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Theorem fourierdlem77 37347
Description: If  H is bounded, then  U is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem77.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem77.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem77.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem77.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem77.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem77.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem77.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem77.bd  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  a )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem77  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    K, b,
s    U, a, b    ph, a,
s
Allowed substitution hints:    ph( b)    U( s)    F( s, a, b)    H( s, a, b)    K( a)    W( s, a, b)    X( s, a, b)    Y( s, a, b)

Proof of Theorem fourierdlem77
Dummy variables  c  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem77.bd . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `
 s ) )  <_  a )
2 pire 23145 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
32renegcli 9918 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -u pi  e.  RR )
52a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
6 pirp 23148 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR+
7 neglt 36854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR+  ->  -u pi  <  pi )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  <  pi
93, 2, 8ltleii 9741 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  <_  pi
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  -u pi  <_  pi )
11 fourierdlem77.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
1211fourierdlem62 37332 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  K  e.  (
( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
144, 5, 10, 13evthiccabs 36911 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  /\  E. x  e.  ( -u pi [,] pi ) A. y  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  x )
)  <_  ( abs `  ( K `  y
) ) ) )
1514trud 1416 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s
) )  <_  ( abs `  ( K `  c ) )  /\  E. x  e.  ( -u pi [,] pi ) A. y  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  x
) )  <_  ( abs `  ( K `  y ) ) )
1615simpli 458 . . . . 5  |-  E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  E. c  e.  (
-u pi [,] pi ) A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
18 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  RR )
1911fourierdlem43 37313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
2019ffvelrni 6010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  c )  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( K `  c
)  e.  RR )
2218, 21remulcld 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( a  x.  ( K `  c )
)  e.  RR )
2322recnd 9654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( a  x.  ( K `  c )
)  e.  CC )
2423abscld 13418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  e.  RR )
2523absge0d 13426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) ) )
2624, 25ge0p1rpd 11332 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
27263ad2antl2 1162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
28273adant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  -> 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
29 nfv 1730 . . . . . . . . 9  |-  F/ s
ph
30 nfv 1730 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  a  e.  RR
31 nfra1 2787 . . . . . . . . 9  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a
3229, 30, 31nf3an 1960 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
33 nfv 1730 . . . . . . . 8  |-  F/ s  c  e.  ( -u pi [,] pi )
34 nfra1 2787 . . . . . . . 8  |-  F/ s A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )
3532, 33, 34nf3an 1960 . . . . . . 7  |-  F/ s ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
36 simpl11 1074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ph )
37 simpl12 1075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  RR )
3836, 37jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ph  /\  a  e.  RR ) )
39 simpl13 1076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
40 rspa 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
4139, 40sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )
42 simpl2 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
c  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4338, 41, 42jca31 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) ) )
44 rspa 2773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. s  e.  (
-u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )
45443ad2antl3 1163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
47 simp-5l 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ph )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
49 fourierdlem77.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
50 fourierdlem77.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
51 fourierdlem77.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 fourierdlem77.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
53 fourierdlem77.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
5449, 50, 51, 52, 53fourierdlem9 37279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5554fnvinran 36782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
5619ffvelrni 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5855, 57remulcld 9656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  RR )
59 fourierdlem77.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6059fvmpt2 5943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
6148, 58, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
6261, 58eqeltrd 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
6362recnd 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
6463abscld 13418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
6547, 64sylancom 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  e.  RR )
66 simp-5r 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR )
67 simpllr 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )
6866, 67, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  e.  RR )
69 peano2re 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c ) ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR )
7161fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  =  ( abs `  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
7247, 71sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  =  ( abs `  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) ) )
7355recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( H `  s )  e.  CC )
7473abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  e.  RR )
7547, 74sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  e.  RR )
76 recn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
7776abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
7866, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
7956recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
8079abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  e.  RR )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  e.  RR )
8220recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( K `  c )  e.  CC )
8382abscld 13418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( K `  c ) )  e.  RR )
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  c ) )  e.  RR )
8573absge0d 13426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( H `  s )
) )
8647, 85sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( H `  s )
) )
8782absge0d 13426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  0  <_  ( abs `  ( K `  c )
) )
8867, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K `  c )
) )
8974adant423 36815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  e.  RR )
90 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  e.  RR )
9177ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
92 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)
9390leabsd 13397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  a  <_  ( abs `  a ) )
9489, 90, 91, 92, 93letrd 9775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s
) )  <_  ( abs `  a ) )
9594adant423 36815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
( abs `  a
) )
96 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )
9775, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96lemul12bd 10531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) )  <_ 
( ( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( K `  c
) ) ) )
9857recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
9973, 98absmuld 13436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( ( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) ) )
10047, 99sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( ( abs `  ( H `  s )
)  x.  ( abs `  ( K `  s
) ) ) )
10176adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
a  e.  CC )
10221recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( K `  c
)  e.  CC )
103101, 102absmuld 13436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( K `  c )
) ) )
10466, 67, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  =  ( ( abs `  a
)  x.  ( abs `  ( K `  c
) ) ) )
10597, 100, 1043brtr4d 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  <_ 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) ) )
10672, 105eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) ) )
10768ltp1d 10518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  < 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
10865, 68, 70, 106, 107lelttrd 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  < 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
10965, 70, 108ltled 9767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  RR )  /\  ( abs `  ( H `  s ) )  <_ 
a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi ) )  /\  ( abs `  ( K `  s ) )  <_ 
( abs `  ( K `  c )
) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 ) )
11043, 45, 46, 109syl21anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s
) )  <_  a
)  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  -> 
( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )
111110ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  -> 
( s  e.  (
-u pi [,] pi )  ->  ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) ) )
11235, 111ralrimi 2806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  ->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )
113 breq2 4401 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 )  ->  ( ( abs `  ( U `  s ) )  <_ 
b  <->  ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) ) )
114113ralbidv 2845 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 )  ->  ( A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c )
) )  +  1 ) ) )
115114rspcev 3162 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
a  x.  ( K `
 c ) ) )  +  1 )  e.  RR+  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  ( ( abs `  ( a  x.  ( K `  c
) ) )  +  1 ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
11628, 112, 115syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  /\  c  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
117116rexlimdv3a 2900 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  ( E. c  e.  ( -u pi [,] pi ) A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( K `  s )
)  <_  ( abs `  ( K `  c
) )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
)
11817, 117mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR  /\  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a )  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
119118rexlimdv3a 2900 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( H `  s )
)  <_  a  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `  s )
)  <_  b )
)
1201, 119mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. s  e.  ( -u pi [,] pi ) ( abs `  ( U `
 s ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   T. wtru 1408    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   -ucneg 9844    / cdiv 10249   2c2 10628   RR+crp 11267   [,]cicc 11587   abscabs 13218   sincsin 14010   picpi 14013   -cn->ccncf 21674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-t1 20110  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  fourierdlem87  37357
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