-t1 20316  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  37877
  Copyright terms: Public domain W3C validator