Theorem fourierdlem78 38048

Description: G is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem78.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem78.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem78.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem78.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem78.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem78.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem78.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem78.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem78.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem78.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem78.n	|- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem78.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem78.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem78	|- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   N, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hints:   S( s)   U( s)   G( s)   H( s)   K( s)

Proof of Theorem fourierdlem78

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
3	2	reseq1d 5104	. . 3 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 23413	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9935	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11666	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 37602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3433	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 37592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9793	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 37610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 37601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3438	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5156	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
43	3, 42	eqtrd 2485	. 2 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
44		0red 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
45		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> RR )
46	45	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
47		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
48	47	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
49	48, 9	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
50	46, 49	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
51		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. RR )
52		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. RR )
53	51, 52	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
55	50, 54	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
56		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
57	56	biimpac 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
58	57	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
59		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
60	59	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
61	58, 60	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
62	61	neqned 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
63	55, 9, 62	redivcld 10435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. RR )
64	44, 63	ifcld 3924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
65		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
66	65	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
67	39, 64, 66	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
68	67, 64	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
69		1red 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
70		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
72	9	rehalfcld 10859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
73	72	resincld 14197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
74	71, 73	remulcld 9671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
75	71	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
76	73	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
77		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
79		fourierdlem44 38015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
80	39, 62, 79	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
81	75, 76, 78, 80	mulne0d 10264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
82	9, 74, 81	redivcld 10435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
83	69, 82	ifcld 3924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
84		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
85	84	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
86	39, 83, 85	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
87	86, 83	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
88	68, 87	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
89		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
90	89	fvmpt2 5957	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
91	39, 88, 90	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
92	91, 88	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
93		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> N e. RR )
95	71, 78	rereccld 10434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
96	94, 95	readdcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
97	96, 9	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
98	97	resincld 14197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
99		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
100	99	fvmpt2 5957	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
101	39, 98, 100	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
102	101, 98	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
103	92, 102	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
104		eqid 2451	. . . 4 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
105	103, 104	fmptd 6046	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
106		ax-resscn 9596	. . . . 5 |- RR C_ CC
107	106	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR C_ CC )
108	91	mpteq2dva 4489	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
109	61	iffalsed 3892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
110	55	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
111	9	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
112	110, 111, 62	divrecd 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
113	67, 109, 112	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
114	113	mpteq2dva 4489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
115	50	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
116	54	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
117	115, 116	negsubd 9992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
118	117	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
119	118	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
120	14, 47	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
121	120	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
122	121	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
123	22, 47	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
124	123	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
125	124	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
126	14	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. CC )
127	47	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. CC )
128	126, 127	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
129	128	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
130	15, 9, 48, 27	ltadd2dd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
131	129, 130	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
132	9, 30, 48, 32	ltadd2dd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
133	22	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. CC )
134	127, 133	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
135	134	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
136	132, 135	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
137	122, 125, 49, 131, 136	eliood 37595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
138		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
140	139	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
141	140	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
142		ioosscn 37591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
144		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
145		ioosscn 37591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ CC
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
147	143, 144, 146, 127, 137	fourierdlem23 37992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
148	141, 147	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
149		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
150	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
151	8	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
152		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
153	27	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
154	149, 150, 151, 152, 153	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
155	154	iftrued 3889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
156	155	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
157	156	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
158	51	renegcld 10046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u Y e. RR )
159	158	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u Y e. CC )
160		ssid 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC C_ CC
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> CC C_ CC )
162	146, 159, 161	constcncfg 37748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
163	162	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
164	157, 163	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
165		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ph )
166	14	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR* )
167	166	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
168	23	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
169		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
170		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
171	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
172		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
173	171, 172	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
174	170, 173	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
175	174	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
176		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
177		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
178	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
179	177, 178	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
180	176, 179	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
181	180	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
182	167, 168, 169, 175, 181	eliood 37595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
183	59	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
184	182, 183	condan 803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
185	8	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
186		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
187	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
188	32	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
189		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
190	185, 187, 186, 188, 189	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
191	185, 186, 190	ltnsymd 9784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
192	191	iffalsed 3892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
193	192	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
194	193	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
195	52	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. CC )
196	195	negcld 9973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -u W e. CC )
197	146, 196, 161	constcncfg 37748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
198	197	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
199	194, 198	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
200	165, 184, 199	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
201	164, 200	pm2.61dan 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
202	148, 201	addcncf 37750	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
203	119, 202	eqeltrd 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
204		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
205		1cnd 9659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
206	204	cdivcncf 21949	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
208		elsn 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
209	61, 208	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
210	111, 209	eldifd 3415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
211	210	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
212		dfss3 3422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
213	211, 212	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
214	9, 62	rereccld 10434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
215	214	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
216	204, 207, 213, 161, 215	cncfmptssg 37747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
217	203, 216	mulcncf 22398	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
218	114, 217	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( H ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
219	61	iffalsed 3892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
220	74	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
221	111, 220, 81	divrecd 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
222	86, 219, 221	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( K ` s ) = ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
223	222	mpteq2dva 4489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
224	219, 221	eqtr2d 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
225	224	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
226		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
227		cncfss 21931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
228	106, 160, 227	mp2an 678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
229	226	fourierdlem62 38032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
231	228, 230	sseldi 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
232	83	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. CC )
233	226, 231, 41, 161, 232	cncfmptssg 37747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
234	225, 233	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( s x. ( 1 / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
235	223, 234	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( K ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
236	218, 235	mulcncf 22398	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
237	108, 236	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( U ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
238	101	mpteq2dva 4489	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
239		sincn 23399	. . . . . . . 8 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
240	239	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
241		halfre 10828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
243	93, 242	readdcld 9670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
244	243	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
245	146, 244, 161	constcncfg 37748	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( N + ( 1 / 2 ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
246	146, 161	idcncfg 37749	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
247	245, 246	mulcncf 22398	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
248	240, 247	cncfmpt1f 21945	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
249	238, 248	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( S ` s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
250	237, 249	mulcncf 22398	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
251		cncffvrn 21930	. . . 4 |- ( ( RR C_ CC /\ ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
252	107, 250, 251	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
253	105, 252	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )
254	43, 253	eqeltrd 2529	1 |- ( ph -> ( G |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   \ cdif 3401   C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14116   picpi 14119   -cn->ccncf 21908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem88  38058