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Theorem fourierdlem77 37987
Description: If  H is bounded, then  U is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem77.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem77.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem77.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem77.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem77.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem77.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem77.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem77.bd  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  a )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem77  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    K, b,
s    U, a, b    ph, a,
s
Allowed substitution hints:    ph( b)    U( s)    F( s, a, b)    H( s, a, b)    K( a)    W( s, a, b)    X( s, a, b)    Y( s, a, b)

Proof of Theorem fourierdlem77
Dummy variables  c  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem77.bd . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  a )
2 pire 23411 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
32renegcli 9942 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -u pi  e.  RR )
52a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
6 pirp 23414 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
7 neglt 37448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  -u pi  <  pi )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <  pi
93, 2, 8ltleii 9764 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <_  pi
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -u pi  <_  pi )
11 fourierdlem77.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
1211fourierdlem62 37972 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  K  e.  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
144, 5, 10, 13evthiccabs 37542 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  /\  E. x  e.  ( -u pi [,] pi ) A. y  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  x )
)  <_  ( abs `  ( K `  y
) ) ) )
1514trud 1446 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s
) )  <_  ( abs `  ( K `  c ) )  /\  E. x  e.  ( -u pi [,] pi ) A. y  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  x
) )  <_  ( abs `  ( K `  y ) ) )
1615simpli 459 . . . . 5  |-  E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  E. c  e.  (
-u pi [,] pi ) A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
18 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  RR )
1911fourierdlem43 37954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
2019ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  c )  e.  RR )
2120adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( K `  c
)  e.  RR )
2218, 21remulcld 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( a  x.  ( K `  c )
)  e.  RR )
2322recnd 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( a  x.  ( K `  c )
)  e.  CC )
2423abscld 13497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  e.  RR )
2523absge0d 13505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) ) )
2624, 25ge0p1rpd 11375 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
27263ad2antl2 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
28273adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  -> 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
29 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ s
ph
30 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  a  e.  RR
31 nfra1 2803 . . . . . . . . 9  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a
3229, 30, 31nf3an 1990 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
33 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ s  c  e.  ( -u pi [,] pi )
34 nfra1 2803 . . . . . . . 8  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )
3532, 33, 34nf3an 1990 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
36 simpl11 1080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ph )
37 simpl12 1081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  RR )
3836, 37jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ph  /\  a  e.  RR ) )
39 simpl13 1082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
40 rspa 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
4139, 40sylancom 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
42 simpl2 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
c  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4338, 41, 42jca31 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
44 rspa 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )
45443ad2antl3 1169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
46 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
47 simp-5l 776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ph )
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
49 fourierdlem77.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
50 fourierdlem77.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
51 fourierdlem77.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 fourierdlem77.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
53 fourierdlem77.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
5449, 50, 51, 52, 53fourierdlem9 37918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5554fnvinran 37308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
5619ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5855, 57remulcld 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  RR )
59 fourierdlem77.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6059fvmpt2 5973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
6148, 58, 60syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6261, 58eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
6362recnd 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
6463abscld 13497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
6547, 64sylancom 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
66 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR )
67 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )
6866, 67, 24syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  e.  RR )
69 peano2re 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c ) ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7161fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  =  ( abs `  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
7247, 71sylancom 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  =  ( abs `  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
7355recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( H `  s )  e.  CC )
7473abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  e.  RR )
7547, 74sylancom 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  e.  RR )
76 recn 9636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
7776abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
7866, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
7956recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
8079abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  e.  RR )
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  e.  RR )
8220recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  c )  e.  CC )
8382abscld 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( K `  c ) )  e.  RR )
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  c ) )  e.  RR )
8573absge0d 13505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( H `  s )
) )
8647, 85sylancom 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( H `  s )
) )
8782absge0d 13505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  0  <_  ( abs `  ( K `  c )
) )
8867, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K `  c )
) )
8974adant423 37340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  e.  RR )
90 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR )
9177ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
92 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)
9390leabsd 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
9489, 90, 91, 92, 93letrd 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  <_  ( abs `  a ) )
9594adant423 37340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
( abs `  a
) )
96 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )
9775, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96lemul12bd 10557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) )  <_ 
( ( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( K `  c
) ) ) )
9857recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
9973, 98absmuld 13515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( ( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) ) )
10047, 99sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( ( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) ) )
10176adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  CC )
10221recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( K `  c
)  e.  CC )
103101, 102absmuld 13515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( K `  c )
) ) )
10466, 67, 103syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  =  ( ( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( K `  c
) ) ) )
10597, 100, 1043brtr4d 4454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  <_ 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) ) )
10672, 105eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) ) )
10768ltp1d 10544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  < 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
10865, 68, 70, 106, 107lelttrd 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  < 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
10965, 70, 108ltled 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
11043, 45, 46, 109syl21anc 1263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )
111110ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  -> 
( s  e.  (
-u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) ) )
11235, 111ralrimi 2822 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )
113 breq2 4427 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
b  <->  ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) ) )
114113ralbidv 2861 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 )  ->  ( A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 ) ) )
115114rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
11628, 112, 115syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
117116rexlimdv3a 2916 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
)
11817, 117mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
119118rexlimdv3a 2916 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
)
1201, 119mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   -ucneg 9868    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   [,]cicc 11645   abscabs 13297   sincsin 14115   picpi 14118   -cn->ccncf 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-t1 20328  df-haus 20329  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820
This theorem is referenced by:  fourierdlem87  37997
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