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Theorem fourierdlem77 32212
Description: If  H is bounded, then  U is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem77.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem77.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem77.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem77.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem77.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem77.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem77.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem77.bd  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  a )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem77  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    K, b,
s    U, a, b    ph, a,
s
Allowed substitution hints:    ph( b)    U( s)    F( s, a, b)    H( s, a, b)    K( a)    W( s, a, b)    X( s, a, b)    Y( s, a, b)

Proof of Theorem fourierdlem77
Dummy variables  c  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem77.bd . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  a )
2 pire 23068 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
32renegcli 9899 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -u pi  e.  RR )
52a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
6 pirp 23071 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
7 neglt 31713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  -u pi  <  pi )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <  pi
93, 2, 8ltleii 9724 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <_  pi
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -u pi  <_  pi )
11 fourierdlem77.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
1211fourierdlem62 32197 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  K  e.  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
144, 5, 10, 13evthiccabs 31775 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  /\  E. x  e.  ( -u pi [,] pi ) A. y  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  x )
)  <_  ( abs `  ( K `  y
) ) ) )
1514trud 1404 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s
) )  <_  ( abs `  ( K `  c ) )  /\  E. x  e.  ( -u pi [,] pi ) A. y  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  x
) )  <_  ( abs `  ( K `  y ) ) )
1615simpli 458 . . . . 5  |-  E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  E. c  e.  (
-u pi [,] pi ) A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
18 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  RR )
1911fourierdlem43 32178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
2019ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  c )  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( K `  c
)  e.  RR )
2218, 21remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( a  x.  ( K `  c )
)  e.  RR )
2322recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( a  x.  ( K `  c )
)  e.  CC )
2423abscld 13370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  e.  RR )
2523absge0d 13378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) ) )
2624, 25ge0p1rpd 11307 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
27263ad2antl2 1159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
28273adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  -> 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
29 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ s
ph
30 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  a  e.  RR
31 nfra1 2838 . . . . . . . . 9  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a
3229, 30, 31nf3an 1931 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
33 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ s  c  e.  ( -u pi [,] pi )
34 nfra1 2838 . . . . . . . 8  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )
3532, 33, 34nf3an 1931 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
36 simpl11 1071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ph )
37 simpl12 1072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  RR )
3836, 37jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ph  /\  a  e.  RR ) )
39 simpl13 1073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
40 rspa 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
4139, 40sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
42 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
c  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4338, 41, 42jca31 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
44 rspa 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )
45443ad2antl3 1160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
47 simp-5l 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ph )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
49 fourierdlem77.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
50 fourierdlem77.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
51 fourierdlem77.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 fourierdlem77.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
53 fourierdlem77.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
5449, 50, 51, 52, 53fourierdlem9 32144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5554fnvinran 31635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
5619ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5855, 57remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  RR )
59 fourierdlem77.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6059fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
6148, 58, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6261, 58eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
6362recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
6463abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
6547, 64sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
66 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR )
67 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )
6866, 67, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  e.  RR )
69 peano2re 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c ) ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7161fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  =  ( abs `  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
7247, 71sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  =  ( abs `  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
7355recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( H `  s )  e.  CC )
7473abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  e.  RR )
7547, 74sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  e.  RR )
76 recn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
7776abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
7866, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
7956recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
8079abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  e.  RR )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  e.  RR )
8220recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  c )  e.  CC )
8382abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( K `  c ) )  e.  RR )
8467, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  c ) )  e.  RR )
8573absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( H `  s )
) )
8647, 85sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( H `  s )
) )
8782absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  0  <_  ( abs `  ( K `  c )
) )
8867, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K `  c )
) )
8974adant423 31671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  e.  RR )
90 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR )
9177ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
92 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)
9390leabsd 13349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
9489, 90, 91, 92, 93letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  <_  ( abs `  a ) )
9594adant423 31671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
( abs `  a
) )
96 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )
9775, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96lemul12bd 10509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) )  <_ 
( ( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( K `  c
) ) ) )
9857recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
9973, 98absmuld 13388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( ( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) ) )
10047, 99sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( ( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) ) )
10176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  CC )
10221recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( K `  c
)  e.  CC )
103101, 102absmuld 13388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( K `  c )
) ) )
10466, 67, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  =  ( ( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( K `  c
) ) ) )
10597, 100, 1043brtr4d 4486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  <_ 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) ) )
10672, 105eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) ) )
10768ltp1d 10496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  < 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
10865, 68, 70, 106, 107lelttrd 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  < 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
10965, 70, 108ltled 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
11043, 45, 46, 109syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )
111110ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  -> 
( s  e.  (
-u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) ) )
11235, 111ralrimi 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )
113 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
b  <->  ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) ) )
114113ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 )  ->  ( A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 ) ) )
115114rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
11628, 112, 115syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
117116rexlimdv3a 2951 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
)
11817, 117mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
119118rexlimdv3a 2951 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
)
1201, 119mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   abscabs 13170   sincsin 13902   picpi 13905   -cn->ccncf 21597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-ef 13906  df-sin 13908  df-cos 13909  df-pi 13911  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-fbas 18634  df-fg 18635  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-perf 19856  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-t1 20033  df-haus 20034  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-fil 20564  df-fm 20656  df-flim 20657  df-flf 20658  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-limc 22487  df-dv 22488
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